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1、数学简单的线性规划及其实际应用【基础知识导引】1方程x+y+1=0 在平面直角坐标系中,表示一条直线,那不等式x+y+10 在平面直角坐标系中表示什么呢?2如何确定一个点在某条直线的右(或左)上方?3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值?4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解?5常见的线性规划问题有哪些?你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例子或模型吗?【重点难点解读】本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题以及线性规划的实际应用,重点是二元一次不等式表示平面区域,而难点则是应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。1关于二元一次不等式表示平面
2、区域直线 1:y=kx+b 把平面上的点分成三类:在直线1 上方的点;在直线1 下方的点,其中 ykx+b表示直线上方的半平面区域,y0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域,对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),实数Ax+By+C 的符号都相同,故只需在此直线的某一侧任取一点)(00yx ,(常取( 0,0),将它的坐标代入Ax+By+C ,由其值的符号可判定Ax+By+C0表示直线的那一侧,事实上,这就是所谓的“同侧同号,异侧异号”的符号法则,它闪现了数形结合思想方法的光芒。2关于线性规划问题求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题,便是线性
3、规划问题。线性规划问题,一般条件比较繁,因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难。求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是:列出线性约束条件及写出目标函数;求出线性约束条件所表示的平面区域;通过平面区域求出满足线性条件下的可行解;用图形的直观性求最值;检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。线性规划的实际问题,主要涉及以下常见类型;物资调运问题求怎样编制调运方案,能使总运费最少;产品安排问题求如何组织生产,能使利润最大;下料问题求如何下料,能使损耗最少,利用率最高。应用线性规划的图解方法,一般必须具备下列条件:能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求;要有不同选择
4、的可能性存在,即所有可行解不止一个;所求的目标函数是约束条件的;约束条件应明确地表示为线性不等式或等式;约束条件中所涉及的变量不超过两个。【难题巧解点拨】例 1 画出不等式2x3y+60 所表示的平面区域。解先画出直线2x3y+6=0(画成虚线)取原点( 0, 0),代入2x3y+6=0 中,因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2030+60,所以,原点在不等式2x3y+60 所表示的平面区域内,不等式2x3y+60 所表示的平面区域如图11 所示。点悟:教科书中有这样的一段叙述:“由于对在直线Ax+By+C=0同
5、一侧的所有点(x,y)来说,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同,所以只需在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 个 特 殊 点)(00yx , 从CByAx00的 正 负 即 可 判 断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域,特殊地,当C0 时,常把原点作为此特殊点。”这里强调了这样的一个重要的事实:在直线一侧所有的点都使Ax+By+C同号,另外,由于原点的代入,数值计算相对来说较简单,故当C0 时,取原点作为特殊点来判断 Ax+By+C 的符号,那应该是最方便的,当C=0 时,因原点已在直线Ax+By+C=0 上,故不能通过原点来判断Ax+By+C 的符号,此时其
6、值恒为0。例 2 用不等式组表示图12 中的阴影部分(含边界)。解首先求出各条边所在的直线方程。可以用两点式直接写出各边的方程。AB:6x+y+15=0 ; BC:x2y4=0;CD:2x+y8=0;DA :x+6y 15=0。原点( 0,0)在直线AB 的右方,将(0,0)代入60+0+150 ,所以,直线AB 的右半平面区域为:x+y+15 0,同理,直线BC 的上半平面区域为:x2y40,直线CD 的左半平面区域为:2x+y80,直线 DA 的下半平面区域为:x+6y15 0。故所求的不等式组为.0156, 082, 042, 0156yxyxyxyx点悟:必须注意这里用的是“”、“”,
7、而非“”、“”,它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界,后者表示的区域不包括边界。例 3 北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型”洗衣机,由于两种产品的市场需求量非常大,有多少就有销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大,已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于两种产品有关数据如下表:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页资金单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)电子琴洗衣机成本30 20 300 劳
8、动力(工资)5 10 110 单位利润6 8 试问:怎样确定两种货的供应量,才能使总利润最大,最大利润是多少?解设电子琴和洗衣机月供应量分别为x 架、 y 台,总利润为 百元,根据题意,有.,110105,3002030,0,0NyNxyxyxyx=6x+8y ,作出以上不等式组所表示的平面区域,即图13 中的阴影部分,作动直线=6x+8y ,如图中的虚线部分,显然当动直线过图中的M 点时, 取最大值。解方程组11010503002030yxyx得 M(4,9)即 当 供应 量为 电子 琴4 架 、 洗衣 机9 台 时, 公司 可 获最 大 利 润, 最 大利 润是46+89=96(百元)。【
9、拓展延伸探究】例 1 预算有 2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子,希望使桌椅的总数量尽可能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5 倍,问桌子和椅子各购买多少?分析 这是生活实际中的一个物资采购问题,可归结为线性规划问题,利用图解法进行求解。解设桌子和椅子各购买x、y 张,则 x、y 必须满足线性约束条件.,2000205,0,0NyNxyxyxyx其目标函数z=x+y 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页由,20002050,yxyx解得.7200,720yx故图 14 中点 A 的坐标
10、为)72007200(,。由200020505 .1yxxy解得27525yx故图中点B 的坐标为)27525(,。满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界和内部),以A、B、O 为顶点三角形区域。动直线 z=x+y 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距为z 的直线,如图所示的虚线,当动直线运动到如图所示的B 点时, z 的取值最大,此时x=25,275y。但由于 x、y 的取值均为整数,故y 应取 37,即购买25 张桌子、椅子37 张,是最优选择。点悟:由于本题是一个实际问题,当求得最优解)27525(,后,显然它不满足题意,故应取最优解的近似值,这便是实际问题与一般的非应用问题的
11、最大区别。例 2 私人办学是教育发展的方向,某人准备投资1200 万元举办一所中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据,列表如下(以班级为单位):市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设费(万元)教师年薪(万元)初中50 2.0 28 1.2 高中40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、办公费,初中每生每年可收取600 元,高中每生每年可收取1500 元。因生源和环境等条件限制,办学规模以20 至 30 个班为宜(含20 个与 30 个)。教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排招生
12、计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?分析 这是一道线性规划问题,可假设初中编制为x 个班级,高中编制为y 个班级,利用题设先列出不等式组,求出目标函数,然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域,利用图形法加以求解。解设初中编制为x 个班,高中编制为y 个班。则依题意有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页Nyxyxyx,12005828,3020()又设年利润为s万元,那么s=(5060010000)x( 40150010000)y-2.4x-4y ,即 s=0.6x+2y。现在直角坐标系中作出()所表示的
13、可行域,如图15 所示。问题转化为在如图15 所示的阴影部分中,求直线s =0.6x+2y 在 y 轴上的截距的最大值,如图,虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线,显然当直线过图中的A 点时,纵截距sy21取最大值。解联立方程组.12005828,30yxyx得.12,18yx将 x=18,y=12 代入 s中得,8.34maxs。设经过 n 年可收回投资,则第 1 年利润为 6 5060010000621.2440150010000 42.51.6=11.6(万元);第 2 年利润为 211.6=23.2(万元),以后每年的利润均为34.8 万元,故依题意应有11.6+23.2+34.8(n
14、2)=1200。解得 n35.5。故学校规模以初中18 个班、高中12 个班为宜,第一年初中招生6 个班约300 人,高中招生 4 个班约 160,从第三年开始年利润为34.8 万元,约经过36 年可以收回全部投资。点悟:读懂问题,正确理解“教育周期为三年”的含义(办学第三年,学校班级数才达到正常的办学规模;而刚开办的第一年和第二年中,都有班给空缺),正确理解表格所赋予的内含,是解题的关键,另外,这是一个实际问题,最后对n 的取值应采用“进1法”,而不应采用“舍尾法”。例 3 已知函数caxxf2)(满足 4f(1) 1, 1f(2) 5,试求f(3)的取值范围。分析 由 4f(1) 1, 1
15、f(2) 5,可求出a、 c 的可行域,然后将f(3)表示成关于a、c 的目标函数,即就是求该目标函数的最大值与最小值。解由 4f(1) 1,得 4 ac 1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页由 1f(2) 5,得 1 4ac5。作出它们的可行域如图16 阴影部分所示(含边界)。目标函数f(3) =9ac,它表示斜率为9,在 c 轴的截距为f( 3)的直线。由. 14, 1caca解得 A(0,1)。由54,4caca解得 B(3,7)。由图可知,当动直线过点A 时, f(3)取最小值为1;当动直线过点B 时, f
16、(3)取最大值为 20。故 f(3)的取值范围为1,20。点悟:常有如下“解法”:由 4f(1) 1,得 4ac 1,于是 1ca4。由 1f(2) 5,得 1 4ac5。 +,得 0 3a9,故 0a3。4 +,得 33c21,故 1c7。于是, f(3)=9ac,当 a=3、c=1 时取最大值为26,当 a=0、 c=7 时取最小值为7。故 f(3)的取值范围为7,26。试分析以上的解答,是正确的还是错误的?为什么?【命题趋势分析】对于 Ax+By+C0 或 Ax+By+C (0 B0 表示直线Ax+By+C=0 的上方区域表示直线 Ax+By+C=0 的下方区域Ax+By+C (0 A0
17、 表示直线Ax+C=0 的右侧区域表示直线 Ax+C=0 的左侧区域Ax+C0 表示直线Ax+C=0 的左侧区域表示直线 Ax+C=0 的右侧区域【同步达纲练习】1下列命题正确的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页A线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或 y 的值B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2设E 为平面上以A(4,1), B(-1,-6), C(-
18、3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为()A14, -18 B -14,-18 C18,14 D 18,-14 3不等式 |x|y2|x|所表示的平面区域(均含边界)为图17 中的()4若不等式ax+(2a-1)y+10 表示直线ax+(2a-1) y+1=0 的下方区域,则实数a的取值范围为 _。5某工厂可以制造三种产品,每单位产品分别获利润10 元, 6元, 4 元,每件产品生产需要消耗原材料1 个单位,劳动力消耗分别为10 个, 4 个, 5 个,设备消耗工时分别是2小时, 2 小时, 6 小时,现有原料100 个单位,劳动力600 个,设备可利
19、用工时为300 小时,试建立使总利润达到最大的生产利润模型。6家具公司制作木质的书桌和椅子,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有8000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元和 20 元,试根据以上条件,问怎样安排生产能获得最大利润?7某厂能够生产甲、乙两种产品,已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如表所示,但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制,每天供煤至多56 吨,供电至多 45 千瓦,问该厂如何安排生产
20、,使得该厂日值最大?用煤(吨)用电(千瓦)产值(万元)甲种产品7 2 8 乙种产品3 5 11 8在约束条件:2x+5y10,2x3y 6,2x+y10 下,求22yxz的最小值。参考答案【同步达纲练习】1D (点拨:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,是线性规划问题,满足线性约束条件的解叫可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域,使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解)2A (点拨:当动直线z=4x3y 通过点B 时, z 取最大值,通过点C 时, z 取最小值)3A (点拨:可取特殊点法进行判断排除)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
21、 - - - - - -第 7 页,共 8 页421a(点拨:因直线ax+(2a 1)y+1=0 恒过定点(2, 1),而显然点(2,0)在点( 2,1)的下方,故它应满足不等式,将点(2,0)代入不等式,即得2a+10。)5 设x 、 y 、 z分 别 是 三 种 产 品 的 计 划 制 造 产 品 , 则 约 束 条 件 为.,0,300622,6005410,100Nzyxzyxzyxzyxzyx、,求 =10x+6y+4z 的最大值。6生产200 把椅子、 900 张书桌可获得最大利润21000 元(点拨:设每星期生产x 把椅子、 y 张书桌,那么利润P=15x+20y ,而 x、y
22、必须满足约束条件:.0,0,13002,800084yxyxyx在直角坐标系内作出它的表示的区域,它围成一个封闭的四边形,其四个顶点分别为(0,0),( 650,0),( 200,900),( 0,1000),而直线P=15x+20y ,当P 变化时,它是一组斜率为43的平行直线,当纵截距最大时,利润亦最大,在上述区域内平行移动的直线,易见当直线过点(200,900)时, P值最大。)7每天生产甲种产品5 吨,乙种产品7 吨,日产值到达最大值117 万元(点拨:设每天生产甲种产品x 吨,乙种产品y 号,则7x+3y56, 2x+5y45,x、 y0,目标函数z=8x+11y,作出线性约束条件所表示的平面区域,即可求得当x=5, y=7 时, z 取最大值117万元)8线性约束条件2x+5y10,2x3y 6, 2x+y10 所表示的区域恰好围成一个三角形区域(含边界),其三个顶点为(5, 0),( 3,4),( 0,2),而22yxz表示原点到点( x,y)距离d 的平方,故问题等价于原点到可行域内的点的距离d 的平方的最小值,由图形不难得出当d 为原点到直线2x+5y=10 的距离时,所求值最小,故最小值为2910052|10|222。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页