《(理想流体动力学1-4)课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(理想流体动力学1-4)课件（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第七章第七章 理想流体动力学理想流体动力学 实实际际流流体体都都粘粘性性，在在流流体体力力学学研研究究中中，为为了了简简化化问问题题，引引进进了了理理想想流流体体这这一一假假设设的的流流体体模型，理想流体的粘度为模型，理想流体的粘度为0 0。 在在实实际际分分析析中中，如如果果流流体体粘粘度度很很小小，且且质质点点间间的的相相对对速速度度又又不不大大时时，把把这这类类流流体体看看成成是是理想流体。理想流体。 (理想流体动力学1-4)第一节第一节第一节第一节 速度势函数和流函数速度势函数和流函数速度势函数和流函数速度势函数和流函数一、速度势函数一、速度势函数在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都
2、为零，在无旋流动中，每一点处的旋转角速度都为零，即即或或由由数学分析数学分析知，上面三个微分方程式的存在正是知，上面三个微分方程式的存在正是 成为某成为某一函数一函数(x, y, z)全微分全微分的充分必要条件。的充分必要条件。(理想流体动力学1-4)即即 函数函数的全微分为的全微分为 比较两式，得到比较两式，得到 函数函数(x, y, z)称为称为速度势函数，速度势函数，无旋流动又称为无旋流动又称为有势流动有势流动 。(理想流体动力学1-4)当流动当流动有势有势时，流体力学的问题将得到很大的时，流体力学的问题将得到很大的简简化化。不必直接求解三个速度分量，而只需要先求。不必直接求解三个速度分
3、量，而只需要先求出一个速度势函数出一个速度势函数，从而可以得到速度分布，从而可以得到速度分布vx、 vy 、 vz ，继而再，继而再 依据伯努利方程得到压强分布。依据伯努利方程得到压强分布。(理想流体动力学1-4) 1.1.势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影2.存在势函数的流动一定是无旋流动存在势函数的流动一定是无旋流动3.3.等势面与流线正交等势面与流线正交4.4.不可压缩流体中势函数是调和函数不可压缩流体中势函数是调和函数 速度势函数的特性速度势函数的特性(理想流体动力学1-4)特性特性1证明证明：任意曲线：任意曲线s s上一点上一点M(x,
4、y, z)M(x, y, z)处速度分量分处速度分量分别为别为v vx x、 v vy y 、 v vz z 。取势函数的方向导数。取势函数的方向导数势函数沿任意方向的导数值势函数沿任意方向的导数值等于该方向上的速度分量等于该方向上的速度分量(理想流体动力学1-4)特性特性2证证明明：设设对对某某一一流流动动，存存在在势势函函数数(x, (x, y, y, z)z)，流流动的角速度分量动的角速度分量类似可推出类似可推出代入代入(x, y, z)，有，有流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。流动无旋的充分必要条件是流场有速度势函数存在。因此，存在速度势函数的流动必定无旋。因此，存在速度势
5、函数的流动必定无旋。(理想流体动力学1-4)特性特性3等等势势面面：速速度度势势函函数数取取相相同同值值的的点点构构成成空空间间曲曲面面，即即(x,y,z)=C证明证明：在等势面上取一点：在等势面上取一点O，并在该面上过，并在该面上过O任任取取一一微微元元线线段段矢矢量量 ，该该点点处速度处速度等势面上等势面上d=0，得证。，得证。(理想流体动力学1-4)特性特性4调和函数调和函数:满足拉普拉斯满足拉普拉斯（Laplace）方程的函数。方程的函数。 Laplace 方程方程：证明证明：不可压缩流体的连续性方程为：不可压缩流体的连续性方程为对于有势流动对于有势流动得到得到(理想流体动力学1-4)
6、例例1. 1. 有一个速度大小为有一个速度大小为v(v(定值定值) )，沿，沿x x轴方向的均匀流动，轴方向的均匀流动，求它的速度势函数。求它的速度势函数。解：解： 判断流动是否有势判断流动是否有势 流动无旋，即有势流动无旋，即有势, , 有有积分，得到积分，得到(理想流体动力学1-4)因因常数常数C C对对所代表的流场无影响，令所代表的流场无影响，令C=0C=0，最后速度势函数为最后速度势函数为 虚线为等势线(理想流体动力学1-4)(理想流体动力学1-4)解：解：因此，流动无旋，即有势。因此，流动无旋，即有势。(理想流体动力学1-4)二、流函数二、流函数平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为
7、平面流动中，不可压缩流体的连续性方程为或或由由数学分析数学分析知，上式正是知，上式正是 成为某一函数成为某一函数(x, y)全微分全微分的充分必要条件。的充分必要条件。 连续的连续的平面平面流动存在流函数。应说明，空间三流动存在流函数。应说明，空间三维流动维流动没有没有流函数流函数(理想流体动力学1-4)即即 函数函数的全微分为的全微分为 比较两式，得到比较两式，得到 函数函数(x, y)称为称为流函数流函数。(理想流体动力学1-4)1.1.沿同一流线流函数值为常数沿同一流线流函数值为常数2.2.通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流通过两条流线间单位厚度的流量等于两条流线上的流函数的差值。线
8、上的流函数的差值。3.在有势流动中流函数也是一调和函数在有势流动中流函数也是一调和函数流函数的特性流函数的特性(理想流体动力学1-4)特性特性1证明：证明：在流场中任取一流线在流场中任取一流线 ，则流线上任一点的速度与流则流线上任一点的速度与流线相切。微元线段线相切。微元线段 矢量矢量 与与对应的速度矢量对应的速度矢量 之间的关系之间的关系式为式为 流线微分方程流线微分方程证明了沿一条流线各点的流函数值相等。证明了沿一条流线各点的流函数值相等。流函数值相等的点流函数值相等的点可连成一条流线可连成一条流线(理想流体动力学1-4)特性特性2设设1、2是是两两条条相相邻邻流流线线，作作其其间间一一曲
9、曲线线AB，要要求证明通过求证明通过AB两点间单位厚度的流量两点间单位厚度的流量q=2-1。(理想流体动力学1-4)取微元线段取微元线段 ，过微元线段的速度为，过微元线段的速度为 ，则单位厚度的微元流量则单位厚度的微元流量dq的表达式为的表达式为证明：证明：通过线段通过线段AB的流量为的流量为(理想流体动力学1-4)特性特性3证明证明：对于平面势流，有：对于平面势流，有代入代入得到得到即即(理想流体动力学1-4)(理想流体动力学1-4)解：解： 将将A A点坐标代入点坐标代入得到得到因此通过因此通过A A点的流线方程为点的流线方程为同理得到同理得到B B点的流线方程依然为点的流线方程依然为因此
10、，通过两点连线的流量因此，通过两点连线的流量q=0q=0。(理想流体动力学1-4)三、流函数和势函数的关系三、流函数和势函数的关系平面有势流动的流函数和势函数的关系为平面有势流动的流函数和势函数的关系为平面流动中，平面上的平面流动中，平面上的等势线与流线正交等势线与流线正交。平面上若干等势平面上若干等势线与流线构成了正线与流线构成了正交曲线网交曲线网，称为，称为流流网网。(理想流体动力学1-4)四、极坐标下的势函数和流函数四、极坐标下的势函数和流函数平面直角坐标系与极平面直角坐标系与极坐标系的关系坐标系的关系：极坐标下的速度和势极坐标下的速度和势函数、流函数的关系函数、流函数的关系为为(理想流
11、体动力学1-4)或或(理想流体动力学1-4)例例4. 4. 某定常平面流动有某定常平面流动有vx=ax，vy=-ay，a为常数。为常数。求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。解：解：因为因为满足连续性方程，流动存在，满足连续性方程，流动存在，存在流函数存在流函数。令令=C=C，得流线方程：，得流线方程：因为因为流动无旋，流动无旋，存在速度势函数存在速度势函数。(理想流体动力学1-4)令令=C=C，得等势线方程：，得等势线方程：=C=C(理想流体动力学1-4)复势与复速度复势与复速度复势与复速度复势与复速度：不可压缩平不可压缩平面势流的势面势流的势函数和
12、流函函数和流函数均为调和数均为调和函数函数平面流动平面流动的势函数的势函数和流函数和流函数互为共轭互为共轭势、流函数为势、流函数为共轭的调和函共轭的调和函数，满足柯西数，满足柯西-黎曼条件黎曼条件(理想流体动力学1-4)因此，可把势函数因此，可把势函数作为某一复变函数的实部，作为某一复变函数的实部，流函数流函数作为虚部，即作为虚部，即W(z)称为称为复势复势，自变量，自变量z=x+iy。复速度：复速度：复速度的模：复速度的模：速度的绝对值速度的绝对值复速度的三角函数复速度的三角函数式和指数式：式和指数式：OvxvyVvx-ivyvx+ivy(理想流体动力学1-4)W(z)共轭复变数共轭复变数:
13、 :Ovxvyvx-ivyvx+ivyV依据共轭复变数的运算方依据共轭复变数的运算方法可以求出流场中各点的法可以求出流场中各点的速度速度v v。复势或复速度复势或复速度速度场速度场(理想流体动力学1-4)一一 均匀流均匀流二二 点源和点汇点源和点汇三三 点涡点涡第二节第二节第二节第二节 几种基本的平面势流几种基本的平面势流几种基本的平面势流几种基本的平面势流(理想流体动力学1-4)一一 、平面均匀流、平面均匀流平面均匀流平面均匀流指流场中各点速度的大小与方向都相同指流场中各点速度的大小与方向都相同的平面流动。的平面流动。设流动速度大小为设流动速度大小为v v，速度方向与，速度方向与xoyxoy
14、坐标系的坐标系的x x轴轴正向一致正向一致, ,速度势函数速度势函数流函数流函数等势线方程等势线方程流线方程流线方程复势复势推导均匀流的速推导均匀流的速度方向与度方向与x轴夹轴夹角为角为时的相关时的相关函数函数(理想流体动力学1-4)均匀流示意图均匀流示意图(理想流体动力学1-4) 二二 、点源和点汇、点源和点汇点源点源：流体从某点向四周均匀：流体从某点向四周均匀径向流出径向流出的流动，该的流动，该点称为点称为源点源点。点汇点汇：流体从四周均匀：流体从四周均匀径向汇入径向汇入某点的流动，该点某点的流动，该点称为称为汇点汇点。(理想流体动力学1-4)将源点或汇点置于坐标原点。将源点或汇点置于坐标
15、原点。根据流体的根据流体的连续性连续性条件，不可压缩流体通过任一圆条件，不可压缩流体通过任一圆柱面的流量相等。所以通过半径为柱面的流量相等。所以通过半径为r r的的单位长度单位长度圆柱圆柱面流出或流入的流量为面流出或流入的流量为得到速度分布为得到速度分布为q是流出或流入的流量，称为点源或点汇的是流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度强度。对于对于点源点源q前取前取+号，点汇号，点汇q前取前取-号号。(理想流体动力学1-4)速度势函数速度势函数流函数流函数等势线方程等势线方程流线方程流线方程(理想流体动力学1-4)平面直角坐标系平面直角坐标系下位于下位于坐标原点坐标原点的点源与点汇的点源与点汇的
16、势函数与流函数：的势函数与流函数：当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上在平面上点点(x(x0 0, y, y0 0) )处，有处，有(理想流体动力学1-4)源点和汇点在坐标原点的复势源点和汇点在坐标原点的复势源点和汇点在源点和汇点在z z0 0点的复势点的复势(理想流体动力学1-4)三、三、 点涡点涡 点涡点涡：平面上流体质点沿：平面上流体质点沿同心圆同心圆的轨迹运动，的轨迹运动，且其速度大小与且其速度大小与半径半径r r成反比成反比的流动。的流动。速度环量速度环量 =2rv速度分布为速度分布为0，逆时针转动；逆时针转动；0，顺时针转动。，顺时针
17、转动。(理想流体动力学1-4)速度势函数速度势函数流函数流函数等势线方程等势线方程流线方程流线方程(理想流体动力学1-4)平面直角坐标系平面直角坐标系下位于下位于坐标原点坐标原点的点涡的势函的点涡的势函数与流函数：数与流函数：当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而当源点或汇点不在平面直角坐标系的原点而在平面上在平面上点点(x(x0 0, y, y0 0) )处，有处，有(理想流体动力学1-4)中心点在坐标原点的复势中心点在坐标原点的复势源点和汇点在源点和汇点在z z0 0点的复势点的复势(理想流体动力学1-4)第三节第三节第三节第三节 势流的叠加势流的叠加势流的叠加势流的叠加复杂的平面势流可以
18、看成是多种简单势流叠加而成，复杂的平面势流可以看成是多种简单势流叠加而成，这是由于几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。这是由于几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。势流叠加原理：势流叠加原理：有有n n个简单势流，速度势函数分别为个简单势流，速度势函数分别为1 1、 2 2 、 n n ，流函数为，流函数为1 1 、 2 2 、 n n ，复势为，复势为W W1 1 、 W W2 2、 W Wn n ，叠加后构成的复杂势流，其相应函数为：，叠加后构成的复杂势流，其相应函数为：(理想流体动力学1-4)一、点汇和点涡一、点汇和点涡螺旋流螺旋流点汇的复势点汇的复势点涡的复势点涡的复势实部为势函数实部为势函
19、数虚部为流函数虚部为流函数(理想流体动力学1-4)等势线方程：等势线方程：流线方程：流线方程：等势线和流线是等势线和流线是相互正交的对数相互正交的对数螺旋线方程，故螺旋线方程，故称为称为螺旋流螺旋流。点汇点汇+ +点涡点涡阴阴螺旋流；螺旋流；点源点源+ +点涡点涡阳阳螺旋流。螺旋流。(理想流体动力学1-4)点源的复势点源的复势点汇的复势点汇的复势 二、点源和点汇二、点源和点汇偶极子流偶极子流若源和汇在接近过程中，强度若源和汇在接近过程中，强度q q逐渐增大，逐渐增大，当当2a02a0时，时，qq，使得，使得2aqM2aqM，（，（M M为一常数值），这一极限下为一常数值），这一极限下的流动称为
20、偶极子流。的流动称为偶极子流。偶极子流偶极子流的复势可以由其定义推出：的复势可以由其定义推出：(理想流体动力学1-4)偶极矩偶极矩注意注意：M是矢量，是矢量，方向从源到汇。方向从源到汇。(理想流体动力学1-4)偶极子流偶极子流的复势为：的复势为：将实部、虚部分解将实部、虚部分解推导推导等势线方程等势线方程：(理想流体动力学1-4)推导推导流线方程流线方程：等势线等势线为圆心在为圆心在x轴轴上，与上，与y轴在原点相轴在原点相切的圆；切的圆；流线流线为圆心在为圆心在y轴上，轴上，与与x轴在原点相切的轴在原点相切的圆。圆。(理想流体动力学1-4)第四节第四节第四节第四节 圆柱体绕流圆柱体绕流圆柱体绕
21、流圆柱体绕流在一流动速度为在一流动速度为 v 的定常均匀流中设的定常均匀流中设置一半径为置一半径为r0，轴，轴心线与均匀流流动心线与均匀流流动方向垂直的方向垂直的无限长无限长直圆柱体，流动具直圆柱体，流动具有平面流动的特征。有平面流动的特征。(理想流体动力学1-4) 一、圆柱体无环量绕流一、圆柱体无环量绕流圆柱体静止1 1、势、流函数、势、流函数均匀流均匀流+ +偶极子流偶极子流无环量绕流无环量绕流分解实部、虚部分解实部、虚部(理想流体动力学1-4)零流线零流线的讨论：的讨论：或或零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为 的圆周和的圆周和x轴。轴。(理想流体动力
22、学1-4)均匀流到均匀流到A A点时分成两股，沿圆柱面流动，点时分成两股，沿圆柱面流动，后又到后又到B B点汇合。可将圆柱面看作零流线，点汇合。可将圆柱面看作零流线，圆柱半径圆柱半径(理想流体动力学1-4)因此，圆柱体无环量绕流可以用均匀流和因此，圆柱体无环量绕流可以用均匀流和强度强度 的偶极子流叠加组成。的偶极子流叠加组成。注意：注意：rr0(理想流体动力学1-4)2 2、速度分布、速度分布沿圆柱面的速度环量为沿圆柱面的速度环量为均匀流绕过圆柱面的速度环量为零，故称之为均匀流绕过圆柱面的速度环量为零，故称之为无环无环量绕流量绕流。(理想流体动力学1-4)流体在圆柱面上（流体在圆柱面上（r=r
23、r=r0 0）的速度为）的速度为流体沿圆柱面只有切向速度，无径向速度。流体在流体沿圆柱面只有切向速度，无径向速度。流体在圆柱面上的速度按正弦曲线规律分布，当圆柱面上的速度按正弦曲线规律分布，当=0(B=0(B点点) )和和=180=180（A A点）时，点）时，v v=0=0；当；当=90=90时，速时，速度到达最大，即度到达最大，即A、B两点称为驻点两点称为驻点(理想流体动力学1-4)3 3、压强分布、压强分布在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点的伯努利方程的伯努利方程当当=0(B=0(B点点) )和和=180=180（A A点）时，压强达到最
24、点）时，压强达到最大大值，即值，即 ；当；当=90=90时，压强最小。时，压强最小。柱面压强柱面压强关于关于x轴轴和和y轴均轴均对称。对称。(理想流体动力学1-4)定义定义压强系数压强系数C Cp p因此，圆柱面上的压强系数为因此，圆柱面上的压强系数为沿圆柱面的压强系数与圆柱体的半径以及均沿圆柱面的压强系数与圆柱体的半径以及均匀流的速度、压强分布无关。匀流的速度、压强分布无关。(理想流体动力学1-4)4 4、合、合 力力由于圆柱面上的压强关于由于圆柱面上的压强关于x x轴和轴和y y轴均对称，轴均对称，作用在柱面上的总压力即合力等于零。作用在柱面上的总压力即合力等于零。将柱面上的合力按平行于来
25、流速度方向和将柱面上的合力按平行于来流速度方向和垂直于来流速度方向进行分解，分别称为垂直于来流速度方向进行分解，分别称为流体作用在柱面上的阻力流体作用在柱面上的阻力D D和升力和升力L L。理想流体无环量绕流时，理想流体无环量绕流时，D=0D=0，L=0L=0。(理想流体动力学1-4)理想流体绕流圆柱理想流体绕流圆柱(理想流体动力学1-4)实际流体绕流圆柱实际流体绕流圆柱 （Re=26140）(理想流体动力学1-4) 二、圆柱体有环量绕流二、圆柱体有环量绕流圆柱体作等角速度旋转均匀流均匀流+ +偶极子流偶极子流+ +点涡点涡有环量绕流有环量绕流1 1、势、流函数、势、流函数(理想流体动力学1-
26、4)分解实部、虚部分解实部、虚部(理想流体动力学1-4)2 2、速度分布、速度分布柱面上的速度分布为柱面上的速度分布为(理想流体动力学1-4)关于驻点的讨论关于驻点的讨论驻点驻点A A、B B离开离开x x轴，向上或下移动（取决于均匀流轴，向上或下移动（取决于均匀流方向和柱体旋转方向）方向和柱体旋转方向）驻点的位置角驻点的位置角：(理想流体动力学1-4)闭合环流闭合环流闭闭合合流流线线(理想流体动力学1-4)3 3、压强分布、压强分布在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点在无穷远处取一点，在圆柱面上取一点，列两点的伯努利方程的伯努利方程柱面压强关于柱面压强关于y轴对称。轴对称。(理想流体动
27、力学1-4)4 4、合力、合力(理想流体动力学1-4)阻力阻力D D：理想流体有环量绕流时，作用在圆柱上理想流体有环量绕流时，作用在圆柱上的合力沿均匀流流动方向的分量等于零。的合力沿均匀流流动方向的分量等于零。(理想流体动力学1-4)升力升力L L：上式称为库塔上式称为库塔- -儒可夫斯基升力公式，说明理想儒可夫斯基升力公式，说明理想流体有环量绕流时，圆柱受到的升力大小等于流流体有环量绕流时，圆柱受到的升力大小等于流体密度、来流速度和速度环量的乘积体密度、来流速度和速度环量的乘积, ,方向由来方向由来流速度的方向沿环量的反方向旋转流速度的方向沿环量的反方向旋转9090确定。确定。(理想流体动力
28、学1-4)库塔库塔- -儒可夫斯基公式可推广应用于理想流体儒可夫斯基公式可推广应用于理想流体均匀绕流过任何形状的有环量无分离的平面均匀绕流过任何形状的有环量无分离的平面流动。在流动。在轴流式水泵、水轮机叶片设计中有轴流式水泵、水轮机叶片设计中有重要应用。重要应用。(理想流体动力学1-4) 实际实际流体绕流一静止圆柱时，流体绕流一静止圆柱时，流体流体在圆柱体表在圆柱体表面分离后，将形成旋转方向相反的排列规则的面分离后，将形成旋转方向相反的排列规则的两列两列旋涡流向下游，形成旋涡流向下游，形成卡门涡街。卡门涡街。卡门涡街(理想流体动力学1-4)驻点分离点(理想流体动力学1-4)(理想流体动力学1-4)
