《2022年数学培优竞赛新方法-第讲-代数最值》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年数学培优竞赛新方法-第讲-代数最值(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 11 讲代数最值知识纵横在生活实践中,人们经常面对带有“最字的问题,如在一定的方案中,花费最低、消耗最少、 产值最高、获利最大等;解数学题时, 我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题,求最值问题的方法归纳起来有如下几点; 1.运用配方法求最值2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利用判别式求最值3.建立函数模型求最值4.利用基本不等式或不等式分析法求最值例题求解【例 1】实数 x、y 满足06222yxx,则xyx222的最大值是(江苏省竞赛题)思路点拨解题的关键是由02y可得 x 取值的隐含制约。【例 2】分式222211651305yxyxy
2、xyx的最小值为()A、-5 B、-3 C、5 D、3 (太原市竞赛题)思路点拨原式 =22211645yxyxy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 【例 3】 (1)设 a、b 为实数,求代数式bababa222的最小值。(全国初中数学联赛题)(2)实数 x、y、z 满足5zyx,3xzyzxy,求 z 的最大值。(全国初中数学联赛题)思路点拨对于( 1) ,引入参数设tbababa222,将等式整理成关于a 的
3、二次方程0)2()1(22tbbaba,利用判别式求最小值,对于(2) ,zyx5,35)5(3)(32zzzzyxzxy,运用韦达定理构造方程。【例 4】 (1)已知211xxy的最大值为a,最小值为b,则22ba的值。(2011 年数学周报杯全国初中数学竞赛题)(2)求使16)8(422xx取得最小值的实数x 的值。(全国初中数学竞赛题)思路点拨解与二次根式相关的最值问题,除了利用函数增减性、配方法等基本方法外,还有下列常用方法:平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 【例 5】已知122ba,对于满足条件1yx,0xy的一切实数对(x,y) ,不等式022bxxyay恒成立,当乘积ab 取最小值时,求a、b 的值。(全国初中数学联赛题)分析将 y=1-x 代入不等式得:0)12()1(2axaxba,此不等式对于满足条件的实数对( x,y)恒成立,于是将问题转化为探讨二次函数图象位置需满足的条件。解由1yx,0xy知10, 10yx。令 x=0,y=1,得0a;令 x=1 ,y=0,得0b,从而01ba,112120baa。故二次函数axaxbay)12(
5、)1(2的图象的开口向上,且顶点的横坐标在0 和 1 之间。又原不等式对于满足条件10x的一切实数x 恒成立。所以)1 (4) 12(2baa0a,即41ab由41122abba得426426ba或426426ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 离散最值【例 6】已知 a、b、c 为正整数,且222cba,求 c 的最小值。(全国初中数学竞赛题)分析与解若取222bacbac,则212bbc,由小到大考察b,使2
6、1bb为完全平方数,当 b=8 时,362c,则 c=6 ,从而 a=28 ,下表说明c 没有比 6 更小的正整数解。显然,表中34xc的值均不是完全平方数,故c 的最小值为6. c4c)(433cxx34xc2 16 1,8 17,8 3 81 1,8,27,64 80,73,54,17 4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40 5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113 思路点拨从222)(bacac入手。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
7、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - 学力练习基础夯实1、( 1)设 x 为正实数,则函数xxxy12的最小值是。(2)函数)0(189xxxy的最大值是2、3、若实数x、y 满足方程35322xyyx,则 xy 的最大值为(第 19 届香港中学竞赛题)4、5、已知实数a、b、c 满足6,0222cbacba,则 a 的最大值为(第 17 届江苏省竞赛题)6、已知 x、y、z 为三个非负实数,且满足2,523zyxzyx,若zyxs2,则 s 的最大值与最小值的和为(
8、)A、5 B、423C、427D、435(天津市选拔赛试题)7、若32211zyx,则222zyx可取得的最小值为()A、3 B、1459C、29D、68、正实数x、y 满足1xy,那么44411yx的最小值为()名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - A、21B、85C、1D、45E、2(黄冈市竞赛题)9、( 1)求函数253xxy在53x时的最值。(2)求143322xxxxy的最大值。10、求5632xxy的最小值
9、。11、12、在直角坐标系xoy中,一次函数)0(2 kbkxy的图象与x 轴、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B,且使得3OBOASOAB. (1)用 b 表示k; (2)求OAB面积的最小值。(浙江竞赛题)能力拓展10、设1x,2x是 关 于x的 一 元 二 次 方 程22aaxx的 两 个 实 数 根 , 则)(2(1221xxxx的最大值为11、若抛物线1)1(2kxkxy与 x 轴的交点为A、B,顶点为 C,则ABC的面积最小值为12、13、已知实数a、b 满足122baba,且22baabt,则 t 的最大值为最小值为(“ TI 杯”全国初中数学竞赛题)14、设 x、y、z 为正数
10、,且4)(zyxxyz,则)(zyyx的最小值是( “宇振杯”上海市竞赛题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - 15、已知3a,3b,且1kba,3ab,则 k 的最小整数值是(海南省竞赛题)16、已知xxy41,那么 y 的最大值和最小值的差为(武汉市竞赛题)17、已知1x,2x,mx都是正整数,且5821mxxx,若22221mxxx的最大值为 A,最小值为B,则 A+B 的值为(全国初中数学竞赛题)18、设实数
11、 a、b 满足0105810322bababa,求27292bau的最小值。( “数学周报杯”全国初中数学竞赛题)19、已知 a、b、c 是正整数,且二次函数cbxaxy2的图象与 x 轴有两个不同的交点A、B,若点 A、B 到原点的距离都小于1,求cba的最小值。(天津市竞赛题)综合创新20、设1x,2x,nx是整数,并且满足:(1)21ix,ni,2, 1;(2)1921nxxx(3).9922221nxxx求33231nxxx的最大值和最小值。(国家理科实验班招生试题)20、已知实数a、b、c、d 使得方程)(24)(dxcxbxax对一切实数x 均成立,那么当代数式1088442222dcbacdabdcba取得最小值时,dcba的值为多少?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - (河南省竞赛题)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -