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1、学习必备欢迎下载lABPOMNPAB初三复习专题最短路径问题 将军饮马班级 : 姓名:将军饮马问题 =最短距离问题=轴对称问题一、基本模型(2 条线段和最小) :1、如图,在定直线l 的同侧有两定点A,B, 在直线 l 上求作点 P,使 PA+PB 最小。二、模型变型(3 条线段和最小)2、如图,点P 是 MON 内的一定点,分别在OM、ON 上作点 A、B,使 PAB 的周长最小。【例 1】如图, MON=45 ,P 是 MON 内一点, PO=10,A,B 分别是 OM、ON 上的动点,则 ABP 周长的最小值为。【方法归纳: 】1、作图的一般步骤是:2、计算最短线段长度的方法:【例 2】
2、 、已知抛物线2(1)4yx交 x 轴于 A(-1,0) 、B (3,0)两点,交 y 轴于点 D( 0,3) ,又已知点E(2,3) ,点 F(0,1) 。点 G 为对称轴PQ 上一动点,试问在x 轴上是否存在一点H,使 D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G,H 的坐标;若不存在,请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载OMNPABlABPQlABPQ三、模型再变型(线段 +点到线距离之和最小)3、如图,点P 是 MON 内的一定点,在射线OM、 ON 上分
3、别找两个点A、B,使 PA+AB 最小。【例 3】 、如图2,菱形ABCD 中, AB=10 , B=135 ,E 是 AB 上一动点, P 是对角线AC 上的一个动点,则PE+PB 的最小值为【变式 】 、已知直线1l和2l交于 M 点,夹角为30,点A 在1l上且AM=10 ,P 是2l上一动点,则P 点到 A 点的距离与1l的距离之和的最小值为。四、将军饮马+平移模型4、 如图,已知有两个定点A、 B, 在定直线l 有两个动点P、 Q, 且 PQ 长度不变, 求作点 P、 Q 使得 AP+PQ+BQ最小。( A、 B 异侧)(A、B 同侧)【例 4】 、如图,甲、乙两个单位分别位于一条河
4、流的两边A 处和 B 处,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?请做出示意图。(注意:桥必须与河流两旁垂直,桥宽忽略不计)五、差最大模型:5、如图,在直线L 的同侧有两点A,B, 在直线 l 上求作点P,使 PAPB 最大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载lABP【例 5】、如图所示, 抛物线2yaxbxc 交 x 轴于 A,B 两点, 交 y 轴于点 C,已知抛物线的对称轴为x 1,B(3,0), C(0,- 3)(1)求二次方程2yaxbxc 的解析式;(2) 在抛物线对称轴
5、上是否存在一点P, 使点 P 到 B, C 两点距离之差最大?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由课后作业1、如图 1,正方形 ABCD 的面积为16,ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线BD 上有一点P,使 PC+PE 的和最小,则这个最小值为2、如图 2,菱形 ABCD 中, AB=2 ,B=120 ,E 是 AB 的中点, P 是对角线AC 上的一个动点,则PE+PB 的最小值为(图 1)(图 2)(图 3)(图 4)3、如图 3,在等腰梯形ABCD 中, AB=CD=AD=2 , D=120 ,点 E、F 是底边 AD 与 BC 的中点,连接EF,P在
6、线段 EF 上,则 BP+AP 的最小值为4、如图 4,已知 O 的直径 MN=1 ,点 A 在圆上,且 AMN 的度数为30 ,点 B 是弧 AN 的中点,点P 在直径MN 上运动,则BP+AP 的最小值为5、 如图,在五边形ABCDE 中,已知 BAE=120,B=E=90 ,AB=BC=2 ,AE=DE=4 ,在 BC、DE 上分别找一点 M、N,若要使 AMN 的周长最小时,则 AMN 的最小周长为,此时 AMN+ ANM= 。6、如图 6,在等边 ABC 中, AB=6 , ADBC,E 是 AC 上的一点, M 是 AD 上的一点,且AE=2,则 EM+EC的最小值为。7、如图 7
7、,在锐角 ABC 中, AB 3, BAC 45 , BAC 的平分线交BC 于点 D,M、 N 分别是 AD 和 AB上的动点,则BM MN 的最小值是DABCMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载(图 5)(图 6)(图 7)8如图 8,已知点A( 4,8)和点 B(2, n)在抛物线2yax上(1)求 a 的值及点B 关于 x 轴对称点 P 的坐标,并在x 轴上找一点Q,使得 AQ+QB 最短,求出点Q 的坐标;(2)平移抛物线2yax,记平移后点A 的对应点为A ,点 B 的对应点为B ,点 C( 2,0)和点 D( 4,0)是 x 轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时,AC+CB 最短,求此时抛物线的函数解析式;当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形ABCD 的周长最短?若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由(图 8)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页