《多元函数的极值与拉格朗日乘数法（谷风课资）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数的极值与拉格朗日乘数法（谷风课资）（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1/29多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值条件极值条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法小结小结 思考题思考题 第八节第八节 多元函数的极值与多元函数的极值与 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用一类课资2/29一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值播放播放一类课资3/291 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一类课资4/29(1)(2)(3)例例1 1例例例例一类课资5/292 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证一类课资6/29一类课资7/29 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡
2、能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点(具有偏导数具有偏导数的函数的极值点）的函数的极值点）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：一类课资8/29一类课资9/29解解一类课资10/29一类课资11/29一类课资12/29求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有可能极值点处的函数内的所有可能极值点处的函数值及在值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一
3、元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值一类课资13/29解解如图如图,一类课资14/29一类课资15/29一类课资16/29解解 由由一类课资17/29一类课资18/29对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值.其他条件其他条件.无条件极值无条件极值对自变量除了限制在定义域内外对自变量除了限制在定义域内外, 并无并无条件极值条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一类课资19/29
4、解解例例5已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为由题意由题意长方体的体积为长方体的体积为多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,体体积最大体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6时长方时长方由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,一类课资20/29上例的极值问题也可以看成是求三元函数上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值的极值,要受到条件要受到条件的限制
5、的限制, 这便是一个条件极值这便是一个条件极值问题问题.目标函数目标函数约束条件约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法 有时有时条件极值条件极值目标函数中化为目标函数中化为无条件极值无条件极值.可通过将约束条件代入可通过将约束条件代入但在一般情形但在一般情形甚至是不可能的甚至是不可能的. 下面要介绍解决下面要介绍解决条件极值条件极值问题的一般问题的一般方法方法:下下,这样做是有困难的这样做是有困难的,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法一类课资21/29一类课资22/29一类课资23/29解解则则一类课资24/29解解一类课资25/29一类课资26/29一类课资27/29
6、可得可得即即一类课资28/29多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结一类课资29/29思考题思考题思考题解答思考题解答一类课资30/29多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法二元函数二元函数在点在点处有极值处有极值(不妨设为极小值不妨设为极小值), 是指存在是指存在当点当点且且沿任何曲线趋向于沿任何曲线趋向于一元函数一元函数在点在点 x0处取得有极小值处取得有极小值,表示动点表示动点且且沿直线沿直线一类课资31/29多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法并沿该直线并沿该直线(即沿平行于即沿平行于Ox轴的正负轴的正负方向方向)趋向于趋向于它们的关系是它们的关系是:在点在点取得极大取得极大(小小)值值取得极大取得极大(小小)值值.一类课资32/29作业作业习题习题9-89-8 (118(118页页) )2. 5. 7. 10. 多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值与拉格朗日乘数法一类课资33/29练练 习习 题题一类课资34/29一类课资35/29练习题答案练习题答案一类课资
