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1、盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习1 1、1 集合一、基本概念1、元素与集合的关系有_和_两种。用表示集合，用表示元素，如果a是A的元素，那么 _; 如果a不是 A的元素，那么 _。2、集合的元素有三性：确定性；。例 1：以下各组对象，能构成集合的有不超过30 的所有非负整数聪明的人平面直角坐标系中，第一象限内的点所有直角三角形A、 B、 C、 D、都不能构成集合3、常用数集的表示：N 表示 _ _ 或称为 _ _;*N或N表示 _ _;Q表示 _ _;整数集记做 _ _；实数集记做_ _. 例 2：以下说法中，正确的选项是填序号3R0N13QQN中最小的元素是1
2、假设,aNaN则,aN bN，则ab的最小值为2。4、列举法与描述法1列举法是指；2描述法是指：；列举法表示集合，集合中的元素很好确认列举法常用于元素个数不太多的集合，也可用于元素个数多，但规律性强的集合，如(1,2),(1,1)；2,4,6,8,.。用描述法表示集合，符合其公共特征的元素就是5、根据集合中元素的多少，可以把集合分为_、_和_。二、集合间的关系1、 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素， 那么集合 A是集合 B的_，记做 _ 或_ ，读作“ A含于 B ” 或“ _” 。即：假设对任意xA，都有xB，则 _。2、子集的性质子集的自反性AA；子集的传递性假设,AB BC，
3、那么 _。3、真子集如果AB，但存在元素 _，且_, 我们称集合A是集合 B的_，记作 _或_ ，读作“ A真包含于B” 或“ B真包含 A” 。即 , 只要AB且AB, 那么 _。真子集与子集的联系与区别: 都满足 ,真子集还要求AB。例 3：写出集合2|40x xx的所有子集和真子集: . 4、两集合相等，AB：1集合AB、的元素相等；2AB且BA，那么AB。如|2Ax x，|2By y则AB。5、空集我们把不含任何元素的集合叫做_ _,记成 _。如2|1xR x、| 01xx都是空集。空集的两个基本性质：空集是任何集合的_；空集是任何非空集合的_。6、有限集子集的计数公式集合A有n个元素
4、，那么集合A的子集有 _个，真子集有_个，非空真子集有_个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习2 例 4：0,2,4,6A， 这样的集合A有_个；0,2,4,6A， 这样的集合A有_个；A，0,2,4,6A，这样的集合A有_个。三、集合的基本运算1、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的 _，记作 _，读作“A并B” 。即，|,ABx xAxB或。并集的运算性质：假设AB，则ABB并集取大反之，假设ABB，则AB。AAA；AA；
5、ABBA2、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的_，记作 _，读作“A交B” 。即，|,ABx xAxB且。交集的运算性质：假设AB，则ABA交集取小反之，假设ABA，则AB。AAA；A；ABBA3、 补集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_， 通常记作U。对于一个集合A，由全集U中_ _的所有元素组成的集合称为集合A_，记作 _，即A=|,x xUxA且。例 5:以下六个关系式： abba,abba,00000其中正确 为_。常见思路和方法：1、含绝对值的取值问题：设,a b都是非零实数，集合|aby yab中的元素是 _。2、不
6、重不漏代值法3、描述法表示集合，判断元素是否属于集合，即看元素是否具有集合的公共特征。四、两集合相等的证明已知|21,|41,Mx xkkZNx xkkZ，证明MN. 五、一元二次方程的应用一元二次方程的定义: 形如20axbxc(0)a的方程叫做一元二次方程。1一元二次方程根的判断：判别式24bac0，方程有两个不相等的实数根。0，方程有一个或两个相等的实数根。0，方程没有实数根。注意：用判别式的前提是，方程是一元二次方程，因此在用判别式前首先要给出条件二次项系数0a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页盐边中学高
7、一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习3 判断类似于一元二次方程20axbxc的解的个数要分0a和0a两种情况讨论。2解一元二次方程方法有：配方法、公式法()2bxa、分解因式法、十字相乘法。3韦达定理 : 一元二次方程根与系数的关系可以用韦达定理来描述：12bxxa，12cx xa1、用十字相乘法求解以下方程、251890xx、2320xx2 、 已 知 集 合20,( , )240xyAx yxy，(,)|3Bx yyxb， 假 设AB, 实 数b=_。3、已知全集UR，集合|22Aa aa或，2|10Ba axx有解，求AB，AB，UA （B）. 4、已知集合2|0Ax x
8、mxn，集合2 |(6)0Bttmn，假设3A，求集合B。六、集合的元素三性设集合A2, 3, a21 ，Ba2a4, 2a1, 413 ，AB2 ，则实数a七、集合的子集真子集个数已知集合M满足2,31,2,3,4,5M，求集合M及其个数？八、数轴直观法：当AB，首先考虑A; 假设AB，则ABB并取大，ABA交取小九、 Veen 图的应用1、已知全集UR，则正确表示集合1 ,0 , 1M和012xxN关系的韦恩 Venn图是2、集合032|2xxxA,01|axxB, 假设BBA, 则实数a的值所组成的集合为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
9、- -第 3 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习4 3、设22240,2(1)10Ax xxBx xaxa, 其中xR, 如果ABB，求实数a的取值范围。4、已知集合|1,|Ax xBx xm， 1假设ABR，求 1假设m的取值范围。 2 ，假设AB，求m的取值范围。1、2、1 函数的概念一、区间 ：设,a b是两个实数，并且ab，把,a b叫做相应区间的端点。把以下集合或不等式表示成区间，或把区间表示成集合| 12xx|4|1 x xx x( 2,3,xa xb思考：集合|x axb一定可以用区间( , )a b表示吗？说明理由。二、函数的概念的理
10、解： 1:fAB要构成集合， 要满足两个条件AB、是非空的数集集合A中的任意一个元素x都有且只有一个B中的元素y与之对应。2定义中的集合A是定义域，而集合B是值域的母集。定义域、值域都是集合，因此要写成集合或区间的形式。例 1：给 出 以 下 四 个 对 应 ， 能 构 成 函 数 的 是 _。例 2：以下对应是函数的是_ 2,0,xy yxxR yRx,0,6,0,3xy yx xy|,yx xN yR1,0,6,0,36xy yx xy三、函数定义域：: 函数的定义域是自变量_的取值范围，如果函数的定义域省略未写，则函数的定义域就是使函数解析式有意义的所有x值构成的集合。1求具体函数的定义
11、域要使函数解析式有意义，一般要满足三个条件分母 _；二次根式中被开方数_； 0 次幂的底数 _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习5 例 1：求以下函数的定义域1( )12f xxx2( )45f xxx0(1)( )|xf xxx2抽象函数的定义域定义域是x的取值范围在同一对应法则f作用下， 括号里的取值范围相同。如( ),(21)f xfx中x与21x的取值范围相同。例 1：已知( )f x的定义域为1,4，求(2)f x的定义域。例 2：已知(1)
12、f x的定义域为(0,3，求( )fx的定义域。例 3：已知(1)f x的定义域为( 2,3，求(21)fx的定义域。四、求函数值例：2( )231f xxx，求(1),(1),(21)ff afx。假设 f(m)=4, 求 m. 五、求函数值域：函数值的集合( )|f xxA叫做函数的值域。1观察法：利用熟知的基本函数的值域求函数值域的方法叫做观察法。例：求函数1yx的值域。2单调性法求值域：例：求函数29yx的值域。3 配方法：当函数是二次函数时，求函数值域通常用配方法和图像法或用开口方向与对称轴远近求。例 1：求函数21yxx的值域例 2：求函数223( 52)yxxx的值域。4换元法：
13、当函数是含有根号的一次式时，求值域用换元法，尤其要注意新元的取值范围。例 1：求函数21yxx的值域。例 2：531yxx5判别式法：当函数解析式分子或分母是x的二次因式时，求值域用判别式法。例 1：求函数2845yxx的值域。例 2：求函数223311xxyxx的值域。6别离常数法：当函数解析式分子和分母为x的一次因式时，用别离常数法。例：求函数5142xyx的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习6 六、两函数相等函数的三要素为_、 _、 _。 三
14、要素相等的两函数相等，但_是由 _和_决定的。因此判断两函数相等只需_； _。例 1：以下函数相等的是A、2,yxyx B、(1)(2)( ),( )21xxf xg xxxC、22( )21, ( )21f xxxg ttt D、2,xyx yx1、2、2 函数的表示一、知识点：1、表示函数的方法有_、_、_。2、对于定义域内，对自变量不同的取值范围，函数的解析式不同的函数叫做_。3、映射是指：。函数 _映射，映射是函数的。例：已知集合|04,| 02PxxQyy，以下选项中， 不表示从P到Q的映射的是 A、2:3fxyx B、1:3fxyx C、1:2fxyx D 、:fxyx二、求函数解
15、析式的常用方法：一 、待定系数法：已知所求函数类型时常用此法。1、 设)(xf是一次函数，且34)(xxff，求)(xf。2、设)(xf是二次函数，且满足(0)1f，(1)( )2f xfxx，求)(xf。二 、配凑法： 已知复合函数 ( )f g x的表达式，求( )f x的解析式， ( )f g x的表达式容易配成( )g x的运算形式时，常用配凑法。注意所求函数( )f x的定义域不是原复合函数的定义域，而是( )g x的值域。1、已知221)1(xxxxf)0(x，求( )f x的解析式。2、已知(1)2fxxx，求( )fx的解析式。三、换元法： 已知复合函数( )f g x的表达式
16、时，还可以用换元法求( )fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。1、2(1)32f xxx，求( )f x。2、已知xxxf2)1(，求( )f x。四、消去法： 假设已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习7 1、设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf2、已知3 (1)2(1)2f xfxx，求)(xf。五、赋值法： 当题中所给变量较多，
17、且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf. 六 、由函数图像求解析式：1、已知函数的图像如右图所示，求函数的解析式。三、分段函数1求分段函数的函数值已知函数25,1( ), 112 ,1xxf xxxx x， 1求( 3)ff的值。 2假设1( )2f a，求a的值。2分段函数的定义域、值域和最值求函数22, 1,01( ),(0,2)23,2,)xxf xx xx的定义域、值域和最值。4画分段函数的图像1、画出函数( )|24|f xx的图
18、像2、画出22| 3yxx的图像，并指出函数的单调区间。5分段函数应用题某同学为了援助失学儿童，每月将自己的零花钱以相等的数额存入储蓄盒里，准备凑够200 元时一并汇出，储蓄盒里原有60 元， 2 个月后盒内有100 元。写出盒内的钱数与存钱月份的函数关系式并画出函数图像。1、3、1 函数的单调性一、概念：1、如果对于定义域区间D上的任意两个自变量12,x x，当12xx时：假设都有12()()f xf x，那么就说函数( )f x在区间D上为 _；假设都有，则( )f x在区间D上为减函数。11 22 y x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
19、 - - -第 7 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习8 1、函数( )fx对于任意两个不等的实数,a b，恒有( )( )0f af bab成立，则( )f xA、在R上先递减后递增B、在R上先递增后递减C、在R上是增函数D、在R上是减函数2、一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足对于任意的xI，都有 _ 或 ；存在0xI，使得 _；那么我们称M是函数( )yf x的最大值或最小值 。3、单调函数的运算性质1( )f x与( )f xcc为常数具有_的单调性。2( )f x与( )af x的单调性异同当0a时，( )f x与(
20、 )af x具有 _ _的单调性。 当0a时，( )fx与( )af x具有 _ _的单调性。3当( )0fx时，( )f x与1( )f x具有 _的单调性。4( )( )f xg x的单调性当( )f x，( )g x都为增函数时，( )( )f xg x为_函数。当( )f x，( )g x都为减数时，( )( )f xg x为_函数。5当( ),( )fxg x都是增减函数时，当( )0( )0f xg x，时，( )( )f xg x是_( )函数；当( )0( )0f xg x，时，( )( )fx g x是_( )函数。二、基本函数的单调性1一次函数(0)ykxb k的单调性。当
21、0k， 一次函数在区间_上是 _。 当0k， 一次函数在区间_上是 _。2反比例函数(0)kykx的单调性。当0k，反比例函数的图像在_象限，在区间 _和_是_函数。当0k，反比例函数的图像在_象限，在区间_是_函数。3二次函数的单调性2(0)yaxbxc a：二次函数的单调性被_分开，当0a，图像开口向上，在区间(,2ba，是_函数，在区间(,)2ba，是 _函数。当0a，图像开口向上，在区间(,2ba，是_函数，在区间(,)2ba，是 _函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水
22、滴石穿！必修 1 第一章复习9 例 1：已知函数223yxmx，当 2,)x时，函数为增函数，(, 2)x时，函数为减函数，则_m。例 2：假设函数27yxax在,2)上是减函数，则实数a的取值范围是_。三、证明函数的单调性1证明具体函数的单调性证明步骤：一设：在相应区间设出12xx；二差：21()()f xf x；三定：确定21()()f xf x的符号；四判：判断函数是增函数还是减函数。证明： 121yxx在区间(0,)上是增函数。2、11( )(b)242bxfxx在( 2,)上的单调性。2抽象函数单调性的证明例：已知( )f x的定义域为(0,)，当1x时，( )0f x，且()( )
23、( )f x yfxf y。1求(1)f； 2证明( )f x在定义域上是增函数； 3如果1()13f，求1( )()22f xfx的x取值范围。四、复合函数的单调性：同增异减。复合函数( )yf g x，令( )ug x，( )yf u，当函数u和y具有相同的单调性时，复合函数 ( )yf g x单调递增；当函数u和y具有相反单调性时，复合函数( )yf g x单调递减。例：2( )28f xxx，( )(21)g xfx，求( )g x的单调性。五、二次函数的应用1、二次函数：如2yaxbxc(0)a的函数叫做二次函数，二次函数的图像是_。1一般式：2yaxbxc(0)a。2顶点式：224
24、()24bacbya xaa(0)a，顶点坐标为24(,)24bacbaa，由顶点坐标可得二次函数图像的对称轴为_x。 当0a时， 图像开口向 _， 函数有最小值 _,离对称轴越近的点函数值越_；当0a时，图像开口向 _, 有最大值 _，离对称轴越近的点函数值越。3两根式：12()()ya xxxx(0)a，12,x x是方程12()()0a xxxx的两根，12,x x也是图像与_轴交点的横坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习10 例：将二次函数2
25、246yxx写成顶点式 _, 顶点坐标为 _，图像的对称轴为_，函数有最 _值_，因此函数的值域为_。将2246yxx写成两根式 _，可得图像与 _轴的交点坐标为_。2、二次函数图像的画法 1 平 移 变 换 作 图 ： 可 将 二 次 函 数 数 一 般 是2yaxbxc(0)a配 方 成 顶 点 式224()24bacbya xaa(0)a，先画出2yax(0)a的图像，把图像向_平移 _个单位，再把图像向_平移 _个单位即可得其图像。2描点作图：可以先求得二次函数2yaxbxc(0)a与x轴、y轴的交点，再将其化为顶点式224()24bacbya xaa(0)a找到顶点坐标和对称轴，连接
26、已知点成一条光滑的曲线，从而得到二次函数的图像。一般我们采用第二种方法。3二次函数在闭区间上的取值及最值要要讨论闭区间在对称轴的左侧、右侧，包含对称轴三种情况。画出函数图像，数形结合。1、已知二次函数2( )23f xxx，1求 3, 2x时，( )f x的最值；2求 ,1xt t的最值。4、如果函数2( )f xxbxc对任意实数t都有(2)(2)ftft，比较(1)(2)(4)fff、的大小。5 、一元二次不等式的解法1、解不等式237100xx 2、解不等式22310xx2、2( )1f xmxmx的定义域为一切实数，求实数m的取值范围。3、2axbxc0 (0)a恒成立的条件_。4、2
27、axbxc0 (0)a恒成立的条件_。1、3、2 函数的奇偶性一、基本概念和性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习11 1、如果对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有 _，那么函数( )fx就叫做偶函数。2、如果对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有 _，那么函数( )fx就叫做奇函数。例 1：以下命题中，正确的选项是 A、4( )()f xx是偶函数B、2( )f xx是偶函数C、31( )1f xx是奇函数D、2( )3f xxk
28、x是非奇非偶函数例 2：已知函数22(1)(2)(712)ymxmxmm为偶函数，则_m。例 3：已知函数(1)()( )xxaf xx是奇函数，则_a。3、偶函数的图像关于_对称，奇函数的图像关于_对称。不管是奇函数还是偶函数，它们的定义域都关于_对称。例 1： 已知函数( )f x为偶函数， 其图像与x轴有四个交点， 则方程( )0f x的所有实根之和为_。例 2：已知函数2( )3f xaxbxab是偶函数，且其定义域为1, 2aa ，则A31a，b 0 B1a， b0 C1a，b0 D3a，b0 例 3: 如 图 是 y 偶 函 数 =f x 的 局 部 ， 根 据 所 给 信 息 ，
29、 以 下 结 论 正 确 的 选 项 是 A、( 1)(2)0ffB、( 1)(2)0ffC、( 1)(2)0ffD、( 1)(2)0ff4、奇函数在其定义域内，关于原点对称的两个区间上，单调性_，如果在0x处有定义，一定有(0)_f， 即图像过 _； 偶函数在其定义域内， 关于原点对称的两个区间上，单调性 _。例 1：假设奇函数( )fx在区间3,7上有最小值5，则( )fx在区间 7, 3上有 _ 5、常数函数( )f xcc为常数一定是_，既是奇函数又是偶函数的函数是_。任给一个函数可能是奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶中的一种。二、证明函数的奇偶性1具体函数的奇偶性证明步骤：判
30、断定义域是否关于原点对称；求出()fx的解析式；验证()fx与( )f x的关系；下结论。2判断抽象函数的奇偶性已知函数)(xf是定义在R 上的不恒为0 的函数，且对于任意的Rba,，都有)()()(abfbafabf1 、求)1 (),0(ff的值；2 、判断函数)(xf的奇偶性，并加以证明。三、构造奇偶函数求值：已知函数53( )8f xxaxbx，假设( 2)10f，(2)f=_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习12 四、利用函数的奇偶性求解析
31、式1、假设( )fx是定义在R上的 偶函数 ，当0x时，2( )(1)f xxx，求当0x时，函数( )f x的解析式。2、设( )f x是定义在R上的 奇函数 ，当0x时，( )|23|fxxx，求函数( )f x的解析式。3、判断函数2,0( )0,02,0xxf xxxx的奇偶性。五、利用函数的奇偶性消元1 、设函数( )yf x是奇函数，假设( 4)( 3)3(4)(3)3ffff，则(4)( 3)_ff。2、 已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且( 2)2 (1)2,(2)( 1)4fgfg， 则(1)g=_。3、已知)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且在公共定义域1
32、,|xRxx上有11)()(xxgxf，求)(xf的解析式 . 六、应用奇偶性证明函数的单调性1、已知( )fx为奇函数，它在区间 , a b上为增函数，证明( )f x在区间,ba上也为增函数。2、已知2( )1axbfxx是定义在( 1,1)上的奇函数，且12( )25f。1确定函数( )f x的解析式； 2用定义证明( )fx在( 1,1)上是增函数；3解不等式(1)( )0f tf t。七、奇偶性在单调性上的应用1、已知定义域为R的函数( )f x在(0,)上为减函数，且函数(8)yfx为偶函数，则A、(6)(7)ffB、(6)(9)ffC、(7)(9)ffD、(7)(10)ff2 、 假 设( )fx是 定 义 在 区 间 2,2上 的 奇 函 数 ， 当( )fx在 区 间 2,0上 单 调 递 减 ， 假 设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页盐边中学高一数学组锲而不舍，方能水滴石穿！必修 1 第一章复习13 (1)()0fmfm，求实数m的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
