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1、第九章第九章 力矩分配法力矩分配法?本章的问题:?本章的问题:A.B.C.D.E.F.力矩分配法的适用条件是什么?什么叫固端弯矩?约束力矩如何计算?什么是转动刚度、分配系数和传递系数?什么是不平衡力矩?如何分配?力矩分配法的计算步骤如何?对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的?力矩分配法是位移法的渐近法。适用于连续梁和无结点线位移的刚架。 91 力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法,属于位移法的渐近方法。适用范围:是连续梁和无结点线位移的刚架。针对本方法,下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。1、名词解释(1)转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。杆端的转动刚度
2、以 S 表示,它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。图 91 给出了等截面杆件在 A 端的转动刚度 SAB的数值。关于 SAB应当注意以下几点:(1)在 SAB中 A 点是施力端,B 点称为远端。(2)SAB是指施力端 A 在没有线位移的条件下的转动刚度。在图 91 中,A 端画成铰支座。目的是强调A 端只能转动,不能移动。由图 91 得:各种情况下杆件的转动刚度分别为:远端固定:S4i远端简支:S3i远端滑动:S i远端自由:S0i:是线刚度,其值iEIL图 91 各种结构的转动刚度(2)分配系数图 92 所示三杆 AB、AD、AC 在刚结点 A 连接在一起。远端B、C、D 端分
3、别为固定端,滑动支座,铰支座。假设有外荷载 M 作用在 A 端,使结点 A 产生转角A,然后达到平衡。试求杆端弯矩MAB、 MAC、 MAD。由转动刚度的定义可知:MAB=SABA = 4iABAMAC=SACA = iACAMAD=SADA = 3iADa取结点 A 作隔离体,由平衡方程M=0得:M=SABA+ SACA+ SADAA式中MMSAB SAC SADSAS表示各杆A端转动刚度之和。A将A值代入上式,得AMABMACMADSABMSASACMSASADMSA图 92 刚结点作用外力偶由上式可以得出:各杆 A 端的弯矩与各杆的转动刚度成正比。即:MAj= AjMAj称为分配系数。其
4、中 j 可以是远端 B、C、D。AB称为杆 AB 在 A 端的分配系数。即等于杆 AB 的转动刚度与交于 A 点的各杆的转动刚度之和的比值。注意:同一结点各杆分配系数之和应等于零。即=AB+AC+AD=1总之:作用于结点 A 的力偶荷载 M,按各杆端的分配系数分配于各杆的A 端。(3)传递系数在图 92 中,力偶荷载M 作用于结点 A,使各杆近端产生弯矩,同时也使各杆远端产生弯矩。由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下:MAB= 4iABAM B A= 2iABAMAC= iACAMCA=iACAMAD=3iADAMDA= 0由上式可看出,远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用 CAB表
5、示。称为传递系数。传递系数表示当近端有转角时,远端弯矩与近端弯矩的比值。对等截面杆件来说:传递系数C 随远端的支承情况而定。具体为:远端固定:C 0.5远端简支:C0远端滑动:C -1一旦已知传递系数、和近端弯矩,远端弯矩自然可求出:MBA=CABMAB就图 92 所示的问题的计算方法归纳如下:结点 A 作用的力偶荷载 M,按各杆的分配系数给各杆的近端, 远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。2 2、基本运算、基本运算(单结点的力矩分配)(单结点的力矩分配)先从只有一个节点角位移的连续梁入手。如图93a 所示。一个两跨连续梁。阻止转动的约束放松约束图 93 单结点的力矩分配过程在力矩分配法中,我们
6、不需列方程计算,就直接计算各杆的杆端弯矩。注意:杆端弯矩以顺时针为正。计算步骤表述如下:(1)假想我们先在结点 B 加一个阻止转动的刚臂, (即限制其转动)见图93b,然后再加砝码,此时,只有AB 跨有变形;在此步骤中,由于约束的存在,使连续梁变成两个单跨梁。在被锁住的结点 B 上,通过 AB 跨的固端弯矩 MBAF,再从图 93a 中的 BC 跨 ,得 BC 的固端弯矩为 MBCF=0,由MB=0 即 MBMBAFMBCF,得到到了结点 B 的约束力矩 MB; 约束力矩等于固端弯矩之和,以顺时针为正。(2)连续梁的结点 B 原来无约束,当然也不存在约束力矩MB,要与原结构相吻合,须去掉约束和
7、不平衡力矩如图 9-3c。所以应放松结点和反方向加不平衡力矩( MB) 。这时在结点B 上就有一外力偶作用,根据前面的结论进行分配以及传递。(3)把以上两步的情况进行叠加,就得到与原图 (93a)相同的情况。 因此,把图 93b、9-3c中的杆端弯矩相叠加,就得到实际的杆端弯矩(图93a) 。所以:力矩分配法的物理概念简述如下:先在刚结点 B 加上阻止转动的约束,把连续梁分为单跨梁,求出杆端产生的固端弯矩。结点B各杆固端弯矩之和即为约束力矩MB。去掉约束(即相当于在结点B 新加MB),求出各杆 B 端新产生的分配力矩和远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩就得到实际杆端弯矩。下面通过例题来
8、说明方法的应用。例例 9.19.1用力矩分配法计算图示连续梁,绘其弯矩图。EI常数解: (1) 先在节点 B 加上阻止转动的约束,计算由荷载产生的固端弯矩,计算结果如下:MFABql22062 60kN.m1212ql22062 60kN.m121233326PL 36KN.m1616FMABFMBC 在节点 B 处,各杆端弯矩总和为约束力矩 MB,MB=60-36=24kN.m(2) 放松节点 B,这相当于在节点 B 施加一个外力偶荷载24kN.m.节点 B 上作用的力偶荷载,按分配系数分配于两杆的B 端。并使远端(A 端)产生传递力矩,具体演算如下:杆 AB 和 BC 的线刚度相等,都为
9、ii 转动刚度(远端固定为 4i, 远端铰结为 3i)EILsAB 4iAB 4isBC3iBC3i.分配系数:ABBCSAB4i 0.571SAB SBC4i 3iSBC3i 0.429SAB SBC4i 3i校核BABC1计算过程可列表进行。计计算算过过程程根据杆端弯矩绘弯矩图如下:杆端分配系数固端弯矩分配传递最终弯矩ABBABCCB0.5710.42960606.8513.766.8546.3036010.3046.300 92多结点的力矩分配上节我们分析了单结点的力矩分配,对于多结点的连续梁和刚架,只要逐个对每一个结点应用上节的基本运算,就可求出杆端弯矩。图 94a 表示一个三跨连续梁
10、,结构的外荷载是在 BC 跨上加一砝码,变形如图 94a,下面我们说明分析过程。用力矩分配法计算多跨连续梁原理和单节点相似, 逐个放松节点进行分配、 传递。循环进行,直到最后分配的弯矩很小,满足精度要求,便可停止计算,然后把杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加便得到杆端的最后弯矩。具体计算步骤如下:图 9-4 三跨连续梁的力矩分配过程第一步,先在结点 BC 上加约束,阻止结点转动,然后再加砝码(94b) ,这时由于约束的存在使得连续梁被分成三个单跨梁,仅 BC 一跨有变形,如图 94b 中虚线所示。第二步,去掉结点 B 的约束(即放松 B 结点) (图 94c 注意:此时结点 C 仍有约束)
11、 ,这时结点 B 将有转角,累加的总变形如图 94c 中虚线所示。第三步,重新将B 点锁住,然后去掉结点C 的约束。累加的总变形如图94d 中虚线所示。此时的变形已比较接近实际情况的变形了。依次类推,再重复第二步和第三步,即轮流去掉结点B 和结点 C 的约束,则连续梁的变形和内力很快就达到实际的状态。最后,将各项步骤所得的杆端弯矩进行叠加,即得到所求的杆端弯矩。注意:不平衡力矩的大小和方向,正确计算分配系数和传递系数。特别要注意符号问题。下面通过例题来说明该方法的应用。例例 9.29.2 用力矩分配法计算图示连续梁,并绘弯矩图。解:现按演算格式进行计算(1) 计算各节点的分配系数;因在计算中只
12、有 B、 C 两个节点有角位移,在这两个节点施加约束并进行放松,所以只需计算节点 B、 C 的分配系数,为简单起见,不妨设 EI=1。计算分配系数如下。节点 BSBA 4iBA 410.6676SBC 4iBC 41.516SBCSBA0.6671所以分配系数:BA0.4BA0.6S0.6671S0.6671BB验算BABC1同理节点 CSCB1.52 4iCB 41SCD3iCD3166CBSCBS110.5CDCD0.5S11S11CC验算CBCD1(2)求固端弯矩,锁住节点 B、 C。按单跨的超静定梁确定固端弯矩。计算如下:11FMBC PL 806 60kN.m88MFCB11 PL
13、806 60kN.m8811FMCD ql2 2062 90kN.m88(3)分配过程。结合表格进行;放松节点 B, (此时节点 C 仍被锁住)按单节点问题进行分配和传递。节点 B 的约束力矩为60kN.m,放松节点 B,等于在节点 B 上施加一与约束力矩反向的力偶荷载,60kN.mBA 和 BC 杆端的分配弯矩为0.46024kN.m,0.660=36kN.m杆端 CB 的传递弯矩为:13618kN.m212412kN.m2杆端 AB 的传递弯矩为将以上分配和传递弯矩分别写在各杆端的相应位置,经过分配和传递,节点 B 已经平衡,可在分配弯矩的数字下面画一横线,以示区别,同时用箭头表示将分配弯
14、矩传递到远端节点上,并写明各杆的远端弯矩。(4) 重新锁住节点 B 并放松节点 C,节点 C 的约束力矩为:60901812kN.m放松节点 C, 等于在节点 C 上施加一与约束力矩反向的力偶荷载 12kN.m.CB、CD 两杆端的分配弯矩都是: 0.5126kN.m杆端 BC的传递弯矩为 0.563kN.m.将分配弯矩和传递弯矩按同样的方法表示于各杆端。此时,节点 C 已经平衡,但节点 B 又有新的约束力矩,以上完成了力矩分配法的第一个循环,按此原理再进行弯矩分配,详细见表。(5)将各杆的固端弯矩、历次的分配弯矩、传递弯矩相加,即得最后的杆端弯矩。计计 算算 过程过程杆端ABBABCCBCDDC分 配系 数固 端弯 矩0060609000.40.60.500.5弯 矩分 配与传 递122436318660.450.040.61.21.80.90.050.090.230.450.140.070.04最 终弯 矩11.3522.7122.7183.52-83.52 0