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1、 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分与链式法则8.3.2、链式法则、链式法则2021/7/221机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数 y = f (x) 的微分常数A与x 无关,仅与x 有关 关于x 的高阶无穷小 对 x 的偏增量 对 x 的偏微分 对 y 的偏增量 对 y 的偏微分 8.3.1、全微分、全微分2021/7/222引例引例: 一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了设面积为 A , 则 面积的增量为关于x,y的线性主部故称为函数在 的全微分变到分别由其边长机动 目录 上页 下页 返回 结束 变到多少?时比 较高阶无穷小2021/7/223定义定
2、义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.一般地一般地2021/7/224机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义 :得函数在该点连续偏导数存在 函数可微 即2021/
3、7/225定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微可微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证证: 因函数在点(x, y) 可微, 故 必存在,且有得到对 x 的偏增量因此有 2021/7/226反例反例: 函数易知 但注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数 不一定可微 !即:因此,函数在点 (0,0) 不可微 .2021/7/227定理定理2 (充分条件)（证略）若函数的偏导数则函数在该点可微分.于是，全微分例例1. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:习惯上,分别记为2021/7/228例例2. 计算函数的全微分. 解解: 例例3
4、. 计算函数的全微分. 解解: 2021/7/229例例4.4.计算的近似值. 解解: 设,则取则2021/7/2210内容小结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:偏导数存在偏导数存在函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续2021/7/2211机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .1. 选择题2021/7/2212机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设解解: 利用轮换对称性 , 可得注意注意: x , y , z 具有 轮换
5、对称性轮换对称性 2021/7/2213机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案答案: 3. 已知在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证明函数所以2021/7/2214机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)2021/7/2215机动 目录 上页 下页 返回 结束 4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则2021/7/2216机动 目录 上页 下页 返回
6、 结束 一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则8.3.2、多元复合函数求导的链式法则、多元复合函数求导的链式法则2021/7/2217定理定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式全导数公式 )2021/7/2218推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/22193)当它们都具有可微
7、条件时, 有注意注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀口诀 : 连线相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导2021/7/2220例例1. 设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2221例例2. 设 求全导数解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.解解:令 u = 1+ x2 , v = cos x ,则2021/7/2222例例3. 求 的偏导数.解解: 设于是2021/7/2223例例4.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2224例例5. 设 f 具有一阶连
8、续偏导数,求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/7/2225机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的全微分多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.2021/7/2226机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设设例例1 .解解:所以2021/7/22278.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从
9、略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数2021/7/2228两边对 x 求导在的某邻域内则2021/7/2229若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还可求隐函数的 2021/7/2230例例4. 求由方程解法一解法一 令所确定的y是x的函数的导数.解法二解法二 方程两边对 x 求导2021/7/2231定理定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确2021/7/2232两边对 x 求偏导同样可得则2021/7/2233例例5. 设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导2021/7/2234解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导2021/7/2235内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 隐函数求导(1) (2) 时, 时, 2021/7/2236 作业作业 P117 1(2),(6); 8; 9; 10; 17；18. 2021/7/2237个人观点供参考，欢迎讨论
