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1、二次函数与实际问题二次函数与实际问题1 利润问题l 函谷关镇初级中学函谷关镇初级中学l侯飞华侯飞华 利润问题利润问题2.每件商品的利润、售价、进价的关系每件商品的利润、售价、进价的关系:每件商品的利润每件商品的利润= 售价进价售价进价1.总价、单价、数量的关系：总价、单价、数量的关系：总价总价= 单价单价数量数量3.总利润、每件商品利润、销售量的关系总利润、每件商品利润、销售量的关系:总利润总利润= 每件商品利润每件商品利润销售量销售量学习目标学习目标l 掌握用二次函数解决利润最大掌握用二次函数解决利润最大问题的一般步骤，会用二次函数问题的一般步骤，会用二次函数建模计算利润的最大值。建模计算利
2、润的最大值。自学指导自学指导l认真阅读课本认真阅读课本23页探究一，完成以下任务：页探究一，完成以下任务：l1.调整价格包括调整价格包括和和两种情况。两种情况。l2.若设涨价若设涨价x元，每星期售出商品的利润为元，每星期售出商品的利润为y，则，则y与与x之间的关系式为之间的关系式为，自变量自变量x的取值范围是的取值范围是;若设降价若设降价x元，每星期售出商品的利润为元，每星期售出商品的利润为y,则则y与与x之之间的关系式为间的关系式为，自变量，自变量x的取值范围是的取值范围是。l3.分别计算两种情况下利润的最大值。分别计算两种情况下利润的最大值。涨价涨价降降价价y=(60+x-40)(300-
3、10x）0X30y=(60-x-40)(300+20x)0x20总结提升总结提升用二次函数解决利润最大问题的一般步骤用二次函数解决利润最大问题的一般步骤是什么？是什么？1.审审，读题，把实际问题转化成数学问题；，读题，把实际问题转化成数学问题；2.设设，设出两个变量；，设出两个变量；3.列列，列出函数关系式；，列出函数关系式；4.求求，求出顶点坐标；，求出顶点坐标；5.回归回归，回归实际问题，回归实际问题实际问题实际问题数学问题数学问题实际问题实际问题总结提升总结提升l在解决问题的过程中都用到了哪些在解决问题的过程中都用到了哪些数学思想？数学思想？转化思想、函数建模思想检测题 某个商店的老板，
4、他最近进了价格为某个商店的老板，他最近进了价格为3030元元的书包。起初以的书包。起初以4040元每个售出，平均每个元每个售出，平均每个月能售出月能售出200200个。后来，根据市场调查发现：个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨这种书包的售价每上涨1 1元，每个月就少卖元，每个月就少卖出出1010个。现在请你帮帮他，个。现在请你帮帮他，如何定价才使如何定价才使他的利润最大他的利润最大？当定价为多少时，这个月当定价为多少时，这个月的利润能达到的利润能达到1800元？元？难点突破l当总利润为已知的常数时，用方程当总利润为已知的常数时，用方程来建模解；当总利润为变量时，用来建模解；当总利
5、润为变量时，用二次函数来建模。二次函数来建模。当堂作业当堂作业l完成学案上堂清三道题完成学案上堂清三道题问题问题1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价元，售价是每件是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调件。市场调查反映：如果调整价格查反映：如果调整价格，每涨价，每涨价1元，每星元，每星期要少卖出期要少卖出10件。要想获得件。要想获得6000元的利润，元的利润，该商品应定价为多少元？该商品应定价为多少元？列表分析列表分析1: 总售价总售价-总进价总进价=总利润总利润 总售价=单件售价数量 总进价=单件进价数量利润6000设每件涨价设每件涨价x元，则每件售
6、价为（元，则每件售价为（60+x)元元(60+x)(300-10x)40(300-10x)总利润总利润= 单件利润单件利润数量数量列表分析列表分析2:总利润总利润=单件利润单件利润数量数量利润利润6000(60-40+x) (300-10x)请继续完成请继续完成.问题问题2.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价元，售价是每件是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调件。市场调查反映：如调整价格查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期，每涨价一元，每星期要少卖出要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，件。该商品应定价为多少元时，商场能获得商场能获得最大利润最大利
7、润？分析与思考：分析与思考：在这个问题中，总利润是不是一个变量？在这个问题中，总利润是不是一个变量？如果是，它随着哪个量的改变而改变？如果是，它随着哪个量的改变而改变？若设每件加价若设每件加价x元，总利润为元，总利润为y元。元。你能列出函数关系式吗？你能列出函数关系式吗？解：设每件加价为解：设每件加价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-50x-600) =-10(x-25)2-625-600 =-10(x-25)2+12250当当x=25时，时，y的最大值
8、是的最大值是12250.定价定价:60+25=85（元）（元）(0x30)问题问题3.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元。现在元。现在的售价是每件的售价是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每涨价一元，每星期要少卖出每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期件；每降价一元，每星期可多卖出可多卖出18件。如何定价才能使利润最大？件。如何定价才能使利润最大？在问题在问题2中已经对涨价情况作了解答，定价中已经对涨价情况作了解答，定价为为85元时利润最大元时利润最大.降价也是一种促销的手段降价也是一种促销的手
9、段.请你对问题中的请你对问题中的降价情况作出解答降价情况作出解答.若设每件降价若设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元y=(60-40-x)(300+18x) =(20-x)(300+18x) =-18x2+60x+6000答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为85元可获得元可获得最大利润为最大利润为12250元元.习题习题.某商店购进一种单价为某商店购进一种单价为40元的篮球，如元的篮球，如果以单价果以单价50元售出，那么每月可售出元售出，那么每月可售出500个，个，据销售经验，售价每提高据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减元，销售量相应减少少10个。个。 (1)
10、假设销售单价提高假设销售单价提高x元，那么销售每个元，那么销售每个 篮球所获得的利润是篮球所获得的利润是_元元,这种篮球每这种篮球每月的销售量是月的销售量是_ 个个(用用X的代数式表示的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是如果是,说明理由说明理由,如果不是如果不是,请求出最大利润请求出最大利润,此时篮球的售价应定为多少元此时篮球的售价应定为多少元?小结小结1.正确理解利润问题中几个量之间的关系正确理解利润问题中几个量之间的关系2.当利润的值时已知的常数时，问题通过当利润的值时已知的常数时，问题通过方程来解；当利润为变量时，问题通过函方
11、程来解；当利润为变量时，问题通过函数关系来求解数关系来求解.某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，元，每星期可卖出每星期可卖出300件，市场调查反件，市场调查反映：每涨价映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些
12、量随之发生了变化？变量？哪些量随之发生了变化？某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期元，每星期可卖出可卖出300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出元，每星期少卖出10件；每降价件；每降价1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出18件，已知商品的进价为件，已知商品的进价为每件每件40元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析:调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之
13、变化，我们先来确定y与与x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x元时则每星期少卖元时则每星期少卖件，实际卖出件，实际卖出件件,销销额为额为元，买进商品需付元，买进商品需付元因因此，所得利润为此，所得利润为元元10x(300-10x)(60+x)(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即即(0X30)(0X30)可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当x取顶点坐取顶点坐标的横坐标时，这个函标的横坐
14、标时，这个函数有最大值。由公式可数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标.所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考（1）的过程得出答案。的过程得出答案。解：设降价解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实件，实际卖出（际卖出（300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，元，买进商品需付买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润元，因此，得利润答：定价为答：定价为元时，利
15、润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6050元元做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定价你知道应该如何定价能使利润最大了吗能使利润最大了吗?(0x20)某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱为每箱4040元，市场调查发现：若每箱以元，市场调查发现：若每箱以50 50 元元销售销售, ,平均每天可销售平均每天可销售100100箱箱. . 价格每箱降低价格每箱降低1 1元，平均每天多销售元，平均每天多销售2525箱箱 ; ; 价格每箱升高价格每箱升高1 1元，平均每天少销售元，平均每天少销售4 4箱
16、。如何定价才能使得箱。如何定价才能使得利润最大？利润最大？练一练练一练若生产厂家要求每箱售价在若生产厂家要求每箱售价在4555元之间。元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）算，要求每箱的价格为整数） 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，千克，放养在塘内，此时市场价为每千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天元，但是，放养一天需各种费用支出需各种费用支出400元，且平均每
17、天还有元，且平均每天还有10千克蟹死去，千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放元（放养期间蟹的重量不变）养期间蟹的重量不变）.设设x天后每千克活蟹市场价为天后每千克活蟹市场价为P元，写出元，写出P关于关于x的函数的函数关系式关系式.如果放养如果放养x天将活蟹一次性出售，并记天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销千克蟹的销售总额为售总额为Q元，写出元，写出Q关于关于x的函数关系式。的函数关系式。 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润（利润=销售总额销售总额-收购成
18、本收购成本-费用）？最大利润是多少？费用）？最大利润是多少？解：解：由题意知由题意知:P=30+x. 由题意知：死蟹的销售额为由题意知：死蟹的销售额为200x元，元，活蟹的销售额为（活蟹的销售额为（30+x）（）（1000-10x)元。元。 驶向胜利的彼岸Q=(30+x)(1000-10x)+200x=-10x2+900x+30000设总利润为设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x=-10(x-25)2+6250当当x=25时，总利润最大，最大利润为时，总利润最大，最大利润为6250元。元。x(元元)152030y(件件)252010 若日销售量若日销售量 y 是销售价是
19、销售价 x 的一次函数。的一次函数。 （1）求出日销售量）求出日销售量 y（件）与销售价件）与销售价 x（元）的函元）的函数关系式；（数关系式；（6分）分） （2）要使每日的销售利润）要使每日的销售利润最大最大，每件产品的销售价，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）分） 某产品每件成本某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：件）之间的关系如下表：（2）设每件产品的销售价应定为）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售
20、利润元，所获销售利润为为 w 元。则元。则 产品的销售价应定为产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利元，此时每日获得最大销售利润为润为225元。元。则则解得：解得：k=1，b40。1分5分6分7分10分12分 （1）设此一次函数解析式为）设此一次函数解析式为 。所以一次函数解析为所以一次函数解析为 。w设旅行团人数为设旅行团人数为x人人,营业额为营业额为y y元元, ,则则旅行社何时营业额旅行社何时营业额最大最大w1.1.某旅行社组团去外地旅游某旅行社组团去外地旅游,30,30人起组团人起组团, ,每人单价每人单价800800元元. .旅行社对超过旅行社对超过3030人的团给予优惠人
21、的团给予优惠, ,即旅行团每增即旅行团每增加一人加一人, ,每人的单价就降低每人的单价就降低1010元元. .你能帮助分析一下你能帮助分析一下, ,当当旅行团的人数是多少时旅行团的人数是多少时, ,旅行社可以获得最大营业额？旅行社可以获得最大营业额？某宾馆有某宾馆有50个房间供游客居住，当每个个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天房间的定价为每天180元时，房间会全部住元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加满。当每个房间每天的定价每增加10元时，元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出宾馆需对每个房间每天支出20元的
22、各种费用元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？房价定为多少时，宾馆利润最大？解：设每个房间每天增加解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为元，宾馆的利润为y元元Y=(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)Y=-1/10x2+34x+80001.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价价1元，商场平均每天可多售出
23、元，商场平均每天可多售出2件。件。（1）若商场平均每天要盈利）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫元，每件衬衫应降价多少元？应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？利最多？（三）（三）销售问题2.2.某商场以每件某商场以每件4242元的价钱购进一种服装，根据试元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量销得知这种服装每天的销售量t t（件）与每件的件）与每件的销售价销售价x x（元（元/ /件）可看成是一次函数关系：件）可看成是一次函数关系： t t3x3x204204。 （1 1）. .写出商场卖这种服装每天销售利润
24、写出商场卖这种服装每天销售利润 y y（元）与每件的销售价（元）与每件的销售价x x（元）间的函元）间的函 数关系式；数关系式；（2 2）. .通过对所得函数关系式进行配方，指出通过对所得函数关系式进行配方，指出 商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？售价定为多少最为合适？最大利润为多少？（三）（三）销售问题销售问题某个商店的老板，他最近进了价格为某个商店的老板，他最近进了价格为3030元的元的书包。起初以书包。起初以4040元每个售出，平均每个月能售元每个售出，平均每个月能售出出200200个。后来，根据市场调查
25、发现：这种书包个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨的售价每上涨1 1元，每个月就少卖出元，每个月就少卖出1010个。现在个。现在请你帮帮他，请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大如何定价才使他的利润最大？ 某个商店的老板，他最近进了价格为某个商店的老板，他最近进了价格为3030元的元的书包。起初以书包。起初以4040元每个售出，平均每个月能售出元每个售出，平均每个月能售出200200个。后来，根据市场调查发现：这种书包的个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨售价每上涨1 1元，每个月就少卖出元，每个月就少卖出1010个。现在请个。现在请你帮帮他，你帮帮他，如何定价才使他的利润达到如何定价才使他的利润达到21602160元元？
