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1、可以生一对兔子并且兔子在出生两个月以后就具有繁殖后Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望n假设：n 1. 每对兔子每一个月定生一对兔子。n 2. 兔子出生两个月后都具有繁殖能力。n 3. 兔子每经过一个月底就增加一个月令。n平衡关系n 本月初(一月令)的幼兔是上月成兔繁殖的后代。n 本月的成兔是上月的成兔和上个月(一月令)的幼兔发育结果的总和。n变量、参量n 月份：n，幼兔：a0(n)，成兔: a1(n)n模型n a0(n) = a1(n-1)n a1(n) = a0(n-
2、1) + a1(n-1)n 令 a(n) = (a0(n), a1(n), 则n a(n) = A a(n-1)n其中n分析n 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na0(n) 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 a1(n) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89na(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144n n2. 证明 a(n+1) = a(n) + a(n-1)n a0(n+1)=a1(n) a1(n+1)=a(n) n 3. 模型的作用机理n a11幼兔
3、的繁殖能力， n a12成兔的繁殖能力，n a21幼兔的发育为成兔的比例，n a22成兔存活的比例。n 4. 群体的渐近性质n A 有主特征值 =1.618 和右、左特征向量n R= L=(0.382 0.618),. n a(n)=Ana(0)=RnLa(0)+o(n)n发展n 一对兔子每月可生一对幼兔，n 幼兔出生二个月后就具有繁殖能力，n 三个月后就离开群体。n问一对幼兔一年后繁殖的群体多大？n假设：n参量、变量n 月份: n, 幼兔: a0(n), 成兔: a1(n), 老兔: a2(n)n平衡关系n 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。n 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果n 本月初
4、的老兔是上月成兔发育的结果n模型n a0(n+1)=a1(n)+a2(n)n a1(n+1)=a0(n)n a2(n+1)=a1(n)n令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n), 则n a(n) = A a(n-1)n其中 n分析n 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0, a2(1)=0n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12na0(n) 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9na1(n) 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5 7na2(n) 0 0 1 0 1 1 1 2 2 3 4 5na(n) 1 1 2 2 3 4 5 7
5、9 12 16 21n 2. 证明 a(n+1) = a(n-1) + a(n-2)n a(n+1) = a(n) + a(n-4)n Padovan 数列(塑料数) n例5. 录音机的运行n 建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的读数与运行时间的关系)。n 数据：I. 读数与时间nt 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 - nn 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 n 数据：II. 读数与转数k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29 n背景n 1.
6、 磁带盒内有二个磁带轮：送带轮和收带轮。放音时送带轮上的磁带减少，缠于收带轮上。n 2. 计数器只记录某个磁带轮转动的转动情况。n计数器的读数不刚好是磁带轮的转数。n 3. 磁带轮在放音时转动不是匀速的，送带轮加速，收带轮减速。 n假设 1. 计数器记录了送带轮的转数。 2. 计数器的读数与送带轮的转数成正比。 3. 磁带运行的线速度定常。 4. 磁带厚度均匀，缠绕松紧一致，无空隙。 5. 磁带缠绕一圈的周长等于缠绕的圆周长。n参量、变量n 计数器读数：n，带轮转数：k, 运行时间：t(k)，n 磁带厚度：d，带芯轮半径：r，磁带速度：v, 磁带最多圈数：Nn 第 k 圈磁带的半径：Rk，第圈
7、磁带长度：Lk n平衡关系n 运行k圈磁带的时间等于磁带的长度与运行速度之商。n模型：t=0时n=0，送带轮缠满磁带并开始转动。n 由假设1，送带轮计数从外圈数起。n 由假设5，Lk=2Rkn 由假设4，Rk=r+(N-k+1)dn 平衡原理与机理模型 n 由假设2, k = c n则有n得模型t(n) = a n + b n2, 其中 n参数 a, b, c 的估计n 1. 最小二乘法估计 a, bn 正规方程组平衡原理与机理模型n方程n 290942 a + 83322472 b=25827n 83322472 a + 2.591711010 b=7237447n有解 a = 0.1109
8、5，b = -7.744510-5n模型 t(n) = 0.11095 n 7.4475 10-5 n2n检验 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 t .99 1.97 3.05 4.00 5.04 10.03 14.99 19.96 24.99 n分析n 根据假设2：k = c n, 利用数据II可以给出参数 c 的最小二乘估计。n可得 c = 2.04。又可测得 r = 1.1 cm，N=3852.04n由n可以求出d = 0.001628cm，v = 2.75m/min，L=85.25m。 n问题一. 证明PADOVAN数列的递推公式。n问题二. 根据录音机运行的数学模型及观测数据 I 给出模型参数最小二乘估计的正规方程组。n问题三. 在数据 I、II 的基础上，使用MATLAB 给出录音机运行模型的数值分析。
