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1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料B1C B A D C1A1必修二立体几何经典证明试题1. 如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90 ，AC=BC=12AA1，D 是棱 AA1的中点( ) 证明：平面BDC1平面 BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 1. 【解析】（）由题设知BC 1CC,BCAC ，1CCACC, BC面11ACC A, 又1DC面11ACC A，1DCBC,由题设知01145A DCADC, 1CDC=090, 即1DCDC, 又DCBCC, 1DC面BDC, 1DC面1BDC，面BDC面1
2、BDC；（）设棱锥1BDACC的体积为1V，AC=1，由题意得，1V=1121 132=12，由三棱柱111ABCA B C的体积V=1，11():VVV=1:1，平面1BDC分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2. 如图 5 所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，/ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是CD上的点且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高 . （1）证明：PH平面ABCD；（2）若1PH，2AD，1FC，求三棱锥EBCF的体积；（3）证明：EF平面PAB. 【解析】（ 1）证明：因为AB平面PAD，所以PHAB。因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD。因为ABA
3、DA，所以PH平面ABCD。（2）连结BH，取BH中点G，连结EG。因为E是PB的中点，所以/EGPH。因为PH平面ABCD所以EG平面ABCD。则1122EGPH，111332EB C FB C FVSE GF CA DE G212。（3）证明：取PA中点M，连结MD，ME。因为E是PB的中点，所以1/2MEAB。因为1/2DFAB，所以/MEDF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以/EFMD。因为PDAD，所以MDPA。因为AB平面PAD，所以MDAB。因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料3. 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11B C的中点求证：（ 1）平面ADE平面11BCC B；（2）直线1/A F平面ADE【答案】 证明：（ 1）111ABCA B C是直三棱柱，1CC平面ABC。又AD平面ABC，1CCAD。又1ADDECCDE，平面111BCC BCCDEE，AD平面11
5、BCC B。又AD平面ADE，平面ADE平面11BCC B。（2）1111A BAC，F为11B C的中点，111A FB C。又1CC平面111A B C，且1A F平面111A BC，11CCAF。又111CCB C，平面11BCC B，1111CCB CC，1A F平面111A BC。由（ 1）知，AD平面11BCC B，1A FAD。又AD平面1, ADEA F平面ADE，直线1/A F平面ADE4. 如图，四棱锥PABCD 中，ABCD 为矩形， PAD 为等腰直角三角形，APD=90 ，面 PAD 面 ABCD ，且AB=1 ，AD=2 ，E、F 分别为 PC 和 BD 的中点（1
6、）证明： EF面 PAD ；（2）证明：面PDC面 PAD ；（3）求四棱锥PABCD 的体积如图，连接AC ， ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点， AC 必经过 F 1 分又 E 是 PC 的中点，所以，EFAP 2 分EF 在面 PAD 外，PA 在面内， EF面 PAD （2）面 PAD面 ABCD ，CDAD ，面 PAD面 ABCD=AD ， CD面 PAD ，又 AP面 PAD ，APCD 又 APPD，PD 和 CD 是相交直线，AP面 PCD 又 AD面 PAD，所以，面PDC面 PAD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
7、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料ABDCPMFGEDACBEF（3）取 AD 中点为 O，连接 PO，因为面 PAD面 ABCD 及 PAD 为等腰直角三角形，所以PO面 ABCD ，即 PO 为四棱锥PABCD 的高AD=2 ， PO=1，所以四棱锥PABCD 的体积1233VPO AB AD5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，/PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且2ADPD
8、MA. （I ）求证：平面EFG平面PDC；（II ）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比 . 【解析】（ I） 证明：由已知MA 平面 ABCD ，PD MA ，所以 PD 平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD ，因为四边形 ABCD为正方形，所以 PD BC 又 PDDC=D ，因此 BC平面 PDC 在 PBC中，因为G平分为 PC的中点，所以 GFBC 因此 GF平面 PDC 又 GF 平面 EFG ，所以平面 EFG 平面 PDC. （）解：因为PD 平面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方形，不妨设MA=1 ，则 PD=AD=2，ABCD 所以 Vp-ABCD=1/3
9、S正方形 ABCD，PD=8/3 由于 DA 面 MAB的距离所以 DA 即为点 P到平面 MAB的距离，三棱锥 Vp-MAB=1/31/2 122=2/3 ，所以 Vp-MAB：p-ABCD=1:4。6. 如图，正方形ABCD和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB=2,CE=EF=1 （）求证：AF/ 平面 BDE ；（）求证：CF 平面 BDF; 证明：（）设AC于 BD交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1 ，AG=12AG=1 所以四边形AGE F 为平行四边形所以 AF EG 因为 EG平面 BDE,AF平面 BDE, 所以 AF 平面 BDE （）连接FG。因为
10、 EF CG,EF=CG=1, 且 CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CFEG. 因为四边形ABCD为正方形，所以BD AC.又因为平面ACEF 平面 ABCD, 且平面 ACEF 平面 ABCD=AC, 所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料HABDCFE以 BD 平面 ACEF.所以 CFBD.又 BD EG=G, 所以 CF平面 BD
11、E. 7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形， AB=2EF=2 ，EFAB,EF FB,BFC=90 ，BF=FC,H 为BC 的中点，()求证： FH平面 EDB; （）求证：AC 平面 EDB; （）求四面体BDEF 的体积；(1),1/ /,21/ /,2/ / /ACBDGGACEG GHHBCGHABEFABEFGHEGFHEGEDBFHEDB证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面0,.,./ /,90 ,.FBBFGFHFHBFFG HBCFHBCFHABCDFHACFHEGACEGACBDEGBDGACEDBFB
12、BFCBFCDEFBFBDEFBCA（）证：由四边形ABCD 为正方形，有ABBC 。又EF/AB ， EFBC 。而 EF， EF平面EFAB又为的中点，。平面又，又，平面（）解：EF平面为四面体的高，又2,2111*1*2 *2.323BDEFBBFFCVBF8. 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，E、F分别是1A B、1AC的中点，点D在11B C上，11A DB C。求证：（ 1）EF平面 ABC ；（2）平面1A FD平面11BB C C. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
13、- - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料图 5DGBFCAE图 4GEFABCD9.如图4, 在边长为1 的等边三角形ABC中,D E分别是,AB AC边上的点 ,ADAE,F是BC的中点 ,AF与DE交于点G, 将ABF沿AF折起 , 得到如图 5 所示的三棱锥ABCF, 其中22BC. (1) 证明 :DE/ 平面BCF; (2) 证明 :CF平面ABF; (3) 当23AD时, 求三棱锥FDEG的体积FDEGV. 答案】(1) 在等边三角形ABC中,ADAEADAEDBEC, 在折
14、叠后的三棱锥ABCF中也成立 ,/ /DEBC ,DE平面BCF, BC平面BCF,/ /DE平面BCF; (2) 在等边三角形ABC中,F是BC的中点 , 所以AFBC,12BFCF. 在三棱锥ABCF中,22BC,222BCBFCFCFBFBFCFFCFABF平面; (3) 由 (1) 可知/ /GECF, 结合 (2) 可得GEDFG平面. 1 11 1 113133 23 2 3323324FDEGEDFGVVDG FG GF10.如图 , 在四棱锥PABCD中,/ /ABCD,ABAD,2CDAB, 平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点 , 求证 : (1)
15、PA底面ABCD;(2)/ /BE平面PAD;(3) 平面BEF平面PCD【答案】(I) 因为平面PAD 平面 ABCD,且 PA垂直于这个平面的交线AD 所以 PA垂直底面ABCD. (II)因为 AB CD,CD=2AB,E为 CD的中点所以 AB DE,且 AB=DE 所以 ABED为平行四边形 , 所以 BE AD,又因为BE平面 PAD,AD平面 PAD 所以 BE 平面 PAD. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - -
16、- - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料(III)因为 AB AD,而且 ABED 为平行四边形所以 BE CD,AD CD,由 (I) 知 PA 底面 ABCD, 所以 PA CD,所以CD 平面 PAD 所以 CD PD,因为 E和 F分别是 CD和 PC的中点所以 PD EF,所以CD EF,所以 CD 平面 BEF,所以平面 BEF 平面 PCD. 11.（2013 年山东卷）如图 , 四棱锥PABCD中, ,ABAC ABPA,2ABCD ABCD,E F G M N分别为,PB AB BC PD PC的中点( ) 求证 :CEPAD平面; ( ) 求证 :EFGEMN平面平面名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
