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1、数学简单的线性规划及其实际应用【基础知识导引】1方程x+y+1=0 在平面直角坐标系中，表示一条直线，那不等式x+y+10 在平面直角坐标系中表示什么呢？2如何确定一个点在某条直线的右（或左）上方？3如何求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值？4如何用图解法可求几个变量的线性规划问题的最优解？5常见的线性规划问题有哪些？你能列举一些线性规划在生产生活中的实际应用的例子或模型吗？【重点难点解读】本两节介绍了二元一次不等式表示平面区域、简单的线性规划问题以及线性规划的实际应用，重点是二元一次不等式表示平面区域，而难点则是应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。1关于二元一次不等式表示平面
2、区域直线 1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线1 上方的点；在直线1 下方的点，其中 ykx+b表示直线上方的半平面区域，y0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y），实数Ax+By+C 的符号都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点)(00yx ，（常取（ 0，0），将它的坐标代入Ax+By+C ，由其值的符号可判定Ax+By+C0表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的“同侧同号，异侧异号”的符号法则，它闪现了数形结合思想方法的光芒。2关于线性规划问题求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题，便是线性
3、规划问题。线性规划问题，一般条件比较繁，因此列出线性约束条件及目标函数往往较为困难。求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：列出线性约束条件及写出目标函数；求出线性约束条件所表示的平面区域；通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；用图形的直观性求最值；检验由求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。线性规划的实际问题，主要涉及以下常见类型；物资调运问题求怎样编制调运方案，能使总运费最少；产品安排问题求如何组织生产，能使利润最大；下料问题求如何下料，能使损耗最少，利用率最高。应用线性规划的图解方法，一般必须具备下列条件：能够将目标函数表示为最大化或最小化的要求；要有不同选择
4、的可能性存在，即所有可行解不止一个；所求的目标函数是约束条件的；约束条件应明确地表示为线性不等式或等式；约束条件中所涉及的变量不超过两个。【难题巧解点拨】例 1 画出不等式2x3y+60 所表示的平面区域。解先画出直线2x3y+6=0（画成虚线）取原点（ 0， 0），代入2x3y+6=0 中，因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2030+60，所以，原点在不等式2x3y+60 所表示的平面区域内，不等式2x3y+60 所表示的平面区域如图11 所示。点悟：教科书中有这样的一段叙述：“由于对在直线Ax+By+C=0同
5、一侧的所有点（x，y）来说，把它的坐标（x，y）代入Ax+By+C所得到实数的符号都相同，所以只需在 此 直 线 的 某 一 侧 取 一 个 特 殊 点)(00yx ， 从CByAx00的 正 负 即 可 判 断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C0 时，常把原点作为此特殊点。”这里强调了这样的一个重要的事实：在直线一侧所有的点都使Ax+By+C同号，另外，由于原点的代入，数值计算相对来说较简单，故当C0 时，取原点作为特殊点来判断 Ax+By+C 的符号，那应该是最方便的，当C=0 时，因原点已在直线Ax+By+C=0 上，故不能通过原点来判断Ax+By+C 的符号，此时其
6、值恒为0。例 2 用不等式组表示图12 中的阴影部分（含边界）。解首先求出各条边所在的直线方程。可以用两点式直接写出各边的方程。AB：6x+y+15=0 ； BC：x2y4=0；CD：2x+y8=0；DA ：x+6y 15=0。原点（ 0，0）在直线AB 的右方，将（0，0）代入60+0+150 ，所以，直线AB 的右半平面区域为：x+y+15 0，同理，直线BC 的上半平面区域为：x2y40，直线CD 的左半平面区域为：2x+y80，直线 DA 的下半平面区域为：x+6y15 0。故所求的不等式组为.0156, 082, 042, 0156yxyxyxyx点悟：必须注意这里用的是“”、“”，
7、而非“”、“”，它们的唯一的区别就是前者表示的区域包括边界，后者表示的区域不包括边界。例 3 北京华欣公司计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电子琴和“OK 智能型”洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就有销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品有关数据如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）电子琴洗衣机成本30 20 300 劳
8、动力（工资）5 10 110 单位利润6 8 试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？解设电子琴和洗衣机月供应量分别为x 架、 y 台，总利润为 百元，根据题意，有.,110105,3002030,0,0NyNxyxyxyx=6x+8y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，即图13 中的阴影部分，作动直线=6x+8y ，如图中的虚线部分，显然当动直线过图中的M 点时， 取最大值。解方程组11010503002030yxyx得 M（4，9）即 当 供应 量为 电子 琴4 架 、 洗衣 机9 台 时， 公司 可 获最 大 利 润， 最 大利 润是46+89=96（百元）。【
9、拓展延伸探究】例 1 预算有 2000 元购买单价为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌子和椅子各购买多少？分析 这是生活实际中的一个物资采购问题，可归结为线性规划问题，利用图解法进行求解。解设桌子和椅子各购买x、y 张，则 x、y 必须满足线性约束条件.,2000205,0,0NyNxyxyxyx其目标函数z=x+y 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页由,20002050,yxyx解得.7200,720yx故图 14 中点 A 的坐标
10、为)72007200(，。由200020505 .1yxxy解得27525yx故图中点B 的坐标为)27525(，。满足以上条件的可行域为如图所示的阴影部分（包括边界和内部），以A、B、O 为顶点三角形区域。动直线 z=x+y 表示斜率为 1，在 y 轴上的截距为z 的直线，如图所示的虚线，当动直线运动到如图所示的B 点时， z 的取值最大，此时x=25，275y。但由于 x、y 的取值均为整数，故y 应取 37，即购买25 张桌子、椅子37 张，是最优选择。点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解)27525(，后，显然它不满足题意，故应取最优解的近似值，这便是实际问题与一般的非应用问题的
11、最大区别。例 2 私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200 万元举办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表班级学生数配备教师数硬件建设费（万元）教师年薪（万元）初中50 2.0 28 1.2 高中40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600 元，高中每生每年可收取1500 元。因生源和环境等条件限制，办学规模以20 至 30 个班为宜（含20 个与 30 个）。教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年。请你合理地安排招生
12、计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？分析 这是一道线性规划问题，可假设初中编制为x 个班级，高中编制为y 个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解。解设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班。则依题意有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页Nyxyxyx,12005828,3020（）又设年利润为s万元，那么s=（5060010000）x（ 40150010000）y-2.4x-4y ，即 s=0.6x+2y。现在直角坐标系中作出（）所表示的
13、可行域，如图15 所示。问题转化为在如图15 所示的阴影部分中，求直线s =0.6x+2y 在 y 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为0.3 的直线，显然当直线过图中的A 点时，纵截距sy21取最大值。解联立方程组.12005828,30yxyx得.12,18yx将 x=18，y=12 代入 s中得，8.34maxs。设经过 n 年可收回投资，则第 1 年利润为 6 5060010000621.2440150010000 42.51.6=11.6（万元）；第 2 年利润为 211.6=23.2（万元），以后每年的利润均为34.8 万元，故依题意应有11.6+23.2+34.8（n
14、2）=1200。解得 n35.5。故学校规模以初中18 个班、高中12 个班为宜，第一年初中招生6 个班约300 人，高中招生 4 个班约 160，从第三年开始年利润为34.8 万元，约经过36 年可以收回全部投资。点悟：读懂问题，正确理解“教育周期为三年”的含义（办学第三年，学校班级数才达到正常的办学规模；而刚开办的第一年和第二年中，都有班给空缺），正确理解表格所赋予的内含，是解题的关键，另外，这是一个实际问题，最后对n 的取值应采用“进1法”，而不应采用“舍尾法”。例 3 已知函数caxxf2)(满足 4f（1） 1， 1f（2） 5，试求f（3）的取值范围。分析 由 4f（1） 1， 1
15、f（2） 5，可求出a、 c 的可行域，然后将f（3）表示成关于a、c 的目标函数，即就是求该目标函数的最大值与最小值。解由 4f（1） 1，得 4 ac 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页由 1f（2） 5，得 1 4ac5。作出它们的可行域如图16 阴影部分所示（含边界）。目标函数f（3） =9ac，它表示斜率为9，在 c 轴的截距为f（ 3）的直线。由. 14, 1caca解得 A（0，1）。由54,4caca解得 B（3，7）。由图可知，当动直线过点A 时， f（3）取最小值为1；当动直线过点B 时， f
16、（3）取最大值为 20。故 f（3）的取值范围为1，20。点悟：常有如下“解法”：由 4f（1） 1，得 4ac 1，于是 1ca4。由 1f（2） 5，得 1 4ac5。 +，得 0 3a9，故 0a3。4 +，得 33c21，故 1c7。于是， f（3）=9ac，当 a=3、c=1 时取最大值为26，当 a=0、 c=7 时取最小值为7。故 f（3）的取值范围为7，26。试分析以上的解答，是正确的还是错误的？为什么？【命题趋势分析】对于 Ax+By+C0 或 Ax+By+C （0 B0 表示直线Ax+By+C=0 的上方区域表示直线 Ax+By+C=0 的下方区域Ax+By+C （0 A0
17、 表示直线Ax+C=0 的右侧区域表示直线 Ax+C=0 的左侧区域Ax+C0 表示直线Ax+C=0 的左侧区域表示直线 Ax+C=0 的右侧区域【同步达纲练习】1下列命题正确的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页A线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x 或 y 的值B线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值C线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解2设E 为平面上以A（4，1）， B（-1，-6）， C（-
18、3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为（）A14， -18 B -14，-18 C18，14 D 18，-14 3不等式 |x|y2|x|所表示的平面区域（均含边界）为图17 中的（）4若不等式ax+（2a-1）y+10 表示直线ax+（2a-1） y+1=0 的下方区域，则实数a的取值范围为 _。5某工厂可以制造三种产品，每单位产品分别获利润10 元， 6元， 4 元，每件产品生产需要消耗原材料1 个单位，劳动力消耗分别为10 个， 4 个， 5 个，设备消耗工时分别是2小时， 2 小时， 6 小时，现有原料100 个单位，劳动力600 个，设备可利
19、用工时为300 小时，试建立使总利润达到最大的生产利润模型。6家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15 元和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润？7某厂能够生产甲、乙两种产品，已知生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如表所示，但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制，每天供煤至多56 吨，供电至多 45 千瓦，问该厂如何安排生产
20、，使得该厂日值最大？用煤（吨）用电（千瓦）产值（万元）甲种产品7 2 8 乙种产品3 5 11 8在约束条件：2x+5y10，2x3y 6，2x+y10 下，求22yxz的最小值。参考答案【同步达纲练习】1D （点拨：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，是线性规划问题，满足线性约束条件的解叫可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解便是最优解）2A （点拨：当动直线z=4x3y 通过点B 时， z 取最大值，通过点C 时， z 取最小值）3A （点拨：可取特殊点法进行判断排除）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
21、 - - - - - -第 7 页，共 8 页421a（点拨：因直线ax+（2a 1）y+1=0 恒过定点（2， 1），而显然点（2，0）在点（ 2，1）的下方，故它应满足不等式，将点（2，0）代入不等式，即得2a+10。）5 设x 、 y 、 z分 别 是 三 种 产 品 的 计 划 制 造 产 品 ， 则 约 束 条 件 为.,0,300622,6005410,100Nzyxzyxzyxzyxzyx、，求 =10x+6y+4z 的最大值。6生产200 把椅子、 900 张书桌可获得最大利润21000 元（点拨：设每星期生产x 把椅子、 y 张书桌，那么利润P=15x+20y ，而 x、y
22、必须满足约束条件：.0,0,13002,800084yxyxyx在直角坐标系内作出它的表示的区域，它围成一个封闭的四边形，其四个顶点分别为（0，0），（ 650，0），（ 200，900），（ 0，1000），而直线P=15x+20y ，当P 变化时，它是一组斜率为43的平行直线，当纵截距最大时，利润亦最大，在上述区域内平行移动的直线，易见当直线过点（200，900）时， P值最大。）7每天生产甲种产品5 吨，乙种产品7 吨，日产值到达最大值117 万元（点拨：设每天生产甲种产品x 吨，乙种产品y 号，则7x+3y56， 2x+5y45，x、 y0，目标函数z=8x+11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，即可求得当x=5， y=7 时， z 取最大值117万元）8线性约束条件2x+5y10，2x3y 6， 2x+y10 所表示的区域恰好围成一个三角形区域（含边界），其三个顶点为（5， 0），（ 3，4），（ 0，2），而22yxz表示原点到点（ x，y）距离d 的平方，故问题等价于原点到可行域内的点的距离d 的平方的最小值，由图形不难得出当d 为原点到直线2x+5y=10 的距离时，所求值最小，故最小值为2910052|10|222。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
