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1、平面向量数量积平面向量数量积 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a 的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的，它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求abab。例例3 已知已知a=(1,1)
2、,b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。O投影投影OO练习：练习：1 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅
3、当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：其中，其中，是任意三个向量，是任意三个向量，注：注： 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab
4、)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.P116 例例4例例4 小结：小结：l1.l2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影作业：作业：4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量，且且a + 3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直，a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直，求求a与与b的夹角的夹角。 解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2， 代入其中任一式中得: a 2= b 2cos=
