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1、差分差分有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。用该公式来构造有限差分公式，则是用 f在 a 点和 a h 点的值 f a 和 f a h ，来表示f 在 a 点处的一阶导数值。一、一阶微商的几种差分方案在一个离散的等距离格点x, x x, x 2x, x 3x, 上，取得了各点对应的观测值A x , A x x , A x 2x ,其中 x 是格点之间的距离，简称格距。 3x 2 3在 x x , x 2x 诸点
2、上，泰勒展开的形式为A x x A x dAdx xd 2 A x2x 2dx x 2!d 3 A x3dx x 3!（1.1.1A x x A x dAdx xd 2 A x2dx x 2!d 3 A x3 （1.1.2）dx x 3!2x 2dAdx x 32x 2dAdx x32 33A x 2x A x d 2 A 22 x2dx x 2!A x 2x A x d 3 A 22 x3dx x 3!d 2 A 22 x2dx x 2!d A 2 xdx x 3!（1.1.3）（1.1.4） 3 2（一）两点式差分方案由第（1.1.1）式可得dAdx xA x x A x x1 d 2 A
3、 x 2 d 3 x3x dx x 2! dx 3! 略去高次微项，可得近似差分表达式dAdx xA x x A x x（1.1.5） 3 2由第（1.1.2）式可得dAdx xA x A x x x1 d 2 A x 2 d 3 x3x dx x 2! dx x 3! 略去高次微项，可得近似差分表达式dAdx xA x A x x x（1.1.6）对于（1.1.5）和（1.1.6）式，只知道 A 在 x x 处和 x 处的值，或者知道 x 处和 x x 处的值，即可以求dA出 x 处一阶微商的近似值 dx ，由于只需知道两点的dAA 值即可求得 dx x 的近似值，因此称为一阶微商的两点式差
4、分方案。2 3 5 5 3（二）三点式差分方案由（1.1.1）式减去（1.1.2）式可得A x x A x x dAdx x x移项整理即得d 3 A x3 d 5 A x5dx 3! dx x 5! dAdx xA x x A x x 2x1 d 3 A x3 d 5 A x5x dx x 3! dx x 5! 略去高次项即得dAdx xA x x A x x 2x（1.1.7）由于（1.1.7）式涉及到三个计算格点 x x ， x ，x x ，所以称之为一阶微商的三点式差分方案。，（三）两点式差分方案和三点式差分方案的精度和物理意义（1.1.5）（1.1.6）和（1.1.7）式均是一阶微商
5、dA的近似表达式，它们与真值 dx 之间是有误差的。根据误差理论，各式的误差量级，取决于泰勒展开式中被略去的第一项的量级。 2 x2 3 3 x2（1.1.5）式和（1.1.6）式中的误差（常称截断误差）取决于1 d 2 A x2 1 d 2 Ax dx x 2! 2 dx x（1.1.7）式中的误差取决于0 x 1 d 3 A x3 1 d 3 Ax dx x 3! 3 dx x0 x2 所以，三点式差分方案具有二阶的精确度。P 5 图2dA在如图所示的几何图象中 dx x 对应着曲线 A x 在x 处切线 AB 的斜率，而（1.1.5）式，（1.1.6）式和（1.1.7）式dAdx xdA
6、dx xdAdx xA x x A x xA x A x x xA x x A x x 2x实际上分别表示图 2 中斜线、的斜率，从图中可见斜线、与 AB 之间斜率均不一样，但以斜线的斜率与 AB 的斜率更为接近，这也大致说明（1.1.7）式比两点式差分具有较高的精度。（1.1.5）式，（1.1.6）式和（1.1.7）式分别称为向前差分，向后差分和中心差分，可以证明中心差分是前两种差分形式的平均。dAdx xdAdx xdAdx xA x x A x xA x A x x xA x x A x x 2x前后1 dA dA 2 dx x dx x 1 A x x A x A x A x x 2
7、x x1 A x x A x x 2 x中心dAdx x（四）五点式差分方案五点式差分方案的表达式为dA 4 A x x A x x dx x 3 2x1 A x 2x A x 2x 3 4x（1.1.8） 3x 2 3把（1.1.1）（1.1.4）式代入（1.1.8）式，得：A x x A x dAdx xd 2 A x2x 2dx x 2!d 3 A x3dx x 3!（1.1.1A x x A x dAdx xd 2 A x2dx x 2!d 3 A x3 （1.1.2）dx x 3!2x 2dAdx x 32x 2dAdx x32 33A x 2x A x d 2 A 22 x2dx
8、x 2!A x 2x A x d 3 A 22 x3dx x 3!d 2 A 22 x2dx x 2!d A 2 xdx x 3!（1.1.3）（1.1.4） 232 d 5 Ax x 5 3x 2 4 2 2 25 d 5 A4 5 x x4右端 4 dA3 2 x dx x x 2 d 3 A33! dx xx 1 2 23 4 x dAdx xx5 )5! dx5 x2 8 d 3 A 333! dx x2 25 d 5 A55! dx xx 4 2 2 2 dA 4 2 2 8 d 3 A 3 2 3 4 dx x 3 2 3! 3 4 3! dx x 3 2 5! 3 4 5! dx
9、 xdA 1 d 5 A5dx x 30 dx x5所以（1.1.8）式两边近似相待，且其截断误差为1 d A530 dx x x40 x4即具有四阶精度的误差。通常，精度越高，计算质量也就越好； 但在诊断分析应用二阶精度的差分格式也就能达到计算本身对精度的要求了，所以常采用中心差分格式。 在边界上使用向前差分和后差分格式。d 2 A x2 2 d 4 Ax2三、二阶微商的几种差分方案（一）三点式差分方案将（1.1.1）式和（1.1.2）式左右两端分别相加A x x A x x 2 A x 2 2 dx x 2! 4! dx4 x移项整理后得x4 d 2 Adx2 xA x x A x x 2
10、 A x 1 d 4 A12 dx4 xA x x A x x 2 A x 0 x2 x2x2 （1.1.9）的（1.1.9）式中需要用 x x , x x ，和x 处共三点d 2 AA 值来计算二阶微商 dx2 ，故称之为三点式方案，其精度是与 x 2 相当的。d 2 A 1 2 4 4 5 1 3 12 （二）五点式差分方案根据类似的方法可以得到四阶精度的五点式差分方案dx2 x x A x x 3 A x x 2 A x A x 2x A x 2x （1.1.10）一般取二阶精度的三点式差分格式即可。证明，上述近似方案具有四阶精度:以（1.1.1）-（1.1.4）式代入（1.1.10）式
11、右端1x5 2 122 1x A x 2 x246 4 x 6 x 右端 2 4 2 3 A x x2 d 2 A x4 d 4 A x6 d 6 A3! dx2 x 4! dx4 x 6! dx6 A x A x 22 x2 d 2 A2! dx2 x24 x4 d 4 A4! dx4 x26 x6 d 6 A6! dx6 x 2 4 2 5 2 2 4 2 22 d 2 A 3 2 12 3 2! 12 2! dx 4 2 2 24 d 4 A 4 2 2 26 d 6 A 3 4! 12 4! dx x 3 6! 12 6! dx x 2 4 1 d 2 A 3 3 dx4 1 1 d
12、A 1 2 d 6 A49 30 3 45 dx69 9 dx62d Adx6d 2 A4dx1 32 30 2x 12A x 2 x2 4 x x 2 3 d A270 dx6 x64 2 0 x 2 H3.2拉普拉斯算子的差分格式 2 A 2 A拉普拉斯算子 A x2 y 2 在大气动力学的许多方程中常要出现，如求地转风涡度 8 9.8 2f 2 V 222 2 p 位势倾向方程 2 f 2 2 P t 方程 fV8 f 8 f 2 f 2 R dQ p p PC p p dl f2 P fV8 f 8 V8 R 2 dQp pC p dl h2 2 2 x y 2! x y h2 2 2
13、 x y 2! x y 一、二维函数的泰勒展开式A x h, y h A x, y h A x, y 2 2 A x, y (1.2.2）A x h, y h A x, y h A x, y 2 2 A x, y （1.2.3） h2 2 2 x y 2! x y h2 2 2 x y 2! x y A x h, y h A x, y h A x, y 2 2 A x, y (1.2.4）A x h, y h A x, y h A x, y 2 2 A x, y （1.2.5）2二、几种 的差分格式（一）五点式差分格式1表达式之一4 4 422 A 152 242 2 122h把（1.2.2）
14、-（1.2.5）式左右两边分别相加，得到新的等式A x h, y h A x h, y h A x h, y h A x h, y h 4 A x, y 2h A x, y h A x, y 64! 4 A x, y h6 6x y 180 2 A x, y x y 移项整理便得 A x, y 2 A x h, y h A x h, y h A x h, y h A x h, y h 4 A x, y 0 h 2 （1.2.6）12h 2表达式之二把二维泰勒展开式分别用于 x, y h 和 x h, y 四点上，然后采用与上述相同的做法，可以得五点式差分的另一种形式 A x, y 2 A x,
15、 y h A x, y h A x h, y A x h, y 4 A x, y 0 h2 （1.2.7）（1.2.6）式使用的五个记录如图(2.1.a)所示，而（1.2.7）式使用的五个记录如图(2.1.b)所示。 12 2(二）拉普拉斯算子的九点式差分格式把二维泰勒展开在 x h, y h 和 x h, y ， x, y h 八点处表示形式作如下的组合A x h, y h A y h, y h A x h, y h A x h, y h 4 A x, y h A x, y h A x h, y A x h, y 整理后可得6h22 A A x h, y h A x h, y h A x h
16、, y h A x h, y h 4 A x h, y A x h, y A x, y h A x, y h 20 A x, y 0 h （1.2.8）九点式差分格式和五点式差分格式具有相同等级的精度 0 h ，但一般而言由于九点式使用的资料较多，计算结果要更加可靠一些。 x y t3.3 雅可比算子雅可比算子常出现在涡度方程的平流项中，如对于简化的涡度方程则有： V v t v f 位势倾向方程和方程中也出现涡度平流项A V ，所以如果有一个常用的差分形式，将很感方便。 gz ，对风速 V 取地转近似，V V3 k k f0 其中 是地转流函数。于是A k y x x yxy J , J ,
17、 （1.3.1）xy 一、雅可比算子的差分形式在如图所示的正方形网格中，雅可比算子可写成如下的差分形式:J i , j , 14d2 i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j （1.3.2）其中 i, j 分别表示网格点所在的列和行数。 二、Arakawa的雅可比差分方案设 a，b，c 三个变量分别为a J , y x x yb J , y x x y c J , x y y x 1b 1c 则它们分别可以写成如下的差分形式a 14d2 i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i
18、, j 1 i 1, j i 1, j 4d 2 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 4d 2 i 1, j i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 13112d 2 于是雅可比算子的差分形式之一J , a b c（1.3.3）还可以得到第 2 个形式J , i , j 1 i 1, j 1
19、i , j 1 i 1, j 1 i 1, j i , j i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i , j 1 i , ji , j i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i , j 1 i , j i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j 1 i , j i , j 1 i 1, j i , j i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i , j i 1, j i , j 1 i , j i 1, j 1 （1.3.4）112d
20、 2 还可以得到第三种形式J , i , j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i 1, j i , j i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i , j 1 i , ji , j i 1, j i 1, j i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i , j 1 i , j i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j 1 i , j i , j 1 i 1, j i , j i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i , j i 1, j i
21、 , j 1 i , j i 1, j 1 (3.3)、(3.4)、(3.5)三式均是二阶精度的，所用的资料是九个网格点上的（如图3）。（1.3.5）还有一种用13个格点的资料计算的四阶精度的雅可比算子差分形式，所用格点如图所示。 14d 14d 设：a 14d2 i 1, j i 1, j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j b 2 i 1, j i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 c
22、 2 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 i 1, j 1 i , j 1 i 1, j i 1, j 1 i 1, j i , j 1 18d 1E 18d D 2 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 i 1, j 1 8d 2 i 1, j 1 i , j 2 i 2, j i 1, j 1 i 2, j i , j 2 i 1, j 1 i , j 2 i 2, j i 1, j 1 i 2, j i , j 2 F 2 i 2, j i 1, j 1 i 1, j 1 i 2, j i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 2 i 1, j 1 i 1, j 1 i , j 2 i 1, j 1 i 1, j 1 2133J , a b c D E F 0 d 4 （1.3.6）
