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1、20182019学年第一学期高三期中调研试卷数学（正题）201811注意事项：1本试卷共4 页满分 160 分，考试时间120 分钟2请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效3答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置 ) 1设全集= 1,2,3,4,5U，若集合3,4,5A，则UAe 2命题“2,210xR xx”的否定是 3已知向量(2, )ma，(1, 2)b，且ab，则实数m的值是 4函数( )lg(2)2f xxx 的定义域是 5已知扇形的半径为
2、6，圆心角为3，则扇形的面积为 6已知等比数列na的前n项和为nS，424SS，则84SS 7.设函数( )sin()f xAx（,A为常数，且0,0,0A）的部分图象如图所示，则的值为 8已知二次函数2( )23f xxx,不等式( )f xm的解集的区间长度为6(规定：闭区间,a b的长度为ba)，则实数m的值是 9某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m，深度为 3m 如果池底每12m的造价为150 元，池壁每12m的造价为120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 m 10在ABC中，sin2sincos0ABC，则A的最大值是 名师资料总结 - - -精品资料
3、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 11已知函数2,1,eln,1,xxfxxxx，若123123fxfxfxxxx，则13x fx的取值范围是 12已知数列na的通项公式为51nan， 数列nb的通项公式为2nbn , 若将数列na，nb中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列nc，则6c的值为 13如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，60BCD，23CBCD. 若点 M 为边 BC 上的动点，则AMDMuuu ruuu u r
4、的最小值为 14函数( )xf xe xa在( 1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 二、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15 (本题满分14 分) 已知(2cos23,2sin2 )m，(sin,cos )n（1）若6，且( )fm n，求( )f在0,2上的取值范围；（2）若/ /mn，且、的终边不在y轴上，求tan()tan的值16 (本题满分14 分)已知等差数列na的前 n 项和为nA，35a，636A数列nb的前 n 项和为nB，且21nnBb（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设nnncab
5、，求数列nc的前n项和nSC B A D M 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 17 (本题满分 14 分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线 OC 上设计一个观景台D（点 D 与点 O，C 不重合），其中 AD，BD，CD 段建设架空木栈道，已知2ABkm，设建设的架空木栈道的总长为ykm（1）设(rad)DAO，将y表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）
6、试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短18 (本题满分16 分) 已知( )xxaf xee是奇函数（1）求实数 a 的值；（2）求函数222( )xxyeef x在),0x上的值域；（3）令( )( )2g xf xx，求不等式32(1)(13)0g xgx的解集CBA荷花D O 荷花荷花荷花名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 19 (本题满分16 分) 已知数列 na的首项为 1，定义：若对任意的*nN，
7、数列 na满足13nnaa，则称数列 na为“ M 数列”（1）已知等差数列na为“M 数列”， 其前 n项和Sn满足2S22nnn*nN，求数列 na的公差d的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列na为“M 数列”，记数列 nb满足34nnba，且数列 nb不为“ M 数列，求数列na的通项公式20 (本题满分16 分) 设函数( )1lnf xaxx，a 为常数（1）当2a时，求( )f x在点(1, (1)f处的切线方程；（2）若12,x x 为函数( )f x的两个零点，12xx 求实数a的取值范围；比较12xx 与2a的大小关系，并说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
8、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 20182019学年第一学期高三期中调研试数学参考答案与评分标准201811 一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分)1. 1,22. 2,210xR xx3. 1 4.2,25. 6. 107. 38. 59. 160 10. 11.2(1,0)e12. 256 13.21414.-1a或3a二、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
9、程或演算步骤) 15 (本题满分14 分) 解： （1）因为6，所以13( ,)22n所以3( )cos23sin 22fm n =， 2 分即3( )2sin(2)62f， 3 分因为0,2，所以72,666；所以1sin(2),162； 5 分所以( )f的取值范围是1 7, 2 2 7 分（2）由/ /mn，所以(2cos23)cos2sin2sin0， 9 分所以2cos(2)3cos0， 10 分所以2cos()cos2sin()sin3cos()cos3sin()sin0，因为、的终边不在y轴上，所以cos(),cos均不为 0，所以5cos()cossin()sin0， 12 分
10、因为所以tan()tan514 分16 (本题满分14 分) 解： （1）因为na是等差数列 , 设na的公差为d，由35a，636A，得1125,2512,adad 2 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 所以11a，2d，所以21nan； 4 分由21nnBb可知，当1n时，11b；5 分当2n时，1121nnBb，所以1122nnnnBBbb，从而12(2)nnbbn， 7 分又11b，所以12(2)nnb
11、nb，所以nb是等比数列，8 分所以12nnb 9 分（2）因为nnncab，所以1(21) 2nncn，012211231 23 25 2(23)2(21)2nnnnSccccnnLL，123121 23 25 2(23)2(21)2nnnSnnL，11 分所以0121221 22 22 22 2(21)212(21)212nnnnnSnnL，所以(23)23nnSn14 分17. (本题满分 14 分) 解： （1）由DAO，OCAB，1OAOB，则1cosDADB，tanDO，所以1tanDC， 4 分所以22sin1tan1coscosyDADBDC,04. 7 分（注：表达式2 分，
12、的的取值范围1 分）(2) 22sin1cosy，9 分令0y,得1sin2，又04，所以6，10 分当06时，0y，y是的减函数；当64时，0y，y是的增函数 . 12 分所以， 当6时，min31y，此时3tan3DO. 13 分答：当 D 位于线段 AB 的中垂线上且距离AB 边3km3处时 ,能使三段木栈道总长度最短. 14 分18 (本题满分16 分) 解： （1）函数的定义域为R，因为( )f x为奇函数，由()( )fxf x可知，(0)0f，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
13、 - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 所以10a，所以1a； 3 分当1a时，11()( )xxxxfxeef xee，此时( )f x为奇函数4分（2）令1xxete（0t） ，所以22212xxete所以2( )22h ttt，对称轴t， 5 分当0时，( )(0),h th，所求值域为2,；7 分当0时，( )( ),h th，所求值域为22,； 9 分（3）因为1( )xxf xee为奇函数，所以()()2()( )2( ),gxfxxf xxg x所以( )( )2g xfxx为奇函数，所以32(1)(1 3)0g xgx等价于32(1)(3
14、1)g xgx，10 分又1( )( )22220xxg xfxee当且仅当0x时，等号成立，所以( )( )2g xfxx在R上单调增，所以32131xx，13 分即32320xx，又32232(1)(22)0xxxxx，所以13x或113x 15 分所以不等式的解集是(,13)(1,13)U 16 分19 (本题满分16 分) 解： （1）因为等差数列na为“ M 数列”，所以3d， 2 分由11a，得(1)2nn nSnd， 由题意，得2(1)222n nndnn对nN均成立，即142ndn对nN均成立，4 分当1n时，3d均成立；5 分当2n时，421ndn恒成立，因为4264411n
15、nn，所以34d， 7 分综上可得，数列na的公差d的取值范围是34d8分（2）设数列na的公比为q，则111nnnaaqq，因为公比为正整数的等比数列na为“M 数列”，所以1111(1)(1)3nnnnaaa qqqq，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 所以q至少为大于等于2 的正整数；9 分又112nnnnaaqaa，所以数列1nnaa单调递增，所以在数列1nnaa中，21aa为最小项，11 分由na为“M
16、 数列 ” ，可知只需213aa，即13q，所以4q 12 分同理，在1nnbb中，“21bb” 为最小项，因为nb不是“M 数列 ” ，所以存在13mmbb，又“21bb” 为最小项，所以213bb ， 即1(1)4a q，所以5q14 分因为*qN，5q所以，15nna16 分20 (本题满分16 分) 解： （1）当2a时，( )21lnf xxx，得1( )2fxx，所以(1)1f，所以( )f x在点(1, (1)f处的切线方程为yx； 3 分（2）( )1lnf xaxx（0x）,得11( )axfxaxx，当0a时，( )0fx，( )f x单调递减不满足题意；4 分当0a时，1
17、(0,)xa，( )0fx；1(,)xa，( )0fx；所以( )f x在1(0,)a上单调减，在1(,)a上单调增因为函数( )f x有两个零点，所以min1( )()0f xfa，得01a 6 分下证：在区间1(0,)a和1(,)a内分别存在一个零点. 在1(0,)a内，因为1( )0afee，而1()0fa，又( )f x在1(0,)a上单调减，所以由零点存在性原理可知：在1(0,)a内( )f x有一个零点；9 分法一：在1(,)a内，可以证明ln1xxx，所以lnxx即ln2xx，所以211( )1ln12()1f xaxxaxxaxaa，取202(1)xa，得2201111()1(
18、1)110axaaaaaa， 而1( )0fa，又( )f x在1(,)a上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在1(,)a内( )f x有一个零点 12 分法二 :在1(,)a内，因为ln1xxx（易证） ，所以lnxx即ln2xx，所以( )1ln12f xaxxaxx， 令xt且2( )21g tatt， 因为01a， 所以存在0t，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 使得0( )0g t，所以0( )0f
19、t，而1()0fa，又( )f x在1(,)a上单调增，所以由零点存在性原理可知在1(,)a内，( )f x有一个零点 12 分法 三 : 在1(,)a内 取20axe， 所 以2202224()1(2)2aaafxaeeaaa， 令2(2)t ta，2( )2tg tett，可证：2tet，所以22( )2(1)0tg tettttt t，所以0()0fx，而1( )0fa，又( )f x在1(,)a上 单 调 增 ， 所 以 由 零 点 存 在 性 原 理 可 知 在1(,)a内 ，( )f x有 一 个 零点12 分122xxa 13 分证明如下：由111ln0axx，221ln0axx
20、，所以1122()lnxa xxx即1212lnxxaxx，要证122xxa，即证1122122()lnxxxxxx，即证1121222(1)ln1xxxxxx，令12(1)xt tx， 令2(1)( )ln1th ttt，22214(1)( )011th tttt t， 所以( )(1)0h th，所以122xxa 16 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -
