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1、对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零, 如果有根号, 要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,底数则要大于0 且不为1 对数函数的底数为什么要大于0 且不为1?【在一个普通对数式里 a0, 或 =1 的时候是会有相应b 的值的。 但是,根据对数定义: logaa=1 ;如果 a=1 或 =0 那么 logaa就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2, 3, 4, 5,等等)第二,根据定义运算公式:loga Mn = nloga M 如果 a0 且 a1 时 ,M0,N0 ,那么:(1) log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2) log
2、(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3) log(a)(Mn)=nlog(a)(M) (nR )(4) 换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且 b1)(5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明:设 a=nx 则 a(log(b)n)=( nx )log(b)n=n(xlog(b)n )=nlog(b)( nx )=n(log(b)a) (6) 对数恒等式:alog ( a)N=N; log ( a) ab=b (7)由幂的对数的运算性质可得( 推导公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)
3、M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n 次根号下的a 为底 )( 以 n 次根号下的M 为真数 )=log(a)M , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - log( 以 n 次根号下的a 为
4、底 )( 以 m 次根号下的M 为真数 )=(m/n)log(a)M 5.log(a)blog(b)c log(c)a=1 对数与指数之间的关系当 a0 且 a1 时 ,ax=N x= (a)N 对数函数右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形:可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形,因为它们互为反函数。(1)对数函数的定义域为大于0 的实数集合。(2)对数函数的值域 为全部实数集合。(3)函数图像总是通过(1, 0)点。(4) a 大于 1 时,为单调增函数,并且上凸;a 小于 1 大于 0 时,函数为单调减函数,并且下凹。(5)显然对数函数无界。对数函数的
5、常用简略表达方式:(1) log(a)(b)=log(a)(b) (2) lg(b)=log(10)(b) (3) ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质:如果 a 0,且 a 不等于1,M0,N0 ,那么:(1) log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2) log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3) log(a)(Mn)=nlog(a)(M) (n 属于 R)(4) log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) (n 属于 R)对数与指数之间的关系当 a 大于 0,a 不等于1 时 ,a 的 X 次方 =N等价于l
6、og(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) ( n 属于 R)换底公式(很重要)log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数以 e 为底 e 为无限不循环小数( 约为 2.71828) lg 常用对数以 10 为底对数函数的常用简略表达方式(1)常用对数:lg(b)=log(10)(b) (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828. 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 对数函数的一般形式为 y= (a)x ,它实际上就是指数函数的反函数 ( 图象关于直线y=x 对称的两函数互为反函数),可表示为x=ay 。因此 指数函数里对于a 的规定( a0 且 a1),同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形:可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形,因为它们互为反函数. 性质定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是x x0 ,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解, 除了要注意真数大于0
8、 以外,还应注意底数大于0 且不等于1, 如求函数y=logx( 2x-1 )的定义域,需满足x0 且 x1。2x-10 = x1/2且 x1,即其定义域为 x x1/2且 x1 值域: 实数集R 定点: 函数图像恒过定点(1,0)。单调性:a1 时,在定义域上为单调增函数,并且上凸;0a0且1) (xR), 从上面我们关于幂函数 的讨论就可以知道,要想使得x 能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a 的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=ax 中可以看到:( 1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于 0 且不等于1,对于a 不大于 0 的情况,则必然使得函数的
9、定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时 a 等于函数无意义一般也不考虑。(2)指数函数的值域为大于0 的实数集合。(3)函数图形都是下凸的。(4) a 大于 1,则指数函数单调递增;a 小于 1 大于 0,则为单调递减的。(5)可以看到一个显然的规律,就是当a 从 0 趋向于无穷大的过指数函数程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴 , 并且永不相交。(7)函数总是通过(0,1)
10、这点 ,( 若 y=ax+b,则函数定过点(0,1+b) (8)显然指数函数无界。(9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。(10)当两个指数函数中的a 互为倒数时,两个函数关于y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。(11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。.底数的平移:对于任何一个有意义的指数函数:在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - -
11、- - 在 f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。即“上加下减,左加右减”底数与指数函数图像:指数函数(1)由指数函数y=ax 与直线x=1 相交于点(1, a) 可知:在y 轴右侧 ,图像 从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=ax 与直线x=-1 相交于点(-1 , 1/a )可知:在y 轴左侧 ,图像 从下到上相应的底数由大变小。( 3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y 轴右边“底大图高”;在y 轴左边“ 底大图低”。(如右图)。幂的大小比较:比较大小常用方法:(1)比 差(商)法:( 2)函数单调性法;( 3) 中间值法:要比较A
12、与B 的大小,先找一个中间值C,再比较A 与 C、B 与 C 的大小,由不等式的传递性得到A 与 B 之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意 :(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如: y1=34,y2=35,因为3 大于 1 所以函数单调递增(即x 的值越大,对应的y 值越大),因为 5 大于 4,所以y2 大于 y1. (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用 指数函数图像的变化规律来判断。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 例如: y1=1/24,y2=34,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减;3 大于 1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0 是两个函数图像都过(0,1)然后随着x 的增大,y1 图像下降,而y2 上升,在x 等于 4 时, y2 大于 y1. (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值 来比较。如: 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1 的大小)进行分组 ,再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时,
14、如果能充分利用“ 1”来搭“桥”(即比较它们与“ 1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和 1 与指数x 与 0 之间的不等号同向(例如: a 1 且 x 0,或 0 a 1 且 x 0 )时, ax 大于 1,异向时ax 小于 1. 3例:下列函数在R 上是增函数还是减函数?说明理由. y=4x 因为 41,所以y=4x 在 R 上是增函数;y=(1/4)x 因为 01/40 且 a1)( 4)a1 时,曲线由左向右逐渐上升即a1 时,函数在(- ,+)上是增函数;0a1是,曲线逐渐下降即0a1 时,函数在(- ,+)上是减函数.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -