2022年高二数学选修2-3教案

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1、?1 第课时总第教案课型： 新授课主备人：审核人：11 分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理( 加法原理 )与分步计数原理( 乘法原理 ) 难点： 分类计数原理(加法原理 ) 与分步计数原理( 乘法原理 ) 的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程一 、新课讲授引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识 . 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的

2、来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、 组合方法时， 经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（ 1）提出问题问题 1.1 ：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题 1.2 ：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车. 如果一天中火车有3 班，汽车有2 班. 那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究： 你能说说以上两个问题的特征吗？（ 2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有m种不

3、同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN种不同的方法.（ 3）知识应用例 1. 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页2 A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析 ：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条

4、件解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种） . 变式： 若还有 C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学. 那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究： 如果完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中有1m种不同的方法，在第2 类方案中有2m种不同的方法，在第3 类方案中有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么

5、应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1 类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法在第n 类办法中有nm种不同的方法. 那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法. 理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事. 2 分步乘法计数原理（ 1）提出问题问题 2.1 ：用前 6 个大写英文字母和19 九个阿拉伯数字，以1A,2A, ，1B,2B, 的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可

6、能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6 9 = 54 个不同的号码探究： 你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页?3 分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1 类方案中有m种不同的方法，在第 2 类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有nmN种不同的方法.（ 3）知识应用例 2. 设某班有男生30 名，女生 24 名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加

7、比赛，共有多少种不同的选法？分析 ：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第 l 步选男生第2 步选女生解 ：第 1 步，从 30 名男生中选出1 人，有 30 种不同选择；第 2 步，从 24 名女生中选出1 人，有 24 种不同选择根据分步乘法计数原理，共有3024 =720 种不同的选法探究： 如果完成一件事需要三个步骤，做第1 步有1m种不同的方法，做第2 步有2m种不同的方法，做第3 步有3m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1 步有1m种不同的方

8、法，做第2 步有2m种不同的方法做第n 步有nm种不同的方法. 那么完成这件事共有nmmmN21种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一

9、件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成. 3 综合应用例 3.书架的第1 层放有 4 本不同的计算机书，第2 层放有 3 本不同的文艺书，第3 层放 2 本不同的体育书.从书架上任取1 本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. 要完成的事是“从书架的第1、2、 3 层中各取一本书” ，由于取一层中的一本书

10、都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理 . 要完成的事是“取2 本不同学科的书” ，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取1 本计算机书或取1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理. 解 ： (1) 从书架上任取1 本书， 有 3 类方法： 第 1 类方法是从第1 层取 1 本计算机书， 有 4 种方法；第2 类方法是从第2 层取 1 本文艺书，有3 种方法；第3 类方法是从第3 层取1 本二次备课精选

11、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页4 体育书，有2 种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123Nmmm=4+3+2=9; ( 2 ）从书架的第1 , 2 , 3 层各取1 本书， 可以分成3 个步骤完成： 第 1 步从第1 层取 1 本计算机书，有4 种方法；第2 步从第2 层取 1 本文艺书，有3 种方法；第3 步从第 3 层取 1 本体育书，有2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123Nmmm=432=24 . （3）26232434N。例 4. 要从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出2 幅，分别挂

12、在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从3 幅画中选出2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1 步，从 3 幅画中选1 幅挂在左边墙上，有3 种选法；第2 步，从剩下的2 幅画中选1 幅挂在右边墙上，有2 种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=32=6 . 6 种挂法可以表示如下：五、课后总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完

13、成才算做完这件事六、作业布置七、教学设计八、板书设计九、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页?5 第课时总第教案课型： 习题课主备人：审核人：一、教学目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理( 加法原理 )与分步计数原理( 乘法原理 ) 难点： 分类计数原理(加法原理 ) 与分步计数原理( 乘法原理 ) 的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程例 5. 给程序模块命名，需要用3 个字符，其中首字符要求用字母AG 或 UZ , 后

14、两个要求用数字19问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1 步，选首字符；第2 步，选中间字符；第3 步，选最后一个字符而首字符又可以分为两类解：先计算首字符的选法由分类加法计数原理，首字符共有7 + 6 = 13 种选法再计算可能的不同程序名称由分步乘法计数原理，最多可以有1399 = = 1053 个不同的名称，即最多可以给1053 个程序命名例 6.核糖核酸 （RNA ）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据总共有 4 种不同的碱基，分别用A,C,G,U

15、 表示在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关假设有一类 RNA 分子由100 个碱基组成，那么能有多少种不同的 RNA 分子？分析 ：用图 1. 1 一 2 来表示由100 个碱基组成的长链，这时我们共有100 个位置，每个位置都可以从A , C , G , U 中任选一个来占据二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页6 解：100 个碱基组成的长链共有 100 个位置，如图1 . 1一 2 所示从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G ,

16、U 中任选一个填人，每个位置有 4 种填充方法根据分步乘法计数原理，长度为 100 的所有可能的不同 RNA 分子数目有1001004 444L14 2 43（个）例 7. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态因此计算机内部就采用了每一位只有 O 或 1 两种数字的记数法，即二进制为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 8 个二进制位构成问：(1 ）一个字节（ 8 位）最多可以表示多少个不同的字符？(2 ）计算机汉字国标码（GB 码）包含了6 763

17、个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析 ：由于每个字节有 8 个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题解： (1 ）用图 1.1 一 3 来表示一个字节图 1 . 1 一 3 一个字节共有 8 位，每位上有 2 种选择根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 2 2222 222= 28 =256 个不同的字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个，我们就考虑用2 个字节能够表示多少个字符前一个字节有 256 种不同的表示方法，后一个字节

18、也有 256 种表示方法根据分步乘法计数原理，2 个字节可以表示 256 256 = 65536 个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763 所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2 个字节表示例 8. 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成如图1.1 一 4，它是一个具有许多执行路径的程序模块问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？图 1.1

19、一 4 分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第 1 步是从开始执行到 A 点；第 2 步是从 A 点执行到结束而第 1 步可由子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 来完成；第2 步可由子模块 4 或子模块 5 来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子模块 1 或子模块 2 或子模块 3 中的子路径共有 18 + 45 + 28 = 91 （条） ; 子模块 4 或子模块 5 中的子路径共有38 + 43 = 81 （条） . 二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

20、，共 33 页?7 又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有9181 = 7 371（条） . 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试 5 个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共需要的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1 步中的各个子模块和第2 步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为32=6 . 如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常这样，

21、测试整个模块的次数就变为172 + 6=178 （次） . 显然， 178 与 7371 的差距是非常大的你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例 9. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为 2 类，即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌照的字母和数字可以分6 个步骤解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类

22、的字母组合在右字母组合在左时，分6 个步骤确定一个牌照的字母和数字：第 1 步，从 26 个字母中选1 个，放在首位，有26 种选法；第 2 步，从剩下的25 个字母中选 1 个，放在第2 位，有 25 种选法；第 3 步，从剩下的24 个字母中选 1 个，放在第3 位，有 24 种选法；第 4 步，从 10 个数字中选1 个，放在第 4 位，有 10 种选法；第 5 步，从剩下的 9 个数字中选1 个，放在第5 位，有 9 种选法；第 6 步，从剩下的 8 个字母中选1 个，放在第6 位，有 8 种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 252410 98=11 232 000

23、 （个） . 同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） . 辆汽车上牌照用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析 需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数分步要做到“步骤完整” 完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数练习1乘积12312312345)()()aaabbbccccc（展开后共有多少项？2某电

24、话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9 之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页8 3从 5 名同学中选出正、副组长各 1 名，有多少种不同的选法？4某商场有 6 个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？例 1. 一蚂蚁沿着长方体的棱, 从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解 : 从总体上看 , 如, 蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类

25、方法 , 从局部上看每类又需两步完成,所以 , 第一类 , m1 = 12 = 2 条第二类 , m2 = 12 = 2 条第三类 , m3 = 12 = 2 条所以 , 根据加法原理, 从顶点 A到顶点 C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条例 2 . 如图 , 要给地图 A、B、C、D四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？解 : 按地图 A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步 , m1 = 3 种, 第二步 , m2 = 2 种, 第三步 , m3 = 1 种, 第四步 , m4

26、 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 2 1 1 = 6 变式1，如图 , 要给地图A、B、 C、D四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？2 若颜色是2 种， 4 种， 5 种又会什么样的结果呢？75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解 : 由于 75600=2433527 (1) 75600的每个约数都可以写成lkjl7532的形式,其中40i,30j,20k,10l于是 , 要确定75600 的一个约数 , 可分四步完成, 即lkji,分别在各自的范围内任取一个

27、值 , 这样 i 有 5 种取法 ,j有 4 种取法 ,k有 3 种取法 ,l有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为5432=120 个. ？课堂小结1分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页?9 2理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“

28、分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即不重不漏 . 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足： 必须并且只需连续完成这n 个步骤，这件事才算完成. 分配问题把一些元素分给另一些元素来接受这是排列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了事实上， 任何排列问题都可以看作

29、面对两类元素例如，把10 个全排列，可以理解为在10 个人旁边，有序号为1，2， 10 的 10 把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构”： . 每个“接受单位” 至多接受一个被分配元素的问题方法是mnA，这里nm. 其中m是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要nm.个数为m的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为A少多. 这里的“多”只要“少” . . 被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿”, 并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题

30、的计算公式乘以kkA. 七、教学设计八、板书设计九、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页?11 第课时总第教案课型： 新授课主备人：审核人：121 排列一、教学目标：1. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。2. 能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题二、教学重难点：重点：排列、排列数的概念难点：排列数公式的推导三、教学方

31、法讲授法四、教学过程一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第n 类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmmL种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，做第n 步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmmL种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于 :分类加法计数原理针对的是“分类”问题 ,其中各种方法相互独立,每一种方法只属

32、于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立， “步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：问题 1从甲、乙、丙3 名同学中选取2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3 名同学中每次选取2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有

33、多少种不同的排法的问题，共有6 种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页12 解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 32=6 种，如图 1.2一

34、 1 所示图 1.2一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3 个不同的元素 a , b ， 。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3 2=6 种问题 2从 1,2,3,4这 4 个数字中， 每次取出3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析 ：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4 个字母中任取1 个，有 4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3 个数中取，有3 种方法；第三步确定右边的数，从余下的 2 个数中取，有2 种方法由分步计数原理共有：432

35、=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百” “十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；第 3 步，确定个位上的数字，当百位、 十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法根据分步乘法计数

36、原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十” “个”位的顺序排成一列，共有432=24 种不同的排法，因而共可得到24 个不同的三位数，如图1. 2 一 2 所示由此可写出所有的三位数：123， 124, 132, 134, 142, 143，213， 214, 231, 234, 241, 243，二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页?13 312，314, 321, 324, 341, 342，412，413, 421, 423, 431, 432

37、。同样，问题 2 可以归结为：从 4 个不同的元素a, b, c， d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 432=24 种. 树形图如下 a b 2排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说明：（1）排

38、列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同3排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号mnA只表示排列数，而不表示具体的排列4排列数公式及其推导：由2nA的意义：假定有排好顺序的2 个空位，从n个元素12,na aaK中任取2 个元素去填空，一个空位填一个元素

39、，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA由分步计数原理完成上述填空共有(1)n n种填法，2nA=(1)n n由此，求3nA可以按依次填3 个空位来考虑，3nA=(1)(2)n nn，求mnA以按依次填m个空位来考虑(1)(2)(1)mnAn nnnmL，排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnmL二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页14 （,m nNmn）说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少 1

40、，最后一个因数是1nm，共有m个因数；（ 2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)2 1!nnAn nnnL（叫做 n 的阶乘）另外，我们规定0! =1 . 五、课后总结排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” , “一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反

41、过来剔”前者指， 按照要求， 一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。六、作业布置七、教学设计八、板书设计九、课后反思二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页?15 第课时总第教案课型： 习题课主备人：审核人：121 排列 (1) 一、教学目标：1. 能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题二、教学过程例 1用计算器计算： (1 ）410A； (2 ）518A

42、; (3）18131813AA.解：用计算器可得：由（ 2 ) ( 3 ）我们看到，51813181813AAA那么，这个结果有没有一般性呢？即!()!nmnnn mnmAnAAnm. 排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)mnAn nnnmL(1)(2)(1)()3 2 1()(1)3 2 1n nnnmnmnmnmLLL!()!nnm=nnn mn mAA. 即mnA=!()!nnm例 2解方程： 3322126xxxAAA解：由排列数公式得：3 (1)(2)2(1)6 (1)x xxxxx x，3x，3(1)(2)2(1)6(1)xxxx，即2317100xx，解得5x或23x，3x

43、，且xN，原方程的解为5x例 3解不等式：2996xxAA解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!xx，也就是16(9)!(11) (10) (9)!xxxx，化简得：2211040xx，二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页16 解得8x或13x，又29x，且xN，所以，原不等式的解集为2,3,4,5,6,7例 4求证：（1）nmn mnnn mAAA； （2）(2 )!1 3 5(21)2!nnnnL证明：（1）!()!()!mn mnn mnAAnmnnmnnA，原式成立（2）(2 )!2(21) (

44、22)4 3 2 12!2!nnnnnnnnL2(1)2 1 (21)(23)3 12!nnnnnnnLL! 1 3(23)(21)!nnnnL1 3 5(21)nL右边原式成立说明： （1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA中，,m nN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（ 2）公式(1)(2)(1)mnAn nnnmL常用来求值，特别是,m n均为已知时，公式mnA=!()!nnm，常用来证明或化简例 5化简：12312!3!4!nnL；1 1! 22! 3 3!nnL解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!nnL11!n提示：由1

45、 !1!nnnnnn，得!1 !nnnn，原式1 ! 1n说明：111!(1)!nnnn例 7 (课本 例 2)某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1 次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14 个元素中任取2 个元素的一个排列因此，比赛的总场次是214A=14 13=182. 例 8 (课本 例 3)(1 ）从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？(2 ）从 5 种不同的书中买3 本送给 3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？解： (1 ）从 5

46、本不同的书中选出3 本分别送给3 名同学，对应于从5 个不同元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是35A=543=60. 二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页?17 (2）由于有5 种不同的书，送给每个同学的1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是555=125. 例 8 中两个问题的区别在于： ( 1 ）是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（ 2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不

47、符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算例 9(课本 例 4)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到 9 这 10 个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此。是一个特殊的元素一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解法 1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是 O ，因此可以分两步完成排列第1 步，排百位上的数字，可以从1 到 9 这九个数字中任选 1 个，有19A种选法；第2 步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9 个数字中任选2 个，有29A种选法（图1.2 一 5) 根据分

48、步乘法计数原理，所求的三位数有1299AA=998=648（个） . 解法 2 ： 如图 1.2 一 6 所示，符合条件的三位数可分成 3 类每一位数字都不是位数有 A 母个，个位数字是 O 的三位数有揭个，十位数字是 0 的三位数有揭个根据分类加法计数原理，符合条件的三位数有322999AAA=648 个解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取3 个数字的排列数为310A，其中 O 在百位上的排列数是29A，它们的差就是用这10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是310A-29A=1098-9 8=648. 对于例 9 这类计数问题，可用适当的方法将问题分

49、解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法解法 1 根据百位数字不能是。的要求，分步完成选 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2 以 O 是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3 是一种逆向思考方法：先求出从 10 个不同数字中选3 个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数 （即不是三位数的个数） ，就得到没有重复数字的三位数的个数从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n 个不同元素中取出 m (m n）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数

50、问题1.1 节中的例 9 是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？四、课堂练习：二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页18 1 若!3!nx，则x（ ）()A3nA()B3nnA()C3nA()D33nA2与37107AA不等的是（ ）()A910A()B8881A()C9910A()D1010A3若532mmAA，则m的值为（ ）()A5()B3()C6()D74计算：5699610239!AAA；11(1)!()!nmmAmn5若11(1)!242mmmA，则m的解集是6 （1）已知101095m

51、AL，那么m；（2）已知9!362880，那么79A= ；（3）已知256nA，那么n；（4）已知2247nnAA，那么n7一个火车站有8 股岔道， 停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1 列火车）？8一部纪录影片在4 个单位轮映，每一单位放映1 场，有多少种轮映次序？答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5.2,3,4,5,66. (1) 6(2) 181440 (3) 8(4) 5 7. 1680 8. 24 课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页?19 第课

52、时总第教案课型： 习题课主备人：审核人：121 排列 (2) 一、教学目标：1. 能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题二、教学过程补充例题例 1 （1）有 5本不同的书，从中选3 本送给 3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要买3 本送给 3 名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？解： （1）从 5 本不同的书中选出3 本分别送给3 名同学，对应于从5 个元素中任取3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：3554360A，所以，共有60 种不同的送法（2）由于有5 种不同的书，送给每个同学的1 本书都有5 种不同的选购方法，因此送给3名同学

53、，每人各1 本书的不同方法种数是：5 5 5125，所以，共有125 种不同的送法说明： 本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5 本不同的书中选出3 本分送给3 位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5 种不同的书中任选1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算例 2某信号兵用红、黄、蓝3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1 面、 2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用1 面旗表示的信号有13A种；第二类用2 面旗表示的信号有23A种；第三类用3

54、 面旗表示的信号有33A种，由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232 115AAA，答：一共可以表示15 种不同的信号例 3将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有44A种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方案共有4444576NAA（种）二次备课精选学习资料 - - - - -

55、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页20 答：共有576 种不同的分配方案例 4用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法 1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：12999 98648AA解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是 0 的三位数有39A个，个位数字是0 的三位数有29A个，十位数字是0 的三位数有29A个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：322999648AAA解法 3： 从 0到 9这 10个数字中任取3个数字的排列数为310A， 其中以 0为排头的排列数为29A，因此符合

56、条件的三位数的个数是32109648AA-29A说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1，2；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法3对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏例 5 （1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列77A5040（2）7 位同学站成两排（前3 后 4） ，共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：76543 217！ 5040（

57、3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6 个元素的全排列66A=720（ 4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A种；第二步余下的 5 名同学进行全排列有55A种，所以，共有22A55A=240 种排列方法（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法 1（直接法）：第一步从 （除去甲、 乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有25A种方法； 第二步从余下的5 位同学中选5 位进行排列 （全排列）有55A种方法，所以一共有25A55

58、A2400 种排列方法解法 2： （排除法）若甲站在排头有66A种方法；若乙站在排尾有66A种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A662A55A=2400 种二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页?21 说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑例 6. 从 10 个不同的文艺节目中选6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特

59、殊位置考虑）1360805919AA；解法二：（从特殊元素考虑）若选：595 A；若不选：69A，则共有56995136080AA种；解法三：（间接法）65109136080AA例 7 7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5 个元素（同学）一起进行全排列有66A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法所以这样的排法一共有62621440AA种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A33A720 种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种

60、？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5 个元素中选取2 个元素放在排头和排尾，有25A种方法；将剩下的4 个元素进行全排列有44A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A种方法所以这样的排法一共有25A44A22A960 种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，若丙站在排头或排尾有255A种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566AAA种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以

61、可以从其余的四个位置选择共有14A种方法，再将其余的5 个元素进行全排列共有55A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A55A22A960种方法（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2 个元素，一共有排法种数：342342288A A A（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松） 例 87 位同学站成一排，二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页22 （1

62、）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677AAA；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧） ，再将甲、 乙同学分别插入这六个位置（空） 有26A种方法， 所以一共有36002655AA种方法（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A种方法，所以一共有44A35A1440 种说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）例 9 5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（

63、1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列解： （1）先将男生排好，有55A种排法；再将5 名女生插在男生之间的6 个“空挡”（包括两端）中，有552A种排法故本题的排法有5555228800NAA（种）；（2）方法 1：10510105530240ANAA；方法 2：设想有 10 个位置，先将男生排在其中的任意5 个位置上，有510A种排法；余下的5 个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法故本题的结论为510130240NA（种）课堂练习：1 （ 2007 年江苏卷）某校开设9 门课程供学生选修，其中,A B C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4 门，

64、共有75种不同选修方案。 （用数值作答）2 （2007 年广东卷）图是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给、四个维修点的某种配件各件，在使用前发现需将、四个维修点的这批配件分别调整为、件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（）（）（）（）九、课后反思二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页?23 第课时总第教案课型： 新授课主备人：审核人：122 组合一、教学目标：1. 理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确

65、组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。2. 了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。二、教学重难点：重点：组合的概念和组合数公式难点：组合的概念和组合数公式三、教学方法讲授法四、教学过程一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法， 在第二类办法中有2m种不同的方法， 在第 n 类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmmL种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同

66、的方法，做第n 步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmmL种不同的方法3排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列4排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示5排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnmL（,m nNmn）6 阶乘：!n表示正整数1 到n的连乘积，叫做n的阶乘 规定0!1二次备课mnC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页

67、，共 33 页24 7排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm8. 提出问题：示例 1：从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加某天的一项活动，其中1 名同学参加上午的活动， 1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙3 名同学中选出2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1 中不但要求选出2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序

68、性；相同组合：元素相同例 1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23 人中选出3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、 3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫

69、做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示3组合数公式的推导：（1）从 4 个不同元素, , ,a b c d中取出 3 个元素的组合数34C是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出3 个元素的排列数34A可以求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：组 合排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,由此可知 , 每一个组合都对应着6 个不同的排列，因此，求从4 个不同元素中取出3 个元素的排列数34A，可以分如下两步

70、：考虑从 4 个不同元素中取出3 个元素的组合，共有34C个； 对每一个组合的3 个不同元素进行全排列，各有33A种方法由分步计数原理得：34A二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页?25 34C33A，所以，333434AAC（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC； 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnAmnCmmA（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmL或

71、)!( !mnmnCmn),(nmNmn且规定 : 01nC. 三、讲解范例：例 2用计算器计算710C解：由计算器可得例 3计算：（ 1）47C；（2）710C；（1）解：4776544!C35；（2）解法 1：710109876547!C120解法 2：71010!109 87!3!3!C120例 4求证：11mnmnCmnmC证明：)!( !mnmnCmn111!(1)!(1)!mnmmnCnmnmmnm1!(1)! ()(1)!mnmnmnm二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页26 !()!nmnm

72、11mnmnCmnmC例 5设,Nx求321132xxxxCC的值解：由题意可得：321132xxxx，解得24x，xN，2x或3x或4x，当2x时原式值为7；当3x时原式值为7；当4x时原式值为11所求值为4 或 7或 11五、课后总结组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理六、作业布置七、教学设计八、板书设计九、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页?27 第课时总第教案课型： 习题课主备人：审核人：122 组合（ 1）一

73、、教学目标：1. 理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。2. 了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。二、教学重难点：重点：组合的概念和组合数公式难点：组合的概念和组合数公式三、教学方法讲授法四、教学过程例 6 一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11 人问：(l)这位教练从这17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种

74、方式做这件事情？分析 ： 对于（ 1) ，根据题意， 17 名学员没有角色差异，地位完全一样， 因此这是一个从 17 个不同元素中选出11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解： (1 ）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C种选法所以教练员做这件事情的方法数有1111711CC=1361

75、36（种） . 例 7 （1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1 ）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有二次备课mnC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页28 2101094512C（条） . (2 ）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10 个不同元素中

76、取出2 个元素的排列数，即有向线段共有21010990A（条） . 例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品， 2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1 ）有多少种不同的抽法？(2 ）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3 ）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1 ）所求的不同抽法的种数，就是从100 件产品中取出3 件的组合数，所以共有310010099981 23C= 161700 （种） . (2 ）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C种，因此抽出的 3 件

77、中恰好有 1 件次品的抽法有12298CC=9506(种). (3）解法1 从 100 件产品抽出的3 件中至少有1 件是次品，包括有1 件次品和有2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中1 件是次品的抽法有12298CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298CC+21298CC=9 604 （种）. 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有1 件是次品的抽法的种数，也就是从100 件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098CC=161 700-152 096 = 9 604 （种） . 说明：“至少”“至多”的问题，通

78、常用分类法或间接法求解。变式 ：按下列条件，从12 人中选出5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（ 2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（ 4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2 人当选；（ 6）甲、乙、丙三人至少1 人当选；例 9 （ 1）6 本不同的书分给甲、乙、丙3 同学，每人各得2 本，有多少种不同的分法？解：90222426CCC（2） 从 5 个男生和4 个女生中选出4 名学生参加一次会议，要求至少有2 名男生和1 名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2 类：第一类 2 名男生和2 名女生参加，有225460C

79、 C中选法；第二类 3 名男生和1 名女生参加，有315440C C中选法依据分类计数原理，共有100 种选法二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页?29 错解：211546240C C C种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多例 104 名男生和 6 名女生组成至少有1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一： （直接法） 小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有34C，1624CC，2614CC，所以，一共有34C+1624CC+2614CC100 种

80、方法解法二：（间接法）10036310CC四、课堂练习： 1 判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从 4 个风景点中选出2 个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从 4 个风景点中选出2 个，并确定这2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？27名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A42B21C7D63如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A15对B25对C30对D20对4设全集, , ,Ua b c d，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABaI，求集合A、B，则本题的解的个数为（ ）A42B

81、21C7D3九、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页30 第课时总第教案课型： 习题课主备人：审核人：122 组合（ 2）一、教学目标：1. 理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。2. 了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数之间的联系， 掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。二、教学重难点：重点：组合的概念和组合数公式难点：组合的概念和组合数公式三、教学方法讲授法四、教学过程组合数的性质1：mnnmnCC一般地，从n个不同元素中

82、取出m个元素后，剩下nm个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：)!( !)!()!(!mnmnmnnmnnCmnn又)!( !mnmnCmn，mnnmnCC说明：规定：10nC；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当2nm时，计算mnC可变为计算mnnC，能够使运算简化. 例如20012002C200120022002C12002C=2002；ynxnCCyx

83、或nyx2组合数的性质2：mnC1mnC+1mnC二次备课mnC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页?31 一般地，从121,naaa这n+1 个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m 1 个元素与1a组成的，共有1mnC个；不含有1a的组合是从132,naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的

84、分类思想证明：)!1()!1(!)!( !1mnmnmnmnCCmnmn)!1(!)1( !mnmmnmnn)!1(!)1(mnmnmmn)!1( !)!1(mnmnmnC1mnC1mnC+1mnC说明：公式特征：下标相同而上标差1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算例 11一个口袋内装有大小不同的7 个白球和1 个黑球，（1）从口袋内取出3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3 个球，使其中含有1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解： （1）5638C, 或38C27C3

85、7C， ； （2）2127C； （3）3537C例 12 （1）计算：69584737CCCC；（2）求证：nmC2nmC+12nmC+2nmC解： （1）原式4565664889991010210CCCCCCC；证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC左边例 13解方程：（1）3213113xxCC； （2）解方程：333222101xxxxxACC解： （1）由原方程得123xx或12313xx，4x或5x，又由111312313xxxN得28x且xN，原方程的解为4x或5x上述求解过程中的不等式组可以不解, 直接把4x和5x代入检验 , 这样运算量

86、小得多. （2）原方程可化为2333110xxxCA，即5333110xxCA，(3)!(3)!5!(2)!10!xxxx，二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页32 11120(2)!10(1) (2)!xx xx，2120xx，解得4x或3x，经检验：4x是原方程的解例 14 证明：pnpmpmpnnmCCCC。证明： 原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的pn个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个

87、同学参加数学兴趣小组，在余下的pm个同学中选出pn个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15 证明：110mmnmmnCCCCmnmmmnCCC0（其中mn） 。证明： 设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为1m类：男同学0 个， 1 个，m个，则女同学分别为m个，1m个， 0 个，共有选法数为110mmnmmnCCCC0mmnCC。又由组合定义知选法数为mnmC，故等式成立。例 16 证明：32132nnnCCC12nnnnnC。证明： 左边 =32132nnnCCCnnnC=313212111nnnCCCCCCnn

88、nCC1，其中iniCC1可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n个同学，选出若干人（至少1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类（， 21in，） ，则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长， 有n种选法，再决定剩下的1n人是否参加， 每人都有两种可能，所以组员的选法有12n种，所以选法总数为12nn种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 17 证明：3222132nnnCCC222)1(nnnnnCn。证明： 由于iniiinCCCCi112可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复）的组合数，所以

89、原式左端可看成在例3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有12nn种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有22) 1(nnn种选法。共有12nn+22)1(nnn22) 1(nnn种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。四、课堂练习：5从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法二次备课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页?33 6从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同

90、的选法7圆上有10 个点：（1）过每 2 个点画一条弦，一共可画条弦；（2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8 （1）凸五边形有条对角线；（2）凸n五边形有条对角线9计算：（ 1）315C； （2）3468CC10,A B C D E5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11空间有 10 个点，其中任何4 点不共面，（ 1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（ 2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13

91、写出从, , ,a b c d e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合答案： 1. （1）组合 , （2）排列2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （ 2） 120 8. （ 1）5（2）(3) / 2n n9. 455；2710. 10； 2011. 310120C；410210C12.1234444442115CCCC13., , ,a b c d；, , ,a b c e；, ,a b d e；, ,a c d e；, , ,b c d e九、课后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页