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1、优秀资料欢迎下载！一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（ 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（ 2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（ 5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如ykxb（k，b是常数，且0k）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式当0b，0k时，ykx仍是一
2、次函数当0b，0k时，它不是一次函数正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、 一象限， 从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大； 当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移； 当 b0 ，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0 ，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线y=kx 的图象向上
3、平移b 个单位；当 b0 b0 经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大k0 时，向上平移；当b0 时，直线经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大； （从左向右上升）k0时， 将直线 y=kx 的图象向上平移b个单位；b0 或 ax+b0) 【或左 (h0)【或下 (k0) 【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0 时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，函数在 x0 上同为减函数； k0 时，函数在 x0 上同为增函数。定义域为 x0；值域为 y0。3.因为在
4、 y=k/x(k0)中，x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例函数的图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！不可能与 x 轴相交，也不可能与y 轴相交。4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则 S1S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形， 它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线） ，对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x
5、交于 A、B 两点（ m、n 同号） ，那么 A B 两点关于原点对称。7.设在平面内有反比例函数y=k/x 和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n2+4km（不小于） 0。8.反比例函数 y=k/x 的渐近线： x 轴与 y 轴。9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称 ,并且关于原点中心对称 . 10.反比例上一点 m 向 x、y 分别做垂线，交于 q、w，则矩形 mwqo（o 为原点）的面积为 |k| 11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中
6、心是原点指数函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！概念：一般地，函数y=ax （a0，且 a1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律： 1. 当两个指数函数中的a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！2.当
7、 a1 时，底数越大，图像上升的越快，在y 轴的右侧，图像越靠近y 轴；当 0a1 时，底数越小，图像下降的越快，在y 轴的左侧，图像越靠近y 轴。在 y 轴右边 “底大图高” ；在 y 轴左边 “底大图低” 。3.四字口诀：“大增小减” 。即：当a1 时，图像在R 上是增函数；当0a1 时，图像在 R 上是减函数。4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
8、3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0 或 1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(X) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=ax在定义域 (-， + )上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=ax(a0，a1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a0，a1). 因为指数函数y=ax的定义域为 (-， +)，值域为 (0，+)，所以对数函数y=logax 的定义域为 (0，+)，值域为 (-， + ).
9、2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=logax(a0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log21x,y=log101x 的草图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a0，a1)的图像的特征和性质.见下表 . 图象a 1 a1 性质(1)x0
10、(2)当 x=1 时， y=0 (3)当 x1 时， y0 0 x1 时， y0 (3)当 x1 时， y0 0x1 时， y0 (4)在(0，+)上是增函数(4)在(0，+)上是减函数补充性质设 y1=logax y2=logbx 其中 a1，b1(或 0a1 0b1) 当 x1 时“底大图低”即若 a b 则 y1y2 当 0x 1 时“底大图高”即若 ab，则 y1 y2比较对数大小的常用方法有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
11、 (2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1 等中间量进行比较 . 3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a0，a 1) y=logax(a0，a1) 定义域(-， + ) (0，+) 值域(0，+) (-， + ) 函数值变化情况当 a1 时，)0(1)0( 1)0( 1xxxax当 0a1 时，)0(1)0(1)0( 1xxxax当 a 1 时)1(0) 1(0) 1(0logxxxxa当 0 a1 时，)1(0)1(0)1(0l
12、ogxxxxa单调性当 a1 时， ax是增函数；当 0a1 时， ax是减函数 . 当 a1 时， logax 是增函数；当 0a 1 时， logax 是减函数 . 图像y=ax的图像与y=logax 的图像关于直线 y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数nyx随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握nyx，当112 ,1, 323n的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限11,1, 2 , 332a时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数1,1,
13、22a时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数任何两个幂函数最多有三个公共点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！nyx奇函数偶函数非奇非偶函数1n01n0nyx2yx3yx12yx1yx定义域R R R |0x x|0x x奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数yx（xR，是常数） 的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数yx（xR，是常数）的图O x y O x y O x y O x y O x y O x
14、 y O x y O x y O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！像都过点)1 ,1 (；当21,3, 2, 1时函数yx的图像都过原点)0,0(；当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c） ；当3,2时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c）当21时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c）当1时，yx的的图像不过原点)0 ,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c）当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点)1 , 1(),0,0(；（2）在第一
15、象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点) 1 ,1 (后，图象向右上方无限伸展。当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点)1 , 1(；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！（4）在第一象限内，过点) 1 ,1 (后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数， 幂函数yx的图象必然经过第一象限， 并且一定
16、不经过第四象限。对号函数函数xbaxy（a0,b0）叫做对号函数，因其在（0，+）的图象似符号“”而得名， 利用对号函数的图象及均值不等式，当 x0 时，abxbax2（当且仅当xbax即abx时取等号），由此可得函数xbaxy（a0,b0,xR+）的性质 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页优秀资料欢迎下载！当abx时，函数xbaxy（a0,b0,xR+）有最小值ab2，特别地， 当 a=b=1时函数有最小值2。 函数xbaxy（a0,b0） 在区间（0，ab） 上是减函数， 在区间（ab，+）上是增函数。因为函数xbaxy（a0,b0）是奇函数， 所以可得函数xbaxy（a0,b0,xR-）的性质：当abx时，函数xbaxy（a0,b0,xR-） 有最大值 -ab2， 特别地，当 a=b=1时函数有最大值-2。函数xbaxy（a0,b0）在区间（ -， -ab）上是增函数，在区间（-ab，0）上是减函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页
