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1、微分中值定理微分中值定理78282 微分中值定理微分中值定理核心是拉格朗日中值定理，核心是拉格朗日中值定理，费马定理是费马定理是拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的预备定理，的预备定理，罗尔定理是罗尔定理是拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的特例，的特例，柯西定理是柯西定理是拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的推广。的推广。几何解释几何解释: :几何解释几何解释: :2 罗尔(Rolle)定理证证注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结其结论可能不成立论可能不成立.例如例如,例如例如,XY-110注注2:若罗尔定理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必
2、要的是充分条件，不是必要的.例例1 12）唯一性）唯一性由零点定理由零点定理即为方程的正实根即为方程的正实根.矛盾矛盾,证：证：1）存在性）存在性例2证证证证由罗尔定理, 至少存在一点3 拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为化化归归法法作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :注注1:1:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注2：可解决一些根存在的问题，通过关于根的代数式的形式来找原函数，通过原
3、函数的性质以及拉格朗日定理可得所需要的结论。注注3 3：拉格朗日公式各种形式：拉格朗日公式各种形式推论推论3：推论推论4：推论推论 5 5则再由推论 4 , 即得命题成立 .(想象图) 该推论可以用来证明不等式.证证证证证证推论推论 6 6 用来证明一些重要的不等式例例2 2证证由上式得由上式得故从而例4证证证证例5证证证证例6证证证证例7证证证证从而例8解又故从而即例10证证则又且故即例11证证证证例例1212证证由介值定理由介值定理,注意到注意到由由, 有有+ ,得得 4、柯西(Cauchy)中值定理证证作辅助函数作辅助函数注注1：几何解释：几何解释注：柯西中值定理的另外证法设则至少存在一
4、点注3注4Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理费尔马定理费尔马定理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理例1分析例2证证证证一一 问题的提出问题的提出不足不足问题问题1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计。、误差不能估计。如何提高近似公式的精度如何提高近似公式的精度 ？ （1）怎样确定系数？）怎样确定系数？ （2）怎样确定误差？）怎样确定误
5、差？分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交代入上述条件得到代入上述条件得到即即于是于是二二 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理证明证明: :皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项带带peano余项的泰勒定理余项的泰勒定理如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 几点说明：几点说明：3. （麦克劳林公式）（麦克劳林公式）4 四四 常用常用n阶泰勒公式阶泰勒公式解解泰勒公式解例3其中,的奇数阶导数为零, 故一般将展至奇数项, 以提高精度.)(1112nnxoxxxx+ + + + +
6、+= =- -L 求求(未定型未定型)极限极限 确定无穷小量的阶确定无穷小量的阶五、泰勒公式应用举例五、泰勒公式应用举例 近似计算：近似值、近似公式近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 局部应用局部应用 区间区间应用应用皮亚诺型余项皮亚诺型余项拉格朗日型余项拉格朗日型余项解解三阶以上阶的展式如何呢？三阶以上阶的展式如何呢？不存在不存在 ！解解 解解 为什么只要二阶？解例5误差为该式中等号成立.由泰勒 (马克劳林) 公式例6证证证证例8解例9解例10证证解解求未定型极限求未定型极限利用皮亚诺型余项泰勒公式利用皮亚诺型余项泰勒公式 解解 利用皮亚诺型余项泰勒公式
7、利用皮亚诺型余项泰勒公式 不能确定！不能确定！例例15：求极限：求极限解解试证试证例例17 证明不等式证明不等式 :例例1818证证 ,则有则有以下各类极限称为不定型的极限：其中 ,不定型的极限不定型的极限倒数法取对数法只需讨论这两种极限洛必达洛必达 (LHospital,1661-1704)定理定理1二. 洛必达法则证证则有则有辅助函数辅助函数所以定义所以定义只需证只需证利用柯西定理，有利用柯西定理，有证毕证毕 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .例例1 1解解例
8、例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意：注意： 1) 使用罗必塔法则必须验证条件，不是使用罗必塔法则必须验证条件，不是 未未 定式不能用罗必塔法则；定式不能用罗必塔法则；2)罗必塔法则可以连续应用，必须步步化罗必塔法则可以连续应用，必须步步化简（尽可能地化简）、步步验证求未定式简（尽可能地化简）、步步验证求未定式的极限的极限.例例6定理定理2例例8 8解解注意注意3：若导数比的极限不存在，不能判断：若导数比的极限不存在，不能判断原函数极限不存在原函数极限不存在。 例如例如，事实上事实上解解解解例例2 2解解三三 其他未定式其他未定式化为洛必达法则可解决的类型化为洛必达法则可
9、解决的类型例例3 3解解例例4 4解解解解解解解解注意注意3：只有未定式极限才能使用罗必达：只有未定式极限才能使用罗必达 法则；有些未定式极限法则；有些未定式极限,使用多次罗必达使用多次罗必达 法则之后法则之后,已经不是未定式极限已经不是未定式极限, 就不就不 能再使用罗必达法则了能再使用罗必达法则了.运用罗必达法则时, 定式因子如有极限应单独分出计算.例10解解例11解解极限不等于零的因子例13解解解解倒数法 .用另一种形式颠倒行不行 ?例14解解运用取对数法 .例15解解罗必达例16解解此题也可用重要极限的方法来求解.是否可用洛必达法则？是否可用洛必达法则？ 若有极限，求出其极限值。若有极
10、限，求出其极限值。1 问题的提出问题的提出若若 在区间（在区间（a,b)上单调上升上单调上升若若 在区间（在区间（a,b)上单调下降上单调下降函数的单调性与凸性函数的单调性与凸性2 单调性的判别法定理定理例例1 1解解注注1:1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性注注2 2：函数在定义区间上不是单调的，但在各：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调个部分区间上单调3 单调区间求法1、单调区间、单调区间定义定义: :若函数在其定义域的某个区若函数在其定义域的某个区
11、间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点2、单调区间、单调区间的划分的划分例例2 2解解单调区间为单调区间为例3：解：1）定义域为(-、-1)（-1、+).3)列表:(-、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+)4） 由表可知函数的单调增区间为(-、-2)(0、+) 单调减区间为（-2、-1）（-1、0）。xyy（-2、-1）-4 单调性的应用单调性的应用例例4 4证证凸性凸性5函数的凸性函数的凸性凹凹函函数数定义定义例例6 6证证性质：性质： 凸性的判
12、定凸性的判定定理定理1：( 用一阶导数判定凸性用一阶导数判定凸性 )证证 必要性必要性定理定理2：( 用二阶导数判定函数的凸性用二阶导数判定函数的凸性 )定理定理3：( 用切线位置判定函数的凸性用切线位置判定函数的凸性 )切线位于切线位于曲线下方曲线下方证证 必要性必要性充分性充分性 定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.xyo123abxyo123切线刻画凸性ab凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.x1x2x3x1x2
13、x3定理定理（拐点必要条件）（拐点必要条件）连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点称为拐点.证证注意注意: :定理定理2（拐点的充分条件）（拐点的充分条件）例例7 7解解例8.判定y=ax+bx+c的凹凸性. (a0)解: 定义域为(,+)y=2ax+b 当a0时，y0,曲线y=ax+bx+c在(,+)内是凸的.当a0时，y0,曲线y=ax+bx+c在(,+)内是凹的.注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口方向相结合。y=2a例9.求下列曲线的凹凸区间与拐点 1.y=x4 2x+1解：（1）定义域为（,+）（2）y=4x6xy=12x12x=12x(x1)（4）列表xyy（，
14、0）+00（0，1）10拐点（0，1）拐点（1，0）（1，+）+已知曲线的凸区间为（，0）（1，+），凹区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.（3）令y=0, 得x =0,x =1 12解：（1）定义域为（，+）（2）y=8(2x-1)（3）显然x (,+), y0凸区间（，+），无拐点2.y=(2x-1) +14y=48(2x-1)函数的极值与最大函数的极值与最大(小小)值值一.极值的概念极值极小值极大值极值点极小值点极大值点注：1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较 而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最 大或最小，所以函数
15、的极大值不一定比极小值大。3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。几何特征：结论：1）f(x)在x0处有极值且可导，则f(x0)=0 2）f(x)在x0处有极值且可导，则f(x0)在x0的左右 两旁的符号要改变。 f(x)从+到-f(x)从-到+xy0xy0x0+-x0+-二.判定定理定理1极大值.极小值.极值的求法：1）求出函数f(x)的定义域；2）求出函数f(x)的导数f(x),与不可导点；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。4）用驻点及不可导点把函数的定义域划分成若干个部分区间， 考察每个部分区间内f(x)的符号，以确定该驻点 是否为极值
16、点，并由极值点求出函数的极值。例1：求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在-2，6上的极值.解：解：(1)f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)(2)令f(x)=0，(3)列表考察f(x)的符号xf(x)f(x)(-2，-1)+(-1，3)(3，6)300-1+-(4)极小值f(3)=-22,极大值f(-1)=10草图：由图知，极大值为10但不是最大值。问题：求f(x)=x3-3x2-9x+5 在-2，6上的最大(小)值.(-2,3)-1-2106(3,-22)3(-1,10)(6,59)极大值 10极小值 -22xy0 解解 定理定理2：证证 (1) 解解
17、 三三. .闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的最大、最小值最大、最小值比比较较法法令f(x)=0，求出驻点；求出驻点,不可导点与端点处的函数值;(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.解：(1).f(x)的定义域为(-，1)，-8，1 (-，+1(2).(3).令f(x)=0，解之得驻点为(5).比较大小得，在-8，1上的最大值为 ，最小值为-5.(4). 解解 唯一极值点法 若函数在无穷区间 (-，+)内可导，且有唯一的极值点 . 例6.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-，+).解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1)(
18、3).令f(x)=0，解之得驻点为x=1.当x(-，1)时，f(x)0,单调递增.实际意义法：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域.(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值. 例7.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元) 问生产多少个单位时获得的利润最大？解： (1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0).(2)P(x)=1-0.00002x(3)令P(x)=0得驻点x=5104x=5104是唯一驻点，又利润最大值存在.当生产5104个单位时获得的利润最大.函数作图函
19、数作图一.渐近线例1：例2：xy0xy011定义1.那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.那么直线x=x0称为曲线y=f(x)的垂直渐近线.定义2.例1中.例2中.例3. 求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线.解：y=0是水平渐近线，x=1是垂直渐近线例例6 6 求曲线的水平渐近线和垂直渐近线求曲线的水平渐近线和垂直渐近线.解解例例7 7 求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线.解解定理定理定义3. 证证 必要性必要性充分性充分性 假设下列两个条件同时成立假设下列两个条件同时成立注意注意:二、函数作图二、函数作图(4)(4)计算辅助点计算辅助点( (如与如
20、与x x轴，轴，y y轴的交点轴的交点).).函数作图函数作图-函数性态函数性态最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点下凸下凸上凸上凸单增单增单减单减解解极极大大下凸下凸下凸下凸上凸上凸上凸上凸拐拐点点拐拐点点曲线曲线极大值极大值拐点拐点极小值极小值解解确定函数的单确定函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。调区间和极值，凹凸区间和拐点。例例9 9显然，函数无水平渐近线和垂直渐近线。显然，函数无水平渐近线和垂直渐近线。曲线图象如下图：曲线图象如下图：例例1010解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图
