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1、高一数学必修 1 各章知识点总 结一、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f (x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f (x)| xA 叫做函数的值域注意：2.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；
2、(3)对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(4)指数为零底不可以等于零(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ；定义域一致 (两点必须同时具备)3.值域 : 先考虑其定义域(1)观察法；(2)配方法；(3)代换法4.函数图象知识归纳(1)定义： 在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C, 叫做函数
3、 y=f(x),(x A)的图象. C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)均在 C 上.5.区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间（2）区间的数轴表示6.映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象） ”对于映射 f：AB 来说，则应满足：(1)集合 A 中的每一个
4、元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；(2)集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。7.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数;(2)各部分的自变量的取值情况;(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果 y=f (u)(uM),u=g (x)(xA),则 y=f g (x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。二、函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数 y=f (x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个
5、自变量 x1， x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质（2）图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义
6、法：1任取 x1，x2D，且 x1x2；2作差 f(x1)f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方） ；4定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负） ；5下结论（指出函数 y=f(x)在给定的区间 D 上的单调性） (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律： “同增异减”注意： 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2.函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)
7、就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称（4）利用定义判断函数奇偶性的步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2 确定 f(x)与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原
8、点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0 或 f(x)f(-x)=1 来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .3.函数的解析表达式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法；待定系数法；换元法；消参法10函数最大（小）值（定义见课本p30 页）1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2利用图象求函数的最大（小）值3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调
9、递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)高一数学必修四期末复习材料高一数学必修四期末复习材料一、基本三角函数正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、与角终边相同的角的集合为： k 360 ,k1)终边落在 x 轴上的角的集合：, z2)终边落在 y 轴上的角的集合： , z23)终边落在坐标轴上的角的集合： , z24、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度l r5、半径为
10、r的圆的圆心角所对弧的长为l，则 S 1l r 1r222360 2弧度16、弧度制与角度制的换算公式：180.弧度1弧度180180弧度7、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y，它与原点的距离是r r x2 y2 0，则sinyxycostanx 0r，r，x8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。 “一全正，二正弦，三两切，四余弦”“一全正，二正弦，三两切，四余弦”9、三角函数线：sin ，cos ，tan 10、同角三角函数的基本关系：yPTOMAx1sin2cos21，sin21cos2,cos21sin2；s
11、insinsin tancos,cos tan2tancos11、诱导公式Sin 2k Sin,k z1)终边相同的角的三角函数值相等Cos 2k Cos,k zt an 2k t an,k zSin Sin2)角与角关于x轴对称Cos Cost an t anSin Sin3)角与角关于y轴对称Cos Cost an t an4)角与角关于原点对称Sin Sin或 Sin （2k+1） SinCos Cos或 Cos （2k+1） Costan tan或 tan （2k+1） tanSin Cos25)角与角关于y x对称Cos Sin22tan cot2Sin Cos26)Cos Sin2
12、tan cot2上述的诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变，符号看象限”“奇变偶不变，符号看象限”12、五点作图法：0,0,步骤：列表、描点、连线3,1,0,1,2,02213、三角函数的性质y sin xy cos xy tan x图象定义域值域x x k, k 2R-1,1当x 2kk时 ，2R-1,1当x 2kk时 ，R最值ymax1； 当x 2k2ymax1；当x 2kk时，ymin 12偶函数既无最大值也无最小值k时，ymin 1周期性奇偶性2奇函数在2k,2k上增；在22奇函数2k,2kk上单调性在2k,2k3上减22增；在2k,2kk上减在k,k22k上是增函数k对称中心,0k 2对
13、称性对称中心k,0k对称轴x k2对称中心k,0k2k 对称轴x kk无对称轴14、函数y sinx 0,0的性质：振幅：决定函数的最值，最大值A,最小值 A；周期： 2；频率：f 1；相位：x ；初相：（左加右减） 215、由y sin x的图象变换出y ASinx的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y sin x的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变 为原来 的1倍(0)，再将图 像上各 点的 纵坐 标变为 原来的A 倍， 便得y ASinx的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
14、先将y sin x的图象上各点的横坐标变为原来的右(0)平移1倍(0)，再沿x轴向左(0)或向|个单位，再将图像上各点的纵坐标变为原来的 A 倍，便得y ASinx的图象。x arcsin y16、已知三角函数值求角：x arccos yx arctan y二、平面向量1、向量加法运算：1)三角形法则的特点：首尾相连2)平行四边形法则的特点：共起点3)运算性质：交换律：a b b a；结合律：a bc a b c；a x1, y1，a 0 0a a4)坐标运算：设b x2, y2，则ab x1 x2, y1 y22、向量减法运算：1)三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量2)坐标运
15、算：设则3)a x1, y1，b x2, y2Ca，ab x1x2, y1 y2bx , y x , y设、两点的坐标分别为11，22，则AB x2x1, y2 y1。3、向量数乘运算：1)实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aa b C Ca a；当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0运算律：aaa x, ya ba ba aa；坐标运算：设，则a x, yx,y4、向量共线定理：向量aa 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b aa 0 设a x1, y1,b x2, y2， 其 中b 0， 则 当 且 仅 当x1y2 x2y
16、1 0时，向量a、bb 0共线5、平面向量基本定理：如果e1 ,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数a1,a2，使 其中 e1 , e2为该平面内的两个a a1e1 a2e2 ,不共线的向量（不共线的向量e1 ,e2作为这一平面内所有向量的一组基底）6、平面向量的数量积：1)ab a b cosa 0,b 0,0 1802)性质：设a和b都是非零向量，则a b ab 0当a与b同向时，ab a b；当a与b反向时，ab a b；aa a a或a ab a b3)运算律：ab ba；a b ab ab；ab c acbc4)坐标运算：设两个非零向量a
17、 x1, y1,b x2, y2，则ab x1x2 y1y2若a x, y，则a x y，或a 22222零向量与任一向量的数量积为0aa x2 y2设a x1, y1,b x2, y2，则a b x1x2 y1y2 0设a、b都是非零向量，a x1, y1,b x2, y2，是a与b的夹角，则cosaba bx1x2 y1y2x y2121x y2222三、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：1)2)coscoscossinsincoscoscossinsinsinsincoscossinsinsincoscossintan；3)tantan1tantan（tantantan1tantan） ；tantantan1tantan（tantantan1tantan） 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：1)sin2 2sincos2222cos2cossin 2cos112sin2)cos2（cos211cos2sin222，）tan23)2tan1tan2Sin23、半角公式： 1 Cos21 CosCos 22tan2 1 CosSin1 Cos1 Cos1 CosSin4、求解最值：sincos22sin，其中tan
