二次函数二次函数y=ax2+k的的图像像与性与性质二次函数y=ax2+k图像与性质 y=ax2 (a≠0)a>0a<0图象象开口方向开口方向顶点坐点坐标对称称轴增增减减性性极极值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x<0时，，y随着随着x的增大而减小的增大而减小当当x>0时，，y随着随着x的增大而增大的增大而增大 当当x<0时,y随着随着x的增大而增大的增大而增大当当x>0时，，y随着随着x的增大而减小的增大而减小 x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.二次函数y=ax2+k图像与性质 1.画出画出y=x2 与与 y=x2 +1、、 y=x2 -1的的图像，并像，并观察彼此的位置关系察彼此的位置关系.自学检测：2.画出画出y=-x2 与与 y=-x2 +3、、 y=x2 -2的的图像，并像，并观察彼此的位置关系察彼此的位置关系.二次函数y=ax2+k图像与性质 x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2+1 …………y=x2y=x2+15 2 1 2 5函数函数y=x2+1的的图象与象与y=x2的的图象的位置有什么关系象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的的图象可由象可由y=x2的的图象象沿沿y轴向上平移向上平移1个个单位位长度得到度得到.函数函数y=x2+1的的图象与象与y=x2的的图象的象的形状相同形状相同吗?相同相同二次函数y=ax2+k图像与性质 x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22 -1 -2 -1 2函数函数y=x2-2的的图象象可由可由y=x2的的图象沿象沿y轴向下平移向下平移2个个单位位长度得到度得到.函数函数y=x2-2的的图象与象与y=x2的的图象的位置有什么关系象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的的图象与象与y=x2的的图象的象的形状相同形状相同吗?相同相同二次函数y=ax2+k图像与性质 函数函数y=ax2 (a≠0)和函数和函数y=ax2+c (a≠0)的的图象形状象形状 ，只是位置不同；当，只是位置不同；当c>0时，函数，函数y=ax2+c的的图象可象可由由y=ax2的的图象向象向 平移平移 个个单位得到，当位得到，当c〈〈0时，，函数函数y=ax2+c的的图象可由象可由y=ax2的的图象象向向 平移平移 个个单位得到。
位得到y=-x2-2y=-x2+3y=-x2图象向上移象向上移还是向下移是向下移,移多少个移多少个单位位长度度,有什有什么么规律律吗?上加下减上加下减相同相同上上c下下|c|二次函数y=ax2+k图像与性质 1. 函数函数y=4x2+5的的图象可由象可由y=4x2的的图象象 向向 平移平移 个个单位得到；位得到；y=4x2-11的的图象象 可由可由 y=4x2的的图象向象向 平移平移 个个单位得到 3.将抛物将抛物线y=4x2向上平移向上平移3个个单位，所得的位，所得的 抛物抛物线的函数式是的函数式是 将抛物将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个个单位位,所得的所得的 抛物抛物线的函数式是的函数式是 2. 将函数将函数y=-3x2+4的的图象向象向 平移平移 个个单位可得位可得 y=-3x2的的图象；将象；将y=2x2-7的的图象向象向 平移平移 个个 单位得到可由位得到可由 y=2x2的的图象。
将象将y=x2-7的的图象象 向向 平移平移 个个单位可得到位可得到 y=x2+2的的图象上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4自学检测：二次函数y=ax2+k图像与性质 当当a>0时，抛物，抛物线y=ax2+c的开口的开口 ，，对称称轴是是 ，，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，，y随随x的的增大而增大而 ，在，在对称称轴的右的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，，当当x= 时，取得最，取得最 值，，这个个值等于等于 ；； 当当a<0时,抛物抛物线y=ax2+c的开口的开口 ，，对称称轴是是 ，，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，，y随随x的的增大而增大而 ，在，在对称称轴的右的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，，当当x= 时，取得最，取得最 值，，这个个值等于等于 y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上向上y轴(0,c)减小减小增大增大0小小c向下向下y轴(0,c)增大增大减小减小0大大c小结二次函数y=ax2+k图像与性质 6. 抛物抛物线y=-3x2+5的开口的开口 ，，对称称轴是是 ，，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，，y随随x的增大而的增大而 ，在，在对称称轴的右的右侧，，y随随x的增大而的增大而 ，，当当x= 时，取得最，取得最 值，，这个个值等于等于 。
8.二次函数二次函数y=ax2+c (a≠0)的的图象象经过点点A（（1，，-1），），B（（2，，5），），则函数函数y=ax2+c的表达式的表达式为 若点点C(-2,m),D（（n ,7）也在函数的）也在函数的图象上，象上，则点点C的坐的坐标为 点点D的坐的坐标为 .7. 抛物抛物线y=7x2-3的开口的开口 ，，对称称轴是是 ，，顶点坐点坐标是是 ，在，在对称称轴的左的左侧，，y随随x的增大而的增大而 ，在，在对称称轴的右的右侧，，y随随x的增大而的增大而 ，，当当x= 时，取得最，取得最 值，，这个个值等于等于 下下y轴(0,5)减小减小增大增大0大大5上上y轴(0,-3)减小减小 增大增大 0小小-3y=2x2-3(-2,5)或或自学检测：二次函数y=ax2+k图像与性质 0.25.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-11-0.25.-0. 5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函数二次函数y=3x2-1图像可以由像可以由y=3x2 的的图象向下平移一个象向下平移一个单位得到位得到二次函数y=ax2+k图像与性质 二次函数二次函数y=axy=ax2 2与与y=axy=ax2 2+k+k的的图象有什么关系？象有什么关系？二次函数二次函数y= axy= ax2 2+k+k的的图象可以由象可以由 y=axy=ax2 2 的的图象象当当k > 0 k > 0 时 向上平移向上平移k k个个单位得到位得到. .当当k < 0 k < 0 时 向下平移向下平移-k-k个个单位得到位得到. .函数函数y=ax2+k y=ax2开口方向开口方向a>0时,向上向上a<0时,向下向下对称称轴y轴y轴顶点坐点坐标（（0,0））（（0,k））a>0时,向上向上a<0时,向下向下上正下负二次函数没有一次二次函数没有一次项,则抛物抛物线对称称轴是是y轴,抛物抛物线对称称轴是是y轴,则二次函数没有一次二次函数没有一次项二次函数y=ax2+k图像与性质 抛物线开口方向 对称轴顶点坐标y = 2x2 + 5y = -3x2 - 2y = -x2 + 3向上向上y轴( 0 , 5 )y轴y轴向下向下向下向下( 0 , -2 )( 0 , 3 )2. y = -2x 2 +5 的的图象可由抛物象可由抛物线 y = -2x 2 经过 得到的得到的. 它的它的对称称轴是是 , 顶点坐点坐标是是 ,在在x<0时.y值随随x的增大而的增大而 ；； 与与x轴有有 交点。
交点沿Y Y轴向上平移5 5个单位Y Y轴（（0 0，，5 5））增大2二次函数y=ax2+k图像与性质 巩固巩固练习2：（1）抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线y = x 2向 平移 个单位得到的；上X=0（0，3）上3二次函数y=ax2+k图像与性质 （2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ； 函数关系式是y = 〉〉〈1/2-21/2x 2-2XYABO二次函数y=ax2+k图像与性质 1. 1.函数函数y=xy=x2 2-1-1的的图象，可由象，可由y=xy=x2 2的的图象向平象向平 ______ 移移 个个单位位. .2.2.把函数把函数y=3xy=3x2 2+2+2的的图象沿象沿x x轴对折，得到的折，得到的图 象的函数解析式象的函数解析式为 . .3.3.已知（已知（m,n)m,n)在在y=axy=ax2 2+a+a的的图象上，（象上，（- m,n - m,n ）） __________（在，不在）（在，不在）y=axy=ax2 2+a+a的的图象上象上. .4. 4. 若若y=xy=x2 2+ +（（2k-12k-1）的）的顶点位于点位于x x轴上方，上方，则K_______K_______下下1 y=-3x2-2在在<0.5例例题:二次函数y=ax2+k图像与性质 1.抛物抛物线y=-3x2+5的开口向的开口向________,对称称轴是是______,顶点坐点坐标是是________,顶点是最点是最_____点点,所以函数有最所以函数有最____值是是_____. 2.抛物抛物线y=4x2-1与与y轴的交点坐的交点坐标是是_________,与与x轴的交点坐的交点坐标是是_____. 3.把抛物把抛物线y=x2向上平移向上平移3个个单位后位后,得到的抛物得到的抛物线的的函数关系式函数关系式为_______. 4.抛物抛物线y=4x2-3是将抛物是将抛物线y=4x2,向向_____平移平移______个个单位得到的位得到的. 5.抛物抛物线y=ax2-1的的图像像经过(4,-5),则a=_________.下下Y轴(0,5)高高大大5(0,-1)(-1/2,0)或或(1/2,0)y=x2+3下下3-- 4二次函数y=ax2+k图像与性质 6.求符合下列条件的抛物求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式的函数关系式: (1)通通过点点(-3,2); (2)与与y= x2的开口大小相同的开口大小相同,方向相反方向相反; (3)当当x的的值由由0增加到增加到2时,函数函数值减少减少4.7.已知抛物已知抛物线y=mx2+n向下平移向下平移2个个单位后得到的位后得到的函数函数图像是像是y=3x2-1,求求m,n 的的值.二次函数y=ax2+k图像与性质 y=ax2+c (a≠0)a>0a<0开口方向开口方向顶点坐点坐标对称称轴增增减减性性极极值向上向上向下向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当当x<0时，，y随着随着x的增大而减小。
的增大而减小当当x>0时，，y随着随着x的增大而增大的增大而增大 当当x<0时,y随着随着x的增大而增大的增大而增大当当x>0时，，y随着随着x的增大而减小的增大而减小 x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.自学检测：二次函数y=ax2+k图像与性质 1、抛物、抛物线y=－－3x2+7的开口的开口____，，对称称轴是是______，，顶点坐点坐标是是____4、抛物、抛物线y=4x2－－1与与x轴的交点坐的交点坐标是是____ ,与与y轴的交点坐的交点坐标是是____.2、抛物、抛物线y=-3x2与抛物与抛物线y=ax2－－7的的形状相同，形状相同，则a=____.3、抛物、抛物线y=4x2－－1向下平移向下平移5个个单位位后，可得抛物后，可得抛物线为_____.基础练习：下下y轴(0,7)-3y=4x2－－6(±½，，0)(0,-1)二次函数y=ax2+k图像与性质 5.已知二次函数已知二次函数y=3x2+4,点点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4)在其在其图象上象上,且且x2< x4<0, 0|x1|, |x3|>|x4|, 则 ( )x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1B基础练习：二次函数y=ax2+k图像与性质 6. 已知二次已知二次函数函数y=ax2+c ，当，当x取取x1,x2(x1 1≠≠x2, x1,x2分分别是是A,B两点的横坐两点的横坐标)时，函数，函数值相等，相等，则当当x取取x1 1+ +x2时，函数，函数值为 （（ ）） D基础练习：二次函数y=ax2+k图像与性质 7. 函数函数y=ax2-a与与y=在同一直角坐在同一直角坐标系中的系中的图象可能是象可能是 （（ ））A基础练习：二次函数y=ax2+k图像与性质 8. 一位一位篮球运球运动员跳起投跳起投篮，球沿抛物，球沿抛物线运行，然后准确落入运行，然后准确落入蓝筐内，已知筐内，已知蓝筐的中心离地面的筐的中心离地面的距离距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？、球在空中运行的最大高度是多少米？ 2、如果运、如果运动员跳投跳投时，球出手离地面的高度，球出手离地面的高度 为2.25m ，， 则他离他离篮筐中心的水平距离筐中心的水平距离AB是多少？是多少？基础练习：二次函数y=ax2+k图像与性质 1. 1. 一次函数一次函数y=ax+by=ax+b与与y=axy=ax2 2-b-b在同一坐在同一坐标系中系中的大致的大致图象是（象是（ ））x0yx0x0x0xxyyyB.A.C.D.B二次函数y=ax2+k图像与性质 2. 函数函数y=ax2+a与与y= （（a≠0)在同一坐在同一坐标系中系中 的大致的大致图象是（象是（ ））yx0x0yx0yA.xy0B.C.D.D.二次函数y=ax2+k图像与性质 2、在同一直角坐、在同一直角坐标系中，一次函数系中，一次函数y=ax+c和和二次函数二次函数y=ax2+c的的图象大致是如象大致是如图中的（中的（ ））B二次函数y=ax2+k图像与性质 3 3、按下列要求求出二次函数的解析式：、按下列要求求出二次函数的解析式：（（1 1）已知抛物）已知抛物线y=axy=ax2 2+c+c经过点（点（-3-3，，2 2）（）（0 0，，-1-1）求）求该抛物抛物线线的解析式。
的解析式2 2）形状与）形状与y=-2xy=-2x2 2+3+3的的图象形状相同，但开象形状相同，但开口方向不同，口方向不同，顶点坐点坐标是（是（0 0，，1 1）的抛物）的抛物线解析式3 3））对称称轴是是y y轴，，顶点点纵坐坐标是是-3-3，且，且经过（（1 1，，2 2）的点的解析式，）的点的解析式，练习：：二次函数y=ax2+k图像与性质 二次函数二次函数y=ax²+k与与=ax²的关系的关系w (1)图像都是抛物像都是抛物线, 形状相同形状相同, 开口方向相开口方向相同同. w(2)都是都是轴对称称图形形, 对称称轴都是都是y轴.w(3)都有最都有最(大或小大或小)值.(4)增减性相同增减性相同.3.联系系: y=ax²+k(a≠0) 的的图象可以看成象可以看成y=ax²的的图象沿象沿y轴整体平整体平移移|k|个个单位得到的位得到的.(当当k>0时向上平移向上平移;当当k<0时,向下平移向下平移).驶向胜利的彼岸小结 拓展回味无穷1.相同点相同点:2.不同点不同点:(1)顶点不同点不同:分分别是是(0,k),(0,0).(2)最最值不同不同:分分别是是k和和0.二次函数y=ax2+k图像与性质 某涵洞是抛物某涵洞是抛物线形形,它的截面如它的截面如图所示所示.现测得水面得水面宽AB=1.6m,涵洞涵洞顶点点C到水面的距离到水面的距离为2.4m.在在图中中直角坐直角坐标系内系内.求涵洞所在抛物求涵洞所在抛物线的函数解析式的函数解析式.xyABOC解解:设涵洞所在抛物涵洞所在抛物线的函数解析式的函数解析式为y=ax2+2.4根据根据题意有意有A(-0.8,0),B(0.8,0)将将x=0.8, y=0 代入代入y=ax2+2.4得得0=0.64a+2.4∴ ∴a=_涵洞所在抛物涵洞所在抛物线的函数解析式的函数解析式为y=_ x2+2.4二次函数y=ax2+k图像与性质 。