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1、高高高高 等等等等 代代代代 数数数数一、线性变换在基下的矩阵一、线性变换在基下的矩阵二、相似矩阵二、相似矩阵Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数一、一、一、一、 线性变换线性变换线性变换线性变换在在在在基下的矩阵基下的矩阵基下的矩阵基下的矩阵 的的线性性变换. 则对任意任意 存在唯一的一存在唯一的一组数数 设是线性空间设是线性空间V的一组基，为的一组基，为V使使从而
2、，从而，由此知，由由此知，由 完全确定完全确定.一组基在下的象即可一组基在下的象即可.所以要求所以要求V中任一向量在下的象，只需求出中任一向量在下的象，只需求出V的的Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数命题命题4.2.1设是线性空间设是线性空间V的一组基，的一组基，为V的线性变换，若的线性变换，若 则则 由已知，即得由已知，即得由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的
3、作由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定用所决定.证：对证：对 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数证：证： 定义定义 都存在线性变换使都存在线性变换使 任意任意n个向量个向量命题命题4.2.24.2.2 设是线性空间设是线性空间V的一组基，对的一组基，对V中中易知为易知为V的一个变换，下证它是线性的的一个变换，下证它是线性的.任取设任取设Evaluati
4、on only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数则则 于是于是 为为V的线性变换的线性变换.又又Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数设为数域设为数域P上线性空间上线性空
5、间V的一组基，的一组基， 为为V的线性变换的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出基向量的象可以被基线性表出,设设定义定义4.2.1用矩阵表示即为用矩阵表示即为 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数其中其中 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；
6、 矩阵矩阵A称为称为线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵. A的第的第i列是列是 在基下的坐标，在基下的坐标，注：注：它是唯一的它是唯一的. 故在取定一组基下的矩阵是唯一的故在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例例1. 设线性空性空间 的的线性性变
7、换为 求在标准基下的矩阵求在标准基下的矩阵. 解：解： Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数线性变换运算与矩阵运算线性变换运算与矩阵运算定理定理4.2.4.2.2 设设为数域为数域P上线性空间上线性空间V的一组的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，基，在这组基下，V的每一个线性变换都与的每一个线性变换都与 中中
8、线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵于逆矩阵.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数证：设为两个线性变换，它们在基
9、证：设为两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别为下的矩阵分别为A、B，即，即 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为AB. Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为AB. 在基在基 下的矩阵为下的矩阵为Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.
10、0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 由于单位变换由于单位变换(恒等变换恒等变换)对应于单位矩阵对应于单位矩阵E. 相对应相对应.所以，所以，与与ABBAE因此，可逆线性变换与可逆矩阵因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且对应，且逆变换逆变换 对应于逆矩阵对应于逆矩阵 （推论推论4.2.1）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
11、高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 定理定理4.2.4.2.3 设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵为下的矩阵为A,在基下的坐标为在基下的坐标为在基下的坐标为在基下的坐标为则有则有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数证：由已知有证：由已知有 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Clie
12、nt Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数又又 由于由于 线性无关，所以线性无关，所以Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数下的矩阵分别为下的矩阵分别为A、B，且从基，且从基() 到基到基()的过渡的过渡矩阵矩阵是矩阵矩阵是X，则，则()() 定理定理4.2.4 设线
13、性空间设线性空间V的线性变换在两组基的线性变换在两组基Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数证：由已知，有证：由已知，有 于是，于是， 由此即得由此即得 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty
14、 Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数相似矩阵相似矩阵定义定义4.2.44.2.4设设A、B为数域为数域P上的两个上的两个n级矩阵，若存在可逆级矩阵，若存在可逆 矩阵矩阵 使得使得 则称矩阵则称矩阵A相似于相似于B，记为，记为 Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： 反身性反
15、身性： 对称性对称性：2基本性质基本性质 传递性传递性：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数 定理定理4.2.6 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证证：设设 且且A是线性变换是线性
16、变换 在基在基 下的矩阵下的矩阵. 显然，显然， 也是一组基，也是一组基，矩阵就是矩阵就是B.且在这组基下的且在这组基下的Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例例. 设设 为线性空间为线性空间V一组基，一组基， 线性变换在线性变换在这组基下的矩阵为这组基下的矩阵为 为为V的另一组基，且的另一组基，且 求求 在在 下的矩阵下的矩阵B.Evaluation only.Cr
17、eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数解：（解：（1）由定理）由定理4，在基下的矩阵，在基下的矩阵Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数例例 . 在线性空间在线性空间 中，线性变换
18、定义如下：中，线性变换定义如下：（1）求）求 在标准基在标准基 下的矩阵下的矩阵.（2）求在下的矩阵）求在下的矩阵.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数解：（解：（1）由已知，有）由已知，有设设 在标准基在标准基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client
19、Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数因而，因而，Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数（2）设在）设在 下的矩阵为下的矩阵为B，则，则A与与B相似，且相似，且Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
