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1、运用导数研究函数单调性的基本步骤 发表在 学习报 2010-2011第 6 期总第 1118期 第2 版 2010 年 8 月 6 日国内统一刊号 CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79运用导数研究函数单调性的基本步骤运用导数研究函数单调性的基本步骤特级教师特级教师 王新敞王新敞用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行其理论依据如下：设函数y f (x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则f (x)为增函数；如 果f (x) 0，则f (x)为减函数如果f (x) 0，则f (x)为常数一般情况下，函数在它的定义区间上不是单调的， 对可导函数而言，它的单调递减和单
2、调递增的区间分界点应是其导娄数符号正负交替的分界点， 即在分界点处f/(x) 0， 为此，我们可以用使函数导数为0 的点来划分函数的单调区间利用导数求函数的单调区间的具体步骤是： 确定f (x)的定义域； 计算导数f/(x)；求出f/(x) 0的根；用f/(x) 0的根将f (x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f/(x)的符号，进而确定f (x)的单调区间1312x x 2x的单调区间321312解解: :函数f (x) x x 2x的定义域D (,),32例例 1 1 求函数f (x) f/(x) x2 x2令f (x) 0得x11,x2 2,用x1,x2分割定义域 D,得下
3、表:/xf/(x)f (x)(,2)+-20极大(2,1)10极小1,+ f (x)的单调增区间是(,2)和(1,),单调减区间是(-2,1)例例 2 2 求函数f (x) 3x 2lnx的单调区间解：函数f (x) 3x 2lnx的定义域为D (0,)，2223x21f (x) 6x 2,xx令f/(x) 0，得x1 33,x233其中x1不在定义域内，用x2分割定义域 D，得下表：xf/(x)f (x) f (x)的单调增区间是(0,3)3330极小(3,+)3+33,),单调减区间是(0,)33例例 3 3设f (x)=x33ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、b 的值，
4、并求出f (x)的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值 1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得 a、b.解：f/(x)=3x26ax+2b，由题意知236a 2b 0,31 6a1 2b 0,即3223a 2b 0.1 3a1 2b1 1,11解之得 a=，b=.321此时f (x)=x3x2x，f（x）=3x22x1=3（x+）(x1）.31当f/(x)0 时，x1 或 x，31当f/(x)0 时，x1311函数f (x)的单调增区间为（，）和（1，+） ，减区间为（，1） 33点评：点评：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点例例 4 4已知函数f (x)=ax3+3x2x
5、+1 在 R R 上是减函数，求实数 a 的取值范围分析：分析：在 R R 上为减函数，则导函数在R R 上恒负解：解：函数f (x)=ax3+3x2x+1 在 R R 上是减函数，f (x)=3ax2+6x10 恒成立即3ax2+6x10（xR R）恒成立，/a 0 3612a 0解得a3所以使函数f (x)=ax3+3x2x+1 在 R R 上是减函数的实数 a 的取值范围为(,3特别指出， 函数f (x)在 R R 上为减函数f/(x)0 （xR R） 对于例 4 中若取a 3时， 令f/(x)=9x2+6x10 得x 个x 111， 容易验证当x 或x 时， 都有f/(x) 0 这3331就不是函数f (x)=3x3+3x2x+1 的极值点！而是称为“拐点” 3利用导数处理单调性问题， 讨论的区间是开区间， 注意递增与递减区间的交界处的导数为 0重视用f/(x) 0的根将f (x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f/(x)的符号，进而确定f (x)的单调区间，尽量避免求解不等式f/(x) 0或f/(x) 0的运算
