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1、对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零, 如果有根号, 要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零，底数则要大于0 且不为1 对数函数的底数为什么要大于0 且不为1？【在一个普通对数式里 a0, 或 =1 的时候是会有相应b 的值的。 但是，根据对数定义: logaa=1 ；如果 a=1 或 =0 那么 logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2， 3， 4， 5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果 a0 且 a1 时 ,M0,N0 ，那么：（1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2） log
2、(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR ）（4） 换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且 b1）(5) a(log(b)n)=n(log(b)a) 证明：设 a=nx 则 a(log(b)n)=（ nx ）log(b)n=n（xlog(b)n ）=nlog(b)（ nx ）=n(log(b)a) (6) 对数恒等式：alog （ a)N=N; log （ a） ab=b （7）由幂的对数的运算性质可得( 推导公式) 1.log(a)M(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)
3、M(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(an)Mn=log(a)M , log(an)Mm=(m/n)log(a)M 4.log(以 n 次根号下的a 为底 )( 以 n 次根号下的M 为真数 )=log(a)M , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - log( 以 n 次根号下的a 为
4、底 )( 以 m 次根号下的M 为真数 )=(m/n)log(a)M 5.log(a)blog(b)c log(c)a=1 对数与指数之间的关系当 a0 且 a1 时 ,ax=N x= (a)N 对数函数右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。（1）对数函数的定义域为大于0 的实数集合。（2）对数函数的值域 为全部实数集合。（3）函数图像总是通过（1， 0）点。（4） a 大于 1 时，为单调增函数，并且上凸；a 小于 1 大于 0 时，函数为单调减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。对数函数的
5、常用简略表达方式：（1） log(a)(b)=log(a)(b) （2） lg(b)=log(10)(b) （3） ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质：如果 a 0，且 a 不等于1,M0,N0 ，那么：（1） log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2） log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3） log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n 属于 R）（4） log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n 属于 R）对数与指数之间的关系当 a 大于 0,a 不等于1 时 ,a 的 X 次方 =N等价于l
6、og(a)N=x log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （ n 属于 R）换底公式（很重要）log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数以 e 为底 e 为无限不循环小数( 约为 2.71828) lg 常用对数以 10 为底对数函数的常用简略表达方式（1）常用对数:lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828. 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 对数函数的一般形式为 y= (a)x ，它实际上就是指数函数的反函数 ( 图象关于直线y=x 对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay 。因此 指数函数里对于a 的规定（ a0 且 a1），同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数. 性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是x x0 ，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解， 除了要注意真数大于0
8、 以外，还应注意底数大于0 且不等于1， 如求函数y=logx（ 2x-1 ）的定义域，需满足x0 且 x1。2x-10 = x1/2且 x1，即其定义域为 x x1/2且 x1 值域： 实数集R 定点： 函数图像恒过定点（1，0）。单调性：a1 时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；0a0且1) (xR)， 从上面我们关于幂函数 的讨论就可以知道，要想使得x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a 的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=ax 中可以看到：（ 1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于 0 且不等于1，对于a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的
9、定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于函数无意义一般也不考虑。（2）指数函数的值域为大于0 的实数集合。（3）函数图形都是下凸的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5）可以看到一个显然的规律，就是当a 从 0 趋向于无穷大的过指数函数程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X 轴 , 并且永不相交。（7）函数总是通过（0，1）
10、这点 ,( 若 y=ax+b,则函数定过点(0,1+b) （8）显然指数函数无界。（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。（10）当两个指数函数中的a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。（11）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。.底数的平移：对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - -
11、- - 在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即“上加下减，左加右减”底数与指数函数图像：指数函数（1）由指数函数y=ax 与直线x=1 相交于点（1， a) 可知：在y 轴右侧 ，图像 从下到上相应的底数由小变大。（2）由指数函数y=ax 与直线x=-1 相交于点（-1 ， 1/a ）可知：在y 轴左侧 ，图像 从下到上相应的底数由大变小。（ 3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y 轴右边“底大图高”；在y 轴左边“ 底大图低”。（如右图）。幂的大小比较：比较大小常用方法：（1）比 差（商）法：（ 2）函数单调性法；（ 3） 中间值法：要比较A
12、与B 的大小，先找一个中间值C，再比较A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到A 与 B 之间的大小。比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意 ：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如： y1=34,y2=35，因为3 大于 1 所以函数单调递增（即x 的值越大，对应的y 值越大），因为 5 大于 4，所以y2 大于 y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可指数函数以利用 指数函数图像的变化规律来判断。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例如： y1=1/24,y2=34,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减；3 大于 1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0 是两个函数图像都过（0，1）然后随着x 的增大，y1 图像下降，而y2 上升，在x 等于 4 时， y2 大于 y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值 来比较。如： 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1 的大小）进行分组 ，再比较各组数的大小即可。 在比较两个幂的大小时，
14、如果能充分利用“ 1”来搭“桥”（即比较它们与“ 1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和 1 与指数x 与 0 之间的不等号同向（例如： a 1 且 x 0，或 0 a 1 且 x 0 ）时， ax 大于 1，异向时ax 小于 1. 3例：下列函数在R 上是增函数还是减函数？说明理由. y=4x 因为 41，所以y=4x 在 R 上是增函数；y=(1/4)x 因为 01/40 且 a1）（ 4）a1 时，曲线由左向右逐渐上升即a1 时，函数在（- ，+）上是增函数；0a1是，曲线逐渐下降即0a1 时，函数在（- ，+）上是减函数.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
