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1、第第1章：线性空间与线性变换章：线性空间与线性变换内容内容内容内容：线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系重点：空间结构和其中的数量关系线性变换线性变换线性变换线性变换重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法重点：其中的矩阵处理方法特点特点特点特点：研究代数结构研究代数结构研究代数结构研究代数结构具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象

2、本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。学习特点：具有抽象性和一般性。11.1线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念几何空间和几何空间和n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾推广思想：推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性

3、运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。合上定义具有线性运算的代数结构。定义定义1.1（P .1）要点：要点：要点：要点： 集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画2常见的线性空间常见的线性空间F F n n=X=X=（x x1 1，x x2 2，x xn n）T T

4、：x x F F 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F F mm n n =A=A=a aij ij mm n n：a a ij ij FF；运算运算运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵R R mm n n ；C C mm n n 。P Pn nx=p(x)=x=p(x)=：a ai i RR运算运算运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘CCa a，b b=f=f（x x）：）：）：）：f f（x x）在在在在 a a，b

5、b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘eg5eg5：V=RV=R+ +，F=RF=R， a a b b= =abab， a=aa=a F=RF=R或或或或C C3线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：线性空间的一般形式：V V（F F），），），），元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统称为向量： ， ， ，线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理1.1：V（F）具有性质：具有性质：（1）V V（F F）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟

6、一的。（2）V V（F F）中任何元素的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0 =0，k0=0，k =0 =0 或或k=0（4） =（ 1） 数数数数0 0向量向量向量向量0 04二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。中的结果一样。中的结果一

7、样。例题例题1证明证明C0，1空间中的向量组空间中的向量组ex，e2x，e3x，enx，x 0，1线性无关。线性无关。5二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：P.2P.2，定义定义定义定义1 1. .2 2常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：F Fn n，自然基自然基自然基自然基 e e1 1，e e2 2，,e,en n ，dimdim F Fn n =n =nR Rmm n n ，自然基自然基自然基自然基 E Eij ij ，dimdim R Rmm n n =

8、 =mm n n。P Pnn x x ，自然基自然基自然基自然基11，x x，x x2 2，x x3 3,x,xn-1n-1 ，dimdimP Pnn x x =n=nCaCa，bb，11，x x，x x2 2，x x3 3xxn-1n-1 Ca,bCa,b，dim dim CaCa，b=b= 约定：约定：约定：约定：VVn n （F F）表示数域表示数域表示数域表示数域F F上的上的上的上的 n n 维线性空间。维线性空间。维线性空间。维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。6三、坐标三、坐标1定义定义1.3（P.3)设设 1， 2

9、， n是空间是空间的一组基，的一组基，的一组基，的一组基， ， =，则，则x1，x2，xn是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例1：求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下的坐标。下的坐标。要点：要点：要点：要点：坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式7例例2设空间设空间P4x的两组基为：的两组基为：1，x，x2，x3和和1，（，（x-1）1，（，（x-1）2，（，（x-1）3求求f（x）=2+3x+4x2+x3在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标。归纳归纳归纳归纳：任何线性空间任何线性空间任何线性空间任何线性空间VnF在任

10、意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于F Fnn。每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“ “自然基自然基自然基自然基” ”，在这，在这，在这，在这组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。组基下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。82、线性空间线性空间Vn（F）与与Fn的同构的同构坐标关系坐标关系坐标关系坐标关系Vn（F）Fn基基基基 1 1， 2 2，。，。

11、，。，。 n n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 VVn n （F F），），），）， XX F Fn n， （ ）=X=X （ 1 1+ + 2 2）= = （ 1 1）+ + （ 2 2） （k k ）=k=k （ ）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间Vn（F）和和Fn同构。同构。9同构的性质同构的性质定理定理1.3:Vn（F）中向量中向量 1， 2， n线性相关线性相关它们的坐标它们的坐标X1,X2,Xn在在Fn中线性相关。中线性相关。同构保持线性关系不变。同构保持线性关系不变。应用应用：借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研中已经有的结论和方法研究一般线性

12、空间的线性关系。究一般线性空间的线性关系。10例题例题2设设R2 2中向量组中向量组Ai1讨论讨论Ai的线性相关性的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合.11四、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡

13、矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C C的性质：的性质：的性质：的性质：C C为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵C C的第的第的第的第i i列是列是列是列是 i i 在基在基在基在基 i i 下的坐标下的坐标下的坐标下的坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵122坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足:;讨论讨论X和和Y的关系的关系X=CYX=CY12313例题例题4、已知空间已知空间R中两组基中两组基（I）Eij（II）；）；1.求从基（求从基（I）到基（到基（II）的过渡矩阵的过渡矩阵C。2.求向量求向量在基（在基（II）的坐标的坐标Y。例题例题3、

14、（P6例题例题11）141.1五、五、子空间子空间概述：概述：线性空间线性空间Vn（F）中，向量集合中，向量集合V可可以有集合的运算和关系：以有集合的运算和关系：Wi V，W1 W2，W1 W2，问问题题：这这些些关关系系或或运运算算的的结结果果是是否否仍仍然然为为线性空间线性空间？151、子空间的概念定定义义：设设集集合合W Vn（F），W，如如果果W中中的的元元素素关关于于Vn（F）中中的的线线性性运运算算为为线线性空间，则称性空间，则称W是是Vn（F）的子空间的子空间。判别方法：判别方法：定理定理15W是是子子空空间间W对对Vn（F）的的线线性性运运算算封封闭闭。子空间本身就是线性空间。

15、子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子子子子空空空空间间间间的的的的判判判判别别别别方方方方法法法法可可可可以以以以作作作作为为为为判判判判别别别别线线线线性性性性空空空空间间间间的的的的方方方方法法法法16重要的子空间：重要的子空间：设设向向量量组组 1， 2， m Vn（F），由由它它们们的的一一切切线线性性组组合合生生成成的的子子空空间：间：L 1， 2， m=矩阵矩阵A F mn，两个子空间：两个子空间：A的的零零空空间间：N（A）=X ： AX=0 F n，A的列空间：的列空间：R（A）=LA1，A2，A n F m，Ai为为A的第的第i列。列。1

16、72、子空间的子空间的“交空间交空间”与与“和空间和空间”讨讨讨讨论论论论：设设设设WW 1 1 V Vn n（F F），WW2 2 V Vn n（F F），且且且且都都都都是是是是子子子子空空空空间间间间，则则则则WW1 1 WW2 2和和和和WW1 1 WW2 2是是是是否否否否仍仍仍仍然然然然是是是是子子子子空空空空间？间？间？间？1.（1 1） 交空间交空间交空间交空间 交交交交集集集集： WW1 1 WW2 2= = WW1 1 而而而而且且且且 WW2 2 V Vn n（F F）定理定理定理定理1616 WW1 1 WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间

17、，被称为“ “交空间交空间交空间交空间” ”（2 2）和空间）和空间）和空间）和空间和和和和的的的的集集集集合合合合：WW1 1WW2 2= = =X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1，X X2 2 WW2 2，WW1 1 WW22 WW1 1WW2 2定定定定理理理理1616 WW1 1WW2 2是是是是子子子子空空空空间间间间，被被被被称称称称为为为为“ “和和和和空空空空间间间间” ”，WW1 1 WW2 2不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，WW1 1 WW2 2 WW1 1WW2 2 18例例17设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2

18、=Le2 求和空间求和空间求和空间求和空间WW1 1WW2 2。 比较：集合比较：集合比较：集合比较：集合WW1 1 WW2 2和集合和集合和集合和集合WW1 1WW2 2。 如果如果如果如果WW1 1=L=L 1 1， 2 2， mm ，WW2 2=L=L 1 1， 2 2， k k ， 则则则则 WW1 1WW2 2=L=L 1 1， 2 2， mm， 1 1， 2 2， kk 193、维数公式、维数公式子空间的包含关系子空间的包含关系：dimdimWW1 1 WW22 dimdimWWii dimdimWW1 1WW22 dimdimV Vn n（F F）。）。）。）。定理定理17：di

19、mdimWW1 1dimdimWW2 2= =dimdim（WW1 1WW2 2）dimdim（WW1 1 WW2 2）证明：证明：证明：证明：204、子空间的直和、子空间的直和分析分析分析分析：如果如果如果如果dimdim（WW1 1 WW2 2） 0 0，则则则则 dimdim（WW1 1WW2 2） dimdimWW1 1dimdimWW2 2 所以：所以：所以：所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1 W2）=0W1 W2=0直和的定义直和的定义直和的定义直和的定义：定义定义16： dim（W1 W2）=0，则和为直和则和为直和W=W1W2=W1 W2，21子空间的

20、子空间的“和和”为为“直和直和”的充要的充要条件条件：定理18设设W=W1W2，则下列各条等价：则下列各条等价：（1）W=W1 W2（2） X W，X=X1X2的表的表是惟一的是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW222例例1P12eg18例例2设在设在Rnn中，子空间中，子空间W1=A AT=A，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。例例3子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”2312内积空间内积空间主题：主题：主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建

21、立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。空间的度量关系。空间的度量关系。空间的度量关系。一、一、欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间11几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础22内积的定义内积的定义内积的定义内积的定义定义定义定义定义17(17(P13)P13) ：要点：要点：要点：要点 内积内积内积内积( ( ， ) )是二元运算：是二元运算：是二元运算：是二元运算：V Vn n(F)F(F)F ( ( ， ) )的公理性质的公理性质的公理性质的公理性质 ( ( ， ) )

22、是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。 讨论讨论讨论讨论( ( ， 1 1 2 2),(),( ，k k ) ) 243.内积空间的定义内积空间的定义 V Vn n（F F）；（）；（）；（）；（ ， ） ，F=RF=R，欧氏空间；欧氏空间；欧氏空间；欧氏空间；F=CF=C，酉空间酉空间酉空间酉空间4常见的内积空间：常见的内积空间： RRn n ；( ( ， )=)= TT ,CCn n ；( ( ， )=)= HH , ,CCmnmn；(A(A，B)=tr(BB)=tr(BHHA)A)PPn nXX；(f(x)(f(x)，g(x)=g(x)=

23、255向量的长度向量的长度定义：定义：| |=6欧氏空间中向量的夹角：欧氏空间中向量的夹角：v定定义义：0，0，夹夹角角 定定义义为为： cos =性质：性质： |k k |= = k k | | ； CauchyCauchy不等式：不等式：不等式：不等式： ， V Vn n( (F F) )；( ( ， ) ), , |( ( ， ) ) | | | | | | | | | 。| | | | | | | | | | | | 和和和和 正交正交正交正交 （ ， ）=0=0267线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算：设设 1， 2，, n是是内内积积空空间间Vn(F)的的基，基， ，

24、Vn(F)，则有则有 =x1 1x2 2x n n =( 1 2 n)X； =y1 1y2 2y n n= ( 1 2 n)Y( ， )=Y HAX，定义内积定义内积在一个基在一个基 1， 2， n中定义内积中定义内积定义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A。度度量量矩矩阵阵A度量矩阵的性质：度量矩阵的性质：27二、标准正交基二、标准正交基1标准正交的向量组：标准正交的向量组：定义：定义：定义：定义： 1 1， 2 2， n n为正交组为正交组为正交组为正交组( ( i i， j j) )=0=0性质：性质：性质：性质： 2标准正交基标准正交基基基基基 1 1， 22， n n是标准正交基是标准正交

25、基是标准正交基是标准正交基( i， j)=w标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：28标准正交基的优点：标准正交基的优点： 度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即A=IA=I =(=( 1 1 2 2 nn) )X X， =(=( 1 1 2 2 nn) )Y Y，( ( ， )=Y)=YHHX X =x x1 1 1 1x x2 2 2 2x x n n n n，x xi i=(=( ， i i) ) 和和和和 正交正交正交正交其坐标其坐标其坐标其坐标 X X和和和和Y Y正交正交正交正交坐坐坐坐标标标标空空

26、空空间间间间Fn的的的的内内内内积积积积求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化正交化2.标准化标准化3.矩阵方法讨论矩阵方法讨论29正交补正交补”子空间子空间(i)集合的集合的U的正交集：的正交集：U =Vn( (F) )：U，( ( ， ) )=0(ii)U是是Vn(F)的子空间的子空间U 是是Vn(F)子空间子空间(iii)Vn(F)=U U 。U的正交补子空间的正交补子空间3013线性变换线性变换一、一、线性变换的概念线性变换的概念定义定义1.11(P.19)要点：要点：（i）T是是Vn（F）中的变换：中的变换：T：Vn（F）Vn（F）。）。(ii)T具有线性性：

27、具有线性性：T（ ）=T（ ）T（ ）T（k ）=kT（ ）从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义31例例例例题题题题1 1 V Vn n（F F）中中中中的的的的相相相相似似似似变变变变换换换换T T ： 是是是是F F中中中中的的的的数数数数，V Vn n（F F），），），），T T （ ）= = 。特例：特例：特例：特例： =1=1， TT 是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换， =0=0， T T 是零变换。是零变换。是零变换。是零变换。 可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中定义相似变换定义相似变换!例题例题2Fn中的变换中的变换TA：设设A Fnn是一个给是

28、一个给定的定的矩阵，矩阵， X Fn，TA（X）=AX。例题例题3PnX中的微分变换：中的微分变换：322线性变换的性质：线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T( )=T( )（iii）3 3线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间设线性变换设线性变换设线性变换设线性变换T T：V Vn n(F)(F)V Vn n(F)(F)，象空间象空间象空间象空间 R(T)=R(T)= ： V Vn n(F)(F)， =T(=T( ) ) 零空间零空间零空间零空间 N N（T T）= = ：V Vn n(F(F) ) ，TT( ( ) )=0=

29、0定义：定义：定义：定义：TT的秩的秩的秩的秩= =dimdimRR（T T）；）；）；）；TT的零度的零度的零度的零度= =dim dim N N（T T）线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线线性变换保持线性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！性相关性不变！33例题例题27求求Fn线性中的变换线性中的变换TA:Y=AX的象的象空间和零空间。空间和零空间。R（TA）=R（A）；）；N（TA）=N（A）344 4线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算设设设设T T1 1，T T2 2都都都都是是是是空空空空间间间间V Vn n( (F F) )中中中中的的的的线线线线

30、性性性性变变变变换换换换，常常常常见见见见的的的的用用用用它们构成的新的变换：它们构成的新的变换：它们构成的新的变换：它们构成的新的变换：（i i）TT1 1T T22 V Vn n（F F），），），），（T T1 1T T2 2）（）（）（）（ ）=T=T1 1（ ）T T2 2（ ）（ii ii）TT1 1T T2 2 V Vn n（F F），），），），(T(T1 1T T2 2) )（ ）=T=T1 1（T T2 2（ ）（iiiiii） k kTT V Vn n（F F），），），），（k kT T）（）（）（）（ ）= =k k（T T（ ）（iviv） 若若若若TT1 1是可逆

31、变换，是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，T T1 1 TT1 1( ( )=)= 当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当T(T( )=)= 。定义定义定义定义35二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析：定义变换定义变换T确定基中向量的象确定基中向量的象T（ i）。）。定定义义T（ i）确确定定它它在在基基下下 i的的坐坐标标Ai。定义变换定义变换T确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An（i i） AA为变换矩阵为变换矩阵为变换矩阵为变换矩阵（ii ii） 变换的坐标式：变换的坐标式：变换的坐标

32、式：变换的坐标式：Y=AXY=AX（iiiiii）应用意义应用意义应用意义应用意义36例例题题1对对线线性性变变换换:P4XP4X，1求求D在基在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2求求向向量量在在变变换换D下的象。下的象。372线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应：设设Vn（F）上上的的线线性性变变换换T1，T2，它它们们在在同同一组基下的矩阵：一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A1383不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵两两组组基基： 1， 2，, n， 1， 2，, n，

33、（ 1 2 n）=（ 1 2 n）CT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）AT（ 1 2 n）=（ 1 2 n）B同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123例题例题2（P23，eg28）39例题例题2（P23，eg28）例题例题3（P24，eg29）设单位向量设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定定R3上的上的线性变换线性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2.求求P在标准正交基在标准正交基u，

34、u2，u3下的变换矩下的变换矩阵。阵。40三、不变子空间三、不变子空间问题的背景：问题的背景：变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1.不变子空间的概念不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点定义定义定义定义( (p24,p24,定义定义定义定义1.14)1.14)2.不变子空间的判别不变子空间的判别WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间 WWT T（ ） WW。特别：特别：特别：特

35、别：W=LW=L 1 1， 2 2， mm ，WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间T T（ i i） WW。 T T（WW） WW。41P24，例题例题30R3上的正交投影上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是单位向量。证明是单位向量。证明L（u）和和u =x：（：（x，u）=0是是P的不变子空间。的不变子空间。423空间分解与矩阵分解空间分解与矩阵分解V Vn n（F F）=W=W U U，WW，U U是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间 ，W=L 1 1， r r ，U=U= r r + 1 + 1 ， ， n n 则则则则

36、T T 1 1， r r， r r + 1 + 1 ， ， n n Vn（F）=U1 U2 Uk，则则T矩阵矩阵Ai的阶数的阶数=dim Ui43四、四、正交变换和酉变换正交变换和酉变换讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间 V V；（；（；（；（ ， ）中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。11定义定义定义定义1 . 151 . 15 （P25P25）22正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件： （定理（定理（定理（定理1.15,1.15,P26P26 ）T T是内积空间是内积

37、空间是内积空间是内积空间V V（F F）上的线性变换，上的线性变换，上的线性变换，上的线性变换，则下列命题等价：则下列命题等价：则下列命题等价：则下列命题等价：T T是正交变换是正交变换是正交变换是正交变换T T保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变T T把把把把V V（F F）的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3 3正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩

38、阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵C C：C CT TC=IC=I 酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U：UUHHU=IU=I定理定理定理定理1 1. .1616( (P27)P27)44常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，R R3

39、3空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：定义：定义：S S（x x）=x x2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的 一根直线一根直线一根直线一根直线L L，旋转一旋转一旋转一旋转一 个个个个 角。角。角。角。变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵45例题例题1求求R3中绕过原点、以中绕过原点、以u=（1，1，1）T为为正向的直线，顺正向的直线，顺u

40、方向看去是逆时针的旋转变换方向看去是逆时针的旋转变换T在在R3中自然基下的变换矩阵。中自然基下的变换矩阵。46五、线性空间五、线性空间Vn(F)Vm(F)的线性变换的线性变换定义定义定义定义1.16(1.16(P.P.2828) )要点：要点：要点：要点：（i i）V Vnn( (F F) )， = =T(T( ) ) V Vmm (F)(F)(ii)T(ii)T具有线性性：具有线性性：具有线性性：具有线性性：T(T( 1 1 2 2)=T)=T（ 1 1）T(T( 2 2) )TT（k k ）=kT(=kT( ) )例题例题例题例题1 1(P29，eg34)例题例题2（P29，eg35）47

41、T的变换矩阵的变换矩阵：T：Vn(F)Vm(F)设设 1， 2，, n是空间是空间Vn(F)的的基，基， 1， 2，, m是空间是空间Vm(F)的的基，基，T( 1， 2，, n)=( 1， 2，, m)AA是变换矩阵。是变换矩阵。48T在不同基下变换矩阵的关系在不同基下变换矩阵的关系设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系49推荐练习题：第一章推荐练习题：第一章P31：1（3），

42、（），（4），），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29，3150第第1章勘误表章勘误表diyiban位置位置位置位置误误误误 正正正正P.9 .9，例题例题例题例题1616AFnnAFmnP.14.14，第第4 4行行（，）2（，）2P.16.16，第第1 1行行P.17P.17，倒倒倒倒7 7和倒和倒和倒和倒8 8L 1 1， 2 2， L 1 1， 2 2， P.22.22，倒倒3 3 e ei iPP（e ei i）P.27.27习题一上方习题一上方uW51第第2章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍JordanCanonicalForm52第第2章：章

43、：Jordan标准形介绍标准形介绍问题：问题：问题：问题：对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T T，求一组基求一组基求一组基求一组基 1 1， 22， n n 和矩阵和矩阵和矩阵和矩阵J J ，使，使，使，使T:T: 1 1， 22， n n JJ 矩阵矩阵矩阵矩阵JJ尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。 矩阵矩阵矩阵矩阵J J的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行内容：内容：内容：内容：首选首选首选首选A A为对角形为对角形为对角形为对角形 线性线性线性线性变换的对角化问题。变换的对角

44、化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。建立建立建立建立J J一般的结构一般的结构一般的结构一般的结构 JordanJordan标准形理论。标准形理论。标准形理论。标准形理论。JordanJordan方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法：方法：方法：方法：用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题 JordanJordan化方法化方法化方法化方法重点：重点：重点：重点：532.1线性变换的对角表示线性变换的对角表示背景：背景：T( 11 22 n n)=( 11 22 n n)一、变换一、变换T的特征值与特征向量的特征值

45、与特征向量1.定义定义(p35p35，定义定义定义定义2 2. .1 1)2.求解分析：求解分析：(p35p35，定理定理定理定理2 2. .1 1)1.( (1 1 22 n n) )线性无关线性无关线性无关线性无关2.T T i i= = i i i i； LL i i 是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间AA的特征值就是的特征值就是的特征值就是的特征值就是T T的特征值的特征值的特征值的特征值AA的特征向量是的特征向量是的特征向量是的特征向量是T T的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标54例题例题1(p37，例题例题2.1)3、特征向量的空间性质特

46、征向量的空间性质1)特征子空间：特征子空间：2)特征子空间的性质：特征子空间的性质：(p36，定理定理2.2)V V i i是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间 i i j j，则，则，则，则V V i i V V i i=0=01)若若若若 i i是是是是k ki i重特征值，则重特征值，则重特征值，则重特征值，则1 1 dimdimV V i i k ki i 推论推论：若若 i是单特征值，则是单特征值，则dimV i=1V 1+V 2+=V s=V 1 V 2V s1)V 1 V 2V s Vn（F）55二、线性变换矩阵对角化的充要条件二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对

47、角化可以对角化T有有n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。 dimV i=ndimV i=ki定理定理2.4(p39)T可以对角化可以对角化T的变换矩阵的变换矩阵A可以对角化。可以对角化。56例题例题2已知已知 1， 2， 3是空间是空间V3（F）的基，的基，T是空间上如下定义的线性是空间上如下定义的线性变换，变换，T（ 1）= 1T（ 2）=2 2T（ 3）= 1+t 2+2 3讨论：讨论：t为何值，为何值，T有对角矩阵表示有对角矩阵表示例题例题3证明幂等变换证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。有对角矩阵表示。572.2Jordan矩阵介绍矩阵介绍目标：目标：目标：目标：发展一个

48、所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构阵结构阵结构阵结构-JordanJordan矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。一、一、一、一、 JordanJordan 矩阵矩阵矩阵矩阵1.JordanJordan块块块块( (p40p40，定义定义定义定义2 2. .3 3) ) 1. 1.形式形式形式形式：2. 2.确定因素：确定因素：确定因素：确定因素：3. 3.JordanJordan块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：值值值值 矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数例题例题例题例题1 1 下列矩

49、阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是JordanJordan块？块？块？块？581)形式：形式：2)Jordan矩阵举例矩阵举例3)特点特点元素的结构元素的结构元素的结构元素的结构JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵2Jordan矩阵矩阵3Jordan标准形标准形定理定理定理定理2.52.5( (p41p41) ) 含义：含义：含义：含义：JordanJordan矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似

50、标准形。惟一性：惟一性：惟一性：惟一性：JordanJordan子块的集合惟一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。子块的集合惟一。A A相似于相似于相似于相似于B BJ JA A相似于相似于相似于相似于J JB B59二、方阵二、方阵A的的Jordan标准形的求法标准形的求法目标：目标：目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵P P和和和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JAA，使，使，使，使AP=PJAP=PJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在定理在定理在定理在定理2.52.5的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵

51、J JA A 和和和和P P的构成。的构成。的构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和和和J JA A的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有60Jordan链条链条 ，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量61方法步骤：方法步骤：由特征值由特征值由特征值由特征值 i i的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角

52、线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i的的的的 JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J J( ( i i) ) 的阶数。的阶数。的阶数。的阶数。由特征值由特征值由特征值由特征值 i i对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确定定定定 J J( ( i i) )中中中中JordanJordan块的个数块的个数块的个数块的个数由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的JordanJordan链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan块的阶

53、数块的阶数块的阶数块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵P P，JordanJordan块块块块构成构成构成构成J JA A例题例题例题例题1 1( (p44p44，例题例题例题例题5)5)例题例题例题例题2 2( (p45p45，例题例题例题例题6)6)62例题例题3将矩阵将矩阵A化为化为Jordan矩阵。矩阵。例题例题4(p46，例题例题7)632.3最小多项式最小多项式(minimalpolynomials)讨论讨论n阶矩阵多项式的相关问题：阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式

54、（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（CayleyCayley定理）定理）定理）定理）最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式Jordan标准形的应用标准形的应用相似不变性相似不变性相似不变性相似不变性JordanJordan化的方法化的方法化的方法化的方法64一、矩阵多项式一、矩阵多项式1.定义定义2.性质（性质（定理定理定理定理2 . 72 . 7）AX = AX = 0 0 X X g(A)X= g(g(A)X= g( 0 0 ) )X XP P -1-1 AP =B AP =B P P -1

55、-1 g(A)P= g(B) g(A)P= g(B) 653矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式矩阵多项式 g(A ) g(A ) 的计算的计算的计算的计算方法：方法：方法：方法：mrgg（J J）的结构特点：的结构特点：的结构特点：的结构特点： 由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元素生成由第一行的元素生成Jordan块块66例题例题1设设对对P38，eg3中的矩阵中的矩阵A，计算计算g（A）。）。解解67二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式( (AnnihilatingpolynomialsofMatrices)AnnihilatingpolynomialsofMatrices)问

56、题：问题：问题：问题：A A F Fnn， A A 0 0，是否存在非零多项式是否存在非零多项式是否存在非零多项式是否存在非零多项式g g（ ），），），），使使使使 得得得得 g g( ( A A ) )=0=0？1.化零多项式化零多项式化零多项式化零多项式（P P. .5252） 如果如果如果如果 g g( (A A) )=0=0，则则则则g g( ( ) )被称为被称为被称为被称为矩阵矩阵A的的化零多项式。化零多项式。化零多项式。化零多项式。要点：要点： 矩阵矩阵矩阵矩阵A A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零

57、多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。 g g（ A A ）=0=0的决定因素。的决定因素。的决定因素。的决定因素。 存在性问题。存在性问题。存在性问题。存在性问题。Cayley-Hamilton Cayley-Hamilton 定理定理定理定理（P P. .5252， 定理、定理、定理、定理、2 2 . . 7 7）： 1. 1. A A F Fn nnn，f f ( ( ) )=det=det( ( I I A A) )，则则则则f f ( ( A A ) )=0=0。Cayley Cayley 定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例：定理的应用举例： 使使使使A Akk

58、( ( k k n n) )降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过降阶至不超过n-1n-1次的多项式。次的多项式。次的多项式。次的多项式。 f f（ 0 0） 0 0，则则则则A A的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换对线性变换对线性变换对线性变换T T，f f ( ( T T) )=0=0，即即即即f f（ T T ）为零变换。为零变换。为零变换。为零变换。 68三、最小多项式三、最小多项式1定义定义（P.54P.54， 定义定义定义定义2 2 . . 5 5）mmA A（ ）是最小多项式是最小多项式是最小多项式是

59、最小多项式mmA A（ A A）=0=0mmA A（ ）在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。mmA A（ ）最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是最高次项系数是1 1。mmA A（ ）整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式整除任何化零多项式2mA（ ）的结构：的结构：设设f f（ ）= IAIA = =定理定理定理定理2 2.8 .8：mmA A（ ）= =定理定理定理定理2 2.9 .9：mmA A（ ）= =是是是是 i i对应的对应的对应的对应的JordanJordan块的指数。块的指数。块的指数。块的指数。

60、P.54P.54693变换对角矩阵表示的条件变换对角矩阵表示的条件定理定理2.10：线性变换线性变换T可以对角化的充要条可以对角化的充要条件是件是T的最小多项式是一次因子的乘积。的最小多项式是一次因子的乘积。例题例题1（P.56， eg10）例题例题2设设A R44，mA（ ) )=求矩阵求矩阵A的所有可能的的所有可能的Jordan矩阵。矩阵。例题例题例题例题3 3 设设设设 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明的化零多项式，证明A A可以相似于对角矩可以相似于对角矩可以相似于对角矩可以相似于对角矩阵。阵。阵。阵。70相似问题中的一些矩阵结果相似

61、问题中的一些矩阵结果1. 幂等矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（幂等矩阵（idempotentidempotent）：）：）：）：AA2 2=A=A幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotentnilpotent）：）：）：）： A 0， k k为正整数，为正整数，为正整数，为正整数，A Ak k=0=0乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（乘方矩阵（involutaryinvolutary）：）：）：）：AA2 2= I IA A为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是A A的特征值都是零。的特

62、征值都是零。的特征值都是零。的特征值都是零。A A为为为为乘方乘方乘方乘方矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵AA为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵712(p47，例题例题8)设设A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A和和AT相似。相似。证明思想：证明思想：证明证明证明证明A A和和和和A ATT相似相似相似相似证明证明证明证明 JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A和和和和J JA AT T相似相似相似相

63、似证明证明证明证明J JA A和和和和J JA AT T的的的的JordanJordan块块块块J J和和和和J JT T相似。相似。相似。相似。证明方法：证明方法：取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵S S，证明：证明：证明：证明：SJ=JSJ=JT TS S（backwardidentity）723、矩阵矩阵A，AT， A和和AHA设设A为为n阶方阵，则下列结果成立：阶方阵，则下列结果成立：1.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AT2.矩阵矩阵A相似于矩阵相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的的非实数特征值对应的Jordan块块以共以共轭对出现。

64、轭对出现。3.矩阵矩阵AHA相似于矩阵相似于矩阵AAH734. 设矩阵设矩阵A Fmn，矩阵，矩阵B Fnm，则，则AB和和BA的非零特征值相同。的非零特征值相同。讨论：讨论：若若A、B都是方阵，都是方阵，1.AB和和BA的特征多项式是否相同？的特征多项式是否相同？2.AB和和BA的最小多项式是否相同？的最小多项式是否相同？3.AB和和BA是否相似？是否相似？74第第1章习题选讲章习题选讲要点：要点：线性空间的表示形式：线性空间的表示形式：集合表示形式：集合表示形式：集合表示形式：集合表示形式：V Vn n（F F）= = 满足的性质满足的性质满足的性质满足的性质向量生成形式：向量生成形式：向

65、量生成形式：向量生成形式：LL 1 1， 2 2， mm 子空间类型：子空间类型：LL 1 1， 2 2， mm WW1 1WW2 2矩阵矩阵矩阵矩阵A A F F mn mn，两个子空间两个子空间两个子空间两个子空间不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间线性变换：线性变换：1. 1.线性变换的表示线性变换的表示线性变换的表示线性变换的表示2. 2.线性变换的数量关系线性变换的数量关系线性变换的数量关系线性变换的数量关系3. 3.重要的线性变换重要的线性变换重要的线性变换重要的线性变换75第第3章、章、矩阵的分解矩阵的分解MatrixFactorizationandDecomposition

66、76矩阵分解的概述矩阵分解的概述矩阵的分解：矩阵的分解：A=AA=A1 1+A+A2 2+ +A Akk矩阵的和矩阵的和矩阵的和矩阵的和A=AA=A1 1A A2 2AAmm矩阵的乘积矩阵的乘积矩阵的乘积矩阵的乘积矩阵分解的原则：矩阵分解的原则：实际应用的需要实际应用的需要实际应用的需要实际应用的需要理论上的需要理论上的需要理论上的需要理论上的需要计算上的需要计算上的需要计算上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性显示原矩阵的某些特性显示原矩阵的某些特性显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一矩阵化简的方法之一矩阵化简的方法之一矩阵化简的方法之一主要技巧：主要技巧：各种标准形的理论和计算方法各种

67、标准形的理论和计算方法各种标准形的理论和计算方法各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块矩阵的分块矩阵的分块矩阵的分块773.1常见的矩阵标准形与分解常见的矩阵标准形与分解常见的标准形常见的标准形等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形合同标准形合同标准形合同标准形合同标准形本节分解：本节分解：三角分解三角分解三角分解三角分解满秩分解满秩分解满秩分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解可对角化矩阵的谱分解可对角化矩阵的谱分解可对角化矩阵的谱分解A AT T=A=A相似标准形相似标准形相似标准形相似标准形等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形78一、矩阵的三角分解一

68、、矩阵的三角分解方阵的方阵的LU和和LDV分解分解（P.61.61）LULU分解：分解：分解：分解：A A F Fn n n n， 存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵存在下三角形矩阵L L ，上三角形矩阵上三角形矩阵上三角形矩阵上三角形矩阵U U ，使得使得使得使得A=LUA=LU。LDVLDV分解分解分解分解：A A F Fn n n n，LL、V V分别是主对角分别是主对角分别是主对角分别是主对角线元素为线元素为线元素为线元素为1 1的下三角形和上三角形矩阵，的下三角形和上三角形矩阵，的下三角形和上三角形矩阵，的下三角形和上三角形矩阵，D D为为为为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对

69、角矩阵，使得使得使得使得A=LDVA=LDV。已知的方法已知的方法已知的方法已知的方法：Gauss-Gauss-消元法消元法消元法消元法例题例题例题例题1 1（P.61eg1P.61eg1）设设设设 求求求求A A的的的的LULU和和和和LDVLDV分解。分解。分解。分解。结论结论结论结论：如果矩阵：如果矩阵：如果矩阵：如果矩阵A A能用两行互换以外的能用两行互换以外的能用两行互换以外的能用两行互换以外的 初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换化为阶梯形，则化为阶梯形，则化为阶梯形，则化为阶梯形，则A A有有有有LULU分解。分解。分解。分解。79三角分解的存在性和惟一性三角分解的存在性和惟

70、一性定理定理定理定理3.13.1 （P.62P.62） ： 矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的kk阶主子式阶主子式阶主子式阶主子式：取矩阵的前取矩阵的前取矩阵的前取矩阵的前k k行、前行、前行、前行、前k k列得到列得到列得到列得到的行列式，的行列式，的行列式，的行列式，k=1k=1，2 2，n n。 定理定理定理定理: :A A F Fn n n n有惟一有惟一有惟一有惟一LDVLDV分解的充要条件是分解的充要条件是分解的充要条件是分解的充要条件是A A的的的的顺序主子式顺序主子式顺序主子式顺序主子式A Ak k非零，非零，非零，非零，k k =1=1，2 2，n-1n-1。 证明过程给出了证明过程给

71、出了证明过程给出了证明过程给出了LDVLDV分解的一种算法。分解的一种算法。分解的一种算法。分解的一种算法。 定理定理定理定理3 3.2 .2（P P.64.64）设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A Fn n ，rankrank（A A）=k=k（ n n），），），），如果如果如果如果A A的的的的j j阶顺序主子式不等于阶顺序主子式不等于阶顺序主子式不等于阶顺序主子式不等于0 0， j j =1=1，2 2，k,k,则则则则 A A有有有有LULU分解。分解。分解。分解。 定理条件的讨论定理条件的讨论定理条件的讨论定理条件的讨论 例题例题例题例题2 2 （P.65.65 eg2eg2） LULU分

72、解的应用举例分解的应用举例分解的应用举例分解的应用举例80二、矩阵的满秩分解二、矩阵的满秩分解定义定义定义定义3.23.2 （P.66.66 ）对秩为对秩为对秩为对秩为r r的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵A A F Fmm nn，如果存在秩为，如果存在秩为，如果存在秩为，如果存在秩为r r的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 BB F Fmm r r，C C F Fr r n n ，则则则则A=BCA=BC为为为为AA的满秩分解。的满秩分解。的满秩分解。的满秩分解。实用方法：方法实用方法：方法实用方法：方法实用方法：方法3 3例题例题例题例题2 2 （ P.69P.69，eg5eg5）列列满满秩秩行满秩行满秩定

73、理定理定理定理3 3.2 .2：任何非零矩阵任何非零矩阵任何非零矩阵任何非零矩阵A A F Fmm n n都有满秩分都有满秩分都有满秩分都有满秩分解。解。解。解。满秩分解的求法：满秩分解的求法：满秩分解的求法：满秩分解的求法：方法方法方法方法1 1：方法方法方法方法2 2例题例题例题例题1 1（ P P.68.68， eg4eg4 ）w w方法方法方法方法3 3例题例题例题例题3 3（ P.70P.70，eg6eg6）81三、可对角化矩阵的谱分解三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设谱：设谱：设谱：设A A F Fn n nn， 则则则则A A的

74、谱的谱的谱的谱= 1 1， 2 2， s s 。，P P具性质具性质具性质具性质：1.可对角矩阵的谱分解可对角矩阵的谱分解分解分析：分解分析：分解分析：分解分析：分解结果：分解结果：分解结果：分解结果：幂等矩幂等矩阵阵意义意义意义意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和822、矩阵可以对角化的一个充要条件矩阵可以对角化的一个充要条件定理定理3.5（P.73 ）矩阵矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱有谱分

75、解分解，满足条件：，满足条件：，满足条件：，满足条件：充分性的证明充分性的证明充分性的证明充分性的证明：在在在在A A有谱分解时有谱分解时有谱分解时有谱分解时C Cn n=V=V 1 1 VV 22 VV n n833. 幂等矩阵的性质幂等矩阵的性质定理定理3.4（P.72）P Fn n ，P2=P，则矩阵矩阵矩阵矩阵P PHH和矩阵（和矩阵（和矩阵（和矩阵（IPIP）仍然是幂等矩阵。仍然是幂等矩阵。仍然是幂等矩阵。仍然是幂等矩阵。PP的谱的谱的谱的谱 00，11，PP可相似于对角形。可相似于对角形。可相似于对角形。可相似于对角形。 F Fnn=N=N（P P） R R（P P）NN（P P）

76、=V=V =0=0 ，R R（P P）=V=V =1=1 P P和（和（和（和（IPIP）的关系的关系的关系的关系NN（IPIP）=R=R（P P），），），），R R（IPIP）=N=N（P P）Hermite矩阵的谱分解矩阵的谱分解定理定理3.6（P.73）设设设设A A是秩为是秩为是秩为是秩为k k的半正定的的半正定的的半正定的的半正定的HermiteHermite矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A可以分解为下列半正定矩阵的和。可以分解为下列半正定矩阵的和。可以分解为下列半正定矩阵的和。可以分解为下列半正定矩阵的和。A=A=v v1v v1HH+v+v2v v2HH+v+vkv vk

77、HH843.2Schur分解和正规矩阵分解和正规矩阵已知已知已知已知：欧氏空间中的对称矩阵欧氏空间中的对称矩阵欧氏空间中的对称矩阵欧氏空间中的对称矩阵A A可以正交可以正交可以正交可以正交相似于对角形。相似于对角形。相似于对角形。相似于对角形。讨论讨论讨论讨论：一般方阵一般方阵一般方阵一般方阵A A ，在什么条件下可以，在什么条件下可以，在什么条件下可以，在什么条件下可以酉相似于对角矩阵？酉相似于对角矩阵？酉相似于对角矩阵？酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题在内积空间中讨论问题在内积空间中讨论问题在内积空间中讨论问题，涉及：，涉及：，涉及：，涉及：空间空间空间空间 C Cn n、CCn n

78、 n n，酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U，U UHHU=IU=I，UU 11=U=UHH酉相似：酉相似：酉相似：酉相似： U UHHAU=JAU=JUU 11AU=JAU=J重点重点重点重点：理论结果理论结果理论结果理论结果85一、一、Schur分解分解1、可逆矩阵的可逆矩阵的可逆矩阵的可逆矩阵的URUR分解分解分解分解 定理定理定理定理3 3.7 .7（P.74P.74）A A C Cn n n n为可逆矩阵，则存在酉为可逆矩阵，则存在酉为可逆矩阵，则存在酉为可逆矩阵，则存在酉矩阵矩阵矩阵矩阵U U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵和主对角线上元素皆正的上三角矩阵和主对角线上元素皆正的上三角矩

79、阵和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R R，使得使得使得使得A=URA=UR。（。（。（。（ 称称称称A=URA=UR为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A A的酉分解的酉分解的酉分解的酉分解）证明证明证明证明：源于：源于：源于：源于SchmidtSchmidt正交化方法。正交化方法。正交化方法。正交化方法。例题例题例题例题11求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵A A的的的的URUR分解，其中分解，其中分解，其中分解，其中定理定理定理定理3 3. .8 8（P.76P.76） ：设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A C Cmm n n是列满秩的矩阵，是列满秩的矩阵，是列满秩的矩阵，是列满秩的矩阵，则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵A

80、 A可以分解为可以分解为可以分解为可以分解为A=QRA=QR，其中其中其中其中QQ C Cmm n n的列向量是标的列向量是标的列向量是标的列向量是标准正交的向量组，准正交的向量组，准正交的向量组，准正交的向量组，RR C Cn n n n是主对角线上元素为正数的上是主对角线上元素为正数的上是主对角线上元素为正数的上是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。三角形矩阵。三角形矩阵。三角形矩阵。QRQR分解分解分解分解862、Schur分解分解定理定理3.7（P.74 ）对矩阵对矩阵A Cn n，存在酉存在酉矩阵矩阵U和上三角矩阵和上三角矩阵T，使得使得UHAU=T=证明要点：证明要点：A=PJAP

81、1，P=URA=PJAP1=U（RJR1）UH=UTUH。87二、正规矩阵（二、正规矩阵（NormalMatrices）1、定义定义3.3（P.77P.77 ）A是正规矩阵是正规矩阵AHA=AAH。常见的正规矩阵：常见的正规矩阵：对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵对称和反对称矩阵：对称和反对称矩阵：对称和反对称矩阵：对称和反对称矩阵：A AT T=A=A，A AT T= = A A。HermiteHermite矩阵和反矩阵和反矩阵和反矩阵和反HermiteHermite矩阵：矩阵：矩阵：矩阵：A AHH=A=A，A AHH= =AA正交矩阵和酉矩阵：正交矩阵和酉矩阵：正交矩阵和酉矩阵：正交矩阵和

82、酉矩阵：A AT TA=AAA=AAT T=I=I，A AHHA=AAA=AAHH=I=I。例题例题例题例题1 1 （P.78.78，eg 10eg 10）设设设设A A为正规矩阵，为正规矩阵，为正规矩阵，为正规矩阵，B B酉相似于酉相似于酉相似于酉相似于A A，证明证明证明证明B B也是正规矩阵。也是正规矩阵。也是正规矩阵。也是正规矩阵。正规是酉相似的不变性质正规是酉相似的不变性质正规是酉相似的不变性质正规是酉相似的不变性质例题例题例题例题2 2、 A A F Fmm n n，矩阵，矩阵，矩阵，矩阵A AHHAA和矩阵和矩阵和矩阵和矩阵AAAAHH是正规矩阵。是正规矩阵。是正规矩阵。是正规矩

83、阵。882、正规矩阵的基本特性、正规矩阵的基本特性定理定理3.10（P.78 ）：A Cn n正规A酉相似于对角形。酉相似于对角形。推论推论推论推论：正规：正规：正规：正规A A C Cn n n nA A有有有有n n个标准正交的特征个标准正交的特征个标准正交的特征个标准正交的特征向量构成空间向量构成空间向量构成空间向量构成空间C Cnn的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。定理定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解）（正规矩阵的谱分解）A正规正规A有如下谱分解：有如下谱分解：HermiteHermite性性893、正规性质的应用举例、正规性质的应用举例例题例题1（P

84、.79 ，eg12）例题例题2设设A Rn n，AT=A，证明证明1.A A的特征值是零和纯虚数。的特征值是零和纯虚数。的特征值是零和纯虚数。的特征值是零和纯虚数。2.矩阵矩阵矩阵矩阵A A的秩是偶数。的秩是偶数。的秩是偶数。的秩是偶数。903 3矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解Singularvaluedecomposition(SVD)913 3矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解概述概述：矩阵的奇异值分解是矩阵的奇异值分解是矩阵的奇异值分解是矩阵的奇异值分解是酉等价型酉等价型酉等价型酉等价型的分解的分解的分解的分解: :A A CCmnmn， 酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U CCmmmm,V

85、,V CCnn,nn,使得使得使得使得A=UA=U V VHH。矩阵矩阵矩阵矩阵A A等价于等价于等价于等价于 =w奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题关的问题关的问题关的问题 wA A的奇异值分解依赖于正规矩阵的奇异值分解依赖于正规矩阵的奇异值分解依赖于正规矩阵的奇异值分解依赖于正规矩阵AAHHA A 的酉相似的酉相似的酉相似的酉相似分解的。分解的。分解的。分解的。92一、矩阵一、矩阵A的奇异值及其性质的奇异值及其性质1、矩阵矩阵AHA和和AAH的性质：的性质：

86、A A CCmnmn，A AHHA A CCnnnn，AAAAHH CCmmmm，都都都都是是是是HermiteHermite矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。定理定理定理定理3 3 1212（P82）1. 1.秩（秩（秩（秩（A A）秩（）秩（）秩（）秩（A AHHA A）= =秩（秩（秩（秩（AAAAHH）。）。）。）。2. 2.A AHHAA和和和和AAAAHH的非零特征值相等。的非零特征值相等。的非零特征值相等。的非零特征值相等。3. 3.A AHHA A和和和和AAAAHH是半正定矩阵。是半正定矩阵。是半正定矩阵。是半正定矩阵。A AHHA A和和和和AAAAHH的特征值是非负实数：的特征值是

87、非负实数：的特征值是非负实数：的特征值是非负实数： 11 2 2 n n2 2、奇异值的定义：、奇异值的定义：、奇异值的定义：、奇异值的定义： （P P 7272）A A CCmnmn，秩（秩（秩（秩（A A）= =r r，设设设设A AHHA A的特征值的特征值的特征值的特征值 11 2 2 r r 0 0， r+1r+1= r+2r+2= = n n=0=0 ，则矩阵的奇异，则矩阵的奇异，则矩阵的奇异，则矩阵的奇异值值值值933、特殊矩阵的奇异值：、特殊矩阵的奇异值：定理定理3 13（P 82）：）：正规矩阵正规矩阵正规矩阵正规矩阵A A的奇异值等于的奇异值等于的奇异值等于的奇异值等于A

88、A的特征值的模长。的特征值的模长。的特征值的模长。的特征值的模长。正定的正定的正定的正定的HermiteHermite矩阵矩阵矩阵矩阵A A的奇异值就是的奇异值就是的奇异值就是的奇异值就是A A的特征值。的特征值。的特征值。的特征值。酉等价矩阵的奇异值相等。酉等价矩阵的奇异值相等。酉等价矩阵的奇异值相等。酉等价矩阵的奇异值相等。A A和和和和B B酉等价，则酉等价，则酉等价，则酉等价，则A AHHA A和和和和B BHHB B酉相似。酉相似。酉相似。酉相似。奇异值是酉等价的不变性质。奇异值是酉等价的不变性质。奇异值是酉等价的不变性质。奇异值是酉等价的不变性质。94二、矩阵的奇异值分解二、矩阵的

89、奇异值分解1、定理、定理3 14（P83）任何矩阵任何矩阵任何矩阵任何矩阵A A CCmnmn，秩（，秩（，秩（，秩（A A）= =r r，则存在酉矩则存在酉矩则存在酉矩则存在酉矩阵阵阵阵 U U CCmmmm，V V CCnnnn，使得使得使得使得证明思想：证明思想：证明思想：证明思想：A AHHA A正规，正规，正规，正规，V VHHA AHHAV=AV=，酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵V V。令令令令，i i=1=1，2 2，r r，得得得得U U1 1=u=u1，u u2， ，u ur 扩充为标准正交基扩充为标准正交基扩充为标准正交基扩充为标准正交基 酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U。95例题

90、例题1求矩阵求矩阵A的奇异值分解，的奇异值分解，A=。例题例题2（P84，eg13）求矩阵求矩阵A的奇异值分解，的奇异值分解，A=962、矩阵、矩阵U，V的空间性质的空间性质：V=vV=v1 1，v v2 2，v vr r ， ，v v n n=V=V11V V2 2 CCn n n n的列向的列向的列向的列向量是空间量是空间量是空间量是空间CCn n的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。V V2 2的列向量是空间的列向量是空间的列向量是空间的列向量是空间N N（A A）的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。V V1 1的列向量是空间的列向量是空间的列向量是

91、空间的列向量是空间 NN （A A） 的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。U=uU=u1 1，u u2 2，u ur r ， ，u u mm=U=U11U U2 2 CCmm mm的列的列的列的列向量是空间向量是空间向量是空间向量是空间CCmm的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。U U11的列向量是的列向量是的列向量是的列向量是R R（A A）的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。U U2 2的列向量是的列向量是的列向量是的列向量是RR （A A）的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。的标准正交基。3 3、奇异值分解的展开形式及其应

92、用、奇异值分解的展开形式及其应用、奇异值分解的展开形式及其应用、奇异值分解的展开形式及其应用定理定理定理定理3 31515（ P87）左奇异向量左奇异向量左奇异向量左奇异向量右奇异向量右奇异向量右奇异向量右奇异向量97例题例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。

93、转换的原理是将图形分解成象素（转换的原理是将图形分解成象素（转换的原理是将图形分解成象素（转换的原理是将图形分解成象素（pixelspixels）的一的一的一的一个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵A=A=（a a ij ij）mnmn来存储。矩阵来存储。矩阵来存储。矩阵来存储。矩阵A A的元素的元素的元素的元素a a ij ij是一个正是一个正是一个正是一个正的数，它相应于象素的灰度水平（的数，它相应于象素的灰度水平（的数，它相应于象素的灰度水平（的数，它相应于象素的灰

94、度水平（graylevelgraylevel） 的度量值。的度量值。的度量值。的度量值。由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的条件下，将存储一个条件下，将存储一个条件下，将存储一个条件下，将存储一个mnmn阶矩阵需要存储的阶矩阵需要存储的阶矩阵需要存储的阶矩阵需要存储的mnmn个数减少到个数减少到个数减少到个数减少到

95、n+m+1n+m+1的一个倍数。的一个倍数。的一个倍数。的一个倍数。98压压压压缩缩缩缩数数数数字字字字化化化化图图图图形形形形存存存存储储储储量量量量的的的的方方方方法法法法主主主主要要要要是是是是应应应应用用用用矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的奇奇奇奇异异异异值值值值分分分分解解解解和和和和矩矩矩矩阵阵阵阵范范范范数数数数下下下下的的的的逼逼逼逼近近近近。如如如如果果果果图图图图象象象象的的的的数数数数字矩阵字矩阵字矩阵字矩阵A A的奇异值分解为：的奇异值分解为：的奇异值分解为：的奇异值分解为：A=UA=U V VT T， 其展开式：其展开式：其展开式：其展开式：压缩矩阵压缩矩阵压缩矩阵压缩矩阵A

96、 A的方法是取一个秩为的方法是取一个秩为的方法是取一个秩为的方法是取一个秩为kk（k k r r）的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵A Ak k来逼近来逼近来逼近来逼近 矩阵矩阵矩阵矩阵A A。A Ak k按如下方法选取：按如下方法选取：按如下方法选取：按如下方法选取：有有有有在在在在秩秩秩秩为为为为kk（k k n n）的的的的所所所所有有有有矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中，矩矩矩矩阵阵阵阵A Ak k所所所所对对对对应应应应的的的的图图图图象象象象和和和和矩矩矩矩阵阵阵阵A A所所所所对对对对应应应应的的的的图图图图象象象象最最最最相相相相近近近近。一一一一般般般般的的的的，k k越越越越大大大大图图图图

97、象象象象就就就就越越越越清清清清晰晰晰晰。经经经经典典典典的的的的方方方方法法法法是是是是选选选选取取取取接接接接近近近近k k，使使使使A Ak k 的的的的存存存存储储储储量量量量比比比比A A的的的的存存存存储储储储量量量量减减减减少少少少20%20%。 99存储矩阵存储矩阵存储矩阵存储矩阵A Ak k只需要存储只需要存储只需要存储只需要存储k k个奇异值，个奇异值，个奇异值，个奇异值，k k个个个个mm维向维向维向维向量量量量u ui i和和和和n n维向量维向量维向量维向量v vj j的所有分量，共计的所有分量，共计的所有分量，共计的所有分量，共计k k（m+n+1m+n+1）个元素

98、。个元素。个元素。个元素。如果如果如果如果m=n=1000m=n=1000，存储原矩阵存储原矩阵存储原矩阵存储原矩阵A A需要存储需要存储需要存储需要存储1000100010001000个元素。取个元素。取个元素。取个元素。取k=100k=100时，图象已经非常时，图象已经非常时，图象已经非常时，图象已经非常清晰了，这时的存储量是清晰了，这时的存储量是清晰了，这时的存储量是清晰了，这时的存储量是100100（2000+12000+1）=200100=200100个数。个数。个数。个数。和矩阵和矩阵和矩阵和矩阵A A比较，存储量减少了比较，存储量减少了比较，存储量减少了比较，存储量减少了80%8

99、0%。100三、矩阵的奇异值分解和线性变换三、矩阵的奇异值分解和线性变换TA矩阵矩阵A Cmn可以定义线性变换可以定义线性变换TA：CnCm设矩阵的奇异值分解设矩阵的奇异值分解A=U VH，则将，则将U和和V的列分别取做空间的列分别取做空间Cm、Cn的基，则变换的基，则变换TA的矩阵为的矩阵为 :=VX Cm,则则TAX=(U VH)VX=U( X)=U变换变换TA在单位球上的象：在单位球上的象：定理定理316（P88）101四、矩阵的极分解（四、矩阵的极分解（PolarDecompositionPolarDecomposition）方阵的极分解方阵的极分解设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A CC

100、nnnn，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵A A的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解的奇异值分解: :A=UA=U V VHH=U=U （UUHHUU）V VHH=（UU UUHH ）UVUVHH=PQ=PQP P是半正定的是半正定的是半正定的是半正定的HermiteHermite矩阵，矩阵，矩阵，矩阵，P P相似于相似于相似于相似于 。QQ是酉矩阵是酉矩阵是酉矩阵是酉矩阵定理定理317（P89）方阵极分解的意义和应用方阵极分解的意义和应用描述变换描述变换描述变换描述变换Y=AXY=AX的拉伸和扭曲的拉伸和扭曲的拉伸和扭曲的拉伸和扭曲102例题例题例题例题1 1（ P90） 求矩阵求矩阵求矩阵求

101、矩阵A=A=的极的极的极的极分解，分解，分解，分解，依此讨论变换依此讨论变换依此讨论变换依此讨论变换Y=AXY=AX的几何特性。的几何特性。的几何特性。的几何特性。解解解解103第第4章章矩阵的广义逆矩阵的广义逆ThePseudoinverse104矩阵的广义逆矩阵的广义逆概述概述：矩阵的逆：矩阵的逆：AAn n n n ， BBn n n n ，BA=AB=I,BA=AB=I,则则则则B=AB=A11广义逆的目标：广义逆的目标：逆的推广逆的推广对一般的矩阵对一般的矩阵对一般的矩阵对一般的矩阵AAmm n n可建立部分逆的性质。可建立部分逆的性质。可建立部分逆的性质。可建立部分逆的性质。当矩阵

102、当矩阵当矩阵当矩阵AAn n n n可逆时，广义逆与逆相一致。可逆时，广义逆与逆相一致。可逆时，广义逆与逆相一致。可逆时，广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组可以用广义逆作求解方程组可以用广义逆作求解方程组可以用广义逆作求解方程组AX=bAX=b的理论分析。的理论分析。的理论分析。的理论分析。1054.1矩阵的左逆与右逆矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆一、满秩矩阵和单侧逆1、左逆和右逆的定义、左逆和右逆的定义定义定义4.1(P . 93)AA CCmm n n， BB CCnn mm，BA=IBA=In n，则称矩则称矩则称矩则称矩阵阵阵阵BB为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵AA的的的的左左

103、左左逆，记为逆，记为逆，记为逆，记为 B=B=。例题例题1矩阵矩阵A的左逆的左逆A=。AA CCmm n n ， CC CCnn mm ，AC=IAC=Imm，则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵CC为为为为矩阵矩阵矩阵矩阵AA的的的的右右右右逆，记为逆，记为逆，记为逆，记为 C=C=。1062、左逆和右逆存在的条件、左逆和右逆存在的条件的存在性的存在性直观分析直观分析直观分析直观分析存在存在矩阵矩阵A A列满秩列满秩=（A AHA A）1A AH定理定理定理定理4 4.1.1(P . 93)设设设设AA CCmm n n ，下列条件等价，下列条件等价，下列条件等价，下列条件等价1.A A左可逆左

104、可逆左可逆左可逆2.A A的零空间的零空间的零空间的零空间N N（A A）=0=0。3.mm n n，秩（秩（秩（秩（A A）=n=n，即矩阵即矩阵即矩阵即矩阵A A是列满秩的。是列满秩的。是列满秩的。是列满秩的。4.矩阵矩阵矩阵矩阵A AHHAA可逆。可逆。可逆。可逆。例题例题例题例题2 2求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵A=A=的左逆。的左逆。的左逆。的左逆。107矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性矩阵右逆的存在性定理定理定理定理4.24.2 ( (P P . . 9494) )AA CCmm n n ，则下列条件等价：则下列条件等价：则下列条件等价：则下列条件等价：1. 1.矩阵矩

105、阵矩阵矩阵A A右可逆。右可逆。右可逆。右可逆。2. 2.A A的列空间的列空间的列空间的列空间R R（A A）=C=Cmm3. 3.nn mm ，秩（秩（秩（秩（A A）=m=m，A A是行满秩的。是行满秩的。是行满秩的。是行满秩的。4. 4.矩阵矩阵矩阵矩阵AAAAHH可逆可逆可逆可逆=A AH H（AAAAH H） 1 1讨论：可逆矩阵讨论：可逆矩阵讨论：可逆矩阵讨论：可逆矩阵A Ann n n的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系的左、右逆和逆的关系可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵A A的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵的左、右逆就是矩阵A A

106、的逆的逆的逆的逆A AAA 1 1= =（A AHHA A） 1 1A AHH=A AH H（AAAAH H） 1 1108二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论讨论AX=bAX=b有解与左、右逆存在的关系。有解与左、右逆存在的关系。有解与左、右逆存在的关系。有解与左、右逆存在的关系。借助于左、右逆求借助于左、右逆求借助于左、右逆求借助于左、右逆求AX=bAX=b的形如的形如的形如的形如X=BbX=Bb的解。的解。的解。的解。1、右可逆矩阵、右可逆矩阵定理定理定理定理4 4 4 4 (P . 95)1.AA CCmm n n右可逆，则右可逆，则右可逆，则右可逆，则 b

107、 b C Cmm，AX=bAX=b有解。有解。有解。有解。2.X=bX=b是方程组是方程组是方程组是方程组AX=bAX=b的解。的解。的解。的解。109二、单侧逆和求解线性方程组二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2 2、左可逆矩阵、左可逆矩阵、左可逆矩阵、左可逆矩阵求解分析：求解分析：求解分析：求解分析：定理定理定理定理4 4 3 3 ( (P P . . 9494) )设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵AA CCmm n n左可逆，左可逆，左可逆，左可逆，B B是矩是矩是矩是矩阵阵阵阵A A的任何一个左逆，则的任何一个左逆，则的任何一个左逆，则的任何一个左逆，则1. 1.AX=bAX=b有形如有形如有

108、形如有形如X=BbX=Bb的解的充要条件是的解的充要条件是的解的充要条件是的解的充要条件是( ( I Imm ABAB ) )b=0b=0()()2. 2.当当当当()()式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=X=（A AH HA A） 1 1A AH Hbb证明：证明：证明：证明：讨论讨论讨论讨论：对任何满足式对任何满足式对任何满足式对任何满足式( ( ) ) 的左逆的左逆的左逆的左逆B B，X=BbX=Bb都是方程组的都是方程组的都是方程组的都是方程组的 解

109、，如何解释方程组的解是惟一的？解，如何解释方程组的解是惟一的？解，如何解释方程组的解是惟一的？解，如何解释方程组的解是惟一的？1104.2广义逆矩阵广义逆矩阵思想思想：用公理来定义广义逆。用公理来定义广义逆。一、减号广义逆一、减号广义逆定义定义定义定义4 4. .2 2 (P . 95) AA CCmm n n ，如果，如果，如果，如果， GG CCnn mm使使使使得，得，得，得，AGA=AAGA=A，则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵GG为的为的为的为的A A减号广义逆。或减号广义逆。或减号广义逆。或减号广义逆。或11逆。逆。逆。逆。A A的减号逆集合的减号逆集合的减号逆集合的减号逆集合A1=AA1

110、=A1 111，A A2 211， ，AAk k11 例题例题例题例题11AA CCn n n n可逆，则可逆，则可逆，则可逆，则A A11 A1A1；A A单侧可逆，则单侧可逆，则单侧可逆，则单侧可逆，则AA11L L A1A1；A A11R R A1A1。减号逆的求法：减号逆的求法：减号逆的求法：减号逆的求法：定理定理定理定理4.54.5（P . 95P . 95）减号逆的性质：减号逆的性质：减号逆的性质：减号逆的性质：定理定理定理定理4.64.6 (P . 96)111二、二、Moore-Penrose（M-P）广义逆广义逆由由由由Moore1920Moore1920年提出，年提出，年提

111、出，年提出，19551955年由年由年由年由PenrosePenrose发发发发展。展。展。展。1 1、 定义定义定义定义4.34.3(P . 98)设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵AA CCmm n n ，如果，如果，如果，如果 GG CCnn mm，使得，使得，使得，使得1. 1.AGA=AAGA=A2. 2.GAG=GGAG=G3. 3.（AGAG）HH=AG=AG4. 4.（GAGA）HH=GA=GA则称则称则称则称GG为为为为A A的的的的M-PM-P广义逆，记为广义逆，记为广义逆，记为广义逆，记为G=G=A A+ +。A A11=A=A+ + ；AA11LL=（A AHHA A）11A A

112、HH=A=A+ +；AA11R R=A=AHH（AAAAHH）11=A=A+ + ； 若若若若 AA+ + ，则则则则AA+ + 是是是是 A1A1。例题例题例题例题2 2 讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和讨论原有的逆的概念和M-PM-P广义逆的关系。广义逆的关系。广义逆的关系。广义逆的关系。1123、M-PM-P广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法广义逆的存在性及其求法定理定理定理定理4.84.8（P . 99P . 99）任何矩阵都有任何矩阵都有任何矩阵都有任何矩阵都有M-PM-P广义逆。广义逆。广义逆。广义逆。求法求法求法求法：

113、设设设设A A满秩分解满秩分解满秩分解满秩分解A=BCA=BC，则则则则AA+ + =C=CHH（CCCCHH ）11（B BHHB B）11B BHH。 （定理定理定理定理4.94.9）设）设）设）设A A奇异值分解奇异值分解奇异值分解奇异值分解 ：，则，则，则，则2、M-P广义逆的惟一性广义逆的惟一性定理定理定理定理4 4.9.9(P . 98)如果如果如果如果A A有有有有M-PM-P广义逆，则广义逆，则广义逆，则广义逆，则A A的的的的M-PM-P广义逆是惟一的。广义逆是惟一的。广义逆是惟一的。广义逆是惟一的。113例题例题1求下列特殊矩阵的广义逆；求下列特殊矩阵的广义逆； 零矩阵零矩

114、阵零矩阵零矩阵0 0；1 1阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵( (数数数数) )a a；对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵 例题例题例题例题3 3 设设设设，求求求求A A+ +。0 0+ + mnmn =0=0nmnm 例题例题2设向量设向量的的M-P广义逆。广义逆。.1144、M-P广义逆的性质广义逆的性质定理定理定理定理4.124.12(P . 100) ：则：则：则：则A A满足下列性质：满足下列性质：满足下列性质：满足下列性质：1. 1.（AA+ + ）+ +=A=A2. 2.（AA+ + ） HH= =（AAHH ）+ +3. 3.（ A A）= + +A A+ +4. 4.A A列满秩，则

115、列满秩，则列满秩，则列满秩，则A A+ += =（AAHHAA） 1AAHH ，A A行满秩，则行满秩，则行满秩，则行满秩，则A A+ +=A=AHH （AAAAHH） 1。5. 5.A A有满秩分解：有满秩分解：有满秩分解：有满秩分解：A=BCA=BC，则则则则A A+ +=C=C+ +B B+ +。AA+ +与与与与A A11性质的差异比较：性质的差异比较：性质的差异比较：性质的差异比较：（ABAB）11=B=B11AA11 ，一般不成立一般不成立一般不成立一般不成立（ABAB）+ +=B=B+ +A A+ +。（只有满秩分解成立）只有满秩分解成立）只有满秩分解成立）只有满秩分解成立）（A

116、 A11）kk= =（A Ak k） 11，但不成立（但不成立（但不成立（但不成立（A A+ +）k k= =（A Ak k）+ +1154.3投影变换投影变换（为讨论（为讨论（为讨论（为讨论AA+的应用做准备）的应用做准备）的应用做准备）的应用做准备）问题：问题：问题：问题：逆在什么情形下是有用的？逆在什么情形下是有用的？逆在什么情形下是有用的？逆在什么情形下是有用的？一、投影变换和投影矩阵一、投影变换和投影矩阵一、投影变换和投影矩阵一、投影变换和投影矩阵定义定义定义定义4.44.4（P . 101P . 101）设设设设C Cn n=L=L MM ，向量向量向量向量x x C Cn n,

117、,x=y+zx=y+z，y y LL，zz MM， 如果线性变换如果线性变换如果线性变换如果线性变换 ： CCn nC Cn n ， （x x）=y=y， 则称则称则称则称 为从为从为从为从 C Cnn沿子空间沿子空间沿子空间沿子空间MM到子空间到子空间到子空间到子空间L L的投的投的投的投影变换。影变换。影变换。影变换。投影变换的矩阵投影变换的矩阵投影变换的矩阵投影变换的矩阵R R（ ）=L=L；NN（ ）=M=M， C Cn n=R=R（ ） N N（ ）L L和和和和MM是是是是 的不变子空间；的不变子空间；的不变子空间；的不变子空间；L L=I=I； MM=0=0投影的矩阵和变换性质投

118、影的矩阵和变换性质投影的矩阵和变换性质投影的矩阵和变换性质：1.定理定理定理定理4 4.13.13（P P . . 101101） 是投影是投影是投影是投影 是幂等变换是幂等变换是幂等变换是幂等变换2.推论推论推论推论： 为投影变换的充要条件是变换矩阵是为投影变换的充要条件是变换矩阵是为投影变换的充要条件是变换矩阵是为投影变换的充要条件是变换矩阵是 幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵幂等矩阵116二、正交投影和正交投影矩阵二、正交投影和正交投影矩阵1.正交投影的定义：正交投影的定义：定义定义定义定义4 4. .5 5（P P . . 103103） 设设设设 ：CCn nC Cnn是投影变换，是投影变换

119、，是投影变换，是投影变换，CCn n=R R（ ） NN（ ），），），），如果如果如果如果RR （ ）=N=N（ ），），），），则称为正交投影。则称为正交投影。则称为正交投影。则称为正交投影。2 2正交投影矩阵正交投影矩阵正交投影矩阵正交投影矩阵定理定理定理定理4.144.14（P . 103P . 103） 是正交投影是正交投影是正交投影是正交投影 投影矩阵投影矩阵投影矩阵投影矩阵A A满足：满足：满足：满足：AA2 2=A=AA AHH=A=A例题例题例题例题1 1 设设设设WW是是是是CCnn的子空间，证明的子空间，证明的子空间，证明的子空间，证明 存在到存在到存在到存在到WW的投影

120、的投影的投影的投影变换，变换，变换，变换， 使使使使R R（ ）=W=W。1173、正交投影的性质、正交投影的性质定理定理定理定理4.164.16（P . 104P . 104）设设设设WW是是是是CCn n的子空间，的子空间，的子空间，的子空间，x x0 0 CCn n，x x0 0 WW，如果如果如果如果 是空间是空间是空间是空间CCn n向空间向空间向空间向空间WW的正交投影，的正交投影，的正交投影，的正交投影，则则则则含义：含义：含义：含义：点点点点 （x x0 0）是空间是空间是空间是空间 WW中与点中与点中与点中与点x x 0 0距离最近的点。距离最近的点。距离最近的点。距离最近的

121、点。1184、A+A与与AA+的性质的性质定理定理4.15（P . 104）AA+ + A A的性质：的性质：的性质：的性质： （AA+ + A A）22=AA+ + A A，（，（，（，（AA+ + A A）HH=AA+ + A A CCnn=R=R（AA+ + ） NN（A A） RR （AA+ + ）=N=N（A A）AAAA+ +的性质：的性质：的性质：的性质： （AAAA+ + ）22=AAAA+ + ，（，（，（，（AAAA+ + ）HH=AAAA+ + CCmm=R=R（AA） NN（AA+ + ） RR （AA+ + ）=N=N（A A）AA+ + AA是正交投影，将向量是正交

122、投影，将向量是正交投影，将向量是正交投影，将向量 x x投影到空间投影到空间投影到空间投影到空间R R（AA+ + ）中。中。中。中。AAAA+是正交投影，将向量是正交投影，将向量是正交投影，将向量是正交投影，将向量 x x投影到空间投影到空间投影到空间投影到空间R R（AA）中。中。中。中。含义：含义：含义：含义：1194.4最佳最小二乘解最佳最小二乘解一、最佳最小二乘解一、最佳最小二乘解A mn X n 1 =b m1有解有解有解有解b b R R（A A）无解无解无解无解b b R R（A A）1 1、AX=bAX=b的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解定义定

123、义定义定义4.64.6（P . 105P . 105） u 是最小二乘解是最小二乘解是最小二乘解是最小二乘解 x x0 0是最佳最小二乘解是最佳最小二乘解是最佳最小二乘解是最佳最小二乘解2 2、 AX=bAX=b的最佳最小二乘解的计算的最佳最小二乘解的计算的最佳最小二乘解的计算的最佳最小二乘解的计算定理定理定理定理4.174.17 设方程组设方程组设方程组设方程组AX=bAX=b，则则则则AA+ +b b 是是是是AX=bAX=b的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解的最佳最小二乘解。例题例题例题例题1 1（P . 106P . 106，eg8eg8）120例题例题2、设，、设， =

124、1.证明证明 R（A）2.在列空间在列空间R（A）上找一点上找一点X0，X0距离距离 最近。最近。121二、最佳拟合曲线二、最佳拟合曲线问题问题：在实际问题中，已知变量：在实际问题中，已知变量X和变量和变量Y之间之间存在函数关系存在函数关系Y=F（X），），但不知道但不知道F（X）的具的具体形式，由观察和实验数据寻求经验公式体形式，由观察和实验数据寻求经验公式:Y=f（X），），使得误差最小。使得误差最小。例题例题1（P . 107P . 107，eg9eg9） 一组实验数据一组实验数据一组实验数据一组实验数据（1 1，2 2），（），（），（），（2 2，3 3），（），（），（），（3 3

125、，5 5），（），（），（），（4 4，7 7）的分布呈直线趋势，求最佳）的分布呈直线趋势，求最佳）的分布呈直线趋势，求最佳）的分布呈直线趋势，求最佳拟合直线。拟合直线。拟合直线。拟合直线。方法：方法：将误差向量表示为将误差向量表示为将误差向量表示为将误差向量表示为 e e =A=A bb，求方程组求方程组求方程组求方程组AA b=0b=0的最小二乘解的最小二乘解的最小二乘解的最小二乘解 ，由，由，由，由 给出拟合参数。给出拟合参数。给出拟合参数。给出拟合参数。1225.5矩阵函数矩阵函数一、定义和性质一、定义和性质一、定义和性质一、定义和性质11定义定义定义定义5.14 5.14 ( (p1

126、25)p125)f f（z z）=是解析函数，收敛半径为是解析函数，收敛半径为是解析函数，收敛半径为是解析函数，收敛半径为R R，如果如果如果如果 ( (A A) )RR，则则则则有意义。有意义。有意义。有意义。常见的矩阵函数常见的矩阵函数eA，cosA，sinA，ln(I+A)函数函数eA的若干性质的若干性质：1.AB=BAAB=BA，eAeB=eBeA=eA+B，2.e0=I3.（eA）1=eA。定义定义定义定义f f（A A）= =123例题例题5、设设A为反对称矩阵，证明为反对称矩阵，证明eA为正为正交矩阵。交矩阵。例题例题6设设，讨论，讨论lnA是否是否有意义有意义124二、矩阵函数

127、的计算二、矩阵函数的计算计算计算f（A）=1 1、 JordanJordan标准形方法标准形方法标准形方法标准形方法: A=PJPA=PJP11 ， f(A)=Pf(J)Pf(A)=Pf(J)P11; ;计算矩阵序列：计算矩阵序列：计算矩阵序列：计算矩阵序列：S Sn n（J J）按元素收敛求得：按元素收敛求得：按元素收敛求得：按元素收敛求得： 如果如果如果如果 A=PJPA=PJP11,则则则则f(A)=Pf(J)Pf(A)=Pf(J)P11; ; 如果如果如果如果 i i为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵A A的特征值的特征值的特征值的特征值, ,则则则则f( f( i i) )是矩阵是矩阵是矩阵是

128、矩阵f(A)f(A)的特征值的特征值的特征值的特征值 含参数含参数含参数含参数 tt的函数的函数的函数的函数 f(At)f(At)。例题例题例题例题1 1，计算，计算，计算，计算e eA A和和和和e eAtAt。 1252、最小多项式方法最小多项式方法由在谱上等值确定由在谱上等值确定由在谱上等值确定由在谱上等值确定g g（ ），），），），则则则则f f（A A）=g=g（A A） 例题例题例题例题2 2 设设设设，计算，计算，计算，计算e eA A和和和和e eAtAt例题例题例题例题3 3设设设设，计算，计算，计算，计算A A1010。例题例题例题例题4 4（P129eg15P129eg

129、15）126例题例题5设设，1.用用Jordan化方法计算化方法计算sinA。2.求求sinA的的Jordan标准形标准形J，并求矩阵并求矩阵Q，使得使得QsinAQ 1 1 =J1275.6矩阵函数的微积分矩阵函数的微积分一、矩阵函数及其分析性质一、矩阵函数及其分析性质矩阵函数：矩阵函数：矩阵函数：矩阵函数：A A（t t）=a aij ij（t t） mnmn，分析性质：分析性质：分析性质：分析性质：A A（t t）连续、可微分、可积分连续、可微分、可积分连续、可微分、可积分连续、可微分、可积分 a aij ij（t t）连续连续连续连续可微分可微分可微分可微分可积分可积分可积分可积分微分

130、性质微分性质微分性质微分性质(p130)p130)128例题例题11.设设设设，计算，计算，计算，计算 dedeAtAt/dt/dt2.对任意方阵对任意方阵对任意方阵对任意方阵A A，计算计算计算计算dedeAtAt/dt/dt1295.7矩阵函数的应用矩阵函数的应用（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组（求解常系数微分方程组）一、微分方程组的一般形式一、微分方程组的一般形式一、微分方程组的一般形式一、微分方程组的一般形式 X X （t t）=A=A（t t）X X（t t）+f+f（t t） X X（t t 0 0 ）=C=C。齐次：齐次：齐次：齐次：f f（t

131、t）=0=0非齐次：非齐次：非齐次：非齐次：f f（t t） 0 0常系数：常系数：常系数：常系数：A A（t t）=A=A二、一阶线性常系数齐次微分方程组二、一阶线性常系数齐次微分方程组二、一阶线性常系数齐次微分方程组二、一阶线性常系数齐次微分方程组求解：求解：求解：求解：X X （t t）=AX=AX（t t） X X（t t 0 0 ）=C=C。定理定理定理定理5 5、1111： 上述方程组的解为：上述方程组的解为：上述方程组的解为：上述方程组的解为：XX（t t）=e=eA（tt0 0）x x（t t0 0）例题例题例题例题11求解求解求解求解130三、一阶线性常系数非齐次微分方程组三

132、、一阶线性常系数非齐次微分方程组求解：求解：求解：求解：X X （t t）=AX=AX（t t）+f+f（t t） X X（t t 0 0 ）=C=C。定理定理定理定理5.145.14( (P133)P133) ：上述方程组的解为：上述方程组的解为：上述方程组的解为：上述方程组的解为：X X（t t）=e=eA（tt0 0）x x（t t0 0）+ +例题例题例题例题22求解求解求解求解131第第6章章矩阵的矩阵的Kroneker积和积和Hadamard积积TheKronekerProductandHadamardProduct132概述概述：内容：内容：介绍介绍Kronecker积和积和Ha

133、damard积积讨论讨论K-K-积，积，积，积，H-H-积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系积的运算性质、之间的关系K-K-积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系积与矩阵乘积的关系K-K-积，积，积，积，H-H-积的矩阵性质积的矩阵性质积的矩阵性质积的矩阵性质K-K-积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系积的矩阵等价与相似关系介绍应用介绍应用向量化算子向量化算子向量化算子向量化算子重点：重点：K-积及其应用积及其应用13361Kroneker积和积和Hadamard积的定义积的定义定义定义6.1（P.136）设矩阵

134、设矩阵设矩阵设矩阵A=A=a aij ij mm nn和和和和B=bB=bij ij s s t t矩阵矩阵矩阵矩阵 ，则，则，则，则A,BA,B的的的的KroneckerKronecker被定义为被定义为被定义为被定义为A AB B：AAB=B=a aij ijBBmm n n设设设设A=A=a aij ij mm nn和和和和B=bB=bij ij mm nn为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A A和和和和B B的的的的HadamardHadamard被定义为被定义为被定义为被定义为AA B B：AAB=B= a aij ijb bij ij mm nn例题例题1设设

135、，计算，计算AB，BA，IB，AB，IA134K-积，积，H-积的基本结果：积的基本结果：A A和和和和B B中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则中有一个为零矩阵，则A AB=0B=0，A AB=0B=0I I I=II=I，I II=II=I若若若若A A为对角矩阵，则为对角矩阵，则为对角矩阵，则为对角矩阵，则A AB B为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，为分块对角矩阵，A AB B为对角矩阵。为对角矩阵。为对角矩阵。为对角矩阵。K-积的基本性质积的基本性质定理定理定理定理6.16.1（P.138P.138）设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意

136、义，则设以下矩阵使计算有意义，则设以下矩阵使计算有意义，则 （kAkA） B=AB=A （k kB B） A A （B+CB+C）= =A A B+AB+A C C （A A B B） C=C=A A （B B C C） （A A B B）HH=A=AHH B BHH A ABB B BA A135H-积的基本性质：积的基本性质：设设A，B为同阶矩阵，则为同阶矩阵，则A AB=BB=BA A（kAkA）B=AB=A（k kB B）A A（B+CB+C）=A=AB+B+A AC C（A AB B）C=C=A A（B BC C）（A AB B）HH=A=AHHB BHHKronecker和和Had

137、amard的关系：的关系：定理定理定理定理6.36.3（P.139P.139）136K-积积与矩阵乘法与矩阵乘法定理定理6.2（P.138）设矩阵设矩阵A，B，C，D使得使得下列运算有意义，则有下列运算有意义，则有(A B)(C B)=（AC） （BD）意义：意义：建立建立Kronecker积和矩阵乘法的相互积和矩阵乘法的相互转换。转换。特别情形：特别情形：设设A Fm m，B Fn n，则则AB=(Im B)(A In)=(A In)(Im B)1376.2Kronecker积和积和Hadamard积的性质积的性质Kronecker积的矩阵性质积的矩阵性质定理定理定理定理6.46.4 （P.

138、140P.140）设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则设矩阵使下列运算有意义，则 当当当当A A，B B分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，分别为可逆矩阵时，A A B为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有为可逆矩阵，而且有(A B)1=A1 B1 当方阵当方阵当方阵当方阵AA FFmm mm ，BB FFnn nn时，方阵时，方阵时，方阵时，方阵A A B FFmnmn mnmn的行列式为的行列式为的行列式为的行列式为|A A B|=|A|=|A|nn|B|B|mm 若若若若A A，BB是是是是HermiteHerm

139、ite矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A B是是是是HermiteHermite矩阵矩阵矩阵矩阵 若若若若A A，BB是酉是酉是酉是酉 矩阵，则矩阵，则矩阵，则矩阵，则A A B是酉矩阵。是酉矩阵。是酉矩阵。是酉矩阵。138KroneckerKronecker与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系与矩阵等价、相似关系定理定理定理定理6.56.5（P.141P.141）设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵A A，B B，为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则为同阶的等价矩阵，则(A I)等价于等价于(I B)设方阵设方阵设方阵设方阵A A相似与相似与相似与相似

140、与J JA A，方阵方阵方阵方阵B B相似于相似于相似于相似于J JB B，则则则则(A B)相似于相似于(JA A JB B)K-K-积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量积特征值和特征向量定理定理定理定理6 6.6 .6（PP. .142142）设设设设A A FFmm mm的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是的特征值特征向量分别是 i i，x xi i，BB FFnn nn的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是的特征值、特征向量分别是 j j ， y yj j，则则则则(A B)的特征值是的特征值是 i i

141、j j 。特征向量是。特征向量是(xi i yj j)。(A I)+(I B)的特征值是的特征值是 i i+ j j ，特征向量是，特征向量是(xi i yj j)更一般的结果：更一般的结果：更一般的结果：更一般的结果：定理定理定理定理6 6.7 .7（PP. .142142） 的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为139Kronecker的函数性质的函数性质定理定理6.8（P.143）设是设是f(z)解析函数，解析函数，f(A)有意义，则有意义，则f f(I A)=I f(A)f(A I)=f(A) I特例：特例：140例题例题1设设A Fm n，B Fs t，证明证明rank（A B）=

142、rank（A）rank（B）例题例题2（PP. .144144），设设，求求求求(A B)的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求求求 (A I)+(I B)的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向的特征值和特征向量量量量例题例题例题例题3 3：证明对任何方阵，有证明对任何方阵，有证明对任何方阵，有证明对任何方阵，有1416.3矩阵的向量化算子和矩阵的向量化算子和K-积积向量化算子向量化算子Vec定义定义定义定义（P.143P.143）设设设设 A=aijm n则则则则Vec(A)=(Vec(A)=(a11a21am1；a12a22am2；a1na2

143、namj) )T T 性质：性质：性质：性质：（P.146P.146）VecVec是线性算子：是线性算子：是线性算子：是线性算子：VecVec（k k1A+kA+k2B B）=k=k1Vec(AVec(A) )+k+k2Vec(BVec(B) ) 2 2 定理定理定理定理6.106.10（P.146P.146）VecVec( (ABC)=(CABC)=(CTT A)VecBVecB33VecVec( (AX)=(IAX)=(I A)VecXVecX 44VecVec( (XC)=(CXC)=(CTT I)VecXVecX142用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组思想思想：用：用

144、Vec算子，结合算子，结合Kronecker积将矩阵方程积将矩阵方程化为线性方程组求解。化为线性方程组求解。1、A A FFmm mm， B B FFn n nn，D D FFmm nn，AX+XB=D分析：分析：AX+XB=D（I A+BT I）VecX=VecDG=（I A+BT I），），方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即为可逆矩阵，即A和和-B没有共同的特征值。没有共同的特征值。例题例题1（P.147）143用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组2、A，X Fn n，AX-XA=kX分析：分析：AX-XA=kXAX-XA=kX（I I AA

145、ATT I）VecXVecX=kVecXVecXH=（I I AA ATT I)，方程方程(kI-H)y=0有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是k为为H的特征值，的特征值，k= i j。例题例题2求解矩阵方程求解矩阵方程AXXA=2X144用向量化算子求解矩阵方程组用向量化算子求解矩阵方程组3A，B，D，X Fn n，AXB=D分析：分析：AXB=DAXB=D（B BTT A）VecXVecX=VecDVecDL=BT A，方程有惟一解的充要条件是方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵为可逆矩阵.例题例题3求解方程求解方程A1XB1+A2XB2=D145例题例题4设设A Cm m，B Cn n，D Fm n，证明谱半径证明谱半径 (A) (B) 1时方程：时方程：X=AXB+D 的解为的解为146