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1、1 北师大版数学（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式 。 单独的一个数或一个字母也是单项式。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式 。其中每个单项式叫做这个多项式的项 。多项式中不含字母的项叫做 常数项 。多项式中次数最高的项
2、的次数，叫做这个多项式的次数。三、整式 ：单项式和多项式统称为整式 。四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（ 2）合并同类项。五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：aman=am+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n =amn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab）n=anbn (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：aman=am-n (m,n 都是正整数 ,a0) ；整式的运算2 六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a0=1（a0）;2、负整数指数幂：p 是正整数。七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数
3、、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。2、单项式乘以多项式：法则： 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。5、多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。八、整式乘法公式：1、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b22
4、、完全平方公式：第二章平行线与相交线余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图1(0)ppaaa222222()2,()2,abaabbabaabb平行线与相交线3 一、余角和补角：1、余角：定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角 。性质：同角或等角的余角相等。2、补角：定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角 。性质：同角或等角的补角相等。二、对顶角：我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。三、同位角、内错角、同旁内角：直线 AB， C
5、D与 EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中 1 与 5 这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做 同位角 ； 3 与 5 这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做 内错角 ；3 与 6 在直线 AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做 同旁内角 。EA 2 1B3 46 5D7 8C F四、平行线的判定：1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直
6、线平行。3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。五、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。六、尺规作图：4 1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角。第三章生活中的数据一、科学记数法：一般地，一个绝对值较小的数可以表示成n10a的形式，其中1 |a|10 ， n 是负整数。二、近似数和有效数字：1、近似数：利用四舍五入法取一个数的近似数
7、时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。2、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起， 到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。三、形象统计图：第四章概率必然事件事件不可能事件不确定事件概率等可能性游戏的公平性概率的定义概率几何概率设计概率模型一、事件发生的可能性; 人们通常用1（或 100）来表示必然事件发生的可能性，用0 来表示不可能事件发生的可能性。二、游戏是否公平：游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。三、 摸到红球的概率：1、概率的意义P（摸到红球） =摸到红球可能出现的结果数/摸出一球可能出现的结果数2、确定事件和不确定事件的概率：（1）必
8、然事件发生的概率为1 记作 P（必然事件） =1；（2）不可能事件发生的概率为0，P（不可能事件）=0；（3）如果 A 为不确定事件，那么 0P(A)b, 那么 a+cb+c, a-cb-c.（注：移项要变号，但不等号不变）性质 2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果 ab, 并且 c0, 那么 acbc, .性质 3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如果 ab, 并且 c0, 那么 acbc,/bc,说明：比较大小 : 作差法ab a-b0 a=b a-b=0 ab /ba-bb大大取大xa小小取小axb/xb大小小大中间找无解大大小小解不了
9、( 是空集 )第三章图形的平移与旋转1 3一、图形的平移1 平移的定义 ：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。关键： a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b. 图形 平移三要素 ：原位置、平移方向、平移距离。2 平移的规律 ( 性质 ) ：经过平移， 对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等。注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。3 简单的平移作图：平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。二、图形的旋转1
10、 旋转的定义： 在平面内， 将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键： a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b. 图形 旋转四要素 ：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。2 旋转的规律 ( 性质 ) ：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等。注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。3 简单的旋转作图：旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中
11、心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。三、中心对称1 41概念： 中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。2中心对称的基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。（2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。3中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。4、中心对称与中心对称图形的区别与联系如果将成中心对称的两个
12、图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比6、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系， 即由它作何种运动变换而形成。 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。第四章因式分解一、公式：1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解 ，因式分解也可称为分解因式。2.公因式： 把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式 .1 53.提公因式法： 如果一个多项式的
13、各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做 提公因式法4. 找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（ 4）所有这些因式的乘积即为公因式 .5.公式法：（1）ma+mb+mc=m( a+b+c ) （2）a2_b2=(a+b)(a-b)（3）a22ab+b2=（ab）26.、分解因式的一般步骤为:（1）若有 “ -” 先提取 “ -” ，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选
14、用平方差公式或完全平方公式 .（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。（1）把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.（2）把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.补充：十字相乘法第五章 分式与分式方程1. 分式的定义 ：如果 A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，坟墓都不能为零。2. 注意事项（1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。（2） 分式有意义的条件：分母不为零， 即分母中的代数式的值不能为零。1
15、6（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零3. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示注意： （1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。（2）应用基本性质时，要注意C0，以及隐含的B0。（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。4. 分式的乘除：两个分式相乘, 把分子相乘的积作为积的分子, 分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除, 把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘 . 即: , 5. 分式乘方： 把分
16、子、分母分别乘方. 即: 逆向运用 , 当 n 为整数时 , 仍然有成立 .6. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式, 叫做 最简分式 .7. 分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的 约分 ：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 。（2）最简分式 ：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的 通分 ：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这一过程称为分式的通分 。（4）最简公分母 ：最简单的公分母简称最简公分母 。8. 分式的加减：(1) 同分母的分式相加减, 分母不变 , 把分子相加减; 上述法则用式子表示是:(2) 异号分母
17、的分式相加减, 先通分 , 化为同分母的分式, 然后再按同分母分式的加减法法则进行计算;上述法则用式子表示是:1 79. 分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。10. 分式方程： 分母中含未知数的方程叫做分式方程 。增根： 分式方程的增根必须满足两个条件：（1）增根是最简公分母为0；（ 2）增根是分式方程化成的整式方程的根。11. 分式方程的解法：(1) 能化简的先化简(2) 方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3) 解整式方程； (4) 验根注：
18、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。12. 列分式方程解应用题: 步骤：（ 1）审 题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）检 验 （6）写出 答案， 检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。应用题基本类型；a. 行程问题： b. 数字问题c. 工程问题 d. 顺水逆水问题 e 相遇问题f 追及问题g 流水问题h 浓度问题m利润与折扣问题第六章平行四边形一、平行四边
19、形的性质1、定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。1 82、性质 : （1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的邻角互补（ 3）平行四边形的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分。二、平行四边形的判定1、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形2、两条平行线的距离: 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。 3、平行四边形的面积：S 平行四边形 =底高 =ah 三、三角形的中位线1、概念 ：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）2、定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半四、多边形的内角和与外角和1、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n- 2） 180 ；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360。2、正多边形的每个内角度数：（ n- 2） 180 /n3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等4、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形
