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1、立体几何知识点、例题讲解一、知识点常用结论1证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 2证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行 . 3证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直 . 4证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直
2、. 5证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7. 夹角公式：设a123(,)a aa，b123( ,)b b b，则 cosa，b=1 12233222222123123aba ba baaabbb. 8异面直线所成角：cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy y
3、z za babxyzxyzrrrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量）9. 直线AB与平面所成角：sin|AB marcABm(m为平面的法向量 ). 10、空间四点A、 B 、C、P共面OCzOByOAxOP，且 x + y + z = 1 11. 二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 12. 三余弦定理：设AC是 内的任一条直线，且BC AC，垂足为 C，又设 AO与 AB所成的角为1，AB与 AC所成的角为2，AO与 AC所成的角为则12coscoscos. 13
4、. 空间两点间的距离公式若 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 二解题思路：1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线 线线 面面 面判 定线 线线 面面 面性 质线 线线 面面 面线面平行的判定：abbaa ，面 ，面a b 线面平行的性质：面 ，面 ，bab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO面 ，为在 内射影，面 ，则aaOAaPOaPOaAO； a P O 线面垂直：abacbcbcOa
5、 ， ， ，a Ob c面面垂直：aa面，面面面 ， llaaaalabab面 ， 面面 ，面 aaa b 2、三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角，0 90（2）直线与平面所成的角，0 90时， 或0bob（ ）二面角：二面角的平面角 ，30180loo（三垂线定理法：A作或证 AB于 B，作BO棱于 O，连 AO ，则 AO棱l， AOB 为所求。 ）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页求解
6、空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 1 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点 . 例 1、如图， 在RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（错误！未找到引用源。）求证：平面COD平面AOB；（错误！未找到引用源。）求异面直线AO与CD所成角的大小思路启迪 ： （错误！ 未找到引用
7、源。 ）的关键是通过平移把异面直线转化到一个 三 角形内 . 解答过程 ： 解法 1：（错误！未找到引用源。 ） 由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（错误！未找到引用源。）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则，DEAOCDE是异面直线AO与CD所成的角在RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOE又132DEAO在RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3解法 2： （错误！未找到引用源。）同解法 1（错误！未找到引用
8、源。 ）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(0 0 0)O，(0 0 2 3)A ， ，(2 0 0)C，(013)D， ，(0 0 2 3)OA， ，( 213)CD， ，cosOA CDOACDOA CD，6642 3 2 2OCADBEOCADBxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos4小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把
9、空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0. 考点 2 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容 . 例 2. 四棱锥 SABCD 中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小考查目的： 本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识
10、，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解答过程： 解法一：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC 底面ABCD，得SO底面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABC，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SDSAB的面积22111222SABSAAB连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB AD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABS ABDVV，得121133h SSO S，解得2h设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD所以
11、，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11DBCASODBCAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因为SASB，所以AOBO又45ABC，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(2 0 0)A，(02 0)B， ，(02 0)C，(0 01)S，( 2 01)SA，(0 2 2 0)CB，0SA CB，所以SABC（）取AB中点E，22022E，连结SE，取SE中点
12、G，连结OG，22 1442G，221442OG，22122SE，(22 0)AB， ，0SE OG，0AB OG，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余(2 2 2 0)D，(2 221)DS，22cos11OG DSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明
13、直线和平面所成的角的值. DBCASOEGyxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页考点 3 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解 .二面角是高考的热点，应重视. 例 3如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BCPQ；（II）求二面角BACP的大小命题目的 ：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引 ： （I）在平面内过点C作COPQ于
14、点O，连结OB因为，PQ，所以CO ，又因为CACB，所以OAOB而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC平面OBC，故PQBC（II）解法一：由（I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO 过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（ I）知，CO ，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO在RtOAB中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH中，3tan232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2A B C
15、Q P A B C Q P O H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页解法二： 由（I）知，OCOA，OCOB，OAOB，故可以O为原点，分别以直线OBOAOC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为COa，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO不妨设2AC，则3AO，1CO在RtOAB中，45ABOBAO，所以3BOAO则相关各点的坐标分别是(0 0 0)O，( 3 0 0)B，(03 0)A， ，(0 01)C，所以(33 0)AB，(031)AC，设1nxyz， ，是平面ABC的一个法向量，由1
16、100nABnAC，得33030xyyz，取1x，得1(11 3)n， ，易知2(10 0)n，是平面的一个法向量设二面角BACP的平面角为，由图可知，12n n，所以121215cos5|5 1n nnn故二面角BACP的大小为5arccos5小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角
17、的大小. A B C Q P O x y z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页练习如图，已知点P 在正方体ABC DA1B1C1D1的对角线 BD1上， PDA=60 . （1）求 DP 与 CC1所成角的大小；（2）求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小 . 解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则(10 0)DA，(0 01)CC， ，连结BD，B D在平面BB D D中，延长DP交B D于H设(1)(0)DHmmm， ，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH， （）因为22001 1222cos212DH CC，所以45DH CC，即DP与CC所成的角为45（）平面AA D D的一个法向量是(01 0)DC， ，因为22011 0122cos212DH DC， 所以60DH DC，可得DP与平面AA D D所成的角为30A B C D P ABCDx y z H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
