《2022年数学培优竞赛新方法-第讲-代数最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学培优竞赛新方法-第讲-代数最值（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 11 讲代数最值知识纵横在生活实践中，人们经常面对带有“最字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、 产值最高、获利最大等；解数学题时， 我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点; 1.运用配方法求最值2.构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值3.建立函数模型求最值4.利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例 1】实数 x、y 满足06222yxx，则xyx222的最大值是（江苏省竞赛题）思路点拨解题的关键是由02y可得 x 取值的隐含制约。【例 2】分式222211651305yxyxy
2、xyx的最小值为（）A、-5 B、-3 C、5 D、3 （太原市竞赛题）思路点拨原式 =22211645yxyxy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【例 3】 （1）设 a、b 为实数，求代数式bababa222的最小值。（全国初中数学联赛题）（2）实数 x、y、z 满足5zyx，3xzyzxy，求 z 的最大值。（全国初中数学联赛题）思路点拨对于（ 1） ，引入参数设tbababa222，将等式整理成关于a 的
3、二次方程0)2()1(22tbbaba，利用判别式求最小值，对于（2） ，zyx5，35)5(3)(32zzzzyxzxy，运用韦达定理构造方程。【例 4】 （1）已知211xxy的最大值为a，最小值为b，则22ba的值。（2011 年数学周报杯全国初中数学竞赛题）（2）求使16)8(422xx取得最小值的实数x 的值。（全国初中数学竞赛题）思路点拨解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【例 5】已知122ba，对于满足条件1yx，0xy的一切实数对（x，y） ，不等式022bxxyay恒成立，当乘积ab 取最小值时，求a、b 的值。（全国初中数学联赛题）分析将 y=1-x 代入不等式得：0)12()1(2axaxba，此不等式对于满足条件的实数对（ x，y）恒成立，于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。解由1yx，0xy知10, 10yx。令 x=0，y=1，得0a；令 x=1 ，y=0，得0b，从而01ba，112120baa。故二次函数axaxbay)12(
5、)1(2的图象的开口向上，且顶点的横坐标在0 和 1 之间。又原不等式对于满足条件10x的一切实数x 恒成立。所以)1 (4) 12(2baa0a，即41ab由41122abba得426426ba或426426ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 离散最值【例 6】已知 a、b、c 为正整数，且222cba，求 c 的最小值。（全国初中数学竞赛题）分析与解若取222bacbac，则212bbc，由小到大考察b，使2
6、1bb为完全平方数，当 b=8 时，362c，则 c=6 ，从而 a=28 ，下表说明c 没有比 6 更小的正整数解。显然，表中34xc的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6. c4c)(433cxx34xc2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 思路点拨从222)(bacac入手。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
7、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学力练习基础夯实1、（ 1）设 x 为正实数，则函数xxxy12的最小值是。（2）函数)0(189xxxy的最大值是2、3、若实数x、y 满足方程35322xyyx，则 xy 的最大值为（第 19 届香港中学竞赛题）4、5、已知实数a、b、c 满足6,0222cbacba，则 a 的最大值为（第 17 届江苏省竞赛题）6、已知 x、y、z 为三个非负实数，且满足2,523zyxzyx，若zyxs2，则 s 的最大值与最小值的和为（
8、）A、5 B、423C、427D、435（天津市选拔赛试题）7、若32211zyx，则222zyx可取得的最小值为（）A、3 B、1459C、29D、68、正实数x、y 满足1xy，那么44411yx的最小值为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - A、21B、85C、1D、45E、2（黄冈市竞赛题）9、（ 1）求函数253xxy在53x时的最值。（2）求143322xxxxy的最大值。10、求5632xxy的最小值
9、。11、12、在直角坐标系xoy中，一次函数)0(2 kbkxy的图象与x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B，且使得3OBOASOAB. （1）用 b 表示k； （2）求OAB面积的最小值。（浙江竞赛题）能力拓展10、设1x，2x是 关 于x的 一 元 二 次 方 程22aaxx的 两 个 实 数 根 ， 则)(2(1221xxxx的最大值为11、若抛物线1)1(2kxkxy与 x 轴的交点为A、B，顶点为 C，则ABC的面积最小值为12、13、已知实数a、b 满足122baba，且22baabt，则 t 的最大值为最小值为（“ TI 杯”全国初中数学竞赛题）14、设 x、y、z 为正数
10、，且4)(zyxxyz，则)(zyyx的最小值是（ “宇振杯”上海市竞赛题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 15、已知3a，3b，且1kba，3ab，则 k 的最小整数值是（海南省竞赛题）16、已知xxy41，那么 y 的最大值和最小值的差为（武汉市竞赛题）17、已知1x，2x，mx都是正整数，且5821mxxx，若22221mxxx的最大值为 A，最小值为B，则 A+B 的值为（全国初中数学竞赛题）18、设实数
11、 a、b 满足0105810322bababa，求27292bau的最小值。（ “数学周报杯”全国初中数学竞赛题）19、已知 a、b、c 是正整数，且二次函数cbxaxy2的图象与 x 轴有两个不同的交点A、B，若点 A、B 到原点的距离都小于1，求cba的最小值。（天津市竞赛题）综合创新20、设1x，2x，nx是整数，并且满足：（1）21ix，ni,2, 1；（2）1921nxxx（3）.9922221nxxx求33231nxxx的最大值和最小值。（国家理科实验班招生试题）20、已知实数a、b、c、d 使得方程)(24)(dxcxbxax对一切实数x 均成立，那么当代数式1088442222dcbacdabdcba取得最小值时，dcba的值为多少？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - （河南省竞赛题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
