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1、微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作第第2章章极极限限与与连连续续 主主主主 讲：孙讲：孙讲：孙讲：孙 平平平平微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作教学目的：教学目的： 知知知知道道道道极极极极限限限限概概概概念念念念（数数数数列列列列极极极极限限限限、函函函函数数数数极极极极限限限限、左左左左右右右右极极极极限限限限），知知知知道道道道极极极极限存在的充分必要条件。限存在的充分必要条件。限存在的充分必要条件。限存在的充分必要条件。 了了了了解解解解无无无无穷穷穷穷小小小小量量量量概概概概念念念念，了了了了解解解解无无无无
2、穷穷穷穷小小小小量量量量与与与与无无无无穷穷穷穷大大大大量量量量的的的的关关关关系系系系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即 掌掌掌掌握握握握极极极极限限限限的的的的四四四四则则则则运运运运算算算算法法法法则则则则，掌掌掌掌握握握握两两两两个个个个重重重重要要要要极极极极限限限限，掌掌掌掌握握握握求求求求极极极极限限限限的一般方法。的一般方法。的一般方法。的一般方法。 了了了了解解解解函函函函数数数数在在在
3、在一一一一点点点点连连连连续续续续的的的的概概概概念念念念，知知知知道道道道左左左左连连连连续续续续和和和和右右右右连连连连续续续续的的的的概概概概念念念念，知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作教学重点：教学重点： 1 1、函数极限（特别是、函数极限（特别是“”、“”型）型） 2 2、两个重要极限的计算；、两个重要极限的计算； 3 3、无无穷穷大大、无无穷穷小小的的概概念念、性性质质
4、和和关关系。系。 教学难点：教学难点：点连续及间断点的判断。点连续及间断点的判断。 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作一、主要内容归纳：一、主要内容归纳：（一）（一）函数极限函数极限 1、数列极限数列极限 按一定规律排列的一串数按一定规律排列的一串数 称为数列，记为称为数列，记为。第。第n n项称为数列项称为数列的通项。数列可看作是定义在正整数集合的通项。数列可看作是定义在正整数集合上的函数，上的函数，即即 （n=1,2,3n=1,2,3）微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作讨论讨论n n无限增大时无限增大时 的变化趋势
5、：的变化趋势： 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作数列极限定义：数列极限定义：一数列一数列 ，若当，若当n n无限增大时，无限增大时， 无限趋近某个固定常数无限趋近某个固定常数A A，则称当，则称当n n趋趋于无穷时，数列于无穷时，数列 以以A A为极限。为极限。 记为记为微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作2 2、函数极限函数极限 定定义义：函函数数 ，若若当当 趋趋近近于于时时，函函数数 趋趋近近一一个个确确定定的的常常数数A A，则则称称当当 趋趋于于时，函数时，函数 以以A A为极限。为极限。记为记为注意：注意：
6、1 1、以上是一个符号系统，构成极限定义，、以上是一个符号系统，构成极限定义， 缺一不可；缺一不可； 2 2、极限过程、极限过程xx是指是指 xx xx0 0, xx, xx0 0 , xx, xx0 0 , x, , x, x x, x, x中的一种。中的一种。微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作3 3、极限存在的充要条件极限存在的充要条件 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作例例、设设函函数数求求x=0x=0点点的的左左右右极极限限，并并判判断断在
7、在x=0x=0点点是是否否存存在在极限极限 因为在因为在x=0处左右极限不相等，所以在处左右极限不相等，所以在x=0处极限不存在处极限不存在解：解： 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作4 4、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 以零我极限的变量称为无穷小量；以零我极限的变量称为无穷小量；绝绝对对值值越越来来越越大大且且趋趋于于正正无无穷穷大大的的变变量量称为无穷大量。称为无穷大量。无穷小量与无穷大量的关系是：无穷小量与无穷大量的关系是： 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制
8、作孙平制作孙平制作孙平制作无穷小量的重要性质：无穷小量的重要性质： 无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量 如如当当时，时，是无穷小量是无穷小量微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作5 5、极限的四则运算、极限的四则运算 对某一极限过程对某一极限过程对某一极限过程对某一极限过程xx，若若若若limulimuA A，limvlimvB B，则有：，则有：，则有：，则有：1 1、lim(uv)lim(uv)limulimvlimulimvABAB；2 2、lim(uv)lim(uv)limulimvlimulimvABAB 若若若若v
9、 vc(cc(c是常量是常量是常量是常量) )，有，有，有，有lim(cu)lim(cu)climuclimucAcA；3 3、 推论：推论：推论：推论：、limulimun n(limu)(limu)n n A Ann（n n为自然数）为自然数）为自然数）为自然数）、limlim（n n为自然数）为自然数）为自然数）为自然数）、limClimCCC（C C是常数）是常数）是常数）是常数）微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作
10、孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作 两个重要极限推广形式两个重要极限推广形式 或或微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作 注：注：这里教材中相应公式原这里教材中相应公式原来来x x的位置，统统被的位置，统统被“（）（）”取取代，它可以是任一有意义的函数，代，它可以是任一有意义的函数，这时的公式实际比原公式应用更这时的公式实际比原公式应用更广。并给学者提供了想象空间，广。并给学者提供了想象空间，不具体给出函数形式。不具体给出函数形式。 微积分初步
11、微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作（二）连续与间断（二）连续与间断 1 1、点连续、点连续 在点连续的这一定义中，以下三个在点连续的这一定义中，以下三个条件要同时满足：条件要同时满足：、f(x)f(x)在点在点x x0 0的某一邻域有定义；的某一邻域有定义；、f(x)f(x)在点在点
12、x x0 0有极限；有极限；、f(x)f(x)在点在点x x0 0的极限值等于函数值。的极限值等于函数值。微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作2 2、间断点、间断点 函数的不连续点称为间断点函数的不连续点称为间断点例：求下列函数的间断点例：求下列函数的间断点 1、2、3、微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作解：解：1 1、x=1 x=1 （无定义）（无定义） 2 2、x=0x=0（极限不存在）（极限不存在） 3 3、x=0x=0（极限值不等于函数值）（
13、极限值不等于函数值） 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作3、利用连续性求极限、利用连续性求极限 由由 可知可知 连续函数极限符号与函数符号可以交换连续函数极限符号与函数符号可以交换如如微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作 （三）（三）极限的计算方法：极限的计算方法： l l极限的四则运算法则；极限的四则运算法则；l l 两个重要极限；两个重要极限；l l 函数的连续性。函数的连续性。具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。否则会在运算中出现错误。微积分初
14、步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作 例例 求下列极限求下列极限 1 1、解：当解：当时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则不存在，不能用极限的除法法则 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作2 2、解：解： 当当 时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都为为0 0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化先将根式有理化 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作3 3、解：当时分式的分子、分母的极限都为解
15、：当时分式的分子、分母的极限都为0 0，且，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则除法法则微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作4 4、解：先进行恒等变形，在利用第解：先进行恒等变形，在利用第2 2个重要极限个重要极限 微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作5 5、解：利用第一个重要极限解：利用第一个重要极限微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作对照练习对照练习1 1、求下列极限、求下列极限 1 1、2 2、3 3、4 4、微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作对照练习对照练习1 1、答案、答案 1 1、2 2、3 3、 4 4、e2微积分初步微积分初步微积分初步微积分初步孙平制作孙平制作孙平制作孙平制作
