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1、平面向量数量积平面向量数量积 一般地,实数一般地,实数与向量与向量a 的的积积是一个是一个向向量量,记作,记作a,它的,它的长度长度和和方向方向规定如下:规定如下:(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同;方向相同; 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反;方向相反; 特别地,当特别地,当=0或或a=0时时, a=0解:解:ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54(-1/2)= 10例例2 2 已知已知|a|=5|a|=5,|b|=4|b|=4,a a与与b b的夹角的夹角=120=120,求,求abab。例例3 已知已知a=(1,1)
2、,b=(2,0),求求ab。解:解: |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2OAB|b|cos abB1等于等于的长度的长度与与的乘积。的乘积。O投影投影OO练习:练习:1 1若若a = =0,则对任一向量,则对任一向量b ,有,有a b= =02若若a 0,则对任一非零向量,则对任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00,a b b = =0,则,则b= =04 4若若a b= =0,则,则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0,a b= = b c,则,则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅
3、当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律:数量积的运算律:其中,其中,是任意三个向量,是任意三个向量,注:注: 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)例例 3:求证:求证:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.证明:证明:(1)(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab
4、)baabaabbba22abb2.例例 3:求证:求证:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.证明:证明:(2)(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.P116 例例4例例4 小结:小结:l1.l2.可用来求向量的模可用来求向量的模3.投影投影作业:作业:4、已知已知a、b都是非零向量都是非零向量,且且a + 3 b 与与7 a 5 b 垂直垂直,a 4 b 与与7 a 2 b垂直垂直,求求a与与b的夹角的夹角。 解: (a + 3 b )(7 a 5 b) (a 4 b )(7 a 2 b ) (a + 3 b )(7 a 5 b) =0 且 (a 4 b ) (7 a 2 b )=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得: 2 a b = b 2, 代入其中任一式中得: a 2= b 2cos=