高数下教案课件

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1、下页上页结束首页下页上页结束首页11.1 无穷级数的概念及基本性质无穷级数的概念及基本性质11.2 正项级数及其敛散性的判别法正项级数及其敛散性的判别法11.3 任意项级数任意项级数11.4 函数项级数函数项级数11.5 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径 幂级数的性质幂级数的性质11.6 泰勒级数泰勒级数下页上页结束首页11.7 幂级数的应用幂级数的应用11.8 复数项级数复数项级数 欧拉公式欧拉公式11.9 三角级数三角级数 欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式11.10 傅里叶级数傅里叶级数11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数定义在任意区间上的函数的傅里叶级数11.12 傅里叶级数的复

2、数形式傅里叶级数的复数形式下页上页结束首页11.1 无穷级数的概念及基本性质无穷级数的概念及基本性质 设有半径为设有半径为R的圆，作圆内接正六边形，其面积的圆，作圆内接正六边形，其面积记为记为a1，可作为圆面积，可作为圆面积S的一个近似值。的一个近似值。 为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作为了提高精确度，以正六边形的每条边为底边作顶点在圆周上的顶点在圆周上的6个等腰三角形，它们的面积记为个等腰三角形，它们的面积记为a2，则，则a1+a2是圆内接正十二边形的面积，它是圆面积是圆内接正十二边形的面积，它是圆面积S的比的比a1较精确的近似值。较精确的近似值。 下页上页结束首页它是圆内接正它是

3、圆内接正32n边形的面积，当边形的面积，当n愈大，圆内接正愈大，圆内接正32n边形的面积愈接近圆面积边形的面积愈接近圆面积S，因此当，因此当n无限增大时无限增大时圆内接正圆内接正32n边形面积的极限值就是圆面积边形面积的极限值就是圆面积S，即，即 再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上的的12个等腰三角形，他们的面积记为个等腰三角形，他们的面积记为a3，则，则a1+a2+ a3是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积S的比的比a1+a2较精确的近似值。较精确的近似值。按照上述步骤继续按照上述步骤继续n次，就得到和

4、式次，就得到和式下页上页结束首页 或或 除了计算圆面积时需要讨论形如除了计算圆面积时需要讨论形如 的的“和和”之外，还可以举出大量的例子说明我们经之外，还可以举出大量的例子说明我们经常要研究形如式常要研究形如式(1)的的“和和”。初等数学中的循环。初等数学中的循环小数小数与无限不循环小数与无限不循环小数 都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道 下页上页结束首页 由于由于 ，因此，因此 可见计算可见计算e时，需要讨论形如式时，需要讨论形如式(1)的的“和和”，e就是就是 当当n时的极限。时的极限。下页上页结束首页11.1.1 无穷级数的收敛与发散无穷

5、级数的收敛与发散 设有数列设有数列 u1，u2，un， 则把它们依次相加得则把它们依次相加得 u1+u2+un+ 这式子成为这式子成为无穷级数无穷级数(简称为级数简称为级数)，简记为，简记为 即即下页上页结束首页 以上设式中的每一项称为级数的以上设式中的每一项称为级数的项项；其中；其中un称为级称为级数的数的通项通项或或一般项一般项设设 S1=u1，S2=u1+u2， 其中前其中前n项的和项的和Sn称为级数的称为级数的第第n部分和部分和，或简称为，或简称为级数的级数的部分和部分和。如果部分和数列。如果部分和数列Sn的极限的极限 存在且等于存在且等于S，则称级数是，则称级数是收敛收敛的，且收敛于

6、的，且收敛于S，并，并称称S为级数的为级数的和和，记作，记作 如果极限如果极限 不存在，则称级数是不存在，则称级数是发散发散的。的。下页上页结束首页 例例1 讨论级数讨论级数的收敛性。的收敛性。 解：此级数的部分和为解：此级数的部分和为从而从而 ，故，故 收敛，且收敛，且下页上页结束首页 例例2 设设a0，讨论，讨论等比级数等比级数(或称或称几何级数几何级数)的敛散性。的敛散性。 解：级数的部分和为解：级数的部分和为当当|q|1时，由时，由 知知 不存在；不存在；当当q=1时，时， ； 综上所述，当综上所述，当|q|1时，级数时，级数 收敛于和收敛于和 ；当当|q|1时，级数时，级数 发散。发

7、散。故故 不存在。不存在。下页上页结束首页 例例3 讨论级数讨论级数的敛散性。的敛散性。 解：解：两式相减得两式相减得故当故当q1时，时，下页上页结束首页还可以用另一种方法求还可以用另一种方法求Sn(若把若把q视为变量视为变量)：当当q1时，时，下页上页结束首页当当|q|1时，时，当当q=1时，时， ，故，故 ；综上所述，当综上所述，当|q|0时，时，xln(1+x)，故，故 由定理由定理2知知 发散发散下页上页结束首页例例2 讨论讨论p级数级数 的敛散性的敛散性解：解：(1) 当当p1，由于，由于 ，而，而 发散，发散，故故 发散发散 (2) 当当p1，依次地把级数的每，依次地把级数的每1项

8、、项、2项、项、4项、项、8项、项、依次加括号，得级数依次加括号，得级数它的各项不大于级数它的各项不大于级数下页上页结束首页的对应项。由于级数式的对应项。由于级数式(2)是公比为是公比为 的几的几何何级数，故由正项级数比较判别法知级数式级数，故由正项级数比较判别法知级数式(1)收敛，收敛，因而级数因而级数 的部分和有上界，故级数的部分和有上界，故级数 收敛收敛综上所述，综上所述，p级数级数 当当p1时收敛，时收敛，p1时发散，时发散，例如级数例如级数下页上页结束首页是收敛的，级数是收敛的，级数是发散的是发散的例例3 判别级数判别级数的敛散性的敛散性解：解： 由于由于 发散，故发散，故 也发散。

9、又因也发散。又因故故 也发散也发散下页上页结束首页例例4 设设a0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性解：解：当当a=1时，因时，因 ，故已给级数发散，故已给级数发散当当0a1时，因时，因 ，而等比级数，而等比级数 收敛，收敛，故由比较判别法知已给级数收敛故由比较判别法知已给级数收敛综上所述，当综上所述，当01时已给时已给级数收敛级数收敛下页上页结束首页例例5 判别级数判别级数的敛散性的敛散性解：容易证明解：容易证明由于当由于当 时，时，p级数级数 发散，故级数发散，故级数 发发散散因而级数因而级数 也发散也发散下页上页结束首页定理定理3 若若 和和 均为正项级数均为正项级数(vn0)，且，

10、且l为常数或为常数或+，则，则 1. 当当0l0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性解：解：方法一方法一 由于由于 ，故，故 与与 敛散性相同，即已给级数当敛散性相同，即已给级数当p1时收敛；而当时收敛；而当p1时发时发散散方法二方法二 1. 设设p1，由于当，由于当 时，时，xsin x0，故故而当而当p1时级数时级数 收敛，故已给级数收敛收敛，故已给级数收敛下页上页结束首页2.设设0p1，由于当，由于当x0时，时，sin xx，故当，故当n充分大时，充分大时，有有 ，故，故3. 而当而当00，判别级数，判别级数 的敛散性的敛散性 定理定理4 设设 为正项级数，其中为正项级数，其中un0，

11、且，且 ，则则 1. 当当0l1时，级数时，级数 收敛；收敛； 3. 当当l=1时，不能确定级数时，不能确定级数 的敛散性。的敛散性。 2. 当当10，b0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性故若故若0a1，则当，则当0b1时级数发时级数发散；当散；当b=1时级数为时级数为 ，由例，由例4知级数发散。知级数发散。下页上页结束首页例例11 设设a0，讨论级数，讨论级数 的敛散性的敛散性解：解： 级数通项级数通项故当故当0ae时级数发散；当时级数发散；当a=e时时比值判别法失效，但此时由于比值判别法失效，但此时由于 随随n的增大而趋的增大而趋于于e，故，故下页上页结束首页由此可知由此可知 ，故当

12、，故当a=e时已给级数发时已给级数发散散综上所述，级数综上所述，级数 当当0ae时收敛；当时收敛；当ae时发散时发散因而因而下页上页结束首页11.2.2 根值判别法根值判别法对于正项级数对于正项级数 ，若，若 ，或者，或者 不存不存在在(非非)时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下的的根值判别法根值判别法(或称或称柯西判别法柯西判别法)下页上页结束首页定理定理5 设设 为正项级数，且为正项级数，且 ，则，则 1. 当当0l1时，级数时，级数 收敛；收敛； 2. 当当10，讨论，讨论 的敛散性的敛散性解：不难看出，解：不难看出，对此级数宜用根值法而不宜用

13、比值法，通项对此级数宜用根值法而不宜用比值法，通项故当故当a1时，此级数收敛；当时，此级数收敛；当0a0)解：解： 取取 ，则，则f(x)满足定理满足定理6中的一切中的一切条件。由于条件。由于故当故当p1时，广义积分时，广义积分 ，收敛；当，收敛；当01时收敛，当时收敛，当00时，时，依莱布尼兹判别法知级数依莱布尼兹判别法知级数 收敛收敛例例2 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性解：解：易见易见un+1un，但，但 ，因此这个交错级数是，因此这个交错级数是发散的发散的下页上页结束首页11.3.2 绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛若绝对值级数若绝对值级数 发散，而级数发散，而级数 收敛，则称

14、收敛，则称 为为条件收敛条件收敛。下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念级数绝对收敛和条件收敛级数绝对收敛和条件收敛设有任意项级数设有任意项级数把各项取绝对值所成的级数把各项取绝对值所成的级数 称为它的称为它的绝对值级数绝对值级数。若绝对值级数若绝对值级数 收敛，则称级数收敛，则称级数 为为绝对收敛绝对收敛；下页上页结束首页定理定理2 如果如果 绝对收敛，则绝对收敛，则 必收敛必收敛例例3 下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？条件收敛？(1) ；(2) ；(3)解：解：(1) 因为因为 ，而

15、级数，而级数 收敛，故对于收敛，故对于任意任意实数实数a，级数，级数 收敛，因此级数收敛，因此级数 绝绝对对收敛收敛下页上页结束首页(2) 因为因为 (3) 因为因为故级数故级数 收敛，因此级数收敛，因此级数 绝对收绝对收敛敛而级数而级数 发散，故发散，故 也发散，因此已给级也发散，因此已给级数数不是绝对收敛不是绝对收敛下页上页结束首页但是由于但是由于故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 条件收敛条件收敛定理定理3 若级数若级数 绝对收敛，则任意改变其各项的次绝对收敛，则任意改变其各项的次序所得的新级数仍旧绝对收敛，且级数的和不变序所得的新级数仍旧绝对收敛，

16、且级数的和不变下页上页结束首页11.4 函数项级数函数项级数设设un(x)(n=1，2，3，)是定义在实数集合是定义在实数集合(一般为区一般为区间间)X上的函数序列，则称式子上的函数序列，则称式子u1(x)+u2(x)+un(x)+为为函数项级数函数项级数，简记为，简记为对于数集对于数集X上任一点上任一点x0，对应着一个数项级数，对应着一个数项级数下页上页结束首页如果数项级数如果数项级数 收敛，称收敛，称x0为函数项级数为函数项级数 的一个的一个收敛点收敛点，否则称，否则称x0为函数项级数为函数项级数 的的发发散散点点。 的全体收敛点的集合称为它的的全体收敛点的集合称为它的收敛域收敛域在收敛域

17、上，级数在收敛域上，级数 的和依赖于点的和依赖于点x，因此函数，因此函数项级数的和是项级数的和是x的函数，并称它为级数的函数，并称它为级数 的的和函和函数数，记作，记作S(x)，即当，即当x为收敛域上的点时，为收敛域上的点时，如果用如果用Sn(x)来记级数来记级数 的的部分和函数部分和函数(简称部分简称部分和和)：下页上页结束首页则对于级数的收敛点则对于级数的收敛点x，有，有用极限的用极限的N语言来描述就是：对于任意给定的正数语言来描述就是：对于任意给定的正数，存在正整数，存在正整数N，当，当nN时，使时，使|Sn(x)S(x)|，这，这里的里的N既与既与有关，又与收敛域上的点有关，又与收敛域

18、上的点x有关。用符号有关。用符号表示为表示为当函数项级数当函数项级数 收敛时，把收敛时，把下页上页结束首页称为函数项级数称为函数项级数 的的余和余和，显然在收敛域，显然在收敛域I的每的每一点一点x，S(x)=Sn(x)+rn(x)，由于，由于 ，故，故即余和随项数无限增加而趋于零即余和随项数无限增加而趋于零例例1 考察函数项级数考察函数项级数 的收敛域、和函数及余和的收敛域、和函数及余和解：此级数部分和为解：此级数部分和为下页上页结束首页显然当显然当|x|1时，时， ；当；当|x|1时，时， 不存在。故不存在。故 的收敛域为的收敛域为|x|1，和函数为，和函数为 ，常记为常记为当当|x|0时，

19、时， 收敛，故收敛，故 绝绝对对收敛；收敛；下页上页结束首页当当 ，即，即x0时，时， 发散；发散； 当当 ，即，即x=0时，时， ，此交错级数，此交错级数这样得到级数这样得到级数 的收敛域为的收敛域为0，+)(2) 由由11.1节例节例3得知，级数得知，级数下页上页结束首页当当|1+sinx|1收敛，收敛，|1+sinx|1时发散。而不等式时发散。而不等式|1+sinx|1的解为的解为(2k1)x2k(k=0，1，2，)它就是所给级数的收敛域。它就是所给级数的收敛域。由以上的例题可以看到，函数项级数的收敛域多种多由以上的例题可以看到，函数项级数的收敛域多种多样，甚至可能是很复杂的数集。由于函

20、数项级数仅当样，甚至可能是很复杂的数集。由于函数项级数仅当收敛时才有意义，因此一旦讨论清楚级数的收敛收敛时才有意义，因此一旦讨论清楚级数的收敛域时，就应该把它附在级数的后面，从而把级数及其域时，就应该把它附在级数的后面，从而把级数及其收敛域视为一个整体。收敛域视为一个整体。下页上页结束首页11.5 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径 幂级数的性质幂级数的性质现在我们讨论形式最简单同时又是非常重要的一类函现在我们讨论形式最简单同时又是非常重要的一类函数项级数数项级数幂级数幂级数，它的一般形式是，它的一般形式是其中其中x0是一个定点，而是一个定点，而a0，a1，是常数，称为幂级是常数，称为幂级数的数

21、的系数系数11.5.1 幂级数及其收敛半径幂级数及其收敛半径下页上页结束首页幂级数幂级数 是最简单的函数项级数，因为：是最简单的函数项级数，因为：1. 它是多项式它是多项式当当n时的极限形式，而多项式是只包含加法和乘时的极限形式，而多项式是只包含加法和乘法两种最基本运算的简单函数法两种最基本运算的简单函数2. 和其他的函数项级数不同，幂级数收敛域是结构特和其他的函数项级数不同，幂级数收敛域是结构特别简单的区间别简单的区间下页上页结束首页由于通过变量变换由于通过变量变换y=xx0可以把幂级数可以把幂级数 化为化为因此，不失一般性，我们只需讨论因此，不失一般性，我们只需讨论x0=0时的幂级数。时的

22、幂级数。对于这种幂级数的收敛域，有如下的对于这种幂级数的收敛域，有如下的阿贝尔定理阿贝尔定理定理定理1 设有幂级数设有幂级数 1. 当当x=x0(x00)时幂级数收敛，则当时幂级数收敛，则当|x|x0|时时 也发散；也发散；定理定理2 设有幂级数设有幂级数 ，且，且 (可以是可以是+)，则，则 1. 当当0+时，则时，则 ； 2. 当当=0时，则时，则R=+； 3. 当当=+时，则时，则R=0。下页上页结束首页例例1 求幂级数求幂级数 的收敛半径及收敛区的收敛半径及收敛区间间解解:当当x=2时，级数为时，级数为 ，这是收敛的交错，这是收敛的交错级数；级数；当当x= 2时，级数为时，级数为 ，这

23、是发散级数，故所，这是发散级数，故所论论幂级数的收敛区间为幂级数的收敛区间为(2，2如果幂级数只含有如果幂级数只含有x的奇次幂或的奇次幂或x偶次幂，它的形式是偶次幂，它的形式是 或或 ，这时虽有，这时虽有 ，但它的，但它的收收下页上页结束首页敛半径敛半径R不一定等于不一定等于 ，因为这时，因为这时根据达朗贝尔判别法，当根据达朗贝尔判别法，当x21 ，即，即 时级数发散，在这种时级数发散，在这种情况下，级数情况下，级数 或或 的收敛半径为的收敛半径为为了避免不恰当地应用定理为了避免不恰当地应用定理2而产生的错误，通常宁可而产生的错误，通常宁可直接用达朗贝尔判别法而不用定理直接用达朗贝尔判别法而不

24、用定理2来确定幂级数的收来确定幂级数的收敛半径及收敛区间敛半径及收敛区间下页上页结束首页例例2 求幂级数求幂级数 的收敛半径和收敛区间的收敛半径和收敛区间解解:于是于是R=+，收敛区间为，收敛区间为(，+)，即对于一切实数，即对于一切实数x，幂级数，幂级数 收敛收敛下页上页结束首页例例3 求幂级数求幂级数的收敛区间的收敛区间解：解：当当 ，即，即 时所论幂级数绝时所论幂级数绝对收敛；对收敛；下页上页结束首页当当 ，即，即 或或 时级数发散；时级数发散；当当 ，即，即 时，级数为时，级数为这是收敛级数这是收敛级数由此知所论幂级数的收敛区间为由此知所论幂级数的收敛区间为下页上页结束首页例例4 求幂

25、级数求幂级数 的收敛区间的收敛区间解：解：故收敛半径故收敛半径当当 时，时，下页上页结束首页由于由于 可知可知故级数的一般项故级数的一般项un不趋于不趋于0，从而此时幂级数发散，从而此时幂级数发散于是幂级数于是幂级数 的收敛区间为的收敛区间为下页上页结束首页例例5 求幂级数求幂级数 的收敛区间的收敛区间解：因解：因下页上页结束首页由于由于故由定理故由定理3知收敛半径知收敛半径当当x= 1时，级数为时，级数为把它的通项与级数把它的通项与级数故故 不存在，因而不能用定理不存在，因而不能用定理2来求收敛区间来求收敛区间下页上页结束首页 也发散也发散当当x=1时，级数为时，级数为假定这级数收敛，把它加

26、括号后的级数假定这级数收敛，把它加括号后的级数应该收敛，其通项应该收敛，其通项的通项作比较，由于的通项作比较，由于 ，而级数，而级数 发散，故发散，故下页上页结束首页由于级数由于级数发散，故发散，故 发散，根据级数基本性质知发散，根据级数基本性质知 发散发散归纳以上结果，已给幂级数的收敛区间为归纳以上结果，已给幂级数的收敛区间为(1，1)下页上页结束首页设幂级数设幂级数11.5.2 幂级数的运算幂级数的运算和和的收敛半径分别为的收敛半径分别为R1和和R2，并令，并令R=minR1，R2，则，则在在(R，R)内有加法运算内有加法运算下页上页结束首页下页上页结束首页及乘法运算及乘法运算下页上页结束

27、首页其中其中加法运算性质由数项级数的响应性质即可得到，而乘加法运算性质由数项级数的响应性质即可得到，而乘法性质可由幂级数在收敛区间内绝对收敛及数项级数法性质可由幂级数在收敛区间内绝对收敛及数项级数的绝对收敛的相应性质得到的绝对收敛的相应性质得到例如，由于幂级数例如，由于幂级数当当|x|1时绝对收敛，故由幂级数的乘法得时绝对收敛，故由幂级数的乘法得下页上页结束首页定理定理4 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区间(R，R)内连续内连续定理定理5 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区间(R，R)内可

28、积，且可逐项求积分，即内可积，且可逐项求积分，即下页上页结束首页积分后的幂级数积分后的幂级数 与原幂级数与原幂级数 的收敛的收敛半径相同半径相同定理定理6 设幂级数设幂级数 的收敛半径为的收敛半径为R，则其和函数，则其和函数S(x)在区间在区间(R，R)可微，且可逐项求导，即可微，且可逐项求导，即下页上页结束首页而且求导所得级数而且求导所得级数 与原幂级数与原幂级数 的收敛的收敛半半径相同径相同由此可知幂级数在收敛域内有任意阶导数由此可知幂级数在收敛域内有任意阶导数例例6 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数解：由于解：由于故故下页上页结束首页又又故故下页上页结束首页例例7 求级数求级数 的和的

29、和解：从级数形式看出我们要先求幂级数解：从级数形式看出我们要先求幂级数 和和函数，再将函数，再将 带入，由带入，由可得可得下页上页结束首页故故于是令于是令 ，就有，就有下页上页结束首页定理定理1 若函数若函数f(x)在包含在包含x0的邻域的邻域U(x0，)内各阶导内各阶导数数f(x)、f(x)、f(n)(x)、都存在，则可把都存在，则可把f(x)展展开为开为xx0的幂级数的幂级数的充分必要条件是的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项的泰勒公式中的余项Rn(x)当当n时的极限为零，即时的极限为零，即11.6 泰勒级数泰勒级数11.6.1 泰勒级数泰勒级数下页上页结束首页式式(2)右边的级数称

30、为右边的级数称为f(x)在点在点x=x0的的泰勒级数泰勒级数。它的。它的系数系数 称为称为f(x)的的泰勒系数泰勒系数。当。当x=0时，泰勒级时，泰勒级数也称为数也称为麦克劳林级数麦克劳林级数定理定理1表明：当表明：当f(x)的泰勒公式中余项的泰勒公式中余项Rn(x)趋于零时，趋于零时，f(x)的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于f(x)，这时我们称，这时我们称f(x)在在x=x0处可处可以展开为泰勒级数，等式以展开为泰勒级数，等式(2)称为称为f(x)在在x=x0的的泰勒展泰勒展开式开式。特别地，当。特别地，当x=0时，时，f(x)的泰勒展开式的泰勒展开式下页上页结束首页也称为也称为f(x)的的

31、麦克劳林展开式麦克劳林展开式应当注意的是：把函数展开为泰勒级数时，必须指出应当注意的是：把函数展开为泰勒级数时，必须指出使展开式成立的范围使展开式成立的范围例例1 将将f(x)=ex展开为展开为x的幂级数，并指出收敛区间的幂级数，并指出收敛区间解：解：f(x)=ex的泰勒公式为的泰勒公式为其中其中下页上页结束首页于是得级数于是得级数因因故级数的收敛半径故级数的收敛半径R=+，收敛区间为，收敛区间为(，+)对于任何有限数对于任何有限数x，总可以取正数，总可以取正数M，使，使|x|M下页上页结束首页由比值判别法知级数由比值判别法知级数 收敛，故其通项趋于收敛，故其通项趋于零，即零，即 ，由此的，由

32、此的 ，故得，故得ex的幂级数展的幂级数展开开式为式为例例2 将将 展开为麦克劳林级数展开为麦克劳林级数解：因解：因故故f(x)的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为下页上页结束首页其中其中由于求出由于求出Rn(x)中中的具体表达式并非易事，因此研究的具体表达式并非易事，因此研究余项余项Rn(x)是否趋于零非常困难，通过直接除法，得是否趋于零非常困难，通过直接除法，得下页上页结束首页比较两式得比较两式得的麦克劳林展开式为的麦克劳林展开式为显然只有当显然只有当|x|1时，时， ，于是，于是下页上页结束首页定理定理2 如果如果f(x)可以展开为可以展开为xx0的幂级数，那么这样的的幂级数，那么这样的幂级

33、数是唯一的，并且它的系数就是泰勒系数幂级数是唯一的，并且它的系数就是泰勒系数唯一性定理为我们提供很大的方便，只要我们建立函唯一性定理为我们提供很大的方便，只要我们建立函数一些基本的展开式之后，就可以通过变量代换或其数一些基本的展开式之后，就可以通过变量代换或其他方法求出比较复杂的函数的展开式。这种展开函数他方法求出比较复杂的函数的展开式。这种展开函数的方法也称为的方法也称为间接展开法间接展开法下页上页结束首页例例3 将函数将函数 展开为展开为x3的幂级数的幂级数故令故令 ，则由唯一性定理得，则由唯一性定理得解：解：由于由于下页上页结束首页即即解：由解：由得得例例4 将将 在在x=0处展开为幂级

34、数处展开为幂级数下页上页结束首页例例5 将将ex(1x)展开为展开为x的幂级数的到含有的幂级数的到含有x4的项的项解：用解：用x(1x)代换代换ex的麦克劳林展开式中的的麦克劳林展开式中的x得得即即下页上页结束首页11.6.2 一些初等函数的泰勒展开式一些初等函数的泰勒展开式前面我们已经建立了前面我们已经建立了 、ln(1+x)、ex的泰勒展开式的泰勒展开式，下面我们还要建立，下面我们还要建立sinx、cosx及及(1+x)m(其中其中m为任为任意意实数实数)等函数的泰勒展开式，然后通过例题说明如何利等函数的泰勒展开式，然后通过例题说明如何利用这些基本的展开式来推导某些函数的展开式用这些基本的

35、展开式来推导某些函数的展开式例例6 将将sinx展开为展开为x的幂级数的幂级数解：解：sinx的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为下页上页结束首页其中其中于是于是由于级数由于级数 在在(，+)上收敛，故其通项上收敛，故其通项趋趋于零。从而于零。从而 故由定理故由定理1得得下页上页结束首页可用上述方法推出的展开式为可用上述方法推出的展开式为也可以利用幂级数的逐项求导性质从也可以利用幂级数的逐项求导性质从sinx的展开式推的展开式推出这个展开式出这个展开式例例7 将将sinx在在x=x0展开为幂级数展开为幂级数解：因解：因下页上页结束首页因因故有故有下页上页结束首页下页上页结束首页例例8 将将(1+x

36、)m展开为展开为x的幂级数，其中的幂级数，其中m为任意实数为任意实数解解：(1+x)m的泰勒公式为的泰勒公式为下页上页结束首页其中其中Rn(x)为余项，可以证明当为余项，可以证明当|x|1时，时， ，故有故有要证明当要证明当|x|106，故可取，故可取n=9，于是，于是例例2 求求ln2的近似值，精确到的近似值，精确到106解：由于解：由于 ，令，令x=1得得等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和等式右边是满足莱布尼兹定理条件的交错级数。余和的估计的估计 ，由题意要使，由题意要使|rn|106，只要，只要下页上页结束首页n106，这样要计算，这样要计算100万项的和，计算量太大，原因万

37、项的和，计算量太大，原因是这个级数收敛速度太慢，设法用收敛速度快的级数，是这个级数收敛速度太慢，设法用收敛速度快的级数，由于由于两式相减得两式相减得下页上页结束首页令令 ，解得，解得 ，故，故得得由于由于下页上页结束首页要使要使|rn|106，只要，只要 ，可取，可取n6，于是于是如果在展开式如果在展开式 中，令中，令，解得，解得 ，则，则依次令依次令n=2，3，即可得到，即可得到ln3，ln4，即正整，即正整数的自然对数数的自然对数下页上页结束首页例例3 给出求给出求的近似值的有效方法的近似值的有效方法即即解：由于解：由于 ，令，令x=1得得利用这个级数来计算利用这个级数来计算的值，即使只要

38、求精确到的值，即使只要求精确到104，也要计算，也要计算 项，因此要设法加快其收敛速度项，因此要设法加快其收敛速度我们知道，在函数的幂级数展开式中，我们知道，在函数的幂级数展开式中，|x|愈小，则级愈小，则级数收敛得愈快，因此希望建立一个等式，它既包含数收敛得愈快，因此希望建立一个等式，它既包含下页上页结束首页要求的数要求的数，又包含一个收敛较快的幂级数，同时，又包含一个收敛较快的幂级数，同时能用它表示能用它表示。由此得到由此得到在在arctan x的幂级数展开式中令的幂级数展开式中令 及及 得得下页上页结束首页但是这两个等式右边的级数收敛的速度还不够快。但是这两个等式右边的级数收敛的速度还不

39、够快。令令 ，则，则下页上页结束首页因因tan41，如果设，则，如果设，则|很小，于是很小，于是故故即即在在arctanx的幂级数展开式中分别令的幂级数展开式中分别令 及及 ，并带入上式，就得到计算并带入上式，就得到计算的等式。的等式。下页上页结束首页11.7.2 用级数表示积分用级数表示积分 连续函数连续函数f (x)的原函数一定存在，若的原函数一定存在，若F (x)是是f (x)的一个原函数，则的一个原函数，则下页上页结束首页但是原函数不一定能表示成初等函数的形式。如果但是原函数不一定能表示成初等函数的形式。如果f(x)可以展开为幂级数可以展开为幂级数则它在收敛区间内可以逐项积分，即则它在

40、收敛区间内可以逐项积分，即于是于是f(x)的原函数就可以用幂级数来表示的原函数就可以用幂级数来表示下页上页结束首页由于幂级数结构简单，而且在收敛区间上的性质和它由于幂级数结构简单，而且在收敛区间上的性质和它的有限形式的有限形式多项式的某些性质十分相似，因此把多项式的某些性质十分相似，因此把f (x)的原函数表示成幂级数。的原函数表示成幂级数。例例4 求不定积分求不定积分 的幂级数表达式，其中被积的幂级数表达式，其中被积函数当函数当x=0时定义为时定义为1解：由于解：由于下页上页结束首页故故经补充定义后，上式对于经补充定义后，上式对于x=0也成立。于是根据幂级也成立。于是根据幂级数可以逐项积分的

41、性质得数可以逐项积分的性质得在定积分计算中，如果被积函数的原函数不是初等函在定积分计算中，如果被积函数的原函数不是初等函数，或者原函数即使是初等函数，但不易求出，这时数，或者原函数即使是初等函数，但不易求出，这时就需要用数值方法来近似计算定积分。就需要用数值方法来近似计算定积分。下页上页结束首页把定积分用幂级数表示，只要能估计出把定积分用幂级数表示，只要能估计出n项之后的余项之后的余和，就可以用级数的前和，就可以用级数的前n项和佐为积分的近似值，而项和佐为积分的近似值，而且达到要求的精确度且达到要求的精确度例例5 计算积分计算积分 的近似值，精确到的近似值，精确到108解：因为解：因为 ，积分

42、不是广义积分，补充定，积分不是广义积分，补充定义，使被积函数在义，使被积函数在x=0时等于时等于1，于是被积函数为连续，于是被积函数为连续函数，由于函数，由于下页上页结束首页则则取前取前n项和作为近似值，其余和的绝对值项和作为近似值，其余和的绝对值要使误差小于要使误差小于108，只要，只要n5，故得，故得下页上页结束首页11.8 复数项级数复数项级数 欧拉公式欧拉公式11.8.1 复数项级数复数项级数假设级数假设级数 的项的项wn是复数，则称是复数，则称 为为复数项级复数项级数数，与实，与实(数项数项)级数一样，我们把级数一样，我们把wn=un+ivn称为复称为复(数数项项)级数的通项，把级数

43、的通项，把 称为复级数的称为复级数的第第n部分部分和和如果如果 存在，且存在，且 ，则称复数项级数，则称复数项级数 收敛于收敛于S，并将，并将S称为复数项级数的和。如果称为复数项级数的和。如果 不不存在，则称复数项级数存在，则称复数项级数 发散，当复数项级数发散，当复数项级数下页上页结束首页收敛时，称收敛时，称复数项级数的绝对收敛和条件收敛概念与实数项级数复数项级数的绝对收敛和条件收敛概念与实数项级数的绝对收敛和条件收敛概念相同。同样可以用实数项的绝对收敛和条件收敛概念相同。同样可以用实数项级数的比较判别法、比值判别法等来判别复数项级数级数的比较判别法、比值判别法等来判别复数项级数的绝对收敛性

44、的绝对收敛性为级数为级数 的第的第n项后的项后的余和余和如果复数项级数如果复数项级数 收敛，则它的通项趋于零，即收敛，则它的通项趋于零，即下页上页结束首页关于复数项幂级数也有如下的关于复数项幂级数也有如下的阿贝尔定理阿贝尔定理定理定理 设有幂级数设有幂级数1. 如果当如果当z=z0(z00)时幂级数收敛，则当时幂级数收敛，则当|z|z0|时幂级数发散时幂级数发散从这定理可知，对于复数项幂级数从这定理可知，对于复数项幂级数 来说，也存来说，也存在正实数在正实数R，当，当|z|R时级数时级数发散。发散。R称为复数项幂级数的称为复数项幂级数的收敛半径收敛半径。显然幂级数。显然幂级数 的收敛域是以的收

45、敛域是以z=0为中心的圆域。这个圆域可能为中心的圆域。这个圆域可能只有一点，也可能是整个复平面只有一点，也可能是整个复平面复数项幂级数的收敛半径也可以像实数项幂级数的收复数项幂级数的收敛半径也可以像实数项幂级数的收敛半径那样用比值法或根值法求得敛半径那样用比值法或根值法求得下页上页结束首页11.8.2 欧拉公式欧拉公式这里介绍一个复变函数中的欧拉公式这里介绍一个复变函数中的欧拉公式eix=cosx+isinx把实指数函数把实指数函数ex和实三角函数和实三角函数sinx、cosx的展开式中的的展开式中的x换成复数换成复数z，得到复数项幂级数，得到复数项幂级数下页上页结束首页可以证明它们在整个复平

46、面上都是绝对收敛的，在可以证明它们在整个复平面上都是绝对收敛的，在z=x时它们分别表示指数函数时它们分别表示指数函数ex和三角函数和三角函数sinx、cosx，于，于是我们很自然地定义是我们很自然地定义下页上页结束首页当当x=0时，时，z=iy为纯虚数，此时有为纯虚数，此时有把把y换成换成x，上式变为，上式变为eix=cosx+isinx这就是这就是欧拉公式欧拉公式下页上页结束首页令令x=，得到，得到ei= 1，即，即ei+1=0这个等式被数学史家称为数学中这个等式被数学史家称为数学中“最美最美”的等式，因的等式，因为为它将数学上最重要的它将数学上最重要的5个常数个常数0，1，e，i以极为简以

47、极为简单的形式联系在一起单的形式联系在一起在欧拉公式用在欧拉公式用x代替代替x得得eix=cosxisinx并可立即推出并可立即推出这这两两个个等等式式也也称称为为欧欧拉拉公公式式下页上页结束首页我们把上式称为我们把上式称为三角级数三角级数，其中常数，其中常数a0、an、bn(n=1，2，)称为三角级数的称为三角级数的系数系数11.9 三角级数三角级数 欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式11.9.1 三角级数三角级数11.9.2 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角级数的各项是由三角函数三角级数的各项是由三角函数cos0x、cosnx、sinnx(n=1，2，)所组成的。函数系所组成的。函数系

48、(序列序列)下页上页结束首页1，cosx，sinx，con2x，sin2x，cosnx，sinnx，称为称为三角函数系三角函数系，可以验证，可以验证下页上页结束首页上式表明三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在上式表明三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间区间，上的积分等于零，称三角函数系在上的积分等于零，称三角函数系在，上正交上正交下页上页结束首页11.9.3 欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式上式称为上式称为欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式下页上页结束首页上一节我们假设上一节我们假设f(x)能够用一个收敛的三角级数表示能够用一个收敛的三角级数表示然后利用三角函数系的正交性得到了确定系数的欧拉

49、然后利用三角函数系的正交性得到了确定系数的欧拉-傅里叶公式。反过来，如果以傅里叶公式。反过来，如果以2为周期的函数为周期的函数f(x)在在区间区间，上可积，把已确定的系数上可积，把已确定的系数a0、an、bn(n=1，2，)所构成的三角级数所构成的三角级数称为称为f(x)的的傅里叶级数傅里叶级数，记为，记为11.10 傅里叶级数傅里叶级数下页上页结束首页问题是：问题是：f(x)满足什么条件时，它的傅里叶级数收敛满足什么条件时，它的傅里叶级数收敛如果收敛，它的和是否等于如果收敛，它的和是否等于f(x)，关于这些问题，有，关于这些问题，有如下的充分条件如下的充分条件11.10.1 傅里叶级数收敛定

50、理傅里叶级数收敛定理狄利希莱定理狄利希莱定理定理定理 设有以设有以2为周期的函数为周期的函数f(x)在区间在区间，上上满足如下的狄利希莱条件：满足如下的狄利希莱条件：下页上页结束首页1. 连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点；2. 只有有限个极值点。只有有限个极值点。则它的傅里叶级数则它的傅里叶级数(1)在区间在区间，上收敛，并且它上收敛，并且它的和为：的和为：1. f(x)，当，当x为为f(x)的连续点；的连续点；2. ，当，当x为为f(x)的间断点；的间断点；3. ，当，当x=。下页上页结束首页11.10.2 函数展开为傅里叶级数举例函数展开为傅里叶级数举例例例1 以

51、以2为周期的函数为周期的函数f(x)定义如下：定义如下：把它展开为傅里叶级数把它展开为傅里叶级数解：这个函数在区间解：这个函数在区间，上满足狄利希莱条件，上满足狄利希莱条件，因此可以展开为傅里叶级数，根据欧拉因此可以展开为傅里叶级数，根据欧拉-傅里叶公式傅里叶公式得得下页上页结束首页，当，当n为奇数为奇数，当，当n为偶数为偶数下页上页结束首页，当，当n为奇数为奇数，当，当n为偶数为偶数于是得到于是得到f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数它的收敛情况是它的收敛情况是下页上页结束首页这就是说，等式这就是说，等式下页上页结束首页在除去在除去x=之外所有的点都成立之外所有的点都成立当当x=时，这个傅里叶级

52、数的和是时，这个傅里叶级数的和是下图分别给出下图分别给出f(x)及及f(x)的傅里叶级数的和函数的图形的傅里叶级数的和函数的图形由此得到由此得到下页上页结束首页例例2 以以2为周期的函数为周期的函数f(x)定义如下：定义如下：f(x)=ex，(， (为不等于零的常数为不等于零的常数)，试把它展开为傅里叶级数试把它展开为傅里叶级数解：这个函数在解：这个函数在，上无疑地满足狄利希莱条上无疑地满足狄利希莱条件，因此能展开成傅里叶级数，由欧拉件，因此能展开成傅里叶级数，由欧拉-傅里叶公式得傅里叶公式得下页上页结束首页因此得到傅里叶级数因此得到傅里叶级数它的收敛情况是它的收敛情况是下页上页结束首页由于由

53、于因此可以推得因此可以推得1. ，且，且 的的傅里叶级数为傅里叶级数为下页上页结束首页2. ，且，且 的的傅里叶级数为傅里叶级数为下页上页结束首页11.10.3 奇函数及偶函数的傅里叶级数奇函数及偶函数的傅里叶级数分析一下分析一下sinhx和和coshx的傅里叶级数，可以发现的傅里叶级数，可以发现sinhx的傅里叶级数中只含正弦项，而的傅里叶级数中只含正弦项，而coshx的傅的傅里叶级数中只含余弦项，其原因在于里叶级数中只含余弦项，其原因在于sinhx是奇函数是奇函数而而coshx是偶函数。是偶函数。如果把奇函数如果把奇函数f(x)展开成傅里叶级数，由于乘积展开成傅里叶级数，由于乘积f(x)c

54、osnx是奇函数，而乘积是奇函数，而乘积f(x)sinnx是偶函数，因此是偶函数，因此，当，当f(x)是偶函数是偶函数，当，当f(x)奇函数奇函数下页上页结束首页有有这时级数中只含正弦项：这时级数中只含正弦项： ，称为，称为正弦正弦(傅里傅里叶叶)级数级数，如果我们把偶函数，如果我们把偶函数f(x)展开成傅里叶级数，由展开成傅里叶级数，由于乘积于乘积f(x)cosnx是偶函数，而乘积是偶函数，而乘积f(x)sinnx是奇函数是奇函数，因此有，因此有下页上页结束首页这时级数中只含余弦项：这时级数中只含余弦项： ，称为，称为余弦余弦(傅傅里叶里叶)级数级数例例3 把以把以2为周期的函数为周期的函数

55、 (a为为不等于不等于0的正常数的正常数)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数解：因为解：因为f (x)是奇函数，故由式是奇函数，故由式(2)得得an=0，n=0，1，2，下页上页结束首页，n为偶数为偶数，n为奇数为奇数于是傅里叶级数是于是傅里叶级数是下页上页结束首页例例4 以以2为周期的函数为周期的函数f(x)定义如下：定义如下：f(x)=x2，x，把它展开为傅里叶级数把它展开为傅里叶级数解：因为解：因为f(x)是偶函数，由式是偶函数，由式(3)得得下页上页结束首页故傅里叶级数为故傅里叶级数为当当x=时，时，f(x)=2，从上面的等式可以得到关系式，从上面的等式可以得到关系式在讨论数项级数时，只

56、知道级数在讨论数项级数时，只知道级数 是收敛的，现是收敛的，现在我们求出了它的和在我们求出了它的和下页上页结束首页11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶定义在任意区间上的函数的傅里叶级数级数11.11.1 定义在定义在l，l上的函数的傅里叶级数上的函数的傅里叶级数设定义在设定义在l，l上的函数上的函数f(x)满足狄利希莱条件。为了满足狄利希莱条件。为了能直接利用前面的结果，只需作线性变换能直接利用前面的结果，只需作线性变换 ，就，就可以得到一个定义在可以得到一个定义在，上的函数上的函数 把它展把它展开为傅里叶级数，则在连续点处有开为傅里叶级数，则在连续点处有其中其中下页上页结束首页代回到原

57、变量代回到原变量x得到得到其中其中下页上页结束首页若若x是是f(x)的间断点，则傅里叶级数收敛于的间断点，则傅里叶级数收敛于若若x=l，则级数收敛于，则级数收敛于特别的，若特别的，若f(x)是定义在是定义在l，l上的奇函数，则上的奇函数，则下页上页结束首页这时级数为正弦级数：这时级数为正弦级数： ，若，若f(x)是定义在是定义在l，l上的偶函数，则上的偶函数，则这时级数为余弦级数：这时级数为余弦级数：下页上页结束首页例例1 把函数把函数f(x)=|x| (lxl )展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数解：因为解：因为f(x)是偶函数，故是偶函数，故下页上页结束首页，n为偶数为偶数，n为奇数为奇数因

58、此有因此有下页上页结束首页11.11.2 定义在定义在0，l上的函数的傅里叶级数上的函数的傅里叶级数设函数设函数f(x)在在0，l上有定义，且满足狄利希莱条件。上有定义，且满足狄利希莱条件。为了把它展开为傅里叶级数，则需要在区间为了把它展开为傅里叶级数，则需要在区间l，0上上补充定义而得到一个定义在补充定义而得到一个定义在l，l上的函数。由于补上的函数。由于补充函数定义的任意性，可以得到各种不同的傅里充函数定义的任意性，可以得到各种不同的傅里叶级数。为简单起见，一般采取如下两种补充定义的叶级数。为简单起见，一般采取如下两种补充定义的方法方法下页上页结束首页1. 偶式延拓偶式延拓。这种方法是在。

59、这种方法是在l，0上对函数补充定义上对函数补充定义，使得，使得f(x)=f(x)，于是得到一个偶函数。这个偶函数，于是得到一个偶函数。这个偶函数的傅里叶级数只含有余弦项，这样，就能把的傅里叶级数只含有余弦项，这样，就能把f (x)在在0，l上展开为余弦级数上展开为余弦级数2. 奇奇式延拓式延拓。这种方法是在。这种方法是在l，0上对函数补充定义上对函数补充定义，使得，使得f(x)= f(x)，于是得到一个奇函数。这个奇函数，于是得到一个奇函数。这个奇函数的傅里叶级数只含有正弦项，这样，就能把的傅里叶级数只含有正弦项，这样，就能把f (x)在在0，l上展开为正弦级数上展开为正弦级数下页上页结束首页

60、值得注意的是：由傅里叶级数收敛定理，余弦级数和值得注意的是：由傅里叶级数收敛定理，余弦级数和正弦级数在正弦级数在x=0及及x=l处的收敛情况是不同的。余弦处的收敛情况是不同的。余弦级数在级数在x=0处收敛于处收敛于f(+0)，在，在x=l处收敛于处收敛于f(l0)，而正，而正弦级数在弦级数在x=0和和x=l处都收敛于处都收敛于0下页上页结束首页例例2 把函数把函数 展开为正弦级数展开为正弦级数解：解：an=0，n=0，1，2，下页上页结束首页，n为奇数为奇数，n为偶数为偶数故得函数的正弦展开式为故得函数的正弦展开式为例例3 把函数把函数f(x)=sinax(a不是整数不是整数)在区间在区间0x

61、上展上展开为余弦级数开为余弦级数解：解：下页上页结束首页故所求级数为故所求级数为下页上页结束首页留给同学们考虑留给同学们考虑a为整数的情形为整数的情形同学们可以通过适当的线性变换同学们可以通过适当的线性变换x=at+，把定义在，把定义在a，b上的函数上的函数f (x)变为定义在变为定义在，或或0，上上的函数，然后把它展开成傅里叶级数的函数，然后把它展开成傅里叶级数下页上页结束首页在交流电及频谱分析等问题中，常用到傅里叶级数的在交流电及频谱分析等问题中，常用到傅里叶级数的复数形式复数形式设定义在设定义在l，l上的函数上的函数f(x)展开成傅里叶级数，即展开成傅里叶级数，即11.12 傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式利用欧拉公式下页上页结束首页得得如果记如果记则可简洁地表示成则可简洁地表示成下页上页结束首页这就是傅里叶级数的复数形式，这就是傅里叶级数的复数形式，cn和和cn是函数是函数f(x)的的复复数形式的傅里叶级数数形式的傅里叶级数例例 设有周期为设有周期为T的矩形脉冲函数的矩形脉冲函数下页上页结束首页如图所示，试把它展开为复数形式的傅里叶级数如图所示，试把它展开为复数形式的傅里叶级数解：解：下页上页结束首页故得故得