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1、名师精编优秀资料大学物理上公式定律和定理1矢量叠加原理：任意一矢量A可看成其独立的分量iA的和。即：A=iA（把式中A换成r、V、a、F、E、B就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度和磁感应强度的叠加原理）。2牛顿定律：F=a（或F=dtpd）；牛顿第三定律：F=F；万有引力定律：rrMmGF?2动量定理：pI动量守恒：0p条件0外F1位置矢量：r，其在直角坐标系中：kzj yi xr；222zyxr角位置： 2速度：dtrdV平均速度：trV速率：dtdsV（VV）角速度：dtd角速度与速度的关系：V= 3加速度：dtVda或22dtrda平均加速度：tVa角加速度：dtd在自然坐标系中
2、naaan其中dtdVa（=），rVna2（=r2）4力：F=a（或F=dtpd）力矩：FrM（大小： M=rFcos 方向：右手螺旋法则）5动量：Vmp，角动量：VmrL（大小： L=rmvcos 方向：右手螺旋法则）6冲量：dtFI（=F）；功：rdFA（气体对外做功：A= PdV）7动能： mV2/2 8势能： A保= Ep不同相互作用力势能形式不同且零点选择不同其形式不同，在默认势能零点的情况下：机械能： E=EK+EP 9热量：CRTMQ其中：摩尔热容量C与过程有关，等容热容量Cv与等压热容量Cp之间的关系为：Cp= Cv+R 10压强：ntSISFP3211分子平均平动能：kT23
3、；理想气体内能：RTsrtME)2(212麦克斯韦速率分布函数：NdVdNVf)(（意义：在V 附近单位速度间隔内的分子数所占比率）mg(重力 ) mgh -kx （弹性力）kx2/2 F= rrMmG?2(万有引力 ) rMmG=Ep rrQq?420(静电力 ) rQq04精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页名师精编优秀资料13平均速率：RTNdNdVVVfVV80)(方均根速率：RTV22；最可几速率：RTpV314熵： S=Kln （ 为热力学几率，即：一种宏观态包含的微观态数）电场强度：E=F/q0 （对点
4、电荷：rrqE?420）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页名师精编优秀资料毕奥沙伐尔定律：2004rrlIdBd磁场叠加原理：LrrlIdB2004运动电荷的磁场：2004rrvqB磁场的高斯定理：0SSdB磁通量：SmSdB安培环路定理：Il dBL0载流直导线：120sinsin4 aIB圆电流轴线上任一点: 23222032022RxIRrIRB载流螺线管轴线上任一点: 120coscos2nIB安培力：BlIdf d, LBlIdf载流线圈在均匀磁场中所受的磁力矩：BPMm洛仑兹力：Bvqf磁力的功：IAI
5、dAI恒量21bIBRUHAA ，nqRH1法拉第电磁感应定律：dtdi动生电动势：ababl d)Bv(感生电动势，涡旋电场：SdtBl dELki精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页名师精编优秀资料自感：INL，dtdILL，221LIWm互感：212112INM，121221INM2112MMdtdIM21212，dtdIM12121磁场的能量：2212BBHm，VmmdVW麦克斯韦方程组的积分形式：iSqSdD (1) 0SSdB (2) SLSdtBldE (3) SLSd)tD(l dH (4) ED,
6、HB, E平面简谐波方程：)urt(cosHH)urt(cosEE00坡印廷矢量：HES相长干涉和相消干涉的条件：)k(k1223210,k减弱，相消干涉）加强，相长干涉）(2/) 12(kk, （21）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页名师精编优秀资料杨氏双缝干涉：（暗纹）（明纹）3 , 2, 12, 1 , 0)4/() 12()2/(kkaDkakDx薄膜反射的干涉：2/)12(2sin222122kkinne劈尖反射的干涉：21222/)k(kne空气劈尖 :lsin2, 玻璃劈尖 :nlsin2牛顿环：3
7、 ,2, 12/) 12(kRkr( 明环 ) , ,kkRr210( 暗环 ) 迈克尔逊干涉仪：Nd2单缝的夫琅和费衍射：)3 ,2, 1(2) 12()3, 2 , 1(22sinkkkka明暗条纹afl20，20lafl光栅公式：kbasin)(倾斜入射：,1 ,0)sin)(sin(kkba缺级公式：,k kabak21最小分辨角：D.min221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页名师精编优秀资料分辨率：min1R布喇格公式：3212,kksind布儒斯特定律：12210nnntgi马吕斯定律 :20cos
8、II洛仑兹变换：2222221111 xcu ttut xxxcut tutx xuu狭义相对论动力学：201mm201vmmvP2mcE，2mcE202cmmcEk20222EcPE斯特藩 - 玻尔兹曼定律 : 4T)T(EB4281067.5KmW唯恩位移定律: bTm, Km.b3108972普朗克公式 : 12),(52TkhcBehcTe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页名师精编优秀资料爱因斯坦方程：Amvh221红限频率：hA0康普顿散射公式：)cos1(cmhe光子：h，hP三条基本假设：定态，nhh
9、nL2，mnEEh两条基本公式：2220menhrnoAn2529.02220418nhmeEneVn26.13,3 ,2 ,1n粒子的能量：hmcE2粒子的动量：hmvP测不准关系hPxx1516电势：aardEU（对点电荷rqU04）；电势能：Wa=qUa(A= W) 17电容： C=Q/U ；电容器储能：W=CU2/2；电场能量密度e=0E2/2 18磁感应强度：大小，B=Fmax/qv(T) ；方向，小磁针指向（SN） 。定律和定理3矢量叠加原理：任意一矢量A可看成其独立的分量iA的和。 即：A=iA（把式中A换成r、V、a、F、E、B就分别成了位置、速度、加速度、力、电场强度和磁感应
10、强度的叠加原理）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页名师精编优秀资料4牛顿定律：F=a（或F=dtpd）；牛顿第三定律：F =F；万有引力定律：rrMmGF?25动量定理：pI动量守恒：0p条件0外F6角动量定理：dtLdM角动量守恒：0L条件0外M7动能原理：kEA（比较势能定义式：pEA保）8功能原理：A外+A非保内=E机械能守恒：E=0 条件 A外+A非保内=0 9理想气体状态方程：RTMPV或 P=nkT（n=N/V ， = /N0）10能量均分原理： 在平衡态下， 物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能
11、，其大小都为 kT/2。11热力学第一定律： E=Q+A 10 热力学第二定律：孤立系统： S0 （熵增加原理）11库仑定律：rrQqkF?2（k=1/40）12高斯定理：0qSdE（静电场是有源场）无穷大平板：E=/2013环路定理：0ldE（静电场无旋，因此是保守场）14毕奥沙伐尔定律：204?rrlIdBd直长载流导线：)cos(cos4210rIB无限长载流导线：rIB20载流圆圈：RIB20，圆弧：220RIB大学物理（上）复习一、质点力学基础：（一）基本概念：1、参照系，质点2、矢径：kzj yi xr?3、位移：kzzjyyixxkzj yi xrrr?12121212克劳修斯表
12、述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不产生其它影响。开尔文表述： 不可能从单一热源吸取热量，使之完全变为有用的功而不产生其它影响。实质：在孤立系统内部发生的过程，总是由热力学概率小的宏观状态向热力学概率大的状态进行。亦即在孤立系统内部所发生的过程总是沿着无序性增大的方向进行。2 I r P o R 1 I 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页名师精编优秀资料4、速度：kdtdzjdtdyidtdxkjidtrdtrzyxt?lim05、加速度：kdtdjdtdidtdkajaiadtrddtdtazyxzyxt?
13、lim2206、路程，速率7、轨迹方程：0),(zyxf8、运动方程：)(trr，或)(txx，)(tyy，)(tzz9、圆周运动的加速度：tnaaa；牛顿定律：amdtpdF；法向加速度：Ran2；切向加速度：dtdat10、角速度：dtd11、加速度：22dtddtd二、质点力学中的守恒定律：（一）基本概念：1、功：babadlFl dFAcos2、机械能：pkEEE3、动能：221mEk4、 势能：重力势能：mghEp；弹性势能：221kxEp；万有引力势能：rMmGEp5、动量：mp；6、冲量：tdtFI07、角动量：prL；8、力矩：FrM（二）基本定律和基本公式：1、动能定理：20
14、202121mmEEAkk外力（对质点）iiikikkkEEEEAA00内力外力（对质点系）2、功能原理表达式：)()(000pkpkEEEEEEAA非保守内力外力当0非保守内力外力AA时，系统的机械能守恒，即恒量iipikpkEEEE3、动量定理：pppdtFIt00（对质点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页名师精编优秀资料pppdtFIninitnii10101（对质点系）若体系所受的 合外力0F，此时体系的动量守恒，即：恒量iiimp4、碰撞定律：非弹性碰撞完全非弹性碰撞弹性碰撞,1001201012ee5
15、、角动量定理：prdtddtLdM（对质点）iiiiiFrdtLddtLdM外（对质点系）当质点或质点系所受的合外力矩 为零时，质点或质点系的角动量守恒，即：常矢量L三、转动的刚体：（一）基本概念：1、转动惯量：连续离散dmrmrIiii222、转动动能：221IEk3、力矩：FrM4、角动量：IL（对刚体）5、角冲量：tMdtMHt06、力矩的功：21dMA（二）基本定律和基本公式：1、平行轴公式：2mhIIC正交轴公式：yxzIII2 、 转 动 定 律 ：IM3 、 转 动 动 能 定 理 ：2022121IIdMA4、角动量定理：000IILdtMHtt5、 角动量守恒定律： 若刚体受
16、到的合外力矩0M， 则刚体的角动量守恒恒矢量IL四、机械振动：（一）简谐振动方程：1、简谐振动 动力学特征方程：xkF2、简谐振动 运动学特征方程：02xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 33 页名师精编优秀资料3、简谐振动的运动方程 ：)cos( tAx如果物体的运动规律满足上述三个方程中的任意一个，即可判定该物体的运动为简谐振动。（二）描述简谐振动的物理量：1、周期T，频率和角频率：T，和仅取决于振动系统本身的性质，因此称为固有周期、固有频率和固有角频率。它们之间关系为T22（1）对于弹簧振子，有mk，kmT22（
17、2）对于单摆，有lg，glT222、振幅A和初位相：A和除与系统性质 （）有关外，完全由初始条件00,x确定。（1）振幅A：2020xA（ 2）初位相：由00xtan，即可求得若物体初速0仅知方向而不知数值时，可以采用另一种解析法或旋转矢量法来确定初位相。（三）简谐振动的速度、加速度和能量：1、简谐振动的速度：2tAtAdtdxcossin注意，速度的位相比位移的位相超前2。2、简谐振动的加速度：tAtAtAdtxddtdacossincos222222注意，加速度的位相比速度的位相超前2，比位移的位相超前。3、简谐振动的能量：tAmmEk22222121sintkAxkEp2222121co
18、s2EEEpk2222121AmkAEEEpk（四）旋转矢量投影法：该法可以简洁、 直观地分析振动情况及振动的合成等问题，并能直接看出位相的超前或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页名师精编优秀资料落后，要求熟练掌握。（五）简谐振动的合成：1、同方向、同频率两简谐振动的合成：同方向、同频率两简谐振动的合成仍然是简谐振动，其角频率与原来分振动的角频率相同，其振幅和初位相分别为)cos(212212221AAAAA；22112211coscossinsinAAAAarctg当),(210212kk时，合振动的振幅21A
19、AA为最大；当),()(2101212kk时，合振动的振幅21AAA为最小， 当分振幅21AA，合振幅0A。*2、同方向、频率稍有差异的两简谐振动的合成：合振动为拍振动；振幅变化的频率称为拍频率，大小为21。*3、相互垂直、频率相同的两简谐振动的合成：合振动质点运动的轨迹通常为椭圆，特殊情况下为直线或圆。五、机械波：（一）机械波的产生与传播：1、条件：波源和媒质2、位相传播：波传播的是振动的位相，沿波的传播方向，各质点振动的位相依次落后。（二）波速、波长和周期：波速u：单位时间内，一定振动位相传播的距离，其值决定于媒质的性质。波长：波传播方向上位相差为2的两点间的距离，表示波的空间周期性。周期
20、T：波中各质点完成一次完全振动所需的时间。表示波的时间周期性。频率：单位时间内通过波线上某一点的“完整波”的数目。1T，Tu（三）平面简谐波：波源为简谐振动，媒质为均匀的、各向同性的、无限大整个空间1、波动方程（波函数） ：0uxtAtxycos),(2、能量密度：0222uxtAwsin； 3、平均能量密度：2221Aw4、平均能流密度（波强度）：uAuwI2221（四）惠更斯原理：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页名师精编优秀资料波所传播到的空间各点都可以看作是发射子波的波源，任一时刻这些子波的包络就是新的波
21、面。（五）波的干涉：波的叠加原理： 几列波在媒质中任一点相遇时，相遇点振动的位移等于各列波单独存在时该点振动位移的矢量和。波的相干条件：（减弱）（加强）,2,1,0) 12(,2,1,0,221212kkkkrr当21时，（减弱）（加强）,2,1,02)12(,2,1,0,12kkkkrr（六）驻波：两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。有波节和波腹，相邻两波节或波腹之间的距离为2。没有位相和能量的传播。（七）多普勒效应：当观察者和波源相向运动时，SSRRuu当观察者和波源相背运动时，上式R和S取负值。六、气体动理学理论：（一）基本概念：1、平衡态，准静态过程，理想气体
22、分子模型，统计假设2、气体分子的自由度：srti对于常温下的刚性分子：rti（单原子、双原子、多原子分子的i分别为 3，5， 6）3、三种特征速率（麦克斯韦速率分布下）最概然速率：RTRTmkTp414. 122平均速率：RTRTmkTdf60. 188)(0方均根速率：RTRTmkTdf732.133)(210224、平均碰撞频率：ndZ22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页名师精编优秀资料5、平均自由程：pdkTndZ22221（二）基本定律和基本公式：1、状态方程：理想气体：RTpV范德瓦尔斯气体（1mol
23、 ） ：RTbVVap020，要理解20Va和 b 的物理含义。2、理想气体的压强公式：Tknnnmpt323123、能量均分定理（刚性分子）：刚性多原子分子刚性双原子分子单原子分子kTkTkTkTiE26252324、理想气体的内能公式：RTiE25、麦克斯韦速率分布律（物理含义）：dekTmdfNdNkTm222342)(2其中，分布函数（物理含义）：222342)(2kTmekTmf归一化条件：1)(0df6、玻尔兹曼分布律：dzdydxendNkTEp0，kTEpenn0对于重力场：kTmghenn0，kTmghepp0*7、迁移过程基本公式：（1）内摩擦：SdyduFr，31（2）热
24、传导：SdydTKdtdQ，VVCCK31（3）扩散：SdydDdtdM，31D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页名师精编优秀资料七、热力学基础：（一）基本概念：1、内能E：状态量。气体),(VTEE，理想气体RTiTEE2)(。2、功A：过程量。气体准静态过程的膨胀压缩功为p d VdA，21VVpdVA规定系统对外做功0A，外界对系统做功0A。3、热量Q：过程量。规定系统吸收热量0Q，放出热量0Q。4、摩尔热容：dTdQC1，对于理想气体：（ 1 ） 定 容 摩 尔 热 容 ：RiCmV2,；（ 2 ） 定
25、压 摩 尔 热 容 ：RiRCCmVmp22)(,；（3）等温摩尔热容：mTC,；（4）绝热摩尔热容：0mQC,；（5）梅逸公式：RCCmVmp,；（6）比热容比：iiCCmVmp)(,2；5、准静态过程，可逆过程和不可逆过程。6、熵状态量。熵是系统无序度的量度，定义为lnkS，为系统某宏观态对应的微观状态数。（二）基本定律和基本公式：1、热力学第一定律：是热运动范围内的能量守恒定律。表达式为：dAdEdQ或AEQ2、热力学第二定律：具体表述很多，最著名的有开尔文表述和克劳修斯表述，这两种表述是等价的。热力学第二定律指明了自然界中一切实际的热力学宏观过程都是单向的、不可逆的。热力学第二定律的微
26、观意义：不可逆过程的实质是从一个概率较小的宏观状态向概率较大的宏观状态的转变过程。热力学第二定律的数学表达式：（1）熵增加原理（对孤立系统或绝热过程）：0dS， 或012SSS式中，不等号对应不可逆过程，等号对应可逆过程。（2）克劳修斯不等式：TdQdS，)()(2112TdQSSS式中，不等号对应不可逆过程，等号对应可逆过程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页名师精编优秀资料3、循环效率：1211QQQA式中，A为一循环过程中系统对外所做的净功；1Q为一循环过程中系统吸收热量的总和；2Q为一循环过程中系统放出热
27、量的总和（绝对值）。对于卡诺循环则有：121TT卡式中，1T和2T分别为高温热源和低温热源的温度。4、致冷系数：2122QQQAQw式中，A为一循环过程中外界对系统所做的功；2Q为一循环过程中系统从低温热源吸收的热量；1Q为一循环过程中系统向高温热源放出的热量。对于致冷卡诺循环则有：212TTTw卡5、卡诺定理：121TT卡6、理想气体各种准静态等值过程表：过程定容过程等压过程等温过程绝热过程多方过程特征常数V，0dV常数p，0dp常数T，0dT0Q常数n过程方程常数Tp常数TV常数pV31211CpTCTVCpV常数npVA0 TRVpA1212lnlnppRTVVRTA12211,VpVp
28、TCEAmV12211nVpVpAETRiTCmV2,TCmV ,0 TCmV ,TCmV ,Q同ETCmp,同 A0 AEC RiCmV2,RCCmVmp,mTC,0, mQC1,nRCCmVmniiCCmVmp2,iiCCmVmp2,iiCCmVmp2,iiCCmVmp2,热一律EQEAQAQEA0EAQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页名师精编优秀资料物理意 义图像八、真空中的静电场（一）基本概念及场的叠加原理：1、电场强度：0qFE；2、点电荷电场强度公式：0204rrqE3、电场强度叠加原理：（1）点电
29、荷系的场强：iiiiiirrqEE02041（2）电荷连续分布的任意带电体的场强：0204rrdqEd，02041rrdqEdE4、电荷q在电场中受力：EqF5、电势：aaaldEqWV0；6、电势差：babal dEVV7、电势叠加原理：（ 电 荷 作 连 续 分 布 ）（ 点 电 荷 系 ）rdqrqVViiii0041418、电荷q在电场中运动时电场力的功：baabVVqA9、电场强度与电势的关系：0ndndVEldEVaa微分关系积分关系10、电通量：SeSdE（二）基本规律、定理：b a c d pVb a c d pVd a c b pVd a c b pVb a c d pVb
30、a c d pVd a c b pVd a c b pV精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页名师精编优秀资料1、库仑定律：0221041rrqqF2、高斯定理：iSqSdE01，说明静电场是有源场。高斯定理的意义：（1）理论上，揭示了静电场是有源场的基本性质；（2）应用上，提供了另一种求E的简便方法。适用高斯定理求电场强度的：球对称，轴对称，面对称3、环路定理：0SldE，说明静电场是无旋场（保守力场）。说明：E环流为零，静电场力作功与路径无关，静电场是无旋场( 有势场 ) ，静电场线不闭合。（三）几种典型的静电场
31、公式：1、均匀带电球面：RrrrqRrE020402、均匀带电球体：RrrrqRrrRqrE020030443、无限长均匀带电圆柱面：RrrrRrE00204、无限长均匀带电直线：002rrE5、无限大均匀带电平面：02E，方向垂直于带电平面。九、静电场中的导体和电介质：（一）静电场中的导体：1、静电平衡条件：0内E，表面表面E，或：导体为等势体，表面为等势面。2、静电平衡时导体上的电荷分布：（1）电荷全部分布在导体表面，导体内部各处净电荷为零。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页名师精编优秀资料（2）表面上各处电
32、荷面密度与该处表面紧邻处的电场强度的大小成正比。3、静电屏蔽：（1）空腔导体能屏蔽外电场的作用。（2）接地的空腔导体隔离内、外电场的影响。（二）静电场中的电介质：1、极化的宏观效果：（1）处于电场中的电介质，因极化使电介质的表面（或内部）出现束缚电荷。（2）电极化强度P是量度电介质极化程度的物理量，其定义为：VPPi。对各向同性电介质：EPr10。（3）束缚电荷面密度：nP2、电位移D：（1）定义：PED0；（ 2）对于各向同性电介质：EEDr0。（三）有介质时的高斯定理：iiSqSdD自由（四）电介质的电容：1、定义：BAVVqC2、常见电容器的电容：（1）平行板电容器：dSC；（ 2）球形
33、电容器：ABBARRRRC4；（3）圆柱形电容器：ABRRlCln2；（4） 孤立导体：R，RC4（五）静电场的能量：1、电容器的能量：BABAeVVQVVCCQW21212222、电场的能量密度：DEEwe212123、电场的能量：VVVeeDEdVdVEdVwW21212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页名师精编优秀资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页名师精编优秀资料1）位置矢量：由坐标原点引向质点所在处的有向线段，通常用r表
34、示，简称位矢或矢径，在直角坐标系中zkyixir（11）在自然坐标系中)(srr（12）在平面极坐标系中0rrr（13）（2）位移：由超始位置指向终止位置的有向线段，就是位矢的增量，即12rrr（14）位移是矢量，只与始、末位置有关，与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。路程是质点在空间运动所经历的轨迹的长度，恒为正，用符号s表示。路程的大小与质点运动的轨迹开关有关，与质点在其往返的次数有关， 故在一般情况下：sr（15）但是在0t时，有dsdr（16）由于矢量的增量既有方向改变又有大小的改变，故应区分rr 与不同，drdr 与不同。（3）速度v与速率v：精选学习资料 - - - - -
35、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页名师精编优秀资料平均速度trv（17）平均速率tsv（18）因此，平均速度的大小tstrv（平均速率）质点在t时刻的瞬时速度dtdrv（19）质点在t时刻的速度dtdsv（110）由（16）式知vdtdsdtdrv（111）可见瞬时速度的模就是瞬时速率。在直角坐标系中kvjvivkdtdzjdtdyidtdxvzyx（112）式中dtdzvdtdyvdtdxvzyx,，分别称为速度在x轴，y轴，z轴的分量。在自然坐标系中0vv（113）式中0是轨道切线方向的单位矢。位矢r和速度v是描述质点机械运动的状态参量。（
36、4）加速度：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页名师精编优秀资料22dtrddtdva（114）加速度是描述质点速度变化率的物理量。在直角坐标系中kajaiakdtzdjdtydidtxdkdtdvjdtdvidtdvazyxzyx222222（115）式中22dtxddtdvaxx，22dtyddtdvayy，22dtzddtdvazz，分别称为加速度在x轴、y轴，z轴的分量。在自然坐标中nxaanvdtdva020（116）式中020,nvadtdvan， 是加速度a是轨道切线方向和法线方向的分量式。3、运动学
37、中的两类问题（以直线运动为例）（1）已知运动方程求质点的速度、 加速度，这类问题主要是利用求导数的方法，如已知质点的运动方程为)(txx则质点的位移、速度、加速度分别为2212;dtxddtdvadtdxvxxx（117）（2）已知质点加速度函数),(tvxaa以及初始条件，建立质点的运动方程，这类问题主要用积分方法。设初始条件为：0t时，00,xxvv若)(taa，则因dtdva精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页名师精编优秀资料所以dttadvtvv)(00即dttavvt)(00（118）dttvvvt)(0
38、0（119）若)(vaa，则因)(vadtdv，所以tvvdtvadv00)(（120）求出)(0vadvtvv，再解出)(tvv代入（ 117）式即可求出运动方程。若)(xaa，是因)(xadxdvva，有xxVVdxxavdv00)(（121）4、曲线运动中的两类典型抛体运动若以抛出点为原点，水平前进方向为x轴正向，向上方为y轴正向，则（1）运动方程为2021singttvytcos vx0（2）速度方程为gtvvvysincos00xv（3）在最高点时0yv，故达最高点的时间为gvtHsin0（122）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
39、 -第 24 页，共 33 页名师精编优秀资料所以射高为gvH22sin20（123）飞得总时间HtT2水平射程gvR2sin20（124）（4）轨道方程为220)cos(2tanxvgxy（125）圆周运动（1）描述圆周运动的两种方法：线量角量0dsdrd00dtdsvvdtd02022020nRvdtsdnRvdtdva22dtddtd（126）线量与角量的关系：RvRddr2,RaRan（127）（2）匀角加速（即=常数）圆周运动：可与匀加速直线运动类比，故有t020021tt)(20202（128）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
40、-第 25 页，共 33 页名师精编优秀资料（3）匀变速率（即xa常数）的曲线运动；以轨道为一维坐标轴，以弧长为坐标，亦可与匀加速直线运动类比而有tavvx020021tatvss)(20202ssavv（129）（4）匀速率圆周运动（即0a） ：它在直角坐标系中的运动方程为tRvtRxysincos（130）轨道方程为：22yxR（131）5、刚体定轴转动的描述（1）定轴转动的角量描述：刚体在定轴转动时，定义垂直于转轴的平面为转动平面，这时刚体上各质点均在各自的转动平面内作圆心在轴上的圆周运动。在刚体中任选一转动平面，以轴与转动平面的交点为坐标原点，过原点任引一条射线为极轴，则从原点引向考察
41、质点的位矢ir与极轴的夹角即为角位置，于是一样可引入角速度，角加速度，即本书对质点圆周运动的描述（126） ， （127） ， （128）式中在刚体的定轴转动中依然成立。（2）刚体定轴转动的运动学特点：角量描述的共性即所有质点都有相同的角位移、角速度、角加速度；线量描述的是个性即各质点的线位移、线速度、线加速度与质点到轴的距离成正比。6、相对运动的概念（1）我们只讨论两个参考系的相对运动是平动而没有转动的情况，设相对于观察者静止的参考系为S，相对于 S 系作平动的参考系为S，则运动物体 A相对于 S 系和S系的位矢、速度、加速度变换关系分别为：精选学习资料 - - - - - - - - -
42、名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页名师精编优秀资料SSSAASSSSAASSSSAASaaarvvrrr（132）（2）上述变换关系只在低速（即cv）运动条件下成立，如果S系相对于 S 系有转动，则（ 132）式中的速度变换关系亦成立，而加速度变换关系不成立。二、重点、难点分析1、关于矢量性（ 1 ） 注 意 区 分 矢 量A的 增 量 的 模12AAA和 模 的 增 量12AAA在运动学中要区分：1212rrrrrr位矢的模的增量位矢的增量的模1212vvvvvv速度模的增量速度增量的模上述关系可用图 11 表示图中12AAA，表 示 矢 量的 增量 ，故 矢
43、量增 量 的 模当 然表 示 为12AAA，而1222AAOcAAA，表示矢量 A 的模的增量由此可知：.,;|小它是速度径向分量的大表示位矢的模的变化率表示速度的大小rvdtdrvdtdrdtdrdtdr.;|表示切向加速度的大小表示加速度的大小adtdvadtdvdtdvdtdv（2）切忌将矢量与其模连等：例如下面的等式mjir47.424就精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页名师精编优秀资料是一种错误的书写方式。（2） 用矢量方法来描述物理规律， 其优越性在于： a.具有鲜明的物理意义；b.简洁的数学形式及对
44、于各种坐标系保持不变的形式。具体运算时，常将各矢量写成坐标分量式，如一个作平面曲线运动的质点，其加速度a 可分别表示为：020002222nvdtdvnaadtdvajdtydidtxdjaiadtdvayxyx即如图 12 2、关于瞬时性在中学读者所遇到的物理量都是恒量，如匀加速（即a=常量） ，恒力作用（即 F=常量） ，但在大学物理中我们接触到的基本上是变量，如a=a(t)，F=F（t）等。因此，必须应用微积分的知识。在运动学中，从运动方程求速度、加速度主要是求导的方法；从速度、加速度和初始条件求运动方程主要是用积分的方法，当被积函数的变量与积分元的变量不一致时，要通过恒等变换使得两者一
45、致。例如，一质点的加速度a=35x，求其速度表示式。显然，若只是简单地写成下式：dtxdvxdtdva)53(53是不能完成题目所求的。 因为等式右边被积函数（ 35x）是 x 的函数，而积分变量是 t，为完成这个积分，须进行下面的恒等变换：因为vdxdvdtdxdxdvdtdva所以dxxvdv)53(若设初始条件为0, 000vx，则有xvdxxvdv00)53(积分解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页名师精编优秀资料256xxv作定轴转动的刚体同样存在两类问题，即已知刚体定轴转动的运动方程求角速度、角加速
46、度； 已知刚体定轴转动的角加速度的函数及初始条件，求运动方程。对这些知识、能力的要求与质点在直线运动中的要求相同，此处不再重复。3、关于相对性式（132）描述的是同一个运动在两个平动参考系中的运动学量之间的转换关系。正确运用（132）式的关键是明确每个运动学量与观察者之间的关系，即要区分“牵连”、 “相对” 、 “绝对”等物理量。例如：SSr为牵连位矢，ASr为相对位矢，ASr为绝对位矢。遵从（ 132）式适用的条件和范围是正确运用的另一个关键。4、自然坐标系大家不太熟悉，因而是难点之一，这里的关键是记住下面一组公式并能熟练应用Rvvadtsddtdvadtdsvn2222例如一质点沿半径为R
47、 的圆周按规律221ctbts运动， b，c 均为常数，且Rcb，则其切向加速度和法向另速度相等所经历的最小时间是多少？解：由于cdtsdactbdtdsv22,RctbRvan22)(故当naa时，|)(2cRctb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33 页名师精编优秀资料cRcbtmin解题示例例 11 质点作平面曲线运动，已知mtytmx21,3，求： （1）质点运动的轨道方程； （2）st3地的位矢； （3） 第 2s内的位移和平均速度； （4）st2时的速度和加速度；（5）时刻 t 的切向加速度和法向加速度：
48、（6）st2时质点所在处轨道的曲率半径。解： （1）由运动方程消去 t，得轨道方程为：912xy（ 2 ）st3时 的 位 矢jijyixr89)3()3()33(， 大 小 为mr126481|)3(|， 方向由)3( r与x轴的夹角3841)3()3(arctanxya表示。（3）第 2s内的位移为jijyyixxr33)1 ()2()1()2(，大小mr2399|，方向与与x轴成45arctanxya，平均速度v的大小不能用v表示，但它的yx,分量可表示为tyvtxvyx,。（4）由,23当时tjijdtdyidtdxv,43)2(jiv大小853)34arctan(,5169)2(1a
49、smv方向为。jdtdva2即a为恒矢量，.,21轴负方向沿ysmaay精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页名师精编优秀资料（5）由质点在t时刻的速度22249tvvvyx，得切向加速度2494ttdtdva，法向加速度222496taaan。注意：|dtdvdtdv，因为dtdv表示速度大小随时间的变化率，而|dtdv表示速度对时间变化率的模， 切向加速度a是质点的（总） 加速度a的一部分，即切向分量，其物理意义是描述速度大小的变化；法向加速度na则描述速度方向的变化。（6）由stvan2,2时所求的曲率半径为m
50、avn8.202.125)2(|)2(|2例 12 一质点沿x轴作直线运动，其加速度为stta2,6时，质点以112smv的速度通过坐标原点，求该点的运动方程。解121136ctct d tcadtv因为 t=2 时, v=12，故 c1=0 又23222)3(ctcdttcvdtx因为 t=2 时, 0x，故 c2=8，故mtx83例 13 例 13 图所示，一轻弹簧B 的右端固定，左端与小球A 连接，自然放置在光滑水平面上， 因受到来自左方的突然打击， 使小球获得水平向右的初速度 v0，此后小球的加速度与它离开初始位置O 的位移的关系为,xa为正常数，求（ 1）小球速度与位移x 的函数关系
51、：（2）小球的运动方程。解本题未明确给出初始条件，但初始条件可任意给定，现取小球的在初始位置的时刻为零时刻， O 为坐标原点，则初始条件为：.)0(, 0)0(,00vvxt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页名师精编优秀资料（ 1 ） 由,xd xv d vdxvdvdtdxdxdvdtdvxa即有两 边 积 分xvvx d xv d v00，得,21222202xvv即220xvv（2）由dtxvdxdtdxv220,有两边积分xtdtxvdx00220利用积分公式tvxtvxaxxadx0022arcsin,
52、arcsin1,arcsin得，运动方程为tvxsin0，即小球在 O 点附近作简谐振动。例 14 质点沿半径为 R 的圆周运动，运动方程为bbt ,73为正常数。求：（1）切向加速度和法向加速度； （2）加速度a； （3）?t时加速度a与半径成 45角； （4）naa时质点转了多少圈？解由23RbtdtdRdtdsv得（1）4229,6tRbRvaRbtdtdvan；（2）6222943tbRbaaan，a与切向的夹角);23arctan(arctan3btaaan（3）令3/ 1)32(|,|btaan得；（ 4 ） 在 运 动 方 程37bt中 ， 令,319,323得bt故 转 过 的
53、 圈 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页名师精编优秀资料revN16192，例 15 火车停止时窗上雨痕向前倾斜0角，火车以速率1v前进时窗上雨痕向后倾斜1，火车加快以另一速率2v前进时窗上雨痕向后倾斜2角，求1v与2v的比值。解设雨对速度为0v，则当车以1v前进时，)(10101vvvvv雨车，当车以2v前进时，)(20202vvvvv雨车， 根据以上两式可作出例15 图， 若以竖直向下为x轴正向，火车前进方向为y轴正向，则有(2)sinsin(1)coscos111001100雨车雨车vvvvv(4)sinsin(3)coscos222002200雨车雨车vvvvv联立上面四式，消除雨车雨车210,vvv得201021tancot1tancot1vv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页
