2022年完整word版,线性代数公式定理大全2021

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1、1 / 352012 年 6 月 14日星期四线性代数公式大全第一章 行列式1逆序数1.1 定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：1 2ni ii，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用1 2ni ii表示，1 2ni ii等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即211。证明如下：设排列为111lmnaa abb bccLLL，作m次相邻对换后，变成111lmnaa abbb ccLLL，再作1m次相邻对换后，变成111lmnaa bbb accLLL，共经过21

2、m次相邻对换， 而对不同大小的两元素每次相邻对换逆序数要么增加1 ，要么减少 1 ，相当于211，也就是排列必改变改变奇偶性，21m次相邻对换后2121111m，故原命题成立。2n阶行列式的5 大性质性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列） ，其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注对性质 4 的重要拓展：设n阶同型矩阵，; ijijijijA

3、aBbABab，而行列式只是就某一列分解，所以，AB应当是2n个行列式之和，即ABAB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 35 页2 / 352012 年 6 月 14日星期四评 注 韦达定理的一般形式为：121201201110;1nnnnnnnnnnnniijiiijinnnaaaa xaxaxaxx xxaaaL一、行列式定义1定义111212122212nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLLnnnjjjjjjaaa221211)() 1(其中逆序数121nj jjjL后面的1j小的数的个数2j后面比2j小的数

4、的个数L1nj后面比1nj小的数的个数 . 2三角形行列式11121222000nnnnaaaaaaLLLLOLL11212212000nnnnaaaaaaLLLLLLL1122nna aaL1211000nnnnnnnaaaaaLLNLNLLL1112121221000nnaaaaaaLNLNLLL12 112111n nnnna aaLL1212111n nnnna aaL二、行列式性质和展开定理1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2展开定理1122ikikinknika Aa Aa AALAAaAaAajknknjkjkj2211三、重要公式设 A 是 n 阶方阵，则1TAA精选学

5、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 35 页3 / 352012 年 6 月 14日星期四211AA31*nAA4nkAkA5ABA B，其中 B 也是 n 阶方阵6设 B 为 m 阶方阵，则00ACAA BBCB010mnACAA BBCB7范德蒙行列式1222212111112111nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxxLLLLLLLL四有关结论1对于,n nn nAB(1)00AA(2) ABAB2. A为n阶可逆矩阵AEAE行变列变（A与E等价）0AX只有惟一零解AXb有惟一解（克莱姆法则）A的行（列）向量组线性

6、无关A的 n 个特征值0,1,2,iinLA可写成若干个初等矩阵的乘积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 35 页4 / 352012 年 6 月 14日星期四)()(BrABrAAT是正定矩阵A是nR中某两组基之间的过渡矩阵3. A为n阶不可逆矩阵0A0AX有非零解nAr)(0 是A的特征值AA4.若A为n阶矩阵，)2, 1(nii为A的 n 个特征值，则niiA15. 若BA ，则BA行列式的基本计算方法：1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题

7、可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行列式及简单的n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值） ，因此，务求熟练掌握。典型题 : 一. 数字行列式的计算. 1.利用行列式的定义. 2.利用行列式的基本性质. 3.一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二.行列式的代数余子式的相关计算. 三. AB类型成抽象行列式的计算. 1. 与向量成分块矩阵结合2 与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合.四.范德蒙行列式与克莱姆法则第二章矩阵

8、一内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A 是一个方阵时候，A才有意义，但是AA；此外当 A 是长方形矩阵时A没有意义。2 矩阵的运算及其运算律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 35 页5 / 352012 年 6 月 14日星期四（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：a)矩阵的和： A+B 注意 A 和 B 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）nmijnmijkaakkA)(；c)一般地

9、，若tttAkAkAAAA221121k,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵tAAA,21的一个线性运算；3 矩阵的转置将矩阵 A 的行列互换，得到新的矩阵AAT或，称为矩阵A 的转置。4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义：smijsnnmCBA注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而njjjiiinjinjijiijbbbaaabababac2142122115 关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地其BAAB原因是 a)AB 与 BA 不一定同时有意义；b)即使 AB 与 BA 都有意义， AB 与 BA 的阶数也未必一致；例如同都有意义，但其阶数不与，则BAABbBaAjt

10、ij3223,；c)即使 AB 与 BA 其阶数相同，但AB 与 BA 也未必相同；如果AB=BA ，则称 A 与 B 是可以交换的。例如BAABBAABBA都有意义，但是与，则1111,11112）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若0,0,00,XAAXCBAACAB推不出，例如若，推不出3）若TTTABABAB有意义，则3 几种特殊类型的矩阵（1）0 矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵； （4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 35 页6 / 352012 年 6 月 14日星

11、期四（5）对称矩阵：若TjiijnnijAAaaaA，即,；（6）反对称矩阵：若TjiijnnijAAaaaA-,，即；关于反对称矩阵常用的结论：1）A 的主对角线上的元素全是0；2）若 A 是奇数阶行列式，则0A; (7)正交矩阵：若1AAEAAAAATTT或满足：，则称 A 是正交矩阵。关 于 正 交 矩 阵 与 对 称 矩 阵 的 关 系 有 ： 若A是 一 个 实 对 称 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 正 交 矩 阵T使 得 ：nnTATTATT1211；（8）阶梯形矩阵若 A 满足： 0 行全在非 0 行的下方，非0 行的第一个非0 的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩

12、阵：任意一个矩阵A 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若A+B, 其对矩阵 A,B 的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若AB ，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5 初等矩阵、矩阵的初

13、等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2）初等变换初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵 A 做一次初等行变换成为B，则 B=PA（其中 P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 35 页7 / 352012 年 6 月 14日星期四BArr13131022113113222121)2(即则PAB131132221100012001131310221B对于矩阵 A 作一次

14、初等列变换成为B，则 B=AP（其中 P 是与上述列变换相对应的初等矩阵）。举例说明BAcc11111220113113222121)2(100010021131132221111112201B(4)矩阵 A 与 B 等价如果 A 能够通过初等变换变为B 则称 A 与 B 等价，用式子表示就是：jsttQPQQAQPPPB,i2111其中是初等矩阵每一个矩阵A 都与矩阵000rE等价，其中r 是矩阵 A 的秩，即存在000,2111irsttjEQQAQPPPQP使得：初等矩阵6 关于 n 阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设A 是一个 n 阶矩阵，若有n 阶方阵 B 使得AB=E 或 BA=

15、E 则称矩阵 A 是可逆的；( 2 )n 阶方阵 A 可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B 使得AB=E 或 BA=E( 即定义）；2）用 A 的行列式0AA来描述：; 3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵这里AnnAr)(4）用向量的观点来描述：矩阵A 的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0 仅有 0 解；6）用矩阵 A 的特征值来描述：A 的特征值全不0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 35 页8 / 352012 年 6 月 14日星期四（3）逆矩阵的性质1）若 A 有

16、逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若 A,B 是同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且111ABAB; 3）nnTTAAAAAkAAAAA11111111111,k,)(,，; 4）000000,000011111111BAABBABABA（4）逆矩阵的求法1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：1|ABBEEA，则一系列初等行变换2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B 使得： AB=E ，或 BA=E ，此时的 B 就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵A 是否可逆，就考虑上述

17、的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2)伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵A 均有此伴随矩阵*AEAAAAA*使得当00,10*1AAAAAAAAA时：当时，对于一般地方阵A，其伴随矩阵*A的秩为：2)(01)(1)()(*nArnArnArnAr若若若当00,0*1*AAAAAn时当时，。（6）关于矩阵的秩1）矩阵秩的定义：在矩阵A 中，有一个不等于0 的 r 阶子式rD，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 r称为矩阵 A 的秩，rD称为矩阵 A 的最高阶非0 子式。规定0 矩阵的秩是0。精选学习资料 - - - - -

18、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 35 页9 / 352012 年 6 月 14日星期四2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A 实行初等变换其秩不变)()(BrArBA，则一系列初等变换3）矩阵秩的求法应用上面的结论，求矩阵A 的秩其一般方法是是阶梯型矩阵），（一系列初等变换TTA行的行数的非）（则0)(TTrAr4）有关矩阵秩的重要结论是实矩阵）（若 AAArArArTTnmArA,min)(10，则若)()(|)(),(max,)(),(min),()()(BrArBArBrArBrArABrBrArBAr若 P、Q 分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，

19、则)()()()(PAQrAQrPArAr)()(00),()(00BrArBArBrArBAr若 A 为nm矩阵， B 为sn矩阵，且 AB=0 ，则：nBrAr)()(此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用EAAAA11来进行。题型二：矩阵可逆的计算与证明（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2）如果给定了抽象的条件，要求1A，此时注意将条件转化为AB=E ，或 BA=E, 此时的 B 就是要求的1A。在处理有关矩阵

20、逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。题型三：关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 35 页10 / 352012 年 6 月 14日星期四题型四：有关初等矩阵及其初等变换的问题题型五：解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程：这里或或BAXCBXABAX的矩阵 A,C 一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程DEBABAX|初等行变换，其一般的解法为：，则这里的矩阵BAD1；或者先求出BA

21、A11，再计算。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。题型六：关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于矩阵A 的行向量组的秩，等于矩阵A 的列向量组的秩等性质。3 注意矩阵秩的有关不等式。题型七：求一个方阵的高次幂当 A 是一个方阵的时候，kA才有意义，否则没有意义。第三章n 维向量空间3.1 n 维向量的定义1. 定义定义：n个数naaa,21构成的有序数组, 记作),(21naaa, 称为n维行向量ia 称为向量的第i个分量Ria 称为实向量 （下面主

22、要讨论实向量）Cia 称为复向量零向量：)0,0,0(负向量：),()(21naaa列向量：n个数naaa,21构成的有序数组, 记作naaa21, 或者T21),(naaa, 称为n维列向量零向量：000负向量：naaa21)(若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 35 页11 / 352012 年 6 月 14日星期四3.2 n 维向量的线性运算1定义线性运算：),(21naaa, ),(21nbbb相等：若),2,1(nibaii, 称加法：),(2211n

23、nbababa数乘：),(21nkakakak减法：)(),(2211nnbababa2线性运算律：),(21naaa, ),(21nbbb, ),(21nccc(1) (5) 1(2) )()(6) )()(l klk(3) (7) kkk)(4) )(8) lklk)(3.3 向量组的线性相关性1线性组合与线性表示对n维向量及m,1, 若有数组mkk,1使得mmkk11, 称为m,1的线性组合 , 或可由m,1线性表示例如，有，所以称是4321,的线性组合，或可由4321,线性表示。判别是否可由向量组m,321线性表示的定理：定理 1 向量可由向量组m,321线性表示的充分必要条件是：以m

24、,321为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。2向量组的线性相关性对n维向量组m,1, 若有数组mkk,1不全为 0, 使得011mmkk称向量组m,1线性相关 , 否则称为线性无关线性无关：对n维向量组m,1, 仅当数组mkk,1全为 0 时, 才有011mmkk称向量组m,1线性无关 , 否则称为线性相关12342100050100,30010000012100050100253030010000011234=2530即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 35 页12 / 3520

25、12 年 6 月 14日星期四定理 2 向量组m,213214120线性相关其中至少有一个向量可由其余321,个向量线性表示推论：向量组m,213214120线性无关任何一个向量都不可由其余321,个向量线性表示定理 3 n 维向量组m,21线性相关0Ax有非零解，其中),(21mA。推论： n 维向量组m,21线性无关0Ax只有零解，其中),(21mA。定理 4 若向量组m,21线性无关 , ,21m线性相关 , 则可由m,21线性表示 , 且表示式唯一一些结论：(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2) 含零向量的任何向量组线性相关；(3) 基本向量组neee,21线性无关；

26、(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；(5) mn 时， m 个 n 维向量必线性相关. 特别： m=n+1 ；(6) n 个 n 维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零；(7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量 . 3.4 向量组的极大线性无关组1.等价向量组设向量组rT,:211, sT,:212若),2 ,1(rii可由s,21线性表示 , 称1T可由2T线性表示；若1T与2T可以互相线性表示, 称1T与2T等价(1) 自反性：1T与1T等价(2) 对称性：1T与2T等价2T与1T等价(3) 传递性：1T与2T等价 , 2T与3T等价1T与3T等价等价向量组的基本性

27、质：定理 设s,21与s,21是两个向量组，如果(1)向量组s,21可以由向量组s,21线性表示；(2) ts则向量组s,21必线性相关。推论 1 向量组s,21可以由向量组s,21线性表示，并且s,21线性无关，那么ts。推论 2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量组的极大线性无关组设向量组为A, 如果在A中有r个向量r,21满足：(1) 0A:r,21线性无关； (2) 任意1r个向量线性相关（如果有1r个向量的话）称r,21为向量组为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注： (1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本

28、身；(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 35 页13 / 352012 年 6 月 14日星期四1412,4524,1312321中，首先21,线性无关， 又321,线性相关， 所以21,组成的部分组是极大无关组。还可以验证32,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的基本性质：性质 1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。性质 2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含

29、向量的个数相同。3向量组的秩与矩阵秩的关系3.1 向量组的秩定义 3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做),(21sr。例如，向量组1412,4524,1312321的秩为 2. 关于向量组的秩的结论: (1)零向量组的秩为0；(2)向量组s,21线性无关srs),(21，向量组s,21线性相关.),(21srs，(3)如果向量组s,21可以由向量组t,21线性表示，则);,(),(2121ssrr(4)等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。3.2 矩阵的秩3.2.1 行

30、秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义 4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理 1: 矩阵的初等行 (列)变换不改变矩阵的行(列)秩。引理 2：矩阵的初等行 (列)变换不改变矩阵的列(行)秩。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义 5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为 r(A),或 rankA，或秩 A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。3.2.2 矩阵秩的求法首先

31、复习 : 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数求矩阵秩的方法 : 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。求向量组的秩、极大无关组的步骤：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 35 页14 / 352012 年 6 月 14日星期四(1)向量组s,21作列向量构成矩阵A；(2)BA 初等行变换(行最简形矩阵 ) (3)求出 B 的列向量组的极大无关组(4)A 中与 B 的

32、列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为A 的极大无关组。3.2.3 矩阵秩的性质(1) 等价的矩阵，秩相同；(2) 任意矩阵A，有)()(TArAr；(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若P可逆，对于任意的矩阵A，有)()()(APrArPAr(4) 对于,pnnmBA.)()(;)()()();(),(min)();()()(nBrArOABnBrArABrBrArABrBrArBAr有时，当3.3 矩阵的秩与行列式的关系定理n阶方阵A，AnAr)(的n个行 (列)向量组线性无关,0A即A为可逆矩阵 (也称为满秩矩阵 ) AnAr)(的n个行 (列)向量组线性相关.0A3.5 向

33、量空间1向量空间的概念定义 1： 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V 为向量空间说明：集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指,V有;V,RkV有.Vk一般地，由向量组maaa,21所生成的向量空间为,212211RaaaxVmmm2向量空间的基与维数定义 2：设 V 是向量空间，如果r 个向量Vr,21，且满足(1) r,21线性无关；(2) V 中任何一向量都可由r,21线性表示，那么，就称向量组r,21是向量空间V 的一个基，r 成为向量空间V 的维数，记作dimVr，并称 V 是 r 维向量空间。注：（ 1）只含有零向量的向

34、量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V 的基就是向量组的极大无关组，V 的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标定义 3：设向量空间V的基为r,1, 对于V, 表示式rrxx11唯一（定理2）, 称T1),(rxx为在基r,1下的坐标（列向量）注：为n维向量 , 在V的基r,1下的坐标为r维列向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 35 页15 / 352012 年 6 月 14日星期四因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量 , 所以由n维向量构成的向量空间的

35、基中最多含有n个向量 , 故nr3.5 欧式空间1 内积的概念定义 1：n 维实向量nnbbbaaa2121,，称nnbababa2211),(Tnnbbbaaa2121,为和的内积。若,为行向量，则T),(。向量空间的性质：(1) ),(),(2) ),(),(),(3) ),(),(kk(4) 0),(等号成立当且仅当0定义 2 实数22221),(naaa为向量的长度 (或模，或范数 )。若1，称为单位向量。把向量单位化：若,0则0，考虑11),(1),(222，即的模为 1，为单位向量，称为把单位化。向量长度的性质：(1)非负性：当0时，0；当0时，0；(2)齐次性：kk；(3)柯西

36、- 施瓦兹不等式：),(；(4)三角不等式：定义 3：设实向量, 称),(arccos,)0(为与之间的夹角定义 4：若0),(, 称与正交 , 记作(1) ,时, 2；(2) 或时, 有意义 , 而,无意义注：（ 1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。2标准正交基的向量组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 35 页16 / 352012 年 6 月 14日星期四定义 5 正交向量组：非零实向量s,21两两正交。正 交 单 位 向 量 组 ( 标 准 正 交 向 量 组 ) ： 非 零 实 向

37、 量s,21两 两 正 交 ， 且 每 个 向 量 长 度 全 为1 ， 即)(0)(1),(jijiji。定理：正交向量组是线性无关的。例如，书 p100 例 3.5.1 例 1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求3使321,构成三维空间的一个正交基. 3 正交矩阵定义 6：A 是一个 n 阶实矩阵，若EAAT，则称A为正交矩阵。定理：设 A、B 都是 n 阶正交矩阵，则(1)1A或1A(2)TAA1(3) )(1TAA即也是正交矩阵(4)AB也是正交矩阵。定理： n 阶实矩阵 A 是正交矩阵A 的列（行）向量组为单位正交向量组。注： n 个 n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们

38、为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。第四章线性方程组一、基本概念及表达形式非齐次线性方程组的一般形式：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 (I) A=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A=mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211，mjjjjmnaaabbbbxxxx212121,。A叫作 (I) 的系数矩阵，A叫作 (I)的增广矩阵。(I)还可改写为矩阵方程的形式：bAx和向量形式：bxxxnn2211。121,11121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

39、纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 35 页17 / 352012 年 6 月 14日星期四齐次线性方程组的一般形式：000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa (II) (II)叫作 (I) 的导出组，其矩阵形式为：OAx向量形式为：Oxxxnn2211。二、线性方程组解的性质1) 如果， 是齐次线性方程组OAx的两个解，则也是它的解。2)如果是齐次线性方程组OAx的解，则k也是它的解。3)如果有1，2，s是OAx的解，则k11+k22+kss也是它的解ki为任意常数 (i=1，2，s) 。4)如果， 是非齐次线性方程组b

40、Ax的两个解，则-是导出组OAx的解。5)如果是OAx的解，是bAx的解，则+ 是bAx的解。6)如果s,21是bAx的解，skkk,21为常数，且121skkk，则sskkk2211也是bAx的解。三、线性方程组解的判定定理1、非齐次线性方程组bAx 1）若秩)(A秩)(A，则bAx无解。 2) 若秩)(A秩)(A则有无穷多解。则有唯一解，,nn具体做法： 设bAx的增广矩阵记为A，则A经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵( 需要交换列时可重新排列未知量的顺序 ) ：A111121221110001000100000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccddLLLLLL

41、LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL于是可知：（1）当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解。（2）当dr+1=0，且rn时，原方程组有无穷多解。（3）当dr+10，原方程组无解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 35 页18 / 352012 年 6 月 14日星期四当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。2、齐次线性方程组OAx一定有解（至少有零解） ，且秩)(An时，有唯一解；秩rA)(n时，有非零解，且有rn个线性无关的解向量。具体做法：由于齐次线性方程组OAx的

42、增广矩阵A的最后一列全为零，所以对A施行初等行变换，A可化为：1112121100001000010000000000000000000rnrnrrrnccccccLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL于是可知：(1) 当且r=n时，齐次线性方程组仅有零解。(2) 当rn时，齐次线性方程组除零解外，还有无穷多组非零解。特别地，当mn时，齐次线性方程组必有非零解。当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式D=0。四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系bAx有解秩)(A秩)(A则有无穷多解。则有唯一解，,nnrbAx有唯一解OAx只有零解nA)

43、(秩。bAx有无穷多解OAx有非零解nA)(秩。五、线性方程组解的结构及基础解系的求法 1 、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设1，2，s是齐次线性方程组OAx的一组解，若11，2，s线性无关；2方程组OAx任何一个解都可由1，2，s线性表出，则称1，2，s是OAx一个基础解系。如果齐次线性方程组有非零解( r(A)=rn ) ， 则OAx一定有基础解系， 并且基础解系含有rn个线性无关的解向量。若OAx的基础解系含有rn个线性无关的解向量，则OAx的任意rn个线性无关的解向量都是OAx的一个基础解系。如果1，2，n-r是齐次线性方程组的一个基础解系，则OAx的全部解为：=k11+k22

44、+kn-rn-r，其中ki(i=1，2，n-r) 为任意常数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 35 页19 / 352012 年 6 月 14日星期四若齐次线性方程组OAx有非零解，则r(A)=rn ，对方程组OAx的增广矩阵A施行初等行变换，总可以化为如下形式：0000000000000100001000011212111rnrrnrnrcccccc即方程组OAx与下面的方程组同解nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcxcxxcxcxcxxcxcxcx22112222112212211111其中 xr+

45、1， xr+ 2，xn为自由未知量对这 n r 个自由未知量分别取001，010，100， （共 n r 个）可得方程组 (1)的 n r 个线性无关的解1=001-11211rrrrccc，2=010-22221rrrrccc，n r =100-21rnnnccc，即为其基础解系。2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设非齐次线性方程组bAx的任意一个解均可表示为方程组bAx的一个特解与其导出组OAx的某个解之和。当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为：x=0k11+k22+kn-rn-r，其中0为bAx的一个特解，1，2，n-r是齐次线性方程组OAx的一个基础解系，ki(i=

46、1，2，n-r) 为任意常数。III 题型归纳及思路提示题型 1 基本概念题（解的结构、性质和结构）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 35 页20 / 352012 年 6 月 14日星期四题型 2 求线性方程组的通解题型 3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点）题型 4 讨论两个方程组的公共解题型 5 有关线性方程组及其基础解系的证明题题型 6 向量组与线性方程组的综合题IV 本章小结重点难点： 1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论； 2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。本章几乎每年都要考查，也

47、是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。第五章特征值与二次型1 向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等. 由内积的定义：cosx yyx，可得cos()=,y,x yx xxxyx且在直角坐标系中123123112233() ()=x ,x ,xy ,y ,yx yx yx y .将上述三维向量的内积概念自然地推广到n 维向量上，就有如下定义。定义 1 设有 n

48、 维向量12nxxxMx，12nyyyMy，称1122nnx yx yx y,x yL为x与y的内积 . 内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为,x yx y. 若、为n 维实向量，为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得. (i) x,y y,x ，(ii)x,yx,y ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 35 页21 / 352012 年 6 月 14日星期四(iii)x+y,z x,z y,z. 同三维向量空间一样，可用内积定义n 维向量的长度和夹角. 定义 2 称22212nxxxx xxL为向量 x 的长度 (

49、 或范数 ) ，当 x 1 时称 x 为单位向量 . 从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（）非负性：当 x0 时， x，当x时 x . （）齐次性：x x. （）三角不等式：xy x y. （）柯西 - 许瓦茨（ Cauchy-Schwarz）不等式 : x，y xy. 由柯西 -许瓦茨不等式可得,x yyx（ x y） . 于是我们定义，当， 0 时，称arccos,x yyx为 x 与 y的夹角 . 当 x，y时，称x 与 y 正交 . 显然， n 维零向量与任意n 维向量正交 . 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组. 定理 1 若 n 维非零向量12r,L为正交向量组，则它们为

50、线性无关向量组. 证设有12r,L使1riii.0，分别用k与上式两端作内积(k，r) ，即得k0kkk,.,0因0k，故20kkk,，从而01 2k,k, ,rL，于是12r,L线性无关 . 在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n 维向量空间的正交基( 基中向量两两正交) 是否存在呢 ? 定理 2 若12r,L是正交向量组，且n，则必存在n 维非零向量 x，使12r,L，x 也为正交向量组 . 证x 应满足12000r,xxxL，即12000r.xMM记12r,AM则()RrnA，故齐次线性方程组Ax必有非零解，此非零解即为所求. 推论：r个

51、（rn）两两正交的n 维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 35 页22 / 352012 年 6 月 14日星期四定义 3 设 n 维向量12r,e eeL是向量空间()nV VR的一个基，如果12r,e eeL两两正交，且都是单位向量，则称之为 V 的一个正交规范基( 标准正交基 ). 若12r,e eeL是 V 的一个正交规范基，则V 中任一向量可由12r,e eeL惟一线性表示，设为1 122rr,eeeL则由iiiiiee e，得iiii,= ee惟一确定， i , ，

52、r. 下面介绍将向量空间()nV VR的任一基12r,L转换为一正交规范基的Schmidt 正交化方法，其具体步骤如下：取121122111121121112211rrrrrrrrr,LL容易验证12r,L两两正交，非零 . 然后将它们单位化，即令121212rrr,eeeL则12r,e eeL就是 V 的一个正交规范基. 定义 4 如果 n 阶方阵满足AAE（即 AA） ，就称 A 为正交矩阵 . 用 A 的列向量表示，即是1212(,)=,nnELM亦即()=().ijij由此得到 n个关系式1=1 20ijijij,i, j, ,n.ijL这说明，方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是：A

53、的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到，所以上述结论对 A 的行向量组也成立. 由正交矩阵定义，不难得到下列性质. （i）若 A 是正交矩阵，则 . （ii ）若 A 是正交矩阵，则，也是正交矩阵 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 35 页23 / 352012 年 6 月 14日星期四（iii ）若，是 n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵 . 定义 5 若 T 是正交矩阵，则线性变换yx称为正交变换 . 设 yx 是正交变换，则有.yyx T Txx xyx这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良

54、特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如cossinsincosT为正交矩阵，正交变换yx相当于旋转角，再关于纵轴对称反射. 2 方阵的特征值和特征向量定义 6 设 A 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 x，使得xx，（5.1）则称为矩阵 A 的特征值，称x为矩阵 A 对应于特征值的特征向量 . (5.1)式也可写成（）x . （5.2）(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 . （5.）(5.3)式的左端为的 n 次多项式，因此A 的特征值就是该多项式的根.记 f()=|-|，称为 A 的特征多项式，则矩阵A 的特征值即为其特征多项式的根.方程 (5.3)称

55、为 A 的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算 )，因此 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 . 设i为其中的一个特征值，则由方程（i）x0 可求得非零解xpi，那么 pi便是 A 的对应于特征值i的特征向量 (若i为实数，则pi可取实向量，若i为复数，则 pi为复向量 .) 显然，若pi是对应于特征值i的特征向量，则kpi（k）也是对应于i的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值. 的特征值和特征向量. 归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤. 第一步：计算特征多项式AE.

56、第二步：求出 AE 0 的全部根，它们就是A 的全部特征值 . 第三步：对于A 的每一个特征值i，求相应的齐次线性方程组(iE)x0 的一个基础解系12r,L，则对于不全为零的任意常数12rk ,k ,kL，1122rrkkkL即为对应于的全部特征向量. 定理 3 设1，2，m是方阵 A 的 m 个互不相同的特征值，p1，p2，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，p2，pm线性无关 . 证设有常数 x1，x2， xm，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 35 页24 / 352012 年 6 月 14日星期四x1 p1

57、+ x2 p2+ xm pm =0, 则A(x1 p1+ x2 p2+ xm pm) =0, 即111222mmmx px px pL0. 类推有121122(1,2,1).mkkkmmkmx px px pLL0把上列各式合写成矩阵形式，得(x1 p1，x2 p2， xm pm)1211121111mmmmmLLMMML=O. 上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相同时，该矩阵可逆，于是有(x1 p1，x2 p2， xm pm) =O，即 xipi0，但 pi0，故 xi0，i1，2， m. 所以向量组 p1，p2，pm线性无关 . 3 相似矩阵定义 7 设 A 与 B 是

58、n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使BP 1AP，则称 A 与 B是相似的 . 定理 4 若 n 阶方阵 A 与 B 相似，则 A 与 B的特征多项式相同，从而A 与 B的特征值相同 . 证因 A 与 B 相似，即有可逆矩阵P，使 P APB，故|BE| P 1APP 1(E) P| P 1（AE）P| P 1 AE P AE. 推论若 n 阶方阵 A 与对角矩阵 diag (1，2，n)相似，则1，2，n 即是 A 的特征值 . 证因1，2，n 是 diag（1，2，n）的 n 个特征值 .由定理 4 知1，2，n 也就是 A 的特征值 . 关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与A 相似的矩

59、阵中，最简单的形式是什么?由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?下面我们就来研究这个问题. 如果 n 阶矩阵 A 能相似于对角矩阵，则称A 可对角化 . 现设已找到可逆矩阵P，使 P 1APdiag（1，2，n）.把 P 用其列向量表示为（1，2，n） ，由 P 1AP，得 APP，即A（p1，p2， pn）（ p1，p2， pn）diag（1，2，n）（1 p1，2 p2，n pn）. 于是有A pii pi （i1，2， n）. 可见 P 的列向量 pi就是 A 的对应于特征值i的特征向量 .又因 P 可逆，所以 p1，p2，pn线性无关 .由于上述推导过程可

60、以反推回去 .因此，关于矩阵A 的对角化有如下结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 35 页25 / 352012 年 6 月 14日星期四定理 5 n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是：A 有 n 个线性无关的特征向量p1，p2， pn，并且以它们为列向量组的矩阵 P，能使 P 1AP 为对角矩阵 .而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，pn对应的 A 的特征值1，2，n. 现在的问题是：对于任一矩阵A，是否一定存在n 个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7 中 A 的特征方程有重根 .但仍能找

61、到3 个线性无关的特征向量，但在例6 中 A 的特征方程亦有重根，却找不到3 个线性无关的特征向量.从而例 6 中矩阵 A 不能与对角矩阵相似. 在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P， 使得 P 1AP为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵T，使 T 1AT 为对角矩阵 . 定理 6 实对称矩阵的特征值都是实数. 证设复数为实对称矩阵A 的特征值，复向量x 为对应的特征向量，即xx，x0. 用表示的共轭复数，x表示 x 的共轭复向量，则().AxAxAxxx于是有x Axxx =x x及()()().x Axx Ax =Axx =xx

62、=x x两式相减，得()0x x. 但因 x，所以2110.nniiiiix xxx x故0，即，这表明是实数 . 显然，当特征值i为实数时，齐次线性方程组()0iAE x是实系数线性方程组，从而必有实的基础解系，即对应于的特征向量必可取实向量. 定理 7 设1，2是实对称矩阵的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若12，则 p1与 p2正交 . 证1p1Ap1，2p2Ap2，12，因 A 对称，故1p1 (1 p1) (Ap1)p1A p1A，于是1 p1p2p1Ap2= p1(2p2)= 2 p1p2即（12）p1p20，但12，故 p1p20，即 p1与 p2正交 . 定理 8 设

63、A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 35 页26 / 352012 年 6 月 14日星期四121,nTATAO其中，n是 A 的特征值 . 在这里，我们主要介绍如何具体算出上述正交矩阵T，由于 T 是正交矩阵，所以T 的列向量组是正交的单位向量组，且如前所述， T 的列向量组是由A 的 n 个线性无关的特征向量组成，因此对T 的列向量组有三条要求：1每个列向量是特征向量. 2任意两个列向量正交. 3每个列向量是单位向量. 于是求正交矩阵T 使 T 1AT 为对角矩阵的具体步骤如下：

64、第一步：求出A 的所有不同的特征值，s. 第二步：求出A 对应于每个特征值i的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组（iE）x0 的一个基础解系 .并且利用 Schmidt 正交化方法，把此组基础解系正交规范化，再由定理7 知对应于不同特征值的特征向量正交，如此可得 A 的 n 个正交的单位特征向量. 第三步：以上面求出的n 个正交的单位特征向量作为列向量所得的n 阶方阵即为所求的正交矩阵T，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的T 1AT. 4 化二次型为标准型前面我们主要研究线性问题，但在实际问题中还存在大量非线性问题，其中最简单的模型就是二次型，本节用矩阵工具来研究二

65、次型，介绍化二次型为标准型的几种方法. 定义 8 n 元变量12,nx xxL的二次齐次多项式2221211 122212 121123231,1(,)2222nnnnnnnnnnf x xxa xa xa xa x xa x xa x xaxxLLLL（5.4）称为二次型 .当 aij为复数时， f 称为复二次型，当aij为实数时 , f 称为实二次型，我们仅限于讨论实二次型. 取 ajiaij()ij则 2aijxixjaijxixjajixjxi.于是 (5.4)式可写成对称形式22111121211212 12222221122,1.nnnnnnnnnnnnijiji jfa xa x

66、 xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x xLLLL（5.5）记11121121222112,nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAxLLMMMML（5.6）则(5.5)式可以用矩阵形式简单表示为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 35 页27 / 352012 年 6 月 14日星期四11121121222112,112(,)nnnijijni jnnnnnaaaxaaaxfa x xx xxaaaxx Ax,LLLMMMML其中 A 为实对称矩阵 . 例如，二次型22224265fxx

67、yyxzyzz用矩阵表示就是：111( , , ).143135xfx y zyz显然这种矩阵表示是惟一的，即任给一个二次型就惟一确定一个对称矩阵，反之任给一个对称矩阵也可惟一确定一个二次型 .即二者之间存在一一对应关系，我们把对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵， A 的秩称为 f 的秩 .也称 f 为对称矩阵 A 的二次型. 在平面解析几何中讨论二次曲线时，经常采用的是把二次曲线的一般方程2221axbxycy通过坐标变换化成标准型221mxny,再根据标准型作出曲线形状的判断. 在这里，我们对二次型也类似地进行讨论.即对于一般的二次型12,1(,),nnijiji jf xxxa x xx

68、AxL找到一个非退化的线性变换（即C 是 n 阶可逆矩阵）xy，使得2211()()().nnfyyk yk yx AxCy A CyC ACL即利用非退化线性变换将二次型化为只含平方项的形式.这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型(或法式 ). 定理 9 任给可逆矩阵C，令 BCAC，如果 A 为对称矩阵，则B 亦为对称矩阵，且R(B)R(A).此时，也称A 与 B合同. 证因 A A，故 B（ CAC） CACCACB 即 B 为对称矩阵 . 又因为 BCAC，而 C与 C 均为可逆矩阵，故A 与 B 等价，于是 R（B） R（A）. 这定理说明经可逆变换xCy 后，二次型 f 的矩阵

69、 A 变为对称矩阵C AC，且二次型的秩不变.矩阵的合同关系与相似关系一样，都满足反身性，对称性，传递性. 要使二次型 f 经可逆变换xCy 变成标准型，这就是要使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 35 页28 / 352012 年 6 月 14日星期四2221122112212(,),nnnnnk yk yk ykykyyyykyy C ACyLLOM也就是要使 CAC 成为对角矩阵 .因此，问题归结为：对于对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使 CAC 为对角矩阵 .由上节的定理 8 知，任给实对称矩阵A，总有正交矩阵T，使

70、AT即 TAT为对角矩阵 .把此结论应用于二次型，即有如下定理 . 定理 10 任给二次型f,1nijiji ja x x，总有正交变换xTy，使 f 化成标准型2221122,nnfyyyL其中12,nL是 f 的矩阵 A（ aij）的特征值 . 用正交变换把二次型化为标准型，这在理论上和实际应用上都是非常重要的，而此方法的具体步骤就是上节所介绍的化实对称矩阵为对角矩阵的三个步骤. 用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换，那么还可有多种方法把二次型化成标准型 .如配方法，初等变换法等等一般地，任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换化成标准型，且由定理

71、9 可知，标准型中所含有的项数就是二次型的秩 . 我们知道化二次型为标准型就是寻求可逆矩阵C，使 CAC 成为对角矩阵 .这里 A 为二次型的矩阵，而任一可逆矩阵又可分解为若干初等矩阵之积.从而我们有定理 11 对实对称矩阵A，一定存在一系列初等矩阵E1,E2,Es，使得211212ndiag(,).ssd ddEE E AE EELLL关于初等矩阵，易见( , )( , ),( ( )( ( ),( )( ).i ji ji ki kij kij kEEEEEE记12,sCEEEL.则上述定理还表明：对A 同时施行一系列同类的初等行、列变换，得到对角矩阵，而相应地将这一系列的初等列变换施加于

72、单位阵，就得到变换矩阵C.其具体做法是将n 阶单位阵 E 放在二次型的矩阵A 的下面，形成一个 2nn 矩阵 .对此矩阵作相同的行、列变换， 把 A 化成对角形的同时，把单位阵化成了可逆变换矩阵C，这就是初等变换法. 5 正定二次型上节我们用不同的方法，把一个二次型化为标准型.从例 16 和例 18 可知，化二次型为标准型时，可用不同的变换矩阵，且所得标准型也不相同.即二次型的标准型是不惟一的.但正如我们前面所说，二次型的秩是惟一的.在化标准型的过程中是不变的 .即一个二次型的两个不同标准型中含有的非零平方项数是相同的，都等于二次型的秩.不仅如此， 在实可逆变换下， 标准型中正系数的个数是不变

73、的(从而负系数的个数不变，正、负系数个数之差符号差也不变).即有如下定理 . 定理 12(惯性定理 ) 设有二次型fxx，它的秩为r，有两个实的非退化线性变换xy，及 xz，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 35 页29 / 352012 年 6 月 14日星期四2221122(0)rrifk yk yk ykL及2221 122(0),rrifzzzL则12,rk kkL中正数的个数与12,rL中正数的个数相同. 定义 9 二次型 f(x1, x2, xr)的标准型中， 系数为正的平方项的个数p 称为此二次型的正惯性

74、指数，系数为负的平方项的个数 rp 称为负惯性指数，s pr 称为符号差 .这里 r 为二次型 f 的秩 . 比较常用的二次型是pn 的情形 . 定义 10 设有二次型f（x） xAx，如果对任何x0，都有 f（x）（显然f（0） 0） ，则称 f 为正定二次型，称A为正定矩阵；如果对任何x0，都有 f（x） 0，则称 f 为负定二次型，其矩阵A 为负定矩阵 . 定理 13 fxA x 为正定二次型的充分必要条件是：它的正惯性指数等于n. 证设可逆变换xCy，使f（x） f（Cy）21niiik y. 设 ki (i，n)，任给 x0，有 yCx0，从而f（x） f（Cy）210niiik y

75、, 即 f 是正定二次型 . 反之假设有某个s (1sn)，使 ks0.则当 yes时f（Ces）= ks0. 这与 f 为正定相矛盾 .故必有 ki (i，n). 推论对称矩阵 A 正定，当且仅当A 的特征值全为正 . 完全相似地，我们有二次型f 为负定二次型当且仅当它的负惯性指数等于n，对称矩阵A 为负定矩阵当且仅当它的所有特征值全为负 . 下面我们不加证明的介绍判定矩阵正(负)定的一个充分必要条件，即定理 14 对称矩阵 A 正定，当且仅当A 的各阶 (顺序 )主子式全为正，即：1112121222120,1,2, .rrrrrraaaaaarnaaaLLLMMML对称矩阵 A 负定当且

76、仅当A 的奇数阶 (顺序 )主子式为负，偶数阶(顺序 )主子式为正，即：111212122212( 1)0,1,2, .rrrrrrraaaaaarnaaaLLLMMML精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 35 页30 / 352012 年 6 月 14日星期四第六章二 次 型一、二次型及其矩阵表示 1、二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于nxxx,21的二次齐次多项式nnnnnnnnnnxxaxxaxxaxxaxaxaxaxxxf113223112112222222111212222),(称为数域P上的一个n元二次型

77、，简称二次型。2、二次型的矩阵表示设n阶对称矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212221211211则n元二次型可表示为下列矩阵形式：AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfTnnnnnnnnn212122212112112121),(),(其中TnxxxX),(21。对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。矩阵A的秩称为二次型),(21nxxxf的秩。二次型与非零对称矩阵一一对应。即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。3、线性变换设nxxx,21和nyyy,21为两组变量

78、，关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111其中),2, 1,(njicij为实数域R( 或复数域C) 中的数，称为由nxxx,21到nyyy,21线性变换，简称线性变换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 35 页31 / 352012 年 6 月 14日星期四线性变换的矩阵表示，设n阶矩阵nnnnnncccccccccC212222111211，则从nxxx,21到nyyy,21线性变换可表示为下列矩阵形式：CYX，其中TnxxxX),(21，Tnyyy

79、Y),(21，C称为线性变换的系数矩阵。1) 当0C时，线性变换CYX称为非退化的线性变换。2) 当C是正交矩阵时，称CYX为正交线性变换，简称正交变换。3) 线性变换的乘法。设YCX1是 由nxxx,21到nyyy,21的 非 退 化 的 线 性 变 换 ， 而ZCY2是nyyy,21到nzzz,21的非退化的线性变换，则由nxxx,21到nzzz,21的非退化的线性变换为：ZCCX)(21。二次型AXXxxxfTn),(21经过非退化的线性变换CYX化为BYYxxxfTn),(21 ( 其中ACCBT) 仍是一个二次型。4、矩阵的合同关系： 对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩

80、阵C，使得ACCBT则称A和B是合同的，记为BA。合同关系性质：1) 反身性：AA；2) 对称性：BA，则AB；3) 传递性：BA，且CB，则CA。5、二次型的标准形1) 实数域R( 或复数域C) 上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R( 或复数域C) 中的非退化线性变换化成平方和形式：2222211nnydydyd其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。3）复二次型的规范形：任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平方和：22221ryyy，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式

81、的复二次型称为复二次型的规范形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 35 页32 / 352012 年 6 月 14日星期四任何复数域 C 上的对称矩阵都合同于一个形如：0011的对角矩阵，其中1的个数等于该矩阵的秩。4）实二次型的规范形任 何 实 系 数 二 次 型 都 可 经 过 实 数 域R中 的 非 退 化 线 性 变 换 化 成 如 下 最 简 形 式 平 方 和 ：2222122221rpppyyyyyy，其中p和r唯一确定，r为二次型的秩。上述形式的实二次型称为实二次型的规范形，p(正平方项的个数)称为实二次

82、型的正惯性指数，pr(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数，rpprp2)(称为实二次型的符号差。任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如：001111的对角矩阵，其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩，1的个数由对称矩阵唯一确定，称为它的正惯性指数。6、利用正交变换化实二次型为标准形设A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行： 解特征方程0AE，求出A的全部特征值。 解齐次线性方程组OXAE)(，求出基础解系，得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。 利用施密特正交化方法，使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化，并使其单位化。 将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量，从而得到

83、所需的正交矩阵Q。AQQ1为对角矩阵， 其对角元素为A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在Q中的排列顺序一致。对于二次型AXXfT，令QYX，将二次型AXXfT化成如下形式平方和：2222211nnyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 35 页33 / 352012 年 6 月 14日星期四其中n,21为二次型的矩阵的全部特征值。7、化二次型为标准形数 域P上 的 任 一 个 二 次 型 都 可 经 过 非 退 化 的 线 性 替 换CYX化 为 标 准 形 ， 即 ：222221121)()()(

84、),(nnTTTTTnydydydBYYYACCYCYACYAXXxxxf。二次型的标准形不是唯一的，而标准形中系数不为零和系数为正的平方项的个数都是唯一确定的。化标准形的方法：1) 配方法。2) 初等变换法，其要点可简单表示为：CDEA初等列变换其中A为二次形的矩阵，D为对角矩阵， 其对角元素依次为nddd,21。注意， 在初等变换过程中，作完一次列变换，紧接着作一次相应的行变换，这样一来， 矩阵A的对称性质始终保持不变。当A化为对角矩阵A的同时， 即可得到由变量nxxx,21到nyyy,21的非退化线性变换系数矩阵C。于是当作线性变换CYX时 ，则 可 使二 次 型AXXfT化为标准形。3

85、) 正交变换法： 先按上一章利用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法求得Q，使AQQ1为对角矩阵。 由于Q为正交矩阵，TQQ1，所以同时使AQQT为对角矩阵。于是令正交变换QYX，则二次型AXXT化为标准形2222211)(nnTTyyyYAQQY，其中n,21为二次型的矩阵的全部特征值。化规范形的方法：1)任一实二次型f都可经过非退化线性变换QZX，化为规范形，即2212222121)()()(),(rppRTTTTTnzzzzzZZZAQQZQZAQZAXXxxxf)(nr，称p为二次型的正惯性指数，pr为二次型的负惯性指数。任一实二次型的规范形是由二次型的秩与正惯性指数唯一确定的。2)

86、任一复二次型 都可经过非退 化线性变换QZX，化为 规范形，即：f2222121)()()(),(rCTTTTTnzzzZZZAQQZQZAQZAXXxxxf)(nr， 任一复二次型的规范形是由其秩唯一确定的。二、正定二次型和正定矩阵1、基本概念设实二次型),(21nxxxf，如果对于任意一组不全为零的实数nxxx,21都有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 35 页34 / 352012 年 6 月 14日星期四0),(21nxxxf ( 或0，或 0，或 0，或符号不定 ) 则称二次型),(21nxxxf为正定的 (

87、或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的) 。用矩阵形式表示上述定义：设A为n阶实对称矩阵，若对任意非零向量X，都有0AXXT (或0，或 0，或 0，或符号不定 ) ，则称二次型AXXT为正定的 ( 或负定的，或半正定的，或半负定的，或不定的) ，其矩阵A称为正定矩阵 ( 或负定矩阵，或半正定矩阵，或半负定矩阵，或不定的矩阵) 。2、正定二次型的判定1）二次型AXXT是正定的充分必要条件是其矩阵A是正定矩阵。2）n元二次型AXXT是正定的充分必要条件是其正惯性指数为n，即其规范形为22221nyyy。3）二次型AXXT是正定的充分必要条件是其矩阵A的特征值全大于零。4）n元二次型AXXT是

88、正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零，即：),2, 1(0212222111211nkaaaaaaaaakkkkkk。5）实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A与单位矩阵合同。 6 ）两个正定矩阵的和仍为正定矩阵。III 题型归纳及思路提示题型 1 二次型对应的矩阵及相关性质题型 2 化二次型为标准形题型 3 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数题型 4 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明IV 本章小结重点难点： 1、用正交变换化二次型为标准形； 2、判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。与前几章相比，本章考题出现的频率相对低一些，从内容上看主要有三个方面：1）二次型的标准形问题；2

89、）用正交变换化二次型为标准形正、反两方面的问题；3）判断矩阵是否为正定矩阵及其性质的证明。二次型考到的知识点多，涉及到行列式及矩阵运算、正交矩阵、正交化方法、基础解系、特征值及特征向量等方面，因此这里的题目综合性强。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 35 页35 / 352012 年 6 月 14日星期四线性代数课程必须熟练掌握的方法1行列式的计算方法：(1) 运用性质化为上（下）三角形行列式；(2) 运用按行（列）展开，化为低一阶的行列式(最常用的方法，特别是对于含参数的行列式)；(3) 运用分块行列式的性质；(4)

90、运用递推公式；(5) 运用特殊形式的行列式，如范德蒙行列式的公式; (6) |nAA；(7) | |ABA B；(8) 12|nAL,i是 A 的特征值；【典型题目】：2可逆矩阵的判定方法及求逆阵方法：(1) 1,(,)(,)AEA EE A:;(2) 1*1|0,|AAAA; *|AAA AA E(3) 1()ABEBAEAB或，; (4) 111|0,|0,()ABABBA. 【典型题目】：3矩阵方程的求解方法：(1) 1,|0AXBAXA B1(,)(,)A BE A B:(2) 1,| 0XABAXBA1AEBBA:【典型题目】：4分块矩阵的应用:(1)分块矩阵的乘法的前提条件(i)左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数；(ii) 左边矩阵的列的分块方法与右边矩阵行的分法一致(2)矩阵按行（列）分块. (3) ,TTTjjiiijijAee Ae Ae. 【典型题目】：5初等变换、初等矩阵的应用：(1) 求矩阵的秩；(2) 求可逆矩阵；(3) 解线性方程组；(4) 解矩阵方程；(5) 求向量组的线性组合；(6) 向量组线性相关性的判断；(7) 求向量组的秩及最大无关组；【典型题目】：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 35 页