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1、四章数学规划模型Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条约束条件件多元函数多元函数条件极值条件极值决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划企
2、业生产计划4.1奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订制订单阶段生产计划单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。，否则应制订多
3、阶段生产计划。本节课题本节课题例例1加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到的获利增加到30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12
4、小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2获利获利243x1获利获利164 x2原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A150桶牛奶桶牛奶每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性可可加加性性连续性连续性xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值成取值成正比正比xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值成
5、取值成正比正比xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关xi取值连续取值连续A1,A2每公斤的获利是与各每公斤的获利是与各自产量无关的常数自产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与各自产量无关的常数时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相每公斤的获利是与相互产量无关的常数互产量无关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和的数量和时间是与相互产量无关的常数时间是与相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数线性规划模型线性规划
6、模型模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5约约束束条条件件目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数)等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endOBJE
7、CTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1,30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000V
8、ARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三种种资资源源“资源资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束）结果解释结果解释 OBJ
9、ECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增的增量量原料增加原料增加1单位单位,利润增长利润增长48时间增加时间增加1单位单位,利润增长利润增长2加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影
10、子价格35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？3548,应该买！应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINC
11、REASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函最优解不变时目标函数系数允许变化范围数系数允许变化范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?Yesx1系数范围系数范围(64,96)x2系数范围系数范围(48,72)A1获利增加到获利增加到30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在在允许范围内允许范围内不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)结
12、果解释结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000
13、000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加原料最多增加10时间最多增加时间最多增加5335元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶3千克千克A112小时小时8小时小时4公斤公斤A2或或获利获利24元元/公公斤斤获利获利16元元/公斤公斤0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千千克克0.75千克千克B22小时小时,3元
14、元1千克千克获利获利32元元/千千克克制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶,480小时小时至多至多100公斤公斤A1B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶3千克千克A112小时小时8小时小时4千克千克A2或或获利获利24元元/千克千克获利获利16元元/kg0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克0.75千克千克
15、B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克出售出售x1千克千克A1,x2千克千克A2，X3千克千克B1,x4千克千克B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 x5千克千克A1加工加工B1，x6千克千克A2加工加工B2附加约束附加约束 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.200
16、0010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? NoOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001
17、.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2结果解释结果解释每天销售每天销售168千克千克A2和和19.2千克千克B1，利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶
18、加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，将得到的将得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1除加工能力外均除加工能力外均为紧约束为紧约束结果解释结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.00
19、00003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.1612=37.92增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.2630元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元增加元增加5桶牛奶，桶牛奶，可赚回可赚回189.6元。（大于元。（大于增加时间的利润增长）增加时间的利润增长）结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影
20、响的波动，对计划有无影响RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.100000X344.00000019.7500023.166667X432.0000002.026667INFINITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.520000INFINITYDORANGE(SENSITIVIT
21、Y)ANALYSIS? YesB1获利下降获利下降10%，超，超出出X3系数允许范围系数允许范围B2获利上升获利上升10%，超，超出出X4系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。计算，会发现结果有很大变化。4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等
22、限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用其他费用: :450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70
23、；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水水库库供供水水量量(千千吨吨)小小区区基基本本用用水水量量(千千吨吨)小小区区额额外外用用水水量量(千千吨吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润=收入收入(900)其它费用其它费用( (450) 引水管引水管理费理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320
24、260300C260250220/供应供应限制限制B,C类似处理类似处理问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000X2130.0000000.000000X2240.0000000.000000X230.00000010.000000X2450.0000000.00
25、0000X3150.0000000.000000X320.00000020.000000X3330.0000000.000000这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(TransportationProblem)总利润总利润 88700（元）（元）A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何如何装运，装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) )例例2 货机装运货机装运重量（吨）重量（吨）空间空间(米
26、米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成比例重成比例前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡决策决策变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量( (吨）吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3(分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可
27、以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱容积容积 目标目标函数函数( (利润利润)约束约束条件条件货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 10；680016；87008；5300xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量约束约束条件条件平衡平衡要求要求 货物货物供应供应 货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量OBJECTIVEFU
28、NCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000X3212.9473690.000000X333.0000000.000000X410.000000650.000000X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物货物2：前仓：前仓10,
29、 ,后仓后仓5；货物货物3: : 中仓中仓13,后仓后仓3；货物货物4: : 中仓中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型中型中型大型大型现有量现有量钢材钢材1.535600时间时间28025040060000利润利润234线性线性规划规划模型模型(LP)模型模型求解求解 3）模型中增加条件：模型中增加条件：
30、x1, x2, x3均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相
31、差不大。2）试试探探：如如取取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等等，计计算算函函数数值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划( (IntegerProgramming, ,简记简记IP) )“gin3”表示表示“前前3个变量个变量为整数为整数”，等价于：，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+
32、5x3600280x1+250x2+400x360000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解模型求解 IP结果输出结果输出其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若
33、生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1, ,x2,x3=0或或 80 x1=80，x2=150，x3=0，最优值，最优值z=610LINDO中中 对对 0-1变量的限定：变量的限定：inty1inty2inty3方法方法2：引入引入0-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划M为大的正数，为大的正数，可取可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX180.000000-2.000000X2150.000000-3.000000X30.000000-4.000000Y11.0000000
34、.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80最优解同前最优解同前NLP虽虽然然可可用用现现成成的的数数学学软软件件求求解解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划非线性规划（非线性规划（Non-LinearProgramming，简记，简记NLP）实实践践表表明明，本本例例仅仅当当初初值值非非常常
35、接接近近上上面面方方法法算算出出的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80x2=0 或 80x3=0 或 80应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工？例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A： 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/
36、 /吨；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨库存库存1000吨吨汽油甲汽油甲(A 50%)原油原油A原油原油B汽油乙汽油乙(A 60%)决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油的收入 - - 购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨5.6千元千元/吨吨原
37、油原油A的购买量的购买量, ,原油原油A,B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x)购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？原油供应原油供应 约束约束条件条件 x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨；500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标函数函数购买购买x ABx11x12x21x22库存库存500吨吨库存库存1000吨吨目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对
38、于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制约束约束条件条件甲甲(A 50%)AB乙乙(A 60%)x11x12x21x22x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨的吨数数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500( (吨吨) )时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 非线性规划模型非线
39、性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x=x1+x2+x3, c(x)=10x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨增加约束增加约束x=x1+x2+x3, c(x)=10x1+8x2+6x3 方法方法1：LINGO求解求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;2*x12-3*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x30;x1
40、10;x120;x210;x220;x10;x20;x30;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还得到
41、的是局部最优解，还能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为利润为4,800千千元。元。 y1,y2,y3=1以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可用，可用LINDO求解求解y1, ,y2, ,y3=0或或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLE VALUE REDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000
42、Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买购买1000吨原油吨原油A，与，与库存的库存的500吨原油吨原油A和和1000吨原油吨原油B一起，生一起，生产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000千元千元。x1,x2,x3以价格以价格10,8,6(千元千元/ /吨吨) )采购采购
43、A的吨数的吨数y=0x=0x0y=1优于方法优于方法1的结果的结果b1b2b3b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2 0,c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)= z2c(b2)+z3c(b3).b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4 0,c(x)= z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x)IP模型，模型，LINDO求求解，
44、得到的结果与解，得到的结果与方法方法2相同相同. .处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性bk x bk+1yk=1, ,否则否则, ,yk=0方法方法3 bk x bk+1, ,x= zkbk+z k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)= zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2b3b4对于对于k=1,2,3分派问题分派问题4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项
45、任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案
46、是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队? ?例例1 混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1, , 否则记否则记x
47、ij=0 0-1规划模型规划模型 cij( (秒秒) )队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 模型求解模型求解 最最优优解解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为其它变量为0;成成绩绩为为253.2( (秒秒) )=413”2MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58
48、.6x14+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54SUBJECTTOx11+x12+x13+x14=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41+x51=1x14+x24+x34+x44+x54=1ENDINT20输入输入LINDO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、蝶泳、丙丙仰泳、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳. .丁蛙泳丁蛙泳
49、c43= =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.457.5, , 方案是否调整？方案是否调整？ 敏感性分析？敏感性分析？乙乙蝶泳、丙蝶泳、丙仰泳、仰泳、丁丁蛙泳、戊蛙泳、戊自由泳自由泳IP规划一般没有与规划一般没有与LP规划相类似的理论，规划相类似的理论，LINDO输出输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：最优解：x21=x32=x43=x51=1,成绩为成绩为417”7c43,c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用LINDO求解求解 指派指派( (Assignment) )问题问题：每项任务有且只有一人承担，每项任
50、务有且只有一人承担，每人只能承担一项每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大.讨论讨论甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、蝶泳、丙丙仰泳、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳. .原原方方案案为了选修课程门数最少，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？例例2 选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学2线性代数线性代数4数学数学3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4
51、数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟3计算机；运筹学计算机；运筹学计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程2计算机计算机8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹学；计算机运筹学；计算机微积分；线性代数微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1选修课号选修课号i 的的课程（课程（xi=0不选）不选）选修课程总数最
52、少选修课程总数最少约束条件约束条件最少最少2门数学课，门数学课，3门运筹学课，门运筹学课，2门计算机课。门计算机课。课号课号课名课名所属类别所属类别1微积分微积分数学数学2线性代数线性代数数学数学3最优化方法最优化方法数学；运筹学数学；运筹学4数据结构数据结构数学；计算机数学；计算机5应用统计应用统计数学；运筹学数学；运筹学6计算机模拟计算机模拟计算机；运筹学计算机；运筹学7计算机编程计算机编程计算机计算机8预测理论预测理论运筹学运筹学9数学实验数学实验运筹学；计算机运筹学；计算机先修课程要求先修课程要求最优解：最优解： x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为其它为0；6门课程，总学分
53、门课程，总学分210-1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有必有x1=x2=1模型求解（模型求解（LINDO） 课号课号课名课名先修课要求先修课要求1微积分微积分2线性代数线性代数3最优化方法最优化方法微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构计算机编程计算机编程5应用统计应用统计微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程8预测理论预测理论应用统计应用统计9数学实验数学实验微积分；线性代数微积分；线性代数学分最多学分最多多目标优化的处理方法：化成单目标优化。多目标优化的处理方法：化成单目标优化。两目标两目标( (多目标多目
54、标) )规划规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少课程最少以以学分最多为目标，不学分最多为目标，不管课程多少。管课程多少。以课程最少以课程最少为目标，不为目标，不管学分多少。管学分多少。最优解如上，最优解如上，6门课门课程，总学分程，总学分21。最优解显然是选修所最优解显然是选修所有有9门课程门课程。多目标规划多目标规划 在在课程最少的前提下课程最少的前提下以以学分最多为目标。学分最多为目标。最优解：最优解： x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它为其它为0；总总学分由学分由21增至增至22。注意：最优解不唯一！注
55、意：最优解不唯一！课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3 LINDO无法告诉优化无法告诉优化问题的解是否唯一。问题的解是否唯一。可将可将x9=1易为易为x6=1增加约束增加约束 ，以学分最多为目标求解。以学分最多为目标求解。多目标规划多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。最优解：最优解： x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它为其它为0；总学分
56、总学分28。课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3 讨论与思考讨论与思考最优解最优解与与 1=0， 2=1的结果相同的结果相同学分最多学分最多多目标规划多目标规划 最优解最优解与与 1=1， 2=0的结果相同的结果相同课程最少课程最少4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修单阶段生产计划单阶段生产计划多阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题生产批量问题企业生产计划企业生产计划考虑与产量无关的固定费用考虑与产量无关的固定
57、费用给优化模型求解带来新的困难给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部外部需求和内部资源随时间变化资源随时间变化问题分析问题分析除第除第4周外每周的生产周外每周的生产能力超过每周的需求；能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。前几周应多生产一些。周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合计合计100135成本成本5.05.15.45.5 饮料厂在第饮料厂在第1周开始时没有库存；周开始时没有库存； 从费用最小考虑从费用最小考虑, , 第第4周末不能有库存；周末不能有库存； 周末有库存时需支出一周的存贮费；周末有库存时需支出一周的存贮费；
58、 每周末的库存量等于下周初的库存量。每周末的库存量等于下周初的库存量。 模模型型假假设设 目标目标函数函数约束约束条件条件产量、库存与需求平衡产量、库存与需求平衡 决策变量决策变量 能力限制能力限制 非负限制非负限制 模型建立模型建立x1x4：第：第14周周的生产量的生产量y1y3：第：第13周末周末库存量库存量周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5存贮费存贮费: :0.2( (千元千元/ /周周 千箱千箱) ) 模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为周生产计划的总费用为528(千元千元)最优解：最优解： x1x4：15，40，25，
59、20；y1y3： 0，15，5.周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5产量产量15402520库存库存01550LINDO求解求解检修计划检修计划0-1变量变量wt：wt=1=1检修安排检修安排在第在第t周周(t=1,2,3,4） 在在4周内安排一次设备检修，占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使千箱生产能力，能使检修后每周增产检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? ?检修安排在任一周均可检修安排在任一周均可周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.1
60、5.45.5约束条件约束条件能能力力限限制制 产量、库存产量、库存与需求平衡与需求平衡条件不变条件不变 增加约束条件：检修增加约束条件：检修1 1次次检修计划检修计划目标函数不变目标函数不变0-1变量变量wt：wt= =1检修检修安排在第安排在第t周周(t=1,2,3,4）LINDO求解求解总费用由总费用由528千元降千元降为为527千元千元检修所导致的生产能力提高的作用检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。需要更长的时间才能得到充分体现。最优解：最优解： w1= =1,w2,w3,w4=0; x1x4：15, ,45, ,15, ,25；y1y3：0, ,20, ,
61、0.例例2 饮料的生产批量问题饮料的生产批量问题 安排生产计划安排生产计划,满足每周的需求满足每周的需求,使使4周总费用最小。周总费用最小。存贮费存贮费: :每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元。千元。 饮料厂使用同一条生产线轮流生产饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种多种饮料。饮料。若某周开工生产若某周开工生产某种某种饮料饮料,需支出需支出生产准备费生产准备费8千元。千元。某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205
62、.5合计合计100135生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法ct 时段时段t 生产费用生产费用( (元元/ /件件) )；ht 时段时段t ( (末末) )库存费库存费( (元元/ /件件) )；st 时段时段t 生产准备费生产准备费( (元元) )；dt 时段时段t 市场需求市场需求( (件件) )；Mt 时段时段t 生产能力生产能力( (件件) )。假设初始库存为假设初始库存为0制订生产计划制订生产计划, , 满满足需求足需求, ,并使并使T个时个时段的总费用最小。段的总费用最小。决策变量决策变量 xt 时段时段t 生产量；生产量；yt 时段时段t ( (末末) )库存量；库存量；
63、wt =1时段时段t 开工开工生产生产 ( (wt =0不开工不开工) )。目标目标约束约束混合混合0-1规划模型规划模型 最优解：最优解：x1x4：15，40，45，0；总费用：总费用：554.0(千元千元)生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用将所给参数代入模型，用LINDO求解求解生产中通过切割、剪裁、冲压等生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小手段，将原材料加工成所需大小6钢管和易拉罐下料钢管和易拉罐下料原料下料问题原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大使所用材料最省，或利润最大问题问
64、题1.如何下料最节省如何下料最节省?例例1 钢管下料钢管下料 问题问题2.客户增加需求：客户增加需求：原料钢管原料钢管: :每根每根19米米 4米米50根根 6米米20根根 8米米15根根 客户需求客户需求节省的标准是什么？节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？种。如何下料最节省？5米米10根根 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。切割模式切割模式余料余料1 1米米 4米米1根根 6米米1根根 8米
65、米1根根余料余料3米米4米米1根根6米米1根根6米米1根根合理切割模式合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料余料3米米8米米1根根8米米1根根钢管下料钢管下料 为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式合理切割模式2.所用原料钢管总根数最少所用原料钢管总根数最少模式模式4米钢管根数米钢管根数6米钢管根数米钢管根数8米钢管根数米钢管根数余料余料(米米)14003231013201341203511116030170023钢管下料问题钢
66、管下料问题1 1 两种两种标准标准1.原料钢管剩余总余量最小原料钢管剩余总余量最小xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数( (i= =1,2,7) ) 约束约束满足需求满足需求 决策决策变量变量 目标目标1（总余量）（总余量）按模式按模式2切割切割12根根, ,按模式按模式5切割切割15根，余料根，余料27米米模模式式4米米根数根数6米米根数根数8米米根数根数余余料料14003231013201341203511116030170023需需求求502015最优解：最优解：x2=12,x5=15,其余为其余为0；最优值：最优值：27。整数约束：整数约束：xi 为整数为
67、整数当余料没有用处时，当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标通常以总根数最少为目标 目标目标2（总根数）（总根数）钢管下料问题钢管下料问题1 1 约束条约束条件不变件不变 最优解：最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为其余为0；最优值：最优值：25。xi 为整数按模式按模式2切割切割15根，根，按模式按模式5切割切割5根，根，按模式按模式7切割切割5根，根，共共25根，余料根，余料35米米虽余料增加虽余料增加8米，但减少了米，但减少了2根根与与目标目标1的结果的结果“共切割共切割27根，余料根，余料27米米”相比相比钢管下料问题钢管下料问题2对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式
68、对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求：增加一种需求：5米米10根；切割根；切割模式不超过模式不超过3种。种。现有现有4种种需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。决策变量决策变量 xi 按第按第i 种模式切割的原料钢管根数种模式切割的原料钢管根数( (i= =1,2,3) ) r1i, r2i, r3i, r4i 第第i 种切割模式下，每根原料钢种切割模式下，每根原料钢管生产管生产4米、米、5米、米、6米和米和8米长的钢管的数量米长的钢管的数量满足需求满足需求模
69、式合理：每根模式合理：每根余料不超过余料不超过3米米整数非线性规划模型整数非线性规划模型钢管下料问题钢管下料问题2目标函数（目标函数（总根数）总根数）约束约束条件条件整数约束：整数约束：xi ,r1i, r2i, r3i, r4i ( (i= =1,2,3) )为整数为整数增加约束，缩小可行域，便于求解增加约束，缩小可行域，便于求解原料钢管总根数下界：原料钢管总根数下界：特殊生产计划：对每根原料钢管特殊生产计划：对每根原料钢管模式模式1：切割成：切割成4根根4米钢管，需米钢管，需13根；根；模式模式2：切割成：切割成1根根5米和米和2根根6米钢管，需米钢管，需10根；根；模式模式3：切割成：切
70、割成2根根8米钢管，需米钢管，需8根。根。原料钢管总根数上界：原料钢管总根数上界：13+10+8=31模式排列顺序可任定模式排列顺序可任定钢管下料问题钢管下料问题2需求：需求：4米米50根，根，5米米10根，根，6米米20根，根，8米米15根根每根原料钢管长每根原料钢管长19米米LINGO求解整数非线性规划模型求解整数非线性规划模型Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.000002.000000X38.0000
71、001.000000R113.0000000.000000R122.0000000.000000R130.0000000.000000R210.0000000.000000R221.0000000.000000R230.0000000.000000R311.0000000.000000R321.0000000.000000R330.0000000.000000R410.0000000.000000R420.0000000.000000R432.0000000.000000模式模式1：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成3根根4米和米和1根根6米钢管，共米钢管，共10根；根；模式模式2：每根原
72、料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根4米、米、1根根5米和米和1根根6米钢管，米钢管，共共10根；根；模式模式3：每根原料钢管切割成：每根原料钢管切割成2根根8米钢管，共米钢管，共8根。根。原料钢管总根数为原料钢管总根数为28根。根。板材板材规格规格2：长方形，长方形，32 28cm，2万张。万张。例例2 易拉罐下料易拉罐下料每周工作每周工作40小时，每只易拉罐利润小时，每只易拉罐利润0.10元，原料余料损失元，原料余料损失0.001元元/cm2（不能装配的罐身、（不能装配的罐身、盖、盖、底也是余料）底也是余料）模式模式1：1.5秒秒模式模式2：2秒秒模式模式3：1秒秒模式模式4：3秒秒上盖
73、上盖下底下底罐罐身身罐身高罐身高10cm，上上盖盖、下底直、下底直径均径均5cm。板材规格板材规格1：正方形，边长正方形，边长24cm，5万张。万张。如何安排每周生产？如何安排每周生产？罐身个数罐身个数底、盖底、盖个数个数余料损失余料损失（cm2）冲压时间冲压时间（秒）（秒）模式模式1110222.61.5模式模式224183.32模式模式3016261.81模式模式445169.53模式模式1:正方形正方形边长边长24cm问题分析问题分析计算各种模式下的余料损失计算各种模式下的余料损失上、下底直径上、下底直径d=5cm，罐身高罐身高h=10cm。模式模式1余料损失余料损失242-10 d2/
74、4- dh=222.6cm2问题分析问题分析目标目标: :易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大易拉罐利润扣除原料余料损失后的净利润最大 约束：约束：每周工作时间不超过每周工作时间不超过40小时；小时；原料数量：原料数量：规格规格1（模式（模式13）5万张，万张， 规格规格2（模式（模式4）2万张；万张；罐身和底、盖的配套组装罐身和底、盖的配套组装。注意：不能装配的罐身、上下底也是余料注意：不能装配的罐身、上下底也是余料决策决策变量变量 xi 按照第按照第i 种模式的生产张数种模式的生产张数( (i= =1,2,3,4) )；y1一周生产的易拉罐个数；一周生产的易拉罐个数；y2 不配套的罐身
75、个数；不配套的罐身个数；y3 不配套的底、盖个数。不配套的底、盖个数。 模型建立模型建立目标目标 约束约束条件条件 时间约束时间约束 原料约束原料约束 产量产量余料余料时间时间x1222.61.5x2183.32x3261.81x4169.53模型建立模型建立y1易拉罐个数；易拉罐个数；y2 不配套的罐身；不配套的罐身；y3 不配套的底、盖。不配套的底、盖。每只易拉罐利润每只易拉罐利润0.10元，元，余料损失余料损失0.001元元/cm2罐身罐身面积面积 dh=157.1cm2底盖底盖面积面积 d2/4=19.6cm2(40小时小时)约束约束条件条件 配套约束配套约束 y1易拉罐个数；易拉罐个
76、数；y2 不配套的罐身；不配套的罐身；y3 不配套的底、盖。不配套的底、盖。罐身罐身底、盖底、盖1102401645产量产量x1x2x3x4虽然虽然xi和和y1，y2，y3应是整数，但是因生产量很大，应是整数，但是因生产量很大，可以把它们看成实数，从而用线性规划模型处理可以把它们看成实数，从而用线性规划模型处理。将所有决策变量扩大将所有决策变量扩大10000倍（倍（xi 万张，万张，yi 万件）万件） LINDO发出警告信息：发出警告信息：“数据之间的数量级差别太数据之间的数量级差别太大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别大，建议进行预处理，缩小数据之间的差别”模式模式2生产生产40125张，
77、张，模式模式3生产生产3750张，张，模式模式4生产生产20000张，张，共产易拉罐共产易拉罐160250个个( (罐身和底、盖无剩余罐身和底、盖无剩余) )，净利润为净利润为4298元元模型求解模型求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.4298337VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY116.0250000.000000X10.0000000.000050X24.0125000.000000X30.3750000.000000X42.0000000.000000Y20.0000000.223331Y30.0000000.036484下料问题的建模下料问题的建模 确定下料模式确定下料模式构造优化模型构造优化模型规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，规格不太多，可枚举下料模式，建立整数线性规划模型，否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用否则要构造整数非线性规划模型，求解困难，可用缩小缩小可行域可行域的方法进行化简，但要保证最优解的存在。的方法进行化简，但要保证最优解的存在。一维问题（如钢管下料）一维问题（如钢管下料）二维问题（如易拉罐下料）二维问题（如易拉罐下料）具体问题具体分析（比较复杂具体问题具体分析（比较复杂）
