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1、5.3 留数在定积分留数在定积分 计算中的应用计算中的应用一一、形如、形如 的积分的积分二二、形如、形如 的积分的积分三三、形如、形如 的积分的积分一一、形如、形如 的积分的积分思想方法思想方法 :封闭路线的积分（围道积分法）封闭路线的积分（围道积分法） .把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作两个重要工作:1) 积分区域的转化积分区域的转化2) 被积函数的转化被积函数的转化当当历经历经时时,绕行一周绕行一周.z 沿正向单位圆周沿正向单位圆周从而积分化为沿正向单位圆周的积分：从而积分化为沿正向单位圆周的积分：z的有理函数的有理函数 , 且在且在单位圆周上分母不
2、单位圆周上分母不为零为零 , 满足留数定满足留数定理的条件理的条件 .包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.例例1 解解 故积分有意义故积分有意义.因此因此例例2 计算计算解解 令令极点为极点为 :(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外)二二、形如、形如 的积分的积分若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次, 并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点. 一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可 .2. 积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区
3、间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线, 并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析. (此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1. 被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x) 可可取取 f(z)=R(z) .O这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心 , R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C , R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大, 使使R
4、(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内都包在这积分路线内.根据留数定理得根据留数定理得 :z1z2z3- -RRxznyCR即即从而从而例例3 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点例例4 计算积分计算积分解解 在上半平面有两个单极点：在上半平面有两个单极点：三三、形如、形如 的积分的积分积分存在要求积分存在要求: R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次, 并且并且R(x)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.z1z2z3zn- -RROxyCR同前一类型同
5、前一类型: 补线补线与与曲线曲线C ,使使R(z)所有的在上半所有的在上半都包在这积分路线内都包在这积分路线内 .一起构成封闭一起构成封闭平面内的极点平面内的极点由留数定理由留数定理:就可以求出积分就可以求出积分则则约当引理：约当引理：证证 得得由约当不等式（如右图）由约当不等式（如右图）从而从而根据约当引理根据约当引理及以上的讨论得：及以上的讨论得：将实虚部分开，可得积分将实虚部分开，可得积分例例5 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.例例6 计算积分计算积分解解 因函数因函数在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点若被积函数中的若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则在实轴上有孤立奇点，则小结与思考小结与思考 本课应用本课应用“围道积分法围道积分法”计算了三类实积分计算了三类实积分, 熟练熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点掌握应用留数计算定积分是本章的难点.思考题思考题思考题答案思考题答案作业：作业：P93P93 5.9 5.9 （1 1）、（）、（4 4）、（）、（6 6）
