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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性质问题问题引航引航1.1.对对数函数及反函数的概念分数函数及反函数的概念分别别是什么是什么? ?对对数函数数函数y=logy=log2 2x x的的图图像有何特点像有何特点, ,其有什么性其有什么性质质? ?2.2.如何判断一个函数是否如何判断一个函数是否为对为对数函数数函数? ?对对数函数及其数函数及其反函数有何关系反函数有何关系? ?1.1.对对数函数的概念及两个特殊的数函数的概念及两个特殊的对对数函数数函数(1)(1)对对数函数的相关概念：数函数的相关概念：定定义义：把函数：把函数_叫
2、作叫作对对数函数数函数; ;自自变变量是量是_;_;定定义义域是域是_;_;底数是底数是_._.y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)x x(0,+)(0,+)a a(2)(2)两个特殊对数函数：两个特殊对数函数：常用对数函数常用对数函数, ,其形式为其形式为_;_;自然对数函数自然对数函数, ,其形式为其形式为_._.y=lgxy=lgxy=lnxy=lnx2.2.反函数反函数(1)(1)指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,a1)(a0,a1)的反函数是的反函数是_._.(2)(2)对数函数对数函数y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)的反函数是
3、的反函数是_._.对数函数对数函数y=logy=loga ax x(a(a0,a1)0,a1)指数函数指数函数y=ay=ax x(a(a0,a1)0,a1)3.3.对对数函数数函数y=logy=log2 2x x的性的性质质定定义义域域_值值域域R R特殊点特殊点(1,0),(1,0),即即x=_x=_时时,y=_,y=_函数函数值值的正的正负负当当x1x1时时,y0;,y0;当当0x10x1时时,y0,y0f(x)0成立的自成立的自变变量的取量的取值值范范围围是是. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .对数函数的形式为对数函数的形式为y=logy=loga ax(ax(a0,a1
4、).0,a1).(2)(2)正确正确. .因为因为log 1=0,log 1=0,所以对数函数所以对数函数y=log xy=log x的图像过点的图像过点(1(1，0).0).(3)(3)错误错误. .由函数图像可知，函数由函数图像可知，函数y=log xy=log x在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数. .(4)(4)错误错误. .因为零和负数没有对数，所以函数因为零和负数没有对数，所以函数y=log xy=log x的图像不的图像不可能在可能在y y轴的左侧轴的左侧. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4)2.(1)2.(1)因为因为f(x)=
5、lnx,f(x)=lnx,所以所以f(1)=ln 1=0.f(1)=ln 1=0.答案：答案：0 0(2)(2)函数函数y=2y=2x x的反函数为的反函数为y=logy=log2 2x.x.答案：答案：y=logy=log2 2x x(3)(3)因为因为f(x)=logf(x)=log2 2x,x,所以使所以使f(x)0f(x)0成立的自变量的取值范围是成立的自变量的取值范围是(1,+).(1,+).答案：答案：(1,+)(1,+)【要点探究要点探究】知知识识点点1 1 对对数函数的概念数函数的概念对对对对数函数概念的两点数函数概念的两点说说明明(1)(1)同指数函数一同指数函数一样样, ,
6、对对数函数仍然采用形式定数函数仍然采用形式定义义, ,如如y=2logy=2log2 2x,y=logx,y=log2 2x x2 2等都不是等都不是对对数函数数函数. .(2)(2)判断一个函数是否是判断一个函数是否是对对数函数的依据：数函数的依据：【微思考微思考】(1)(1)对对数函数数函数y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)中中, ,为为什么限定什么限定a0,a1?a0,a1?提示：提示：在对数函数在对数函数y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)中限定中限定a0,a1a0,a1的原因：的原因：当当a0a0时时, ,根据对数式与指数式的关系知根据对
7、数式与指数式的关系知y=logy=loga ax x可化为可化为a ay y=x,=x,此式可能无意义此式可能无意义, ,如如0 0-2-2, , 均无意义均无意义; ;当当a=1a=1时时,a,ay y=x=1,=x=1,没有研究的必要没有研究的必要. .因此规定因此规定a0,a1.a0,a1.(2)(2)为为什么什么对对数函数数函数y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)的定的定义义域是域是(0,+)?(0,+)?提示：提示：对数函数对数函数y=logy=loga ax(a0,a1)x(a0,a1)的定义域是的定义域是(0,+)(0,+)的原因：的原因：因为因为y=log
8、y=loga ax x可化为可化为x=ax=ay y, ,所以不管所以不管y y取什么值取什么值, ,由指数函数的性由指数函数的性质都可得到质都可得到a ay y0,0,所以所以x(0,+).x(0,+).【即时练即时练】指出下列函数哪些是指出下列函数哪些是对对数函数数函数? ?(1)y=3log(1)y=3log2 2x.(2)y=logx.(2)y=log6 6x.x.(3)y=log(3)y=logx x3.(4)y=log3.(4)y=log2 2x+1.x+1.【解析解析】(1)log(1)log2 2x x的系数是的系数是3,3,不是不是1,1,不是对数函数不是对数函数. .(2)
9、(2)符合对数函数的结构形式符合对数函数的结构形式, ,是对数函数是对数函数. .(3)(3)自变量在底数位置上自变量在底数位置上, ,不是对数函数不是对数函数. .(4)(4)对数式对数式loglog2 2x x后又加后又加1,1,不是对数函数不是对数函数. .知知识识点点2 2 反函数反函数1.1.同底指数函数与同底指数函数与对对数函数数函数间间的关系及求反函数的方法的关系及求反函数的方法(1)(1)关系：关系：指数函数指数函数y=ay=ax x(a0(a0且且a1)a1)与与对对数函数数函数y=logy=loga ax(a0,a1,x0)x(a0,a1,x0)互互为为反函数反函数. .(
10、2)(2)求一个函数的反函数的方法：求一个函数的反函数的方法：由由y=ay=ax x( (或或y=logy=loga ax)x)解得解得x=logx=loga ay(y(或或x=ax=ay y).).将将x=logx=loga ay(y(或或x=ax=ay y) )中的中的x x与与y y互互换换位置位置, ,得得y=logy=loga ax(x(或或y=ay=ax x).).由由y=ay=ax x( (或或y=logy=loga ax)x)的的值值域域, ,写出写出y=logy=loga ax(x(或或y=ay=ax x) )的定的定义义域域. .2.2.互互为为反函数的两个函数的关系反函数
11、的两个函数的关系(1)(1)定定义义式：式：x x与与y y互互换换, ,但通常用但通常用x x表示自表示自变变量量,y,y表示函数表示函数. .(2)(2)图图像：关于像：关于y=xy=x对对称称. .【知识拓展知识拓展】一般函数一般函数y=f(x)y=f(x)的反函数的求法的反函数的求法先把先把x x和和y y换位换位, ,写成写成x=f(y),x=f(y),再把再把y y解出来写成解出来写成y=g(x)y=g(x)的形式的形式, ,如如果这种表达式是唯一确定的果这种表达式是唯一确定的, ,就得到了就得到了f(x)f(x)的反函数的反函数g(x).g(x).【微思考微思考】指数函数的定指数
12、函数的定义义域与其反函数的域与其反函数的值值域有什么关系域有什么关系? ?提示：提示：指数函数的定义域是其反函数的值域指数函数的定义域是其反函数的值域. .【即时练即时练】求下列函数的反函数求下列函数的反函数(1)y(1)yloglog4 4x.(2)yx.(2)ylog x.(3)ylog x.(3)y9 9x x.(4)y.(4)y【解析解析】(1)(1)对数函数对数函数y yloglog4 4x x，它的底数是，它的底数是4 4，它的反函数是，它的反函数是指数函数指数函数y y4 4x x. .(2)(2)对数函数对数函数y ylog xlog x，它的底数是，它的底数是 ，它的反函数是
13、指数函，它的反函数是指数函数数y y(3)(3)指数函数指数函数y y9 9x x，它的底数是，它的底数是9 9，它的反函数是对数函数，它的反函数是对数函数y yloglog9 9x.x.(4)(4)指数函数指数函数y y 它的底数是它的底数是 ，它的反函数是对数函数，它的反函数是对数函数y ylog x.log x.知知识识点点3 3 对对数函数数函数y=logy=log2 2x x的的图图像和性像和性质质对对数函数数函数y=logy=log2 2x x的的图图像和性像和性质质的的对应对应关系关系图图像特征像特征函数性函数性质质(1)(1)图图像都在像都在y y轴轴的右的右边边(1)(1)定
14、定义义域是域是(0,+)(0,+)(2)(2)函数的函数的图图像像经过经过(1,0)(1,0)点点(2)1(2)1的的对对数是零数是零(3)(3)图图像在像在(1,0)(1,0)点右点右边边的的纵纵坐坐标标都大于零都大于零, ,在在(1,0)(1,0)点左点左边边的的纵纵坐坐标标都小于零都小于零(3)(3)(4)(4)自左向右看自左向右看, ,图图像逐像逐渐渐上升上升(4)y=log(4)y=log2 2x x是增函数是增函数【微思考微思考】(1)(1)当自当自变变量量x x无限无限趋趋近于近于0 0时时, ,函数函数y=logy=log2 2x x的的值值有何有何变变化化? ?提示：提示：当
15、自变量当自变量x x无限趋近于无限趋近于0 0时时, ,函数函数y=logy=log2 2x x的值越来越小的值越来越小, ,趋趋近于近于-.-.(2)(2)对对于函数于函数y=logy=log2 2x x而言而言, ,其函数其函数值值正正负负的分界点的分界点为为多少多少? ?提示：提示：对于函数对于函数y=logy=log2 2x x而言而言, ,其函数值正负的分界点为点其函数值正负的分界点为点(1,0).(1,0).【即时练即时练】已知函数已知函数y=logy=log3 3x,x,(1)(1)利用描点法画出其利用描点法画出其图图像像. .(2)(2)根据根据图图像写出其性像写出其性质质.
16、.【解析解析】(1)(1)列表列表. .描点、连线得函数描点、连线得函数y=logy=log3 3x x的图像的图像. .x x1 13 39 9y=logy=log3 3x x-2-2-1-10 01 12 2(2)(2)性质：性质：过点过点(1,0),(1,0),即当即当x=1x=1时时,y=0.,y=0.函数图像都在函数图像都在y y轴右边轴右边, ,表示零和负数没有对数表示零和负数没有对数. .当当x1x1时时, ,图像位于图像位于x x轴上方轴上方, ,说明当说明当x1x1时时,y0;,y0;当当0x10x1时时, ,图像位于图像位于x x轴下方轴下方, ,说明当说明当0x10x1时
17、时,y0;,y x 且且x1.x1.所以所以y y 的定义域为的定义域为x|x x|x 且且x1x1由题意得由题意得 解得解得所以所以y yloglog(2x(2x1)1)( (4x+8)4x+8)的定义域是的定义域是x| x2x| x00，所以所以xx ，所以函数所以函数y y 的定义域为的定义域为(2)(2)由题意知由题意知 所以所以所以函数的定义域为所以函数的定义域为(1,2)(2,3)(1,2)(2,3)【误误区区警警示示】本本题题(2)(2)在在求求解解过过程程中中, ,常常因因漏漏掉掉验验证证对对数数底底数数需需满足的条件而致误满足的条件而致误. .【补偿训练补偿训练】求下列函数的
18、定义域：求下列函数的定义域：(1)y(1)yloglog2 2(x(x1)1)2 2. .(2)y=(2)y=【解析解析】(1)(1)要使函数有意义，需要使函数有意义，需(x(x1)1)2 200，所以，所以x1x1，所以定义域为所以定义域为( (，1)(11)(1，) )(2)(2)要使函数有意义，需要使函数有意义，需 所以所以x x 且且x0x0，所以定义域为所以定义域为x|x x|x1x1时时, ,则则( () )A.y0A.y0B.y0C.y=0 D.yC.y=0 D.y的符号不确定的符号不确定(2)(2)根据函数根据函数f(x)=logf(x)=log2 2x x的的图图像和性像和性
19、质质解决以下解决以下问题问题. .若若f(a)f(2),f(a)f(2),求求a a的取的取值值范范围围; ;求求y=logy=log2 2(2x-1)(2x-1)在在x2,14x2,14上的最上的最值值. .【解题探究解题探究】1.1.对于题对于题(1),(1),当当x1x1时时, ,函数函数y=logy=log2 2x x的图像有何特的图像有何特点点? ?2.2.求题求题(2)(2)中中的值域的步骤是什么的值域的步骤是什么? ?【探究提示探究提示】1.1.当当x1x1时时, ,函数函数y=logy=log2 2x x的图像单调上升且在的图像单调上升且在x x轴轴上方上方. .2.2.可先依
20、据可先依据x x的范围求出的范围求出2x-12x-1的范围的范围, ,然后借助函数然后借助函数y=logy=log2 2x x的单的单调性求其最值调性求其最值. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.因为当因为当x1x1时时, ,函数函数y=logy=log2 2x x的图像单调上的图像单调上升升, ,故故y=logy=log2 2xlogxlog2 21=0.1=0.(2)(2)函数函数y=logy=log2 2x x的图像如图的图像如图. .因为因为y=logy=log2 2x x在定义域内是增函数在定义域内是增函数, ,若若f(a)f(2),f(a)f(2),即即loglog2
21、2alogalog2 22,2,则则a2.a2.所以所以a a的取值范围为的取值范围为(2,+).(2,+).因为因为2x14,2x14,所以所以32x-127,32x-127,因为因为y=logy=log2 2x x在定义域内是在定义域内是增函数增函数, ,所以所以loglog2 23log3log2 2(2x-1)log(2x-1)log2 227,27,所以函数所以函数y=logy=log2 2(2x-1)(2x-1)在在x2,14x2,14上的最小值为上的最小值为loglog2 23,3,最大值最大值为为loglog2 227.27.【方法技巧方法技巧】与对数函数有关的图像的画法与对数
22、函数有关的图像的画法(1)(1)列表描点法：列表列表描点法：列表, ,描点描点, ,连线连线. .(2)(2)平移变换法：左加右减平移变换法：左加右减, ,上加下减上加下减. .(3)(3)对称变换法：对称变换法：y=f(x)y=f(x)与与y=f(-x)y=f(-x)关于关于y y轴对称轴对称;y=f(x);y=f(x)与与y=-f(x)y=-f(x)关于关于x x轴对称轴对称;y=f(x);y=f(x)与与y=-f(-x)y=-f(-x)关于原点对称关于原点对称. .【变变式式训练训练】已知函数已知函数y=logy=log2 2x,x,则则( () )A.f(2)0,f 0,f 0,f 0
23、B.f(2)0,f 0C.f(2)0 D.f(2)0,f 0C.f(2)0 D.f(2)0,f 1x1时时,y0,y0,当当0x10x1时时,y0.,y0,f 0,f 0,x0,所以定义域为所以定义域为(0, .(0, .答案：答案：( (0, 0, 【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析在阴影处忽视对数函数的真数大于在阴影处忽视对数函数的真数大于0 0致误致误【防范措施防范措施】求解与对数函数有关的函数定义域的两个着眼点求解与对数函数有关的函数定义域的两个着眼点(1)(1)时刻谨记真数大于零时刻谨记真数大于零, ,如本例在求解中应注意验证如本例在求解中应注意验证x0.x0.(2)(2)要关注底数大于零且不等于要关注底数大于零且不等于1.1.这一点这一点常常在解题中容易常常在解题中容易遗遗漏漏. .【类题试解类题试解】(2014(2014渭南高一检测渭南高一检测) )函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为_【解析解析】因为因为1-2log1-2log6 6x0x0，所以，所以loglog6 6x ,x ,所以所以0 0x ,x ,故定义域为故定义域为(0, (0, . .答案：答案：(0, (0,
