2022年2022年函数列与函数项级数

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1、Ch 13 函数列与函数项级数（ 1 2 时 ） 1 一致收敛性（ 6 时 ）一函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)(xfn，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别） ，极限函数等概念. 逐点收敛( 或称为“点态收敛”)的“N”定义 . 例 1 对定义在),(内的等比函数列)(xfnnx, 用“N”定义验证其收敛域为1,1(, 且nlim)(xfnnlimnx.1,1,1|,0xx例 2 )(xfnnnxsin. 用 “N” 定义验证在),(内nlim)(xfn0. 例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: )( n.)(xfnxxxxnnnn. )(xfn,sgn x

2、Rx. )(xfn121nx. )(xfn,sgn xRx. 设,21nrrr为区间1,0上的全体有理数所成数列. 令)(xfn.,1,0,0,12121nnrrrxxrrrx且)(xfn)(xD, x1,0. )(xfn2222xnxen. )(xfn0, Rx.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 156 )(xfn.121,0,2121,42,210,4111xxxxxnnnnnnn有)(xfn0, x1,0,

3、 )(n. （ 注意101)(dxxfn. ）二. 函数列的一致收敛性 : 问题 : 若在数集D上)(xfn)(xf, )( n. 试问: 通项)(xfn的解析性质是否必遗传给极限函数)(xf? 答案是否定的 . 上述例1、例 3说明连续性未能遗传, 而例 3说明可积性未能遗传. 例 3说明虽然可积性得到遗传, 但nlim1010)(lim)(dxxfdxxfnnn. 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段 . 对这种函数 , nlim)(xfn就是其表达式 . 于是, 由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末 , 在什么条件下

4、通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢 ? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列nf在数集D上一致收敛,N,0, ,Nnmnmff. ( 介绍另一种形式npnff.) 证) ( 利用式.ffffffnmnm) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 157 )易见逐点收敛 . 设

5、nlim)(xfn)(xf, ,有2|)()(|xfxfnm. 令m, 2|)()(|xfxfn对xD成立, 即)(xfn)(xf, )( n，xD.系 1 在D上nff, )( n，0|)()(|suplimxfxfnDn. 系 2 设在数集D上)(xfn)(xf, )( n. 若存在数列nxD , 使0|)()(|nnnxfxf, 则函数列)(xfn在数集D上非一致收敛 . 应用系 2 判断函数列)(xfn在数集D上非一致收敛时, 常选nx为函数)(xFn)(xfn)(xf在数集D上的最值点 . 验证函数一致收敛性:例4 )(xfnnnxsin. 证明函数列)(xfn在R内一致收敛 . 例

6、5 )(xfn2222xnxen. 证明在R内)(xfn0, 但不一致收敛 . 证显然有)(xfn0,|)()(|xfxfn)(xfn在点nxn21处取得极大值022121nenfn,)( n. 由系 2 , )(xfn不一致收敛 . 例 6221)(xnxxSn. 证明在),(内)(xSn0, )( n. 证易见nlim.0)()(xSxSn而nnxxnnxnxxSxSn21)(1|2211| )()(|222在),(内成立 . 由系 1 , ,例 7 对定义在区间1,0上的函数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 158 .11,0),2,1(,121,22,210,2)(22xnnnxnxnnnxxnxfn证明 : nlim)(xfn0, 但在1,0上不一致收敛 . 1P3839 E3, 参图 . 证10x时, 只要1xn, 就有)(xfn0. 因此, 在1,0(上有)(xfnlim)(xfn0. 0)0(nf, )0(fnlim)0(nf0. 于是, 在1,0上有)(xfnlim)(xfn0. 但由于021|)()(|max 1,0nnfxfxfnnx, )( n, 因此 , 该函数列在1,0上

8、不一致收敛 . 例 8 )(xfn12sin2nx. 考查函数列)(xfn在下列区间上的一致收敛性: )0(,lll; ),0. Ex1P4446 1， 2，9；P5354 1， 2，3. 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其和函数：，)(xun, 前n项部分和函数列)(xSn，收敛点，收敛域 , 和函数 , 余项.例 9 定义在),(内的函数项级数( 称为几何级数 ) nnnxxxx201名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - -

9、- - - - - - - 159 的部分和函数列为)1(11)(xxxxSnn, 收敛域为)1,1(. 2.一致收敛性 : 定义一致收敛性. Th2 (Cauchy准则 ) 级数)(xun在区间D上一致收敛 , N,0, ,NpNn| )()()(|21xuxuxupnnn对xD成立. 系级数)(xun在区间D上一致收敛 , nu)(x0, )( n. Th3 级数)(xun在区间D上一致收敛 , nlim| )(|supxRnx Dnlim0| )()(|supxSxSnx D. 例10 证明级数121)1(nnnx在R内一致收敛 . 证令nu)(x=nxn21)1(, 则n时|)1(11

10、|)()()(|21221pnxnxxuxuxuppnnn011112nnx对xR成立. ,例11 几何级数0nnx在区间,aa) 10(a上一致收敛；但在)1,1(内非一致收敛 . 证在区间,aa上 , 有011sup|)()(|sup,aaaxxSxSnnaanaa,)( n.一致收敛 ; 而在区间)1,1(内 , 取1nnxn)1,1(, 有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 160 1)1 ,1()1 ,

11、1(11111sup| )()(|supnnnnnnnnnnnxxxSxS, )( n. 非一致收敛 . ( 亦可由通项nnxxu)(在区间)1,1(内非一致收敛于零,非一致收敛.) 几何级数0nnx虽然在区间)1,1(内非一致收敛 , 但在包含于)1,1(内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数0nnx在区间)1,1(内闭一致收敛 . Ex 1P4445 1 ， 4 ，6. 四. 函数项级数一致收敛判别法: 1.M - 判别法 :Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数)(xun定义在区间D上, nM是收敛的正项级数 . 若当n

12、充分大时 , 对xD有| )(xunnM, 则在D上一致收敛 . 证,| )(|)(1111pipiinpiininpiinMMxuxu然后用Cauchy准则 . 亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数nM是级数)(xun的一个 优级数 . 于是 Th 4 可以叙述为 : 若级数)(xun在区间D上存在优级数 , 则级数)(xun在区间D上一致收敛 . 应用时 , 常可试取|)(|supxuMnDxn.但应注意 , 级数)(xun在区间D上不存在优级数 , 级数)(xun在区间D上非一致收敛 . 参阅 1P45 8. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

13、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 161 注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 12判断函数项级数innnx2sin和innnx2cos在R内的一致收敛性 . 例 13 设),2,1()(nxun是区间,ba上的单调函数 . 试证明 : 若级数)(aun与)(bun都绝对收敛 , 则级数)(xun在区间,ba上绝对并一致收敛 . 简证 ,留为作业 . |)(|)(|)(|buauxunnn. ,2. Abel判别法 : Th 5 设 级

14、数)(xun在区间I上收敛 ; 对每个xI, 数列)(xvn单调 ; 函数列)(xvn在I上一致有界 , 即0M, 使对Ix和n, 有Mxvn|)(|. 则级数)()(xvxunn在区间I上一致收敛 . ( 1P43 ) 2.Dirichlet判别法 : Th 6 设 级数)(xun的部分和函数列nkknxuxU1)()(在区间I上一致有界 ; 对于每一个xI, 数列)(xvn单调 ; 在区间I上函数列)(xvn一致收敛于零. 则级数)()(xvxunn在区间I上一致收敛 . 例 14判断函数项级数1)()1(nnnnnx在区间1,0上的一致收敛性. 解记nnnnnxxvnxu1)(,)1()

15、(. 则有 级数)(xun收敛; 对每个x1,0, )(xvn； enxxvnn1|)(|对x1,0和n成立 . 由Abel判别法 , 在区间1,0上一致收敛 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 162 例 15设数列na单调收敛于零 . 试证明 : 级数nxancos在区间2,)0(上一致收敛 . 证由本教案 Ch123 例 4 ，在2,上有212sin2121|2sin|21212sin2)21sin(|c

16、os|1xxxnkxnk. 可见级数nxcos的部分和函数列在区间2,上一致有界. 取nxxuncos)(, nnaxv)(. 就 有 级 数)(xun的 部 分 和 函 数 列 在 区 间2,上一致有界 , 而函数列)(xvn对每一个x2,单调且一致收敛于零 . 由Dirichlet判别法 , 级数nxancos在区间2,上一致收敛 . 其 实, 在 数列na单 调 收敛 于 零的 条件 下 , 级 数nxancos在 不包 含),2,1,0(2kk的任何区间上都一致收敛. Ex 1P4546 3 ，5，7，8，9* . 习题课( 2 时 ) 例1 设)(xfn)(xf,)(n, xD. 0

17、na且0na,)( n. 若对每个自然数n有|)(xfn)(xf|na对xD成立 , 则函数列 )(xfn 在D上一致收敛于函数)(xf. 例2 证明函数列nx在区间1,0上非一致收敛 . 例3 )(xfn221xnnx, x1,0. 讨论函数列 )(xfn 的一致收敛性 . 解nlim)(xfn 0, x1,0. |)(xfn 0|)(xfn . 可求得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 163 10maxx)(

18、xfn,021)1(nfn)( n. 函数列 )(xfn在区间1,0上非一致收敛 . 例4 设函数)(1xf在区间,ba上连续 . 定义xanndttfxf)()(1. 试证明函数列 )(xfn在区间,ba上一致收敛于零. 证法一由)(, ,)(11xfbaCxf有界 . 设在区间,ba上|)(1xf|M. |)(2xf|xaxaabMaxMff)()(|11;|)(3xf|xaxaabMaxMff2222)(21)(2|; |)(1xfn|xannnxanabMnaxnMff)(!1)(!|. 注意到对0!)(,!|,nabMnccnn, )( n. nf0, )( n, x,ba. 证法二

19、,0)()(,)()(11afafxfxfnnnn,0)()(, )()(1111afafxfxfnnnn)()(,1)(1xfxfnn. ,)(1baCxf)(1xf有界 . 设在区间,ba上|)(1xf|M. 把函数)(1xfn在点a展开成具Lagrange型余项的1n阶Taylor公式 , 注意到0)()()()1(111afafafnnnn, 就有nnnnaxnfxf)(!)(|)(|)(11ba, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - -

20、 - - - - - - - 164 0!)()(!|)(|1nabMaxnfnn, )( n, x,ba. 所以 , nf0, )( n, x,ba. 例5 设),(,:babaf. 0n且0n, )( n. 令)()(1xfxf, ,)()()(12xffxffxf, 层复合nnnxfffxffxf)()()(1. ,. 试证明 : 若对n和yx,ba, 有|)()(yxyfxfnnn , 则函数列)(xfn 在区间,ba上一致收敛 . 证对,0取N, 使Nn时, 有abn. 于是对任何自然数p和x,ba, 有|)(|)()(|)()(|xfxxffxfxfxfpnpnnpnn)(abn.

21、 由Cauchy收敛准则 , 函数列 )(xfn 在区间,ba上一致收敛 . 例 6 设在数集D上函数列 )(xfn 一致收敛于函数)(xf. 若每个)(xfn在数集D上有界 , 则函数列 )(xfn在数集D上一致有界 . 证( 先证函数)(xf在数集D上有界 ) 设在D上有 |)(xfn|nM. 对1, 由函数列 )(xfn在数集D上一致收敛 ,N, 当NN0时 , 对xD, 有 |)(xf|)(|0xfN |)(xf1| )(0xfN, |)(xf| 1GMxfDefNN001| )(|. 即函数)(xf在数集D上有界 . ( 次证函数列 )(xfn在数集D上一致有界 ) Nn时, 对xD

22、, 有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 165 |)(xfn| |)(xf| |)(xfn)(xf| 1, |)(xfn|1G. 取,1,max21GMMMMn易见对xD和n有|)(xfn|M. 即函数列 )(xfn在数集D上一致有界 . 例 7设)(xfn为定义在区间,ba上的函数列 , 且对每个n, 函数)(xfn在点a右连续 , 但数列 )(afn 发散 . 试证明 : 对ab(0), 函数列 )(xfn

23、在区间),(aa内都不一致收敛. 证反 设0, 使 )(xfn 在 区 间),(aa内 一 致 收 敛 . 则 对NpNnN,0, 有2|)()(|1xfxfpnn对x),(aa成立 . axpnnafaflim|)()(|12|)()(|1xfxfpnn.)(afn 为Cauchy列, 即)(afn收敛 . 与已知条件矛盾. 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ）一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1.连续性 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

24、1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 166 Th 1 设在D上nf)(xf, 且对n, 函数)(xfn在D上连续 , )(xf在D上连续 . 证( 要证 : 对0xD, )(xf在点0x连续 . 即证 : 对0, 0, 当|0xx时, | )()(|0xfxf. ) | )()(|)()(|)()(| )()(|0000xfxfxfxfxfxfxfxfnnnn. 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数)(xfn在点0x连续, 第二项|)()(|0xfxfnn也可以任意小 . ,系设在D上)(xfn)(xf. 若)(xf在D上间断，则函数列

25、)(xfn在D上一致收敛和所有)(xfn在D上连续不能同时成立. 註Th1 表明 : 对于各项都连续且一致收敛的函数列)(xfn, 有)(limlim)(limlim00xfxfnxxnnnxx. 即极限次序可换 . 2. 可积性 : Th 2若在区间,ba上函数列 )(xfn一致收敛 , 且每个)(xfn在,ba上连续. 则有babannnndxxfdxxf)(lim)(lim. 证设在,ba上nf)(xf, 由 Th1, 函数)(xf在区间,ba上连续 , 因此可积 . 我们要证babanndxxfdxxf)()(lim. 注意到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

26、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 167 banbabanffff|, 可见只要abxfxfn|)()(|在,ba上成立 . Th2 的条件可减弱为: 用条件“)(xfn在,ba上(R ) 可积”代替条件“)(xfn在,ba上连续” . 证明可参阅江泽坚著数学分析上册P350. 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是 : Th 设)(xfn是定义在区间,ba上的函数列 . 若)(xfn 在,ba上收敛且一致可积 , 则其极限函数)(xf在,ba上( R

27、) 可积 , 且有babannfflim. 参阅 : 马振民 , ( R) 可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然科学版） 1988. 4. 3. 可微性 : Th 3 设函数列 )(xfn定义在区间,ba上, 在某个点0x,ba收敛 . 对n, )(xfn在,ba上连续可导 , 且由导函数构成的函数列)(xfn 在,ba上一致收敛 , 则函数列 )(xfn 在区间,ba上收敛 , 且有)(lim)(limxfdxdxfdxdnnnn. 证设)(0xfnA，)( n. )(xfn)(xg, )( n. 对x,ba, 注意到函数)(xg连续和)(xfn)(0xfn+xxndtt

28、f0)(, 就有nlim)(xfnnlim)(0xfn + nlimxxndttf0)(（ 对第二项交换极限与积分次序）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 168 A + dttfxxnn0)(limA +xxdttg0)(令)(xf. 估计 |)(0xfn+xxndttf0)(Axxdttg0|)(|)(0xfnA| + |xxndttgtf0|)()(, 可证得)(xfn)(xf.)(xfxxdttgA0)(

29、)(xgnlim)(xfnnlim)(xfdxdn. 即)(limxfdxdnnnlim)(xfdxdn. 亦即求导运算与极限运算次序可换.例 1 1P49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要 . ) 例 2 1P50 E2( 说明定理的条件是充分的, 但不必要 . )Ex 1 P52 1，2.二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 把上述 Th1 3 表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果.参阅 1P51 Th13.11 13.13.例3 1P51 E3 例4证明函数)(xf1nnxne在区间),0(内连续 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

30、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 169 证( 先证1nnxne在区间),0(内闭一致收敛 .) 对ba0，有nanxnene0，x,ba；又nane，1nnxne在,ba一致收敛 . ( 次证对0x),0(, )(xf在点0x连续 ) 对0x),0(, 由上段讨论 , 1nnxne在区间2,200xx上一致收敛; 又函数nxne连续 , )(xf在区间2,200xx上 连续 , )(xf在 点0x连续 . 由点0x的 任意 性 , )(xf在 区间),0(内连续 . 例5 )(xS11nnnnx, x1,1. 计算积分xdttS0)(. Ex1P5253 38，9， 10 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -