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1、20182019学年第一学期高三期中调研试卷数学(正题)201811注意事项:1本试卷共4 页满分 160 分,考试时间120 分钟2请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上,在本试卷上答题无效3答题前,务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内一、填空题 (本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分,请把答案直接填写在答卷纸相应的位置 ) 1设全集= 1,2,3,4,5U,若集合3,4,5A,则UAe 2命题“2,210xR xx”的否定是 3已知向量(2, )ma,(1, 2)b,且ab,则实数m的值是 4函数( )lg(2)2f xxx 的定义域是 5已知扇形的半径为
2、6,圆心角为3,则扇形的面积为 6已知等比数列na的前n项和为nS,424SS,则84SS 7.设函数( )sin()f xAx(,A为常数,且0,0,0A)的部分图象如图所示,则的值为 8已知二次函数2( )23f xxx,不等式( )f xm的解集的区间长度为6(规定:闭区间,a b的长度为ba),则实数m的值是 9某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为48003m,深度为 3m 如果池底每12m的造价为150 元,池壁每12m的造价为120 元,要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为 m 10在ABC中,sin2sincos0ABC,则A的最大值是 名师资料总结 - - -精品资料
3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 11已知函数2,1,eln,1,xxfxxxx,若123123fxfxfxxxx,则13x fx的取值范围是 12已知数列na的通项公式为51nan, 数列nb的通项公式为2nbn , 若将数列na,nb中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列nc,则6c的值为 13如图,在平面四边形ABCD 中,ABBC,ADCD,60BCD,23CBCD. 若点 M 为边 BC 上的动点,则AMDMuuu ruuu u r
4、的最小值为 14函数( )xf xe xa在( 1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是 二、解答题 (本大题共 6 个小题, 共 90 分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15 (本题满分14 分) 已知(2cos23,2sin2 )m,(sin,cos )n(1)若6,且( )fm n,求( )f在0,2上的取值范围;(2)若/ /mn,且、的终边不在y轴上,求tan()tan的值16 (本题满分14 分)已知等差数列na的前 n 项和为nA,35a,636A数列nb的前 n 项和为nB,且21nnBb(1)求数列na和nb的通项公式;(2)设nnncab
5、,求数列nc的前n项和nSC B A D M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - 17 (本题满分 14 分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现计划在池塘的中轴线 OC 上设计一个观景台D(点 D 与点 O,C 不重合),其中 AD,BD,CD 段建设架空木栈道,已知2ABkm,设建设的架空木栈道的总长为ykm(1)设(rad)DAO,将y表示成的函数关系式,并写出的取值范围;(2)
6、试确定观景台的位置,使三段木栈道的总长度最短18 (本题满分16 分) 已知( )xxaf xee是奇函数(1)求实数 a 的值;(2)求函数222( )xxyeef x在),0x上的值域;(3)令( )( )2g xf xx,求不等式32(1)(13)0g xgx的解集CBA荷花D O 荷花荷花荷花名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 19 (本题满分16 分) 已知数列 na的首项为 1,定义:若对任意的*nN,
7、数列 na满足13nnaa,则称数列 na为“ M 数列”(1)已知等差数列na为“M 数列”, 其前 n项和Sn满足2S22nnn*nN,求数列 na的公差d的取值范围;(2)已知公比为正整数的等比数列na为“M 数列”,记数列 nb满足34nnba,且数列 nb不为“ M 数列,求数列na的通项公式20 (本题满分16 分) 设函数( )1lnf xaxx,a 为常数(1)当2a时,求( )f x在点(1, (1)f处的切线方程;(2)若12,x x 为函数( )f x的两个零点,12xx 求实数a的取值范围;比较12xx 与2a的大小关系,并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
8、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 20182019学年第一学期高三期中调研试数学参考答案与评分标准201811 一、填空题 (本大题共14 小题,每小题5 分,共 70 分)1. 1,22. 2,210xR xx3. 1 4.2,25. 6. 107. 38. 59. 160 10. 11.2(1,0)e12. 256 13.21414.-1a或3a二、解答题 (本大题共 6 个小题, 共 90 分,请在答题卷区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤) 15 (本题满分14 分) 解: (1)因为6,所以13( ,)22n所以3( )cos23sin 22fm n =, 2 分即3( )2sin(2)62f, 3 分因为0,2,所以72,666;所以1sin(2),162; 5 分所以( )f的取值范围是1 7, 2 2 7 分(2)由/ /mn,所以(2cos23)cos2sin2sin0, 9 分所以2cos(2)3cos0, 10 分所以2cos()cos2sin()sin3cos()cos3sin()sin0,因为、的终边不在y轴上,所以cos(),cos均不为 0,所以5cos()cossin()sin0, 12 分
10、因为所以tan()tan514 分16 (本题满分14 分) 解: (1)因为na是等差数列 , 设na的公差为d,由35a,636A,得1125,2512,adad 2 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 所以11a,2d,所以21nan; 4 分由21nnBb可知,当1n时,11b;5 分当2n时,1121nnBb,所以1122nnnnBBbb,从而12(2)nnbbn, 7 分又11b,所以12(2)nnb
11、nb,所以nb是等比数列,8 分所以12nnb 9 分(2)因为nnncab,所以1(21) 2nncn,012211231 23 25 2(23)2(21)2nnnnSccccnnLL,123121 23 25 2(23)2(21)2nnnSnnL,11 分所以0121221 22 22 22 2(21)212(21)212nnnnnSnnL,所以(23)23nnSn14 分17. (本题满分 14 分) 解: (1)由DAO,OCAB,1OAOB,则1cosDADB,tanDO,所以1tanDC, 4 分所以22sin1tan1coscosyDADBDC,04. 7 分(注:表达式2 分,
12、的的取值范围1 分)(2) 22sin1cosy,9 分令0y,得1sin2,又04,所以6,10 分当06时,0y,y是的减函数;当64时,0y,y是的增函数 . 12 分所以, 当6时,min31y,此时3tan3DO. 13 分答:当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离AB 边3km3处时 ,能使三段木栈道总长度最短. 14 分18 (本题满分16 分) 解: (1)函数的定义域为R,因为( )f x为奇函数,由()( )fxf x可知,(0)0f,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
13、 - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 所以10a,所以1a; 3 分当1a时,11()( )xxxxfxeef xee,此时( )f x为奇函数4分(2)令1xxete(0t) ,所以22212xxete所以2( )22h ttt,对称轴t, 5 分当0时,( )(0),h th,所求值域为2,;7 分当0时,( )( ),h th,所求值域为22,; 9 分(3)因为1( )xxf xee为奇函数,所以()()2()( )2( ),gxfxxf xxg x所以( )( )2g xfxx为奇函数,所以32(1)(1 3)0g xgx等价于32(1)(3
14、1)g xgx,10 分又1( )( )22220xxg xfxee当且仅当0x时,等号成立,所以( )( )2g xfxx在R上单调增,所以32131xx,13 分即32320xx,又32232(1)(22)0xxxxx,所以13x或113x 15 分所以不等式的解集是(,13)(1,13)U 16 分19 (本题满分16 分) 解: (1)因为等差数列na为“ M 数列”,所以3d, 2 分由11a,得(1)2nn nSnd, 由题意,得2(1)222n nndnn对nN均成立,即142ndn对nN均成立,4 分当1n时,3d均成立;5 分当2n时,421ndn恒成立,因为4264411n
15、nn,所以34d, 7 分综上可得,数列na的公差d的取值范围是34d8分(2)设数列na的公比为q,则111nnnaaqq,因为公比为正整数的等比数列na为“M 数列”,所以1111(1)(1)3nnnnaaa qqqq,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 所以q至少为大于等于2 的正整数;9 分又112nnnnaaqaa,所以数列1nnaa单调递增,所以在数列1nnaa中,21aa为最小项,11 分由na为“M
16、 数列 ” ,可知只需213aa,即13q,所以4q 12 分同理,在1nnbb中,“21bb” 为最小项,因为nb不是“M 数列 ” ,所以存在13mmbb,又“21bb” 为最小项,所以213bb , 即1(1)4a q,所以5q14 分因为*qN,5q所以,15nna16 分20 (本题满分16 分) 解: (1)当2a时,( )21lnf xxx,得1( )2fxx,所以(1)1f,所以( )f x在点(1, (1)f处的切线方程为yx; 3 分(2)( )1lnf xaxx(0x),得11( )axfxaxx,当0a时,( )0fx,( )f x单调递减不满足题意;4 分当0a时,1
17、(0,)xa,( )0fx;1(,)xa,( )0fx;所以( )f x在1(0,)a上单调减,在1(,)a上单调增因为函数( )f x有两个零点,所以min1( )()0f xfa,得01a 6 分下证:在区间1(0,)a和1(,)a内分别存在一个零点. 在1(0,)a内,因为1( )0afee,而1()0fa,又( )f x在1(0,)a上单调减,所以由零点存在性原理可知:在1(0,)a内( )f x有一个零点;9 分法一:在1(,)a内,可以证明ln1xxx,所以lnxx即ln2xx,所以211( )1ln12()1f xaxxaxxaxaa,取202(1)xa,得2201111()1(
18、1)110axaaaaaa, 而1( )0fa,又( )f x在1(,)a上单调递增,所以由零点存在性原理可知:在1(,)a内( )f x有一个零点 12 分法二 :在1(,)a内,因为ln1xxx(易证) ,所以lnxx即ln2xx,所以( )1ln12f xaxxaxx, 令xt且2( )21g tatt, 因为01a, 所以存在0t,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 使得0( )0g t,所以0( )0f
19、t,而1()0fa,又( )f x在1(,)a上单调增,所以由零点存在性原理可知在1(,)a内,( )f x有一个零点 12 分法 三 : 在1(,)a内 取20axe, 所 以2202224()1(2)2aaafxaeeaaa, 令2(2)t ta,2( )2tg tett,可证:2tet,所以22( )2(1)0tg tettttt t,所以0()0fx,而1( )0fa,又( )f x在1(,)a上 单 调 增 , 所 以 由 零 点 存 在 性 原 理 可 知 在1(,)a内 ,( )f x有 一 个 零点12 分122xxa 13 分证明如下:由111ln0axx,221ln0axx
20、,所以1122()lnxa xxx即1212lnxxaxx,要证122xxa,即证1122122()lnxxxxxx,即证1121222(1)ln1xxxxxx,令12(1)xt tx, 令2(1)( )ln1th ttt,22214(1)( )011th tttt t, 所以( )(1)0h th,所以122xxa 16 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -