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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 函数的微分 第二章 1目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其2目录 上页 下页 返回 结束 的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x
2、 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理: 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,3目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 , 则故在点 可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即4目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导, 且即“充分性充分性” 已知即在点 可导, 则5目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:时 ,所以时很小时, 有近似公式与是等价无穷小,当故当6目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的
3、微分自变量的微分, 记作记7目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,基本初等函数的微分公式 (见 P116表)又如又如,8目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为微分形式不变微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数9目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:10目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 数学中的反问题往往出现多值性.注意:11
4、目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:13目录 上页 下页 返回 结束 特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得14目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解: 设取则例例4. 求15目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解:例例5. 计算16目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,解解: 已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为( g )用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 ,厚度定为 0.
5、01cm , 17目录 上页 下页 返回 结束 *四、四、 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限18目录 上页 下页 返回 结束 误差传递公式误差传递公式 :已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x ,19目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积 ,解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限
6、约为试估计面积的误差 . 计算(mm2)20目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可微可导2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差21目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .22目录 上页 下页 返回 结束 2.23目录 上页 下页 返回 结束 5. 设由方程确定,解解: 方程两边求微分, 得当时由上式得求6. 设 且则24目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知求解解：因为所以备用题备用题25目录 上页 下页 返回 结束 已知求解解:方程两边求微分, 得2.习题课 26目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P123 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; *12习题课 27
