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1、学习必备欢迎下载八、圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件:(1)已知定点)0, 3(),0, 3(21FF,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是A421PFPFB621PFPFC1021PFPFD122221PFPF(答: C) ;( 2)方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_(答:双曲线的左支)(2)第二定义已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P(x,y) ,则 y+|PQ|的最小值是 _ (答: 2)2. 圆锥曲线的标准方程(1)椭圆 :(1)已知方程12322kykx表示椭圆,则k的取值范围为 _ (答:11( 3
2、,)(,2)22) ;(2)若Ryx,,且62322yx,则yx的最大值是 _,22yx的最小值是 _ (答:5, 2)(2)双曲线 :(1) 双曲线的离心率等于25, 且与椭圆14922yx有公共焦点, 则该双曲线的方程_(答:2214xy) ;(2) 设中心在坐标原点O,焦点1F、2F在坐标轴上,离心率2e的双曲线C 过点)10, 4(P,则 C 的方程为 _(答:226xy)(3)抛物线 :3. 圆锥曲线焦点位置的判断:椭圆 :已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是_(答:)23,1 () 1,()4. 圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(1)若椭圆1522m
3、yx的离心率510e,则m的值是 _(答: 3 或325) ;(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时,则椭圆长轴的最小值为 _(答:22)(2)双曲线(1)双曲线的渐近线方程是023yx,则该双曲线的离心率等于_ (答:132或133) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页学习必备欢迎下载(2)双曲线221axby的离心率为5,则:a b= (答: 4 或14) ;(3)设双曲线12222byax( a0,b0)中,离心率e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是 _(答:,32) ;(3)抛物
4、线 ;设Raa,0,则抛物线24axy的焦点坐标为 _(答:)161,0(a) ;5直线与圆锥曲线的位置关系:(1)若直线 y=kx+2 与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_(答: (-315,-1) ) ;(2)直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点,则m 的取值范围是_ (答: 1,5)( 5, +) ) ;(3)过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B 两点,若 AB 4,则这样的直线有 _条(答: 3) ;(2)过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P 点在两条渐近线之间且不含
5、双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条; P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。(1)过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点,这样的直线有_(答: 2) ;(2)过点 (0,2) 与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_(答:44 5,33)
6、;(3)过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B 两点,若AB4,则满足条件的直线l有_条(答: 3) ;(4)对于抛物线C:xy42,我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部,若点),(00yxM在抛物线的内部,则直线l:)(200xxyy与抛物线C 的位置关系是_(答:相离) ;(5)过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q 两点,若线段PF 与 FQ 的长分别是p、q,则qp11_(答: 1) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页学习必备欢迎下载(6)设双曲线191622yx
7、的右焦点为F,右准线为l,设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,,则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于) (答:等于) ;(7)求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离(答:8 1313) ;(8)直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。当a为何值时,A、B分别在双曲线的两支上?当a为何值时, 以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:3,3;1a) ;7、焦半径(1) 已知椭圆1162522yx上一点 P到椭圆左焦点的距离为3, 则点 P 到右准线的距离为_(答:353) ;(2)已知抛物线方程为xy82,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛
8、物线的焦点的距离等于 _;(3)若该抛物线上的点M到焦点的距离是4,则点M的坐标为 _(答:7,(2,4)) ;(4)点 P 在椭圆192522yx上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标为 _(答:2512) ;(5)抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是5,则线段 AB 的中点到y轴的距离为_(答: 2) ;(6) 椭圆13422yx内有一点)1, 1(P, F 为右焦点, 在椭圆上有一点M , 使MFMP2之值最小,则点M 的坐标为 _(答:)1,362() ;8、焦点三角形(1)短轴长为5,离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F,过1F作直线交椭圆于A、B
9、两点,则2ABF的周长为 _(答: 6) ;( 2) 设P 是 等 轴 双 曲 线)0(222aayx右 支 上 一 点 , F1、 F2是 左 右 焦 点 , 若0212FFPF,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:224xy) ;(3)椭圆22194xy的焦点为F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2PF1 0 时,点 P 的横坐标的取值范围是(答:3 5 3 5(,)55) ;(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e26,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B 两点,且AB是2AF与2BF等差中项,则AB _(答:8 2) ;(5)已知双曲线的离心率为2,F1
10、、F2是左右焦点, P 为双曲线上一点,且6021PFF,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页学习必备欢迎下载31221FPFS求该双曲线的标准方程(答:221412xy) ;9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:讲过了,不再重复10、弦长公式 :(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么 |AB|等于 _(答: 8) ;(2)过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B 两点,已知 |AB|=10 ,O 为坐标原点,则ABC重心的横坐标为_
11、(答: 3) ;11、圆锥曲线的中点弦问题:(1)如果椭圆221369xy弦被点 A(4, 2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答:280xy) ;(2)已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 A、B 两点,且线段AB 的中点在直线L:x2y=0 上,则此椭圆的离心率为_(答:22) ;(3)试确定m 的取值范围,使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称(答:2 132 13,1313) ;特别提醒 :因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0!13动点轨迹方程:已知动点 P到定点 F(1,0) 和直线3
12、x的距离之和等于4,求 P的轨迹方程(答:212(4)(34)yxx或24 (03)yxx);线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M(m,0))0(m,端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m,以 x 轴为对称轴,过A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为(答:22yx) ;(1) 由动点 P向圆221xy作两条切线PA 、PB ,切点分别为A、B, APB=600,则动点P的轨迹方程为(答:224xy);(2) 点 M与点 F(4,0) 的距离比它到直线05xl:的距离小于1, 则点 M的轨迹方程是_ (答:216yx);(3)一动圆与两圆M :122yx和 N:012822xyx都外切,则动
13、圆圆心的轨迹为(答:双曲线的一支);动点 P是抛物线122xy上任一点,定点为)1, 0(A, 点 M分 PA 所成的比为2,则 M的轨迹方程为 _(答:3162xy);(1)AB是圆 O的直径, 且|AB|=2a,M为圆上一动点, 作 MN AB ,垂足为 N, 在 OM 上取点P,使| |OPMN,求点P的轨迹。(答:22|xya y);(2)若点),(11yxP在圆122yx上运动,则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是 _(答:2121(|)2yxx);精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页学习必备欢迎下载(3
14、)过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点 M的轨迹方程是 _(答:222xy);已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1( c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点, 满足.2|1aQF点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点, 点 T 在线段 F2Q上,并且满足.0| ,022TFTFPT(1)设x为点 P的横坐标,证明xacaPF|1;(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点T 的轨迹 C 上,是否存在点M,使 F1MF2的面积 S=.2b若存在,求 F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答: ( 1)略;(2)222xya; (3)当2bac时不存在;当2bac时存在,此时F1MF2 2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页