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1、名师总结优秀知识点大一(上)微积分 知识点第一章 函数一、AB= , 则 A、B是分离的。二、设有集合A、B,属于 A而不属于 B 的所有元素构成的集合,称为 A与 B的差。 A-B=x|xA且 x B(属于前者,不属于后者)三、集合运算律:交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致;摩根律:交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积:设有集合A和 B,对x A,y B,所有二元有序数组(x,y )构成的集合。五、相同函数的要求:定义域相同对应法则相同六、求反函数:反解互换七、关于函数的奇偶性,要注意:1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的,若函数的定义域关于原点不对称, 则函数无奇偶性可言
2、, 那么函数既不是奇函数也不是偶函数;2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义:若对所有的)( fDx,)()(xfxf成立,则)(xf为偶函数;若对所有的)( fDx,)()(xfxf成立,则)(xf为奇函数;若)()(xfxf或)()(xfxf不能对所有的)( fDx成立,则)(xf既不是奇函数也不是偶函数;3、奇偶函数的运算性质:两偶函数之和是偶函数;两奇函数之和是奇函数;一奇一偶函数之和是非奇非偶函数(两函数均不恒等于零) ;两奇(或两偶)函数之积是偶函数;一奇一偶函数之积是奇函数。第二章 极限与连续一、一个数列有极限, 就称这个数列是收敛的, 否则就称它是发散的。二、极限存在定理
3、:左、右极限都存在,且相等。三、无穷小量的几个性质:1、limf(x)=0,则2、若limf(x)=)(limxg=0,则0)()(limxgxf3、若limf(x)=)(limxg=0,则lim)(xf)(xg0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页名师总结优秀知识点4、若 g(x) 有界(|g(x)| M ) ,且limf(x)=0,则limf(x)g(x)=0 四、无穷小量与无穷大量的关系:若 y 是无穷大量,则y1是无穷小量;若 y(y0)是无穷小量,则y1是无穷大量。五、无穷小量的阶数比较(假设0)(lim)(
4、limxgxf) :若0)()(limxgxf称 f(x) 是较 g(x) 高阶的无穷小量;若)()(limxgxf称 f(x) 是较 g(x) 低阶的无穷小量;若)0(g(x)f(x)limCC称 f(x) 是较 g(x) 同阶的无穷小量;若1)()(limxgxf称 f(x) 是较 g(x) 等价的无穷小量,记为)()(xgxf。六、极限的运算法则:lim)(yx=yxlimlimxlimy=xlimylimClimy=yC limnxlim=)(lim xnxnlim1=)(lim1xnyxyxlimlimlim0lim y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
5、- - - - - - -第 2 页,共 6 页名师总结优秀知识点七、求极限的几种技巧:当极限过程是x时,除以最高次项;当带有根号时,进行有理化;当遇到分式的加、减运算时,进行通分;当极限过程是x时,分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时,结果为 0; 分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时,结果为;分子、分母最高次项的指数相等时,结果为最高次项的系数比。八、两个重要极限:)0( 1sinlimxxx)0(1tanlimxxx)()11lim(xexx)0()1lim(1xexx九、等价无穷小量(乘积的时候才可以换):)0(sinxxx)0(tanxxx)0(arcsinxxx)0(a
6、rctanxxx)0(2cos12xxx)0(11xnxxn)0()1ln(xxx)0(1xxex十、证明在某一点ox处连续:需证明)()(limooxxxfxf十一、出现函数的间断点的情况:在点ox处)(xf没有定义;)(limoxxxf不存在;虽然)(oxf有定义,且)(limoxxxf存在,但)()(limooxfxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页名师总结优秀知识点十二、间断点分类:1、第一类间断点:如果函数)(xf在点oxx处的左、右极限都存在,但不全等于)oxf(,就称点oxx为)(xf的第一类间断
7、点。可去间断点(属于第一类间断点) :函数间断点的左、右极限存在并相等,只是不等于该点的函数值, 那么我们可以重新定义函数在间断点的值,使得所形成的函数,在该点连续。跳跃间断点(属于第一类间断点) :函数间断点的左、右极限存在但不相等。2、第二类间断点: 如果函数)(xf在点oxx处的左、右极限至少有一个不存在,就称点oxx为)(xf的第二类间断点。无穷间断点(属于第二类间断点) :只要左右极限有一个为。振荡间断点十三、介值定理:如果函数)(xf在闭区间ba,上连续,m和 M分别为)(xf在ba,上的最小值和最大值, 则对介于 m与 M之间的任一实数 c(即Mcm) ,至少存在一点ba,,使得
8、Cf。推论:如果函数)(xf在闭区间ba,上连续,且af与bf异号,则至少存在一点ba,,使得0f。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页名师总结优秀知识点第三章 导数与微分1、xy在0x处不可导(1xy就在1x处不可导 ) 第五章不定积分一、基本积分公式表:1、为常数)(CCdx02、)1(11aCaxdxxaa3、Cxdxxln14、)1,0(ln1aaCaadxaxx5、Cedxexx6、Cxxdxcossin7、Cxxdxsincos8、Cxdxxcotcsc29、Cxxdxtansec210、Cxxdxarcs
9、in1211、Cxxdxarctan1212、Cxxdxcoslntan13、Cxxdxsinlncot14、Cxxxdxtanseclnsec15、Cxxxdxcotcsclncsc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页名师总结优秀知识点16、)0(arctan122aCaxaxadx17、)0(ln2122aCxaxaaxadx18、)0(arcsin22aCaxxadx19、)0(ln2222aCaxxaxdx20、)0(2arcsin222222aCxaxaxadxxa二、一般地,如被积函数含有nbax,令nbax=t ,可以消去根号,如被积函数含有nx,mx,令kx=t,k 为 m与 n 的最小公倍数,可同时消去两个根号。三、三角代换:被积函数含有22xa,可作代换taxsin或taxcos被积函数含有22xa,可作代换taxtan或taxcot被积函数含有22a-x,可作代换taxsec或taxcsc化被积函数为新变量t 的三角函数的积分, 积分后将新变量 t 还原为原积分变量 x 时, 可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量 t 的三角函数还原为原积分变量的关系式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页