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1、理数主编数学理科 第2专题 函数与导数回归课本与创新设计高考命题趋势重点知识回顾主要题型剖析专题训练试题备选一、函数概念及其表示1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),xA.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域;常用的函数表示方法有:解析法、列表法、图象法.3.分段函数:若一个函数的
2、定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数就称为分段函数.1.单调性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数).2.奇偶性:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.3.最值:最大值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任二、函数的性质重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高
3、考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.最小值:设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.4.周期性:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为一个周期.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选
4、试题备选1.指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.2.对数的运算性质:如果a0,a1,M0,N0,则loga(MN)=logaM+logaN,loga=logaM-logaN,logaMn=nlogaM(nR);换底公式:logaN=(a0,a1,N0,m0,m1).三、指数、对数及运算重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选指数函数y=ax对数函数y=logax0a10a1定义域R(0,+)值域(0,+)R图象过定点(0,1)(1,0)单调性递减递增递
5、减递增图象四、指数函数与对数函数重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选五、函数与方程1.函数零点:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则f(x)在该区间上为增函数;如果f(x)0,则f(x)在该区间上为减函数.3.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧的为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧的为正.4.在区间a,b上连续
6、的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.先求函数f(x)在(a,b)内的极值,再将函数f(x)的各极值与f(a)和f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.七、导数应用1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0)重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选八、定积分1.定积分的性质kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数);f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx;f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中acb).重点知识回顾重点知
7、识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)(其中F(x)=f(x).2.微积分基本定理重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选由曲线y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设f1(x)f2(x)0),及直线x=a,x=b(ab)围成的图形的面积(如图)S=f1(x)dx-f2(x)dx.3.由三条直线x=a,x=b(ab),x轴及一条曲线y=f(x)(f(x)0)围成的曲边梯
8、形的面积S=f(x)dx;重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选近几年高考对函数与导数这部分的考查,既可以是选择、填空这样的客观题,也可以是解答题,通常在客观题中考查函数的概念、性质以及导数的几何意义等基础知识,而在解答题中通常综合考查函数的性质、导数在研究函数中的应用,有时会与不等式等综合考查.预测2012年关于函数与导数的命题趋势,仍然是难易结合,既有基础题也有综合题.基础题以考查基本概念与运算为主,主要重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训
9、练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选考查函数性质及图象,同时考查导数的基础知识,知识载体主要是三次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题;(2)考查以函数为载体的实际应用题;(3)函数、导数与不等式等综合题.涉及到的主要思想方法有:数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选函数的性质如单调性、奇偶性、周期性等是函数的核心所在,也是高考必考内容.高考试题主要考查三
10、类性质的判定及其应用.在具体问题中要加强三类性质的整合,充分挖掘有效信息,如图象、过定点、最值、渐近线等,切实提高分析问题与解决问题的能力.题型一函数的概念与性质重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例1(1)定义在R上的函数f(x)满足:对于任意,R,总有f(+)-f()+f()=2011,则下列说法正确的是()(A)f(x)-1是奇函数.(B)f(x)+1是奇函数.(C)f(x)-2011是奇函数.(D)f(x)+2011是奇函数.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋
11、势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,+),则()(A)f(x1)0,f(x2)0.(B)f(x1)0.(C)f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0.【分析】(1)紧紧抓住奇函数的概念和性质:对于任意的xR,有f(-x)=-f(x),f(0)=0.(2)本题关键是把转化成,从而看出了它在(1,+)上是单调递增函数.【解析】(1)依题意,取=0,得f(0)=-2011;取=x,=-x,得f(0)-f(x)-f(-x)=2011,f(-x)+2011=-f(x)-f(0)=
12、-f(x)+2011,因此函数f(x)+2011是奇函数,选D.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由于函数g(x)=-在(1,+)上单调递增,函数h(x)=2x在(1,+)上单调递增,故函数f(x)=h(x)+g(x)在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在(1,+)上只有唯一的零点x0,且在(1,x0)上f(x)0,故选B.【答案】(1)D(2)B(1)凡是定义域为R的奇函数g(x),一定有g(0)=0,从而想到令=0,得f(0)=-2011,所以f(0)+2011=0,从而猜想
13、函数h(x)=f(x)+2011是奇函数,并用定义证明即可.(2)弄清“反比例函数”型的双曲线的单调性,再根据“单调性相同的两个函数的和的单调性不变”解出本题.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展1(1)设f(x)是偶函数且其图象是连续的,当x0时是单调函数,则满足f(x)=f()的所有x之和为()(A)-3.(B)3.(C)-8.(D)8.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2
14、)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x0,2时,f(x)=x2-2x,则当x-4,-2时,f(x)的最小值是()(A)-.(B)-.(C).(D)-1.【解析】(1)因为f(x)是连续的偶函数,且x0时是单调函数,由偶函数的性质可知,若f(x)=f,只有两种情况:x=;x+=0.由知x2+3x-3=0,故两根之和为x1+x2=-3.由知x2+5x+3=0,故两根之和为x3+x4=-5.因此满足条件的所有x之和为-8.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由f(x+2
15、)=3f(x),当x0,2时,f(x)=x2-2x,当x=1时f(x)取得最小值.所以,当x-4,-2时,x+40,2,所以,当x+4=1时f(x)有最小值,即f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1)=-.【答案】(1)C(2)A重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选函数与方程思想是重要的一种数学思想,高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多.在小题中既有利用函数处理方程问题也有通过方程处理函数问题.函数的图象是函数的一种重要表示方法,也是高考的热点之一.题型二函数与方程、函
16、数的图象与变换重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例2(1)函数f(x)=的零点个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为()(A)2-,2+.(B)(2-,2+).(C)1,3.(D)(1,3).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析
17、高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)已知方程|2x-1|-|2x+1|=a+1有实数解,则a的取值范围为.【分析】(1)分别考虑函数在相应范围内的零点个数,其中f(x)=lnx-x2+2x(x0)的零点个数可转化为两个函数y=lnx与y=x2-2x(x0)的交点个数,借助于图形可得.(2)分别计算出两个函数的值域,只要g(b)的取值落在函数f(x)的值域内即可.(3)要使方程有实数解,只要a+1的取值落在函数y=|2x-1|-|2x+1|的值域内即可.【解析】(1)在同一坐标系中作出函数y=lnx与y=x2-2x(x0)的图象如图,
18、可知f(x)在x0时有两个零点;x0时,由2x+1=0得x=-.所以选D.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】(1)D(2)B(3)(1)方程与函数问题是相互转化的,如函数零点个数(或取值范围)问题可转化为方程解的个数(或取值范围)也可转化为两个函数图象的交点个数(或交点横坐标的取值范围)问题.(2)由题可知f(x)=ex-1-1,g(x)=-x
19、2+4x-3=-(x-2)2+11,若有f(a)=g(b),则g(b)(-1,1,即-b2+4b-3-1,解得2-b2+.(3)函数y=|2x-1|-|2x+1|=的值域为-2,0),则-2a+10,所以-3a-1.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)本题的方程问题是转化为函数的取值问题,进而解不等式求解的.(3)方程有解问题常可转化为两函数图象有交点问题,进而转化为函数值域求解.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课
20、本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展2(1)已知函数f(x)=()x-log2x,实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)0(0abc),若实数x0是方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中,不可能成立的是()(A)x0b.(C)x0c.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)已知函数f(x)=,则函数y=f(1-x)的大致图象是()重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)已
21、知函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且x-1,1时,f(x)=x2,则方程f(x)=log3|x|的解的个数为.【解析】(1)如图所示,方程f(x)=0的解即为函数y=()x与y=log2x的图象交点的横坐标x0.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选易知f(x)=()x-log2x在(0,+)上是减函数,又f(a)f(b)f(c)0(0abc),f(c)一定是负数.根据图象可知x0c不可能成立,故选D.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题
22、训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)在同一坐标系内作出f=2x(x1)和f(x)=lox(x1)的图象,利用关于y轴对称,即可得到y=f(-x)的图象,再将图象向右平移一个单位即可得到函数y=f(1-x)的图象,故选C.(3)f=f,f=f,T=2.在同一坐标系中作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),由图可知两函数的图象恰好有4个交点,所以方程的解的个数为4.【答案】(1)D(2)C(3)4重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选导数的概念及其
23、运算是导数应用的基础,也是高考重点考查的对象,小题侧重考查导数本身基础知识、导数的几何意义或利用导数确定函数的单调性、极值和最值.定积分部分考查基础题,可以考查定积分的计算或利用定积分求面积.常以选择题、填空题形式考查.题型三导数及其应用(含定积分)重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例3(1)设函数f=x2+lnx,若曲线y=f在点处的切线方程为y=ax+b,则a=,b=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计
24、新设计试题备选试题备选(2)由直线x=,x=2,曲线y=及x轴所围图形的面积是()(A).(B).(C)ln2.(D)2ln2.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.【分析】(1)利用导数公式求出函数的导数,利用导数的几何意义得切线斜率,进而求出相关值.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)画出图形,利用定积分计算出其
25、面积.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)由切点在曲线上以及导数的几何意义列方程组求解;利用导数公式求出函数导数,利用导数的几何意义得切线斜率,写出切线方程,再利用面积计算公式列式求解.【解析】(1)由题知,f=12+ln1=1,又因为切点在切线上,于是有a+b=1.因为f=2x+,所以a=f=3,所以b=-2.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)画出图形,可知所围图形的面积为
26、S=dx=ln2-ln=2ln2.(3)y=x2+1,切线方程为y-=2(x-1),切线与两坐标轴的交点分别为(,0),(0,-),所以围成的三角形的面积为=.【答案】(1)3-2(2)D(3)(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),曲线在某点处的切线问题常用到:切点在曲线上、切点在切线上以及曲线在该点处的切线斜率为函数在该点处的导数值.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展3(1)已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x
27、轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()(A),0.(B)0,.(C)-,0.(D)0,-.(2)求曲线段的封闭图形的面积常用定积分来求.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)已知曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积是()(A)1.(B).(C).(D).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)不等式ex-xax的解集为P,且0,2P,则实
28、数a的取值范围是()(A)(-,e-1).(B)(e-1,+).(C)(-,e+1).(D)(e+1,+).【解析】(1)f(x)=3x2-2px-q,由f(1)=0,f(1)=0得,解得,f(x)=x3-2x2+x.由f(x)=3x2-4x+1=0,得x=或x=1,进而求得当x=时,f(x)取极大值,当x=1时,f(x)取极小值0,故选A.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)S=.(3)因为ex-xax的解集为P,且0,2P,所以对任意x0,2,ex-xax恒成立,当x=0时,不等式
29、成立,故0x2时,a-1恒成立.令g(x)=-1,则g(x)=,当10,当0x1时,g(x)0.所以当x=1时,g(x)取得最小值e-1,所以a的取值范围是(-,e-1),故选A.【答案】(1)A(2)D(3)A重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选二次函数是中学数学重要的函数模型之一,与一元二次方程、一元二次不等式具有密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考中有很多数学试题与三个“二次”有关,既有选择题、填空题,也有解答题,常涉及函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转
30、化思想.题型四二次函数重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例4定义已知函数f(x)在m,n(mn)上的最小值为t,若tm恒成立,则称函数f(x)在m,n(mn)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在1,2上是否具有“DK”性质?说明理由;(2)若f(x)=x2-ax+2在a,a+1上具有“DK”性质,求a的取值范围.【分析】(1)理解新定义,求f(x)在1,2上的最小值,与1比较得出结论.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专
31、题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)讨论f(x)在a,a+1上的最小值f(x)min,再由f(x)mina恒成立求解.【解析】(1)f(x)=x2-2x+2,x1,2,f(x)min=11,函数f(x)在1,2上具有“DK”性质.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)f(x)=x2-ax+2,xa,a+1,其对称轴为x=.当a,即a0时,函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.若函数f(x)具有“DK”性质,则有2a恒成立,即a2.当aa+1,即-2
32、a0,函数f(x)=x|x-a|+1(xR).(2)当a(0,3)时,求函数y=f(x)在闭区间1,2上的最小值.【解析】(1)x|x-1|+1=x,解得x=-1或x=1.(2)f(x)=重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选当0a1时,x1a,这时,f(x)=x2-ax+1,对称轴x=1,函数y=f(x)在区间1,2上递增,f(x)min=f(1)=2-a;当1a2时,x=a时函数f(x)min=f(a)=1;当2a3时,x2a,这时,f(x)=-x2+ax+1,对称轴x=(1,),f(1)
33、=a,f(2)=2a-3,因为(2a-3)-a=a-30,所以函数f(x)min=f(2)=2a-3.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选利用导数研究可导函数的性质是高考的重点及热点,尤其是利用导数解决函数的单调性和极值,通过研究导函数值的符号特征(正或负)来研究单调性,从而研究并求出极值.利用导数研究函数的性质时,常要用好原函数和导函数的图象,同时要注意这两个函数在图象上的联系和研究侧重点的差异.高考对这部分的考查常是解答题,常见题型有:(1)根据函数解析式,求函数的单调区间或极值(最值)
34、;(2)根据函数的单调性或极值求解参数问题;(3)求解与函数单调性、极(最)值相关的其它问题,如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.题型五利用导数研究函数的性质重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(1)若f(x)在(,+)上存在单调递增区间,求a的取值范围;例5(2011年江西)设f(x)=-x3+x2+2ax.(2)当0a0,得a-.所以,当a-时,f(x)在(,+)上存在单调递增区间.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归
35、课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)令f(x)=0,得两根x1=,x2=.所以f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,从而f(x)在1,4上的最大值为f(2)=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选已知函数单调性求参数取值范围时,容易忽略f(x)=0这一
36、特殊情况,从而造成漏解,需记住:f(x)在区间I上为增函数f(x)0在区间I上恒成立,f(x)在区间I上为减函数f(x)0在区间I上恒成立.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展5已知函数f(x)=的图象过点(-1,2),且在x=处取得极值.(1)求实数b,c的值;(2)求f(x)在-1,e(e为自然对数的底数)上的最大值.【解析】(1)当x1时,f(x)=-3x2+2x+b,由题意得:,即,解得:b=c=0.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题
37、训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由(1)知:f(x)=当-1x0得0x;解f(x)0得-1x0或x0时,f(x)在1,e上单调递增,f(x)在1,e上的最大值为a.综上:当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为a;当a2时,f(x)在-1,e上的最大值为2.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选函数的实际应用几乎每年的高考都有所涉及,主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型,然后利用函数的性质求解.一般与最优化问题相联系,主要考查函数的单调性、最值、导数等
38、知识.通常是解答题,属中档题.题型六应用题重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例6某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是一呈水平状态的圆环,其半径为2m,通过金属杆BC,CA1,CA2,CA3支撑在地面B处(BC垂直于水平面),A1,A2,A3是圆环上的三等分点,圆环所在的水平面距地面10m,设金属杆CA1,CA2,CA3所在直线与圆环所在水平面所成的角都为.(圆环及金属杆均不计粗细)重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本
39、与创新设计新设计试题备选试题备选(2)为美观与安全,在圆环上设置A1,A2,An个等分点,并仍按上面方法连接,若还要求金属杆BC,CA1,CA2,CAn的总长最短,对比(1)中C点位置,此时C点将会上移还是下移,请说明理由.【分析】(1)依题意可以将各金属杆的长度用的三角函数表示出来,进而表示出总长,利用导数法求总长的最小值;(2)将总长表示为的三角函数,利用导数法求出何时取最小值并与(1)比较即得.【解析】(1)设O为圆环的圆心,依题意,CA1O=CA2O=CA3O=,CA1=CA2=CA3=,CO=2tan,设金属杆总长为ym,则(1)当的正弦值为多少时,金属杆BC,CA1,CA2,CA3
40、的总长最短?重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选y=+10-2tan=+10,(0)y=,当sin时,y时,y0,当sin=时,函数有极小值,也是最小值.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选解决函数实际应用问题的关键有两点:一是认真审题,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽像、概括,将实际问题归纳为相应的数学问题;二是正确建立相应的函数模型,最终求解数学问题使实际问题获解.(2)依题意,y
41、=+10-2tan=+10,y=,当sin时,y时,y0,当sin=时,函数有极小值,也是最小值.当n4时,所以C点应上移.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展6(2011年江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.(1)某广告商要求包装盒侧面积S(
42、cm2)最大,试问x应取何值?重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)某广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),由已知得a=x,h=(30-x),0x0;当x(20,30)时,V0,证明:当0xf(-x);(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f(x0)0,所以f(x)在(0,+)单调增加.若a0,则由f(x)=0得x=,且当0x0,当
43、x时,f(x)0,所以f(x)在(0,)单调增加,在(,+)单调减少.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)设函数g(x)=f(+x)-f(-x),则g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,g(x)=+-2a=.当0x0,而g(0)=0,所以g(x)0.故当0xf(-x).(3)由(1)可得,当a0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点,故a0,从而f(x)的最大值为f(),且f()0.不妨设A(x1,0),B(x2,0),0x1x2,重点知识回顾重点知识回顾主要题
44、型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选导数法是求解函数性质常用的方法,要能够熟练地掌握应用导数法求解函数的单调性、最值、极值等问题常用的步骤和方法,具体问题也要能够将所求问题转化为相应的熟悉问题.利用导数法证明不等式问题,常常是通过构造新函数,通过证明新函数的单调性而实现问题的证明.由(1)知,f(x0)0.则0x1x2,0-x1f(x1)=0.从而x2-x1,于是x0=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展7设
45、函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)若在定义域内存在x0,使得不等式f(x0)-m0能成立,求实数m的最小值;(2)已知函数g(x)=f(x)-x2-x-a,若方程g(x)=0在区间0,2上恰有两个不同的实根,求实数a的取值范围.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)要在定义域内存在x0使得不等式f(x0)-m0能成立,只需mf(x)min.求导得:f(x)=2(1+x)-=,函数f(x)的定义域为(-1,+),当x(-1,0)时,f(x)0,函数f(x)在区间(
46、0,+)上是增函数.f(x)min=f(0)=1,m1.故实数m的最小值为1.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)得:g(x)=(1+x)2-2ln(1+x)-(x2+x+a)=x+1-2ln(x+1)-a.原题设即方程(1+x)-2ln(1+x)=a在区间0,2上恰有两个相异实根.设h(x)=(1+x)-2ln(1+x).则h(x)=1-=,列表如下:x0(0,1)1(1,2)2h(x)-0+h(x)1减函数2-2ln2增函数3-2ln3重点
47、知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选h(0)-h(2)=1-(3-2ln3)=2(ln3-1)2(lne-1)=0,h(0)h(2).从而有h(x)max=1,h(x)min=2-2ln2.画出函数h(x)在区间0,2上的草图(见右),易知要使方程h(x)=a在区间0,2上恰有两个相异实根,只需2-2ln2a3-2ln3,即a(2-2ln2,3-2ln3.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选数
48、列是特殊的函数,不等式与函数紧密相联,高考经常将函数、导数、数列及不等式相结合,一般难度较大,常作为压轴题.题型八函数导数与数列不等式等综合问题重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选例8已知函数f(x)=(a,b,c为常数,a0).(1)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)=的图象上,求an的前n项和Sn;(2)在(1)的条件下,若a3=7,S4=24,p,qN*(pq),证明:Sp+q(S2p+S2q);(3)若c=1时,f(x)是奇函数,f(1)=1,数列xn满足x1
49、=,xn+1=f(xn),求证:+.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【分析】(1)由点(n,an)在函数图象上可得数列的通项公式,由通项特征可求出Sn;(2)将第3项与前4项和写出,求出参数值,写出Sn,再利用作差比较法证明不等式;(3)由函数的有关性质求出a、b值,由数列的相邻两项关系结合所要证的不等式进行转化,进而证明.【解析】(1)依条件有f(x)=ax+b.因为点(n,an)在函数f(x)=ax+b的图象上,所以an=f(n)=an+b.因为an+1-an=a(n+1)+b-(a
50、n+b)=a,所以an是首项为a1=a+b,公差为d=a的等差数列.所以Sn=n(a+b)+a=nb+a.即数列an的前n项和Sn=nb+a.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)依条件有即解得所以an=2n+1,所以Sn=n2+2n.因为2Sp+q-(S2p+S2q)=2(p+q)2+2(p+q)-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2,又pq,所以2Sp+q-(S2p+S2q)0.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回
51、归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选即Sp+q0时,有xn+10(nN+).又xn+1=f(xn)=1(xn=1时取等号),若xn=1,则x1=1.这与x1=矛盾.所以0xn+11.所以xk+1-xk=xk(1-xk)=(两个等号不能同时成立).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选所以=(xk+1-xk)(-).所以+xn,所以xn+11.所以12.所以+(2-1)=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与
52、创新设计新设计试题备选试题备选(1)对于数列求和,若是等差(比)数列直接用公式,非特殊数列转化为等差(比)数列的求和;(2)对于等差(比)数列,一般是将有关项与和转化为用首项、公差(比)来表示,通过解方程求出首项、公差(比);(3)复杂不等式的证明往往涉及多种转化手段,要灵活针对不等式的特征使用相应解决方法.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选同类拓展8已知函数f(x)=ax2+bx(a0)的导函数f(x)=-2x+7,数列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x
53、)的图象上.(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;(2)令bn=,其中nN+,求nbn的前n项和Tn.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)f(x)=ax2+bx(a0),f(x)=2ax+b由f(x)=-2x+7得:a=-1,b=7,f(x)=-x2+7x.又点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图象上,有Sn=-n2+7n.当n=1时,a1=S1=6,当n2时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,也适合a1=6.an=-2n+8(nN+).由an=-2n+80(
54、nN+)知,当n=3或n=4时,Sn取得最大值12,综上,an=-2n+8(nN+),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由题意得b1=8,bn=2-n+4,=,即数列bn是首项为8,公比为的等比数列,bn=24-n(nN+).故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4,Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3,-得:Tn=23+22+2-n+4-n2-n+3.Tn=-n24-n=32-(2+n)24-n.重点知识回顾重点
55、知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选回归课本(2011年湖南)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()(A).(B)1.(C).(D).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】D课本试题对比:北师大版选修2-2P84“例3求定积分,并解释其意义”可以看出这两题几乎一样,尽管题目很简单,但高考命题还是会从课本中取材,注重双基,也是高考命题的一个原则,希望能引起师生的注意.
56、创新设计【解析】由定积分知识可得S=cosxdx=sinx=-(-)=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选1.设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意xM(MD),有x+lD,且f(x+l)f(x),则称函数f(x)为M上的l高调函数.现给出下列命题:函数f(x)=()x是R上的1高调函数;函数f(x)=sin2x为R上的高调函数;如果定义域为-1,+)的函数f(x)=x2为-1,+)上的m高调函数,那么实数m的取值范围是2,+).其中正确的命题是.(写出所有正确命题的序号
57、)重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选又f(x)=()x在R上是减函数,()x+1()x即f(x+1)0).【解析】(1)f(x)=3mx2-1,依题意,得f(1)=tan,即3m-1=1,m=.f(1)=n,n=-.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)令f(x)=2x2-1=0,得x=.当-1x0;当-x时,f(x)=2x2-10;当x0.又f(-1)=,f(-)=,f()=-,f
58、(3)=15,因此,当x-1,3时,-f(x)15.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选要使得不等式f(x)k-1997对于x-1,3恒成立,则k15+1997=2012.所以,存在最小的正整数k=2012,使得不等式f(x)k-1997对于x-1,3恒成立.(3)|f(sinx)+f(cosx)|=|(sin3x-sinx)+(cos3x-cosx)|=|(sin3x+cos3x)-(sinx+cosx)|重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题
59、训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选=|(sinx+cosx)(sin2x-sinxcosx+cos2x)-1|=|sinx+cosx|-sinxcosx-|=|sinx+cosx|3=|sin(x+)|3.又t0,t+,2f(t+)2f()=2()3-=.综上可得,|f(sinx)+f(cosx)|2f(t+)(xR,t0).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选一、选择题1.函数y=的值域为()(A)(-,1).(B)(,1).(C),1).(D)(,+).【解析】x2
60、+11,01,故y0,则AB等于()(A)0,1(2,+).(B)(0,12,+).(C)(0,1.(D)0,2.【解析】A=x|0x1,所以AB=x|00)的导数f(x)的最大值为3,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是()(A)x=.(B)x=.(C)x=.(D)x=.【解析】f(x)=cos(x+)最大值是3,0,则=3,故f(x)=sin(3x+)-1的一条对称轴可以是x=.【答案】A重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选5.由曲线y=x2和直线y=2x+3所围成的平面图形的面积为()
61、(A).(B).(C)9.(D).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】D【解析】画出草图如图,解方程组,得两曲线的交点为A(3,9),B(-1,1),所以所求面积为S=(2x+3-x2)dx=(x2+3x-x3)=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选6.设函数f(x)=x(ex+ae-x)是偶函数,其中xR,则实数a的值为()(A)0.(B)1.(C)-1.(D)2.【解析】f(
62、-x)=f(x),-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),x(ex+e-x)(1+a)=0,xR,a=-1.【答案】C重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选7.(2011年陕西)函数f(x)=-cosx在0,+)内()(A)没有零点.(B)有且仅有一个零点.(C)有且仅有两个零点.(D)有无穷多个零点.【解析】函数y=的图象过定点(1,1)且上升,数形结合知y=与y=cosx的图象在0,+)内有且仅有一个交点.【答案】B重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题
63、趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选8.当x0,2时,函数f(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是()(A)-,+).(B)0,+).(C)1,+).(D),+).【解析】当a=0时,f(x)=-4x-3在0,2上为减函数,不合题意;当a0时,此时f(x)为二次函数,其对称轴为x=-2,由题意知:或,解得a.也可取特值0与验证.【答案】D重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选9.设f(n)=log(n+1)(n+2)(nN+
64、),现把满足乘积f(1)f(2)f(n)为整数的n叫做“贺数”,则在区间(1,2012)内所有“贺数”的个数是()(A)7.(B)8.(C)9.(D)10.【解析】f(1)f(2)f(n)=log23log34log(n+1)(n+2)=log2(n+2),当n+2是2的正整数次幂时,f(1)f(2)f(n)是整数,所以当n取22-2,23-2,210-2时满足,所以在区间(1,2012)内所有“贺数”的个数是9.【答案】C重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选10.下列图象中,有一个是函数f
65、(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的导函数y=f(x)的图象,则f(-1)等于()(A).(B)-.(C).(D)-.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【答案】B导函数f(x)的图象开口向上.又a0,其图象必为第三个图.由图象特征知f(0)=0,且-a0,a=-1.故f(-1)=-1+1=-.【解析】f(x)=x2+2ax+(a2-1),重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试
66、题备选11.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4),当x2时,f(x)单调递增,如果x1+x24,且(x1-2)(x2-2)0,则f(x1)+f(x2)的值()(A)恒小于0.(B)恒大于0.(C)可能为0.(D)可正可负.【解析】因为(x1-2)(x2-2)0,若x1x2,则有x12x2,即2x22时,f(x)单调递增且f(-x)=-f(x+4),所以有f(x2)f(4-x1)=-f(x1),f(x1)+f(x2)0;若x2x1,同理有f(x1)+f(x2)0时,函数f(x)在R上是单调增函数;当b0时,函数f(x)在(-,0及0,+)上都是单调增函数且图象是连续的,所以在R
67、上是单调增函数,正确;大致画出函数图象或证明可知正确;如函数f(x)=|x|x-2x-3没有最小值,错误;如f(x)=|x|x-4x-2时,方程f(x)=0有三个实数根,正确.所以正确的是.选D.【答案】D重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选13.(2011年江苏)已知实数a0,函数f(x)=,若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.【答案】-【解析】a0时,2(1-a)+a=-(1+a)-2a,a=-,不符合;a0,F(x)单调递增,F(x)0不可能恒成立.当a0时,令F(x)=0,得x
68、=或x=-(舍去).当0x0,当x时,F(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=时,f(x)=x+-2,f(x)=1-,当x2时,f(x)0,f(x)在区间2,+)上为增函数,f(x)在区间2,+)上的最小值为f(2)=.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)在区间2,+)上,f(x)=0恒成立等价于x2-2x+a0恒成立.设函数y=x2-2x+a,x2,+),y=(x-1)2+a-1在区间2,+)上递增,当x=2时,ymin=a,当且仅当a0时,函数f(x)0恒成立,
69、故a0.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选18.某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高
70、考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)设需要修建k个增压站,则(k+1)x=120,即k=-1,所以y=432k+(k+1)(x3+x)=432(-1)+(x3+x)=+120x2-312.因为x表示相邻两增压站之间的距离,则0x60.故y与x的函数关系是y=+120x2-312(0x60).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)设f(x)=+120x2-312(00,得x3216,又0x60,则6x60.所以f(x)在区间(6,60
71、上为增函数,在区间0,6)上为减函数.所以当x=6时,f(x)取最小值,此时k=-1=-1=19.故需要修建19个增压站才能使y最小.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选19.设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性;(3)设g(x)=x3-x2,试比较f(x)与g(x)的大小.【解析】(1)因为f(x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),又x=-
72、2和x=1为f(x)的极值点,所以f(-2)=f(1)=0因此,解方程组得a=-,b=-1.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)因为a=-,b=-1,所以f(x)=x(x+2)(ex-1-1),令f(x)=0,解得x1=-2,x2=0,x3=1,因为当x(-,-2)(0,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-2,0),(1,+)上是单调递增的;在(-,-2),(0,1)上是单调递减的.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回
73、归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(3)由(1)可知f(x)=x2ex-1-x3-x2,故f(x)-g(x)=x2ex-1-x3=x2(ex-1-x)令h(x)=ex-1-x,则h(x)=ex-1-1,令h(x)=0,得x=1.当x(-,1时,h(x)0,所以h(x)在x(-,1上单调递减,故当x(-,1时,h(x)h(1)=0,当x1,+)时,h(x)0,所以h(x)在x1,+)上单调递增,故当x1,+)时,h(x)h(1)=0,所以对任意x(-,+),恒有h(x)0,又x20,因此f(x)-g(x)0,故对任意x(-,+),恒有f(x)g(x).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要
74、题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选20.已知函数f(x)=ax3+(sin)x2-2x+c的图象过点(1,),且在-2,1)内单调递减,在1,+)上单调递增.(1)求f(x)的解析式;(2)若对于任意的x1,x2m,m+3(m0),不等式|f(x1)-f(x2)|恒成立,试问这样的m是否存在?若存在,请求出m的范围,若不存在,说明理由.【解析】(1)f(x)=3ax2+(sin)x-2,由题设可知:即sin1,sin=1,a=,f(x)=x3+x2-2x+c,又由f(1)=得c=.f(x)=x3+x2-2x+即为所求.重点知识回
75、顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)由f(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1),易知f(x)在(-,-2)及(1,+)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数.当m1时,f(x)在m,m+3上递增,故f(x)max=f(m+3),f(x)min=f(m),由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-m3-m2+2m=3m2+12m+,得-5m1,这与条件矛盾.当0m1时,f(x)在m,1上递减,在1,m+3上递增,重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题
76、趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选f(x)min=f(1),f(x)max=maxf(m),f(m+3),又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2-0(0m1),f(x)max=f(m+3),|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1)f(4)-f(1)=恒成立.故当0m1时,原不等式恒成立.综上,存在m且m0,1符合题意.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选21.(2011年陕西)设f(
77、x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g()的大小关系;(3)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)0成立.【解析】(1)由题设知f(x)=lnx,g(x)=lnx+(x0),g(x)=,令g(x)=0得x=1,当x(0,1)时,g(x)0,故(1,+)是g(x)的单调增区间,因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)g()=-lnx+x,
78、设h(x)=g(x)-g()=2lnx-x+(x0),则h(x)=-,当x=1时,h(1)=0,即g(x)=g(),当x(0,1)(1,+)时h(x)0,h(1)=0,因此,h(x)在(0,+)内单调递减,当0xh(1)=0,重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选即g(x)g().当x1时,h(x)h(1)=0,即g(x)g().(3)由(1)知g(x)的最小值为1,所以,g(a)-g(x)0成立g(a)-1,即lna1,从而得0ae-1成立,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)=1+-=(
79、x0),当a-10时,f(x)在(0,1)递减,在(1,+)递增,故f(x)在x=1处取到极小值,不合题意,舍去.当0a-11时,f(x)在(0,1)递增,在(1,a-1)递减,在(a-1,+)递增,故f(x)在x=1处取到极大值,符合题意.综上所述,当a-11,即a2时,x=1是函数f(x)的极大值点,此时a的取值范围是(2,+).重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)在x,e上至少存在一点x0,使f(x0)e-1成立,等价于当x,e时,f(x)maxe-1.由(1)知,当a1+,即a
80、-1时,函数f(x)在,1上递减,在1,e上递增,f(x)max=maxf(),f(e).由f()=-(a-1)e+ae-1,解得ae-1,解得a1,1.a1;当a1+e,即a-1e时,函数f(x)在,1上递增,在1,e上递减,f(x)max=f(1)=2-a1-ee-1.综上所述,当ae-1成立.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选1.已知定义在R上的函数f(x)=ax3-3x2,其中a为大于零的常数.(1)当a=时,令h(x)=f(x)+6x,求证:当x(0,+)时,h(x)2elnx(
81、e为自然对数的底数);(2)若函数g(x)=f(x)+f(x),x0,2,在x=0处取得最大值,求a的取值范围.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选【解析】(1)当a=时,f(x)=x3-3x2,f(x)=x2-6x,h(x)=f(x)+6x=x2,令F(x)=x2-2elnx(x0),F(x)=2x-=,x(0,F(x)0,x,+),F(x)0,当x=时,F(x)取得极小值,且F()为F(x)在(0,+)上的最小值,F()=()2-2eln=0,F(x)=x2-2elnxF()=0,即x2
82、2elnx.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x0,2,g(x)=3ax2+2(3a-3)x-6,令g(x)=0,(*)有=36a2+360,设方程(*)的两根为x1,x2,则x1x2=-0,设x10x2,当0x22时,g(x2)为极小值,g(x)在0,2上的最大值只能为g(0)或g(2);重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选当x22时,g
83、(x)在0,2上单调递减,最大值为g(0),g(x)在0,2上的最大值只能为g(0)或g(2);又已知g(x)在x=0处取得最大值,g(0)g(2),即020a-24,解得a,a(0,.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选2.已知函数f(x)=x-1-alnx(aR).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值;(2)求证:f(x)0恒成立的充要条件是a=1;(3)若a0),当a0时,f(x)0恒成立,f(x)在单调递增,而f(1)=0,x(0,1)时,f(x)
84、0时,f(x)在单调递减,单调递增,f(x)min=f(a)=a-1-alna.又f(x)0恒成立,f(a)=a-1-alna0,(*)f(a)=1-(lna+1)=-lna(a0),当0a0,当a1时,f(a)0)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,f(a)f(1)=0.(*)重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选f(a)=a-1-alna=0,解得a=1.综上:f(x)0恒成立的充要条件是a=1.(3)由(2)知,a0时,f(x)在(0,1)单调递增,又函数y=在(0,1)单调递减,不
85、妨设0x1x21,则=f(x2)-f(x1),|-|=-.4|-|f(x2)-f(x1)4(-)f(x2)+f(x1)+,令h(x)=f(x)+=x-1-alnx+,x,重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选则原不等式h(x2)h(x1)h(x)在(0,1)单调递减,h(x)=1-=,x(0,1)时恒有x2-ax-40成立,即a=x-,令g(x)=x-,g(x)在(0,1)单调递增,g(x)g(1)=1-=-3,a-3,又a-2),设f(-2)=m,f(t)=n.(1)试确定t的取值范围,使得
86、函数f(x)在-2,t上为单调函数;(2)求证:nm;(3)求证:对于任意的t-2,总存在x0(-2,t),满足=(t-1)2,并确定这样的x0的个数.【解析】(1)因为f(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex,由f(x)0x1或x0,由f(x)00x1,所以f(x)在(-,0),(1,+)上递增,在(0,1)上递减,欲使f(x)在-2,t上为单调函数,则-2t0.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选(2)因为f(x)在(-,0),(1,+)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x=1处取得极小值e.又f(-2)=-2时,f(-2)f(t),即m4或-2t1时,g(-2)g(t)0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解,且只有一解;当1t0且g(t)0,但由于g(0)=-(t-1)2-2,总存在x0(-2,t),满足=(t-1)2,且当t4或-2t1时,有唯一的x0适合题意;当1t4时,有两个x0适合题意.重点知识回顾重点知识回顾主要题型剖析主要题型剖析高考命题趋势高考命题趋势专题训练专题训练回归课本与创回归课本与创新设计新设计试题备选试题备选
