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1、学习好资料欢迎下载二次函数【知识要点】1. 定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数. 2. 二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 :khxay2的 形 式 , 其 中abackabh4422,. 3. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作hx. 特别地,y轴记作直线0x. 4. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点
2、的位置不同. 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:abacabxacbxaxy442222,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线abx2. ( 2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为(h,k) ,对称轴是直线hx. ( 3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 6. 抛物线cbxaxy2中,cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小,这与2axy中的a完全一样. (2)
3、b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,故:0b时,对称轴为y轴;0ab(即a、b同号)时,对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习好资料欢迎下载在y轴左侧;0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧 . (3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0x时,cy,抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0,c) :0c,抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴;0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴
4、在y轴右侧,则0ab. 7. 用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3) 交点式: 已知图像与x轴的交点坐标1x、2x, 通常选用交点式:21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0, c). ( 2 ) 与y轴 平 行 的 直 线hx与 抛 物 线cbxaxy2有 且 只 有 一 个 交 点(h,cbhah2). (3)抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x,
5、是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离 . ( 4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同( 3)一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是kcbxax2的两个实数根. ( 5)一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页
6、学习好资料欢迎下载的交点, 由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点;方程组无解时l与G没有交点 . ( 6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个根,故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121【经典练习】1二次函数y= x26x 5,当x时,0y,且y随x的增大而减小。2. 抛物线)2(22mmxxy的顶点坐标在第三象限,则m的值为()A21mm或 B 10mm或 C
7、 01m D1m3抛物线y=x2 2x3 的对称轴是直线()A x =2 Bx = 2 Cx = 1 D x =1 4二次函数y=x2+2x 7 的函数值是8,那么对应的x 的值是()A 3 B 5 C 3 和 5 D3 和 5 5抛物线y=x2 x 的顶点坐标是()11111A. ( 1, 1 ). (, 1 ). (,). (,)22424BCD6二次函数cbxaxy2的图象,如图1 2 40 所示,根据图象可得a、b、c 与 0 的大小关系是()A a 0,b0, c 0 B a 0, b0,c0 C a 0,b0,c 0 D a 0, b0,c07小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满
8、意一跳,函数h=3 5 t 4 9 t2(t 的单位s;h 中的单位:m)可以描述他跳跃时重心高度的变化如图,则他起跳后到重心最高时所用的时间是()A 071s B 0.70s C 0.63s D 0 36s 8已知抛物线的解析式为y=( x 2)2 l,则抛物线的顶点坐标是()A ( 2, 1)B (2,l)C (2, 1)D (1, 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习好资料欢迎下载9若二次函数y=x2x 与 y= x2+k 的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是()A这两个函数图象有相同的对称轴B这两 个
9、函数图象的开口方向相反C方程x2+k=0 没有实数根D二次函数y= x2 k 的最大值为1 10抛物线y=x2 +2x 3 与 x 轴的交点的个数有()A 0 个B 1 个C2 个D 3 个11抛物线y=( x l)2 +2 的对称轴是()A直线x=1 B直线x=1 C直线x=2 D直线x=2 12已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则在“a0, b 0, c0, b24ac0”中,正确的判断是()A、B、C、D、13已知二次函数cbxaxy2(a0)的图象如图所示,则下列结论:a、 b 同号;当x=1 和 x=3 时, 函数值相等; 4a+b=0 ; 当 y= 2 时, x 的值只能取
10、0 其中正确的个数是()A l 个B 2 个C3 个D 4 个14如图,抛物线的顶点P 的坐标是(1, 3) ,则此抛物线对应的二次函数有()A最大值1 B最小值3 C最大值3 D最小值1 15用列表法画二次函数cbxaxy2的图象时先列一个表,当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时,函数y 所对应的值依次为:20, 56, 110, 182,274, 380, 506, 650其中有一个值不正确,这个不正确的值是()A 506 B380 C 274 D 182 16将二次函数y=x2 4x+ 6 化为y=(x h)2+k 的形式:y=_ 17把二次函数y=x2 4x+5 化成 y=(x
11、h)2+k 的形式: y=_ 18若二次函数y=x2 4x+c 的图象与x 轴没有交点,其中c 为整数,则c=_ _ (只要求写一个)19抛物线y=(x 1)2+3 的顶点坐标是_ 20二次函数y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A( 1,0) 、 B(3,0) 、 C(0,3)三点,(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标,并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。(2)若点( x0,y0)在抛物线上,且0x0 4, 试写出y0的取值范围。22华联商场以每件30 元购进一种商品,试销中发现每天的销售量y(件)与每件的销售精选学习资料 -
12、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习好资料欢迎下载价x(元)满足一次函数y=162 3x;( 1)写出商场每天的销售利润w(元)与每件的销售价x(元)的函数关系式;( 2)如果商场要想获得最大利润,每件商品的销售价定为多少为最合适?最大销售利润为多少?23某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程下面的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系) 根据图像提供的信息,解答下列问题:( 1)求累积利润s(万元)与
13、时间t (月)之间的函数关系式;( 2)求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元;( 3)求第8 个月公司所获利润是多少万元?24如图,有一座抛物线型拱桥,在正常水位时水面AB的宽是20 米,如果水位上升3 米时,水面CD的宽为10 米,(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发,要经过此桥开往乙地,已知甲地到此桥280千米, (桥长忽略不计)货车以每小时40 千米的速度开往乙地,当行驶到1 小时时,忽然接到紧急通知,前方连降大雨,造成水位以每小时25. 0米的速度持续上涨,(货车接到通知时水位在CD处) ,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车
14、辆通行;试问:汽车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过多少千米?25. 已知直线y 2x b(b 0) 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B; 一抛物线的解析式为y x2 (b 10)x c. 若该抛物线过点B, 且它的顶点P在直线y 2xb 上,试确定这条抛物线的解析式;若过点B 作直线BC AB交 x 轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y 2x b 的解析式 . 26如图,等腰梯形ABCD的边BC在x轴上,点A在y轴的正yxCDABO3 4 5 6 -1 -2 -3 s(万元 ) t(月) O 4 32 1 1 2 精
15、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习好资料欢迎下载方向上,A( 0, 6 ),D ( 4 ,6) ,且 AB=2 10 . (1)求点B的坐标;(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;(3) 在 (2) 中所求的抛物线上是否存在一点P, 使得 SPBD=12S梯形 ABCD。若存在,请求出该点坐标,若不存在,请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习好资料欢迎下载答案 : 15 2. D 21. (1) (1,4) (2) 5
16、 y0 4 22. (1) W= 3x2+252x 4860 (2) W最大=432 (元)23. (1) S= 12t2 2t (t 0) (2) 当 S=30 时, t=10 (3) 当 T=8 时, S=16 24. (1) y= 125x2(2) 水位约4 小时上涨到0,按原速不能安全通过此桥.若要通过需超过60 千米 /小时25. (1) y=x2 4x 6 或y=x2 10 (2) y= 2x 2 (提示, RtABC中, OB2=OA OC 26 (1) B( 2, 0) (2) y= 12x2+2x+6 (3) 由抛物线的对称性可知抛物线必过点C,因此,P 点必定在直线BD 下方,P1 (1+21 ,21 3) P2(121 ,21 3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页