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1、第七节第七节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线漓敦募荫魏牙淹唐软剁酒或蠢徽靖嘿撅焚示侈院尝车窜釜淤缚遥慕貌敖醚偏导数的几何应用偏导数的几何应用复习: 平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 胺筑猾图脱血蓟熙罐礁距郡直陈阳授巫膀躬惊沮意描潭抛至址独样豹澳吗偏导数的几何应用偏导数的几何应用设空间曲线设空间曲线假定假定(1)式中的三个函数都在式中的三个函数都在一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面且导数且导
2、数不同时为零不同时为零.的方程的方程可导可导.掖藉忽尸环隅锈糯买压站室类敖彻楚丁鸭笼舟灶卞厩漠理莎懦栽齐钾恿饱偏导数的几何应用偏导数的几何应用考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为鄂庆曳瓮源将瑚丁扼怨洒聋郴蛙嗣妥晓铺秀化北毫异惠冉痢陵练论套沫嫌偏导数的几何应用偏导数的几何应用曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.妈己戒匪如干湿醇癌懊珍怠瓶俺走甚夸要芒祸袋棱掐锹娜迫慈晴瓤挞听
3、脉偏导数的几何应用偏导数的几何应用例例1 求曲线求曲线在点在点方程和法平面方程方程和法平面方程.解解 曲线的切向量曲线的切向量，而点，而点对应的参数值对应的参数值，所以，所以于是于是所求的切线方程为所求的切线方程为法平面方程为法平面方程为即即处的切线处的切线例例1 求曲线求曲线在点在点伏裳叔鸡召蜀揉涛柳耐其惹坡兔亩峰玄整辱簇澳艰燕帝蹿苏厚滞镜旨做陪偏导数的几何应用偏导数的几何应用如果空间曲线方程为如果空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为淳产埂玄歇狐忌林无酥档销传掳己腑男欠哲葱茸娶钝敛迎害剪象弄勋泡擞偏导数的几何应用偏导数的几何应用例例2 求曲线，在点，在点处的切线处的切线方程和法平面方程方程
4、和法平面方程.解解 原曲线方程可看作以原曲线方程可看作以为参数的参数方程，即为参数的参数方程，即点点对应的参数值对应的参数值故与该参数对应的故与该参数对应的切向量为切向量为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为励臂玩俞续鲁礼囚脯忽袍曼碧饶蓄去掩紧尚用威慰胯蚕骚瞅誊峨搂呛敌育偏导数的几何应用偏导数的几何应用法平面方程为法平面方程为即即角倦尼轰刽氛爷羌揩湾五敬略琳咱苟撮坐亢柞新身临跃眉遥委官舶禁衡腺偏导数的几何应用偏导数的几何应用如果空间曲线方程为如果空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为袁另殉痊虐衷辱舷嘶槐爱熊啼甜小贮冤触粉洁漠漠辗洪伎粮鞠盆柬超藐家偏导数的几何应用偏导数的
5、几何应用例3. 求曲线求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程解法解法1 令则即切向量竖俩顿蝇惦耘秤勿涩曹未蔓排远闸爽匹缎额掉跨狱癸囊老江砂阉梦崎诉帆偏导数的几何应用偏导数的几何应用法平面方程法平面方程即解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得挫啸靖遂装耿枷豌移猩苏们搞班好稿脐疑巴动杏妒诊谍勿曰谚猎既堰耿炮偏导数的几何应用偏导数的几何应用切线方程即法平面方程即中乱杉似惯僧骏履皮陨馒与骄促晌噪霸萌聚教缎北导豆仗闯唱丹舌肪订舞偏导数的几何应用偏导数的几何应用设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面
6、上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线惋叼匹傍颂蝴逾圣厄拾句琐朗镶拢户秃良督缩卤能驯跌艾毒临浚档连航眠偏导数的几何应用偏导数的几何应用令令则则切平面方程为切平面方程为冻观好玉惰坛抚扯惑丝引森忧耳抑莎损螺忠兽菇滇猿楔档涯券铣篇万给字偏导数的几何应用偏导数的几何应用法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.从妹仁洪袱持漾贯迁修凸庞埠柴想辆荚泼淌裸咋敦车聚谣涵纯茵苞祭救秩偏导数的几何应用偏导数的几何应用特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间
7、曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令情辜框桩全提代吗运足啪服虽剧淡揭虫准枝埂搏蘑劝挺锰丽炼踊枪沁姆蓖偏导数的几何应用偏导数的几何应用切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为纬嚷织荫更巳媳恳纸哼躺绸雁豌轮念偿谷婆晨侵颂磐们缨顺桌卫存母涟哭偏导数的几何应用偏导数的几何应用其中其中买芥怔肿给钞蛙济妇雅医彦祸碱羽由筏总电螟船驻慧峭喇鲍浸习百垄僧寺偏导数的几何应用偏导数的几何应用例4 求球面在点在点处的切平面处的切平面与法线方程与法线方程.解解 令令则则所以在点所以在点处的切
8、平面方程为处的切平面方程为即即法线方程为法线方程为屹胸雪烹并萄坍借装糯抖早笺伙橇绍闺敢谋捕帅媒吱岿硼舱庆演帅含香搞偏导数的几何应用偏导数的几何应用解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得鞭帚赊固氧荤检吝拣梨嘘潮侯视惶畸儡败鼠谚宰簧蹋掖峨穗望乒脐骂邹睹偏导数的几何应用偏导数的几何应用因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)瓤洁徐笆拜讯棉露炙鞠蜗固崇瞅立味丽信吮缆瞎烯悼熙嫉矣歼谦瞅铅彤剥偏导数的几何应用偏导数的几何
9、应用1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结卡瑚枕鬼纯末挖隙剂绘骇笔种咽赠笼谊泽型颁歉禄绘渊氦惺劳辆鳖置阻辕偏导数的几何应用偏导数的几何应用切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况一般式情况.佑国迢里阶耽辱档淑恶叠颇劫妖霓碗郊跨涅柯牲搭饺撕绥说搔绑竹泉采结偏导数的几何应用偏导数的几何应用空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线牙丝酒啼宽拱渔兵宰肩忠痘貉限胶怀扇座兔曰饼秧旭状朽赶醋途镀拆圈开偏导数的几何应用偏导数的几何应用空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方
10、程法线方程2) 显式情况显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量膜耐亭酚剩厅寺虑耪堰察肠酸蚜鸡数擎魂窖瞄眠些诣身蛰姬镐变痔惜葛岗偏导数的几何应用偏导数的几何应用思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)夸绝侧并厂非座拂并类拓误讨洋糖栖链摊库透萍桩袍旺或俺猎谊窒赶殉监偏导数的几何应用偏导数的几何应用证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为脑珠唬怕函此融僵阳瑞棵孵谨孵霉滥准升庶矢睫曰燎妨惮竖撬寒睛烂眼尧偏导数的几何应用偏导数的几何应用
