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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法(6(6学时学时) )4.1 4.1 根轨迹与根轨迹方程（了解）根轨迹与根轨迹方程（了解）4.2 4.2 绘制根轨迹的规则（掌握）绘制根轨迹的规则（掌握）4.3 4.3 零度根轨迹及其基本法则（自学）零度根轨迹及其基本法则（自学）4.4 4.4 参变量根轨迹及多回路根轨迹（自学）参变量根轨迹及多回路根轨迹（自学）4.5 4.5 增加开环零点、极点对根轨迹的影响（了解）增加开环零点、极点对根轨迹的影响（了解）4.6 4.6 用根轨迹分析控制系统（重点掌握）用根轨迹分析控制系统（重点掌握）闭环极点（特征根）闭环极点（特征根）系统的稳定性、动态性能系统的稳定性、动态性能
2、问题问题：闭环特征方程一般是高次代数方程，求解困难，且不能分析闭环特征方程一般是高次代数方程，求解困难，且不能分析 参数变化对系统的影响参数变化对系统的影响方法方法：直接由开环传递函数确定闭环特征根的图解法直接由开环传递函数确定闭环特征根的图解法根轨迹法根轨迹法特征特征：可以研究参数变化对系统的影响可以研究参数变化对系统的影响第一节第一节 根轨迹与根轨迹方程（了解）根轨迹与根轨迹方程（了解）1 1、根轨迹、根轨迹系统开环传递函数的某一参数变化时，闭环特征根系统开环传递函数的某一参数变化时，闭环特征根 在在S平面上移动的轨迹平面上移动的轨迹2 2、目的、目的分析参数变化对系统动态特性的影响、确定
3、可变参数分析参数变化对系统动态特性的影响、确定可变参数3 3、参数选择、参数选择一般是选取开环增益，但也可选择其他参数一般是选取开环增益，但也可选择其他参数4 4、举例研究根轨迹与系统性能的密切联系、举例研究根轨迹与系统性能的密切联系R(s)C(s-1、闭环传函：、闭环传函：2、特征方程：、特征方程：3、特征根：、特征根：4、K（ ）值变化时特征根（闭环极点）分布）值变化时特征根（闭环极点）分布特征根：特征根：5、根据根轨迹分析系统性能、根据根轨迹分析系统性能1）当）当 ，闭环特征根为两个实数，系统过阻尼，闭环特征根为两个实数，系统过阻尼 特征根：特征根：2）当）当 ，闭环特征根为两相等实数，
4、系统临界，闭环特征根为两相等实数，系统临界 阻尼阻尼3）当）当 ，闭环特征根为两共轭复根，系统欠，闭环特征根为两共轭复根，系统欠 阻尼阻尼*-106、绘制根轨迹的主要方法：根据开环传递函数与闭环传递函数的、绘制根轨迹的主要方法：根据开环传递函数与闭环传递函数的 关系、开环传函零点和极点的分布，关系、开环传函零点和极点的分布， 绘出系统的根轨迹绘出系统的根轨迹绘制根轨迹的基础绘制根轨迹的基础根轨迹方程根轨迹方程一、根轨迹方程一、根轨迹方程R(s)C(s）-1、闭环传函、闭环传函2、特征方程、特征方程从开环传函零极点描绘根轨迹从开环传函零极点描绘根轨迹3、将开环传函写成零极点形式、将开环传函写成零
5、极点形式根轨迹方程根轨迹方程根轨迹应满足的两个基本条件根轨迹应满足的两个基本条件幅值条件幅值条件相角条件（决定根轨迹相角条件（决定根轨迹的充分必要条件）的充分必要条件）规定：顺时针规定：顺时针- -，逆时针，逆时针+ +必须清楚该式必须清楚该式的物理意义的物理意义4.2 绘制根轨迹的规则（掌握）一、根轨迹分支数（规则一）一、根轨迹分支数（规则一）根轨迹在根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，也就，也就是分支数等于闭环极点的个数是分支数等于闭环极点的个数(闭环特征方程的阶数闭环特征方程的阶数)二、根轨迹对称于实轴（规则二）二、根轨迹对称于实轴（规则
6、二）三、根轨迹的起点与终点（规则三）三、根轨迹的起点与终点（规则三）根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果 则有（则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处）条根轨迹终止于无穷远处？当当k=0时（起始点），时（起始点），当当四、实轴上的根轨迹（规则四）四、实轴上的根轨迹（规则四）实轴上根轨迹区段的右侧，开环传函零、极点数目之和应为实轴上根轨迹区段的右侧，开环传函零、极点数目之和应为奇数奇数*五、根轨迹的分离点和会和点（规则五）五、根轨迹的分离点和会和点（规则五）1、分离点和会和点、分离点和会和点两条根轨迹在两条根轨迹在S平面的某点相遇，然平面的某点相遇，
7、然 后又立即分开后又立即分开2、实质、实质特征方程的二重根特征方程的二重根3、分布位置、分布位置实轴上实轴上*ab4、求重根的方法、求重根的方法令令又因为：又因为：六、根轨迹的渐进线（规则六）六、根轨迹的渐进线（规则六）1、渐进线、渐进线当当nm时，时， 有（有（n-m）条根轨迹趋向于）条根轨迹趋向于 无穷远，无穷远处的方位无穷远，无穷远处的方位2、主要参数、主要参数渐进线倾角、渐进线与实轴的交点渐进线倾角、渐进线与实轴的交点A）渐进线倾角）渐进线倾角设在无穷远处有特征根设在无穷远处有特征根则：则：代入代入B）渐进线与实轴的交点）渐进线与实轴的交点七、根轨迹的起始角与终止角（规则七）七、根轨迹
8、的起始角与终止角（规则七）起始角起始角开环极点处的根轨迹在起点处的切线与水平方向的开环极点处的根轨迹在起点处的切线与水平方向的 夹角夹角终止角终止角终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平 正方向的夹角正方向的夹角*可知可知推广：推广：*记忆记忆八、根轨迹与虚轴的交点（规则八）八、根轨迹与虚轴的交点（规则八）代入代入即：即：例：已知系统的开环传函例：已知系统的开环传函 求根轨迹与虚求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界增益轴的交点及对应的临界增益Kc。解：解： 特征方程：特征方程：令令得：得：九、根之和（规则九）九、根之和（规则九）特征方程特征方程根据根根
9、据根与系数与系数的关系的关系例题例题已知系统的开环传函为已知系统的开环传函为试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：解：如果如果可知闭环特征根之和就等于开环极点特征根之和可知闭环特征根之和就等于开环极点特征根之和如果开环如果开环有零值极点有零值极点Step1:开环传函有四个极点，故有四条根轨迹开环传函有四个极点，故有四条根轨迹Step2:确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹Step3:根轨迹的起点根轨迹的起点四个开环极点四个开环极点 根轨迹的终点根轨迹的终点四个无穷远处的零点四个无穷远处的零点Step4:根轨迹的渐进线根轨迹的渐进线倾角、与实轴的交点倾角、与实轴的交点Step5:根轨迹的分
10、离点：根轨迹的分离点：Step6:根轨迹的起始角：根轨迹的起始角：Step7:根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点：代入代入den=1;num=conv(1 0,conv(1 20,1 4 20);sys=tf(den,num)rlocus(sys) rltool(sys)指令：指令： 2、rlocus(sys) 绘制以开环传函为绘制以开环传函为sys的根轨迹的根轨迹3、k,poles=rlocfind(sys) 可计算对应根轨迹的增益可计算对应根轨迹的增益k值值1、p,z=pzmap(sys) 计算开环传函计算开环传函sys的零极点的零极点 4、Rltool(sys) 打开模型打开模型sy
11、s根轨迹的设计器根轨迹的设计器 理论依据：系统的根轨迹形状、位置取决于系统的开环传递理论依据：系统的根轨迹形状、位置取决于系统的开环传递 函数，而特征根决定了系统的稳、动态性能。函数，而特征根决定了系统的稳、动态性能。1、加入开环零点对根轨迹的影响：、加入开环零点对根轨迹的影响：1）改变了根轨迹在实轴上的分布）改变了根轨迹在实轴上的分布2）改变了渐进线的条数、倾角和分离点）改变了渐进线的条数、倾角和分离点3）利用加入零点来抵消有损于系统性能的极点（偶极子）利用加入零点来抵消有损于系统性能的极点（偶极子）4）根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统性能）根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统性能2、加入开
12、环极点对根轨迹的影响：、加入开环极点对根轨迹的影响：1）改变了根轨迹在实轴上的分布）改变了根轨迹在实轴上的分布3）改变了渐进线的条数、倾角和分离点）改变了渐进线的条数、倾角和分离点2）改变了根轨迹的分支数）改变了根轨迹的分支数4）根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统性能）根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统性能4.5 增加开环零点、极点对根轨迹的影响（了解）例题：已知某系统开环传递函数为例题：已知某系统开环传递函数为 若给此系统增设一个开环极点若给此系统增设一个开环极点 ，或增设一个，或增设一个 开环零点开环零点 。分别讨论对系统根轨迹和动态。分别讨论对系统根轨迹和动态 性能影响。性能影响。 解：
13、解：matlab仿真仿真1、未附加零极点根轨迹、未附加零极点根轨迹程序：程序：den=1 2;num=1 1 0;sys=tf(den,num)rlocus(sys)2、附加零点、附加零点 根轨迹根轨迹程序：程序：den=1 2;num=1 1 0;sys=tf(den,num)rlocus(sys)2、附加极点、附加极点 根轨迹根轨迹程序：程序：den=1 ;num=1 3 2 0;sys=tf(den,num)rlocus(sys)一、系统的零、极点与系统的阶跃响应一、系统的零、极点与系统的阶跃响应4.6 用根轨迹分析控制系统（重点）关系：关系：1、要求、要求系统稳定系统稳定，则系统的全部
14、闭环极点位于复，则系统的全部闭环极点位于复 平面的左半平面平面的左半平面2、2、要求系统、要求系统快速性快速性，则，则 闭环极点应远离虚轴闭环极点应远离虚轴3、要求系统的、要求系统的超调小且快速性好超调小且快速性好，则，则应使复极点位于应使复极点位于 线上线上例题：例题：已知系统的开环传函已知系统的开环传函其中，其中， 。试用根轨迹分析系统的稳定性，并计算。试用根轨迹分析系统的稳定性，并计算 时的暂态性能指标。时的暂态性能指标。解：利用解：利用matlab进行仿真进行仿真程序：程序：den=1;num=conv(1 0,conv(1 1,1 2);sys=tf(den,num)rlocus(s
15、ys) rltool(sys)令令2K=kMatlab仿真图仿真图rlocus(sys)仿真结果如下：仿真结果如下：Rltool(sys)仿真结果仿真结果K=0.525时的阶跃响应时的阶跃响应K=6时的阶跃响应时的阶跃响应K=0.398时的阶跃响应时的阶跃响应例题：单位反馈系统的开环传递函数例题：单位反馈系统的开环传递函数 试绘制系统的根轨迹图，并讨论系统的稳定性。试绘制系统的根轨迹图，并讨论系统的稳定性。解：黑板演示解：黑板演示开环不稳定系统和条件稳定系统开环不稳定系统和条件稳定系统开环不稳定开环不稳定系统开环传函的极点有一个或一个以上在系统开环传函的极点有一个或一个以上在S右右 半平面半平
16、面条件稳定条件稳定系统开环不稳定，当参数（系统开环不稳定，当参数（k）变化时，取使根轨）变化时，取使根轨 迹位于迹位于S左半平面的参数左半平面的参数k，则系统稳定，则系统稳定控制系统的开环传函控制系统的开环传函绘制系统的根轨迹并讨论系统的稳定性绘制系统的根轨迹并讨论系统的稳定性例题例题解解：程序：程序：den=1 1;num=conv(1 0,conv(1 -1,1 4 16) sys=tf(den,num) rlocus(sys) rltool(sys)参数根轨迹参数根轨迹根轨迹根轨迹以开环传递函数增益以开环传递函数增益K作为参变量作为参变量参数根轨迹参数根轨迹以控制系统开环传函的任意参数，作为可参变数以控制系统开环传函的任意参数，作为可参变数 例如：待定系数、校正元件的时常例如：待定系数、校正元件的时常方法方法将控制系统的特征方程进行等效变换将控制系统的特征方程进行等效变换利用根轨迹的九条法则绘制利用根轨迹的九条法则绘制作业：作业：4-1、4-2、4-4、4-8、4-11、4-20den=1;num=conv(1 0,conv(1 2,1 4)sys=tf(den,num)rlocus(sys)rltool(sys)
