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1、名师精编优秀教案与圆有关的位置关系重点、难点:1. 重点:(1)点与圆、直线与圆位置关系的判断。(2)三角形外接圆的性质。(3)切线的识别及切线性质的应用。(4)切线长定理。( 5)三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。(6)两圆相交、相切的性质和判定。(7)圆和圆的位置关系。2. 难点:(1)直线与圆相切的性质和判定。(2)切线的判定方法:切线的性质。( 3)要充分发挥基本图形在证、解题中的作用,正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。两圆相交,可作公共弦。两圆相切,可作公切线。有半圆,可作整圆;有直径,可作
2、直径所对的圆周角。圆与圆要心连心,即作连心线。【知识纵览】1. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况,这三种情况,与点到圆心的距离( d) 、圆的半径( r)之间有着紧密的联系。也就是说:点与圆的位置关系,不仅可以用图形来表现,还可以由数量关系来表示,其对应关系可简明地表示如下:图形(点与圆)的位置关系数量( d 与 r)的大小关系点在圆内d r 点在圆上d r 点在圆外d r 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定设 r 为圆的半径, d 为圆心到直线的距离,直线与圆的位置关系如下表:位置关系相离相切相交图形精选学习资料 - - - - - - - - -
3、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页名师精编优秀教案公共点个数0 1 2 数量关系dr dr dr 3. 三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心(三角形外接圆的圆心)三角 形三边垂直平分线的交点OA OBOC;外心不一定在三角形的内部内心(三角形内切圆的圆心)三角 形三个内角的平分线的交点 OD OE OF; OA、OB、OC 分别平分 BAC 、ABC 、 ACB 4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R 和 r,圆心距(圆心间的距离)为d。位置关系图形公共点个数R、r 与 d 的关系外离0 dRr外切1 dRr相交2 RrdRr内切1
4、 dRr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页名师精编优秀教案内含0 dRr上表中,两圆内含时,如果d0,则两圆同心,这是内含的一种特殊情况。【典型例题】例 1. O 的半径为2.5,动点 P到定点 O 的距离为2,动点 Q 到 P 点距离为 1。问:P 点、Q 点和 O 是什么位置关系?为什么?解: PO22.5 P 点在 O 内部Q 点和 O 点的距离较复杂,如下图,需分类讨论。当 Q 点在 OP 延长线上时,则Q 点和 O 点距离最大,最大距离为213。当 Q 点在 OP 上时,则Q 点和 O 点距离最小,最小距
5、离为211。当 Q 点处在Q1点和Q2点时,则QO2 5 .,如上图所示。综上所述, Q 点既可能在 O 上,也可能在O 外,或在 O 内。例 2. 在平面直角坐标系xOy 中,当以点O(4,3)为圆心的圆分别满足下列条件时,求其半径 r 的取值范围。(1)与坐标轴有惟一交点。(2)与坐标轴有两个交点。(3)与坐标轴有三个交点。(4)与坐标轴有四个交点。解: 如下图,由题意,圆心O到 x 轴的距离dx3,到 y 轴的距离dy4。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页名师精编优秀教案(1) O与坐标轴有惟一公共点只可能与
6、x 轴有惟一公共点rdx3(2)由条件知,O与 x 轴相交,但与y 轴无公共点34r(3) O与坐标轴有三个交点 O与 x 轴必相交且与y 轴必有公共点若 O与 y 轴有惟一公共点,则r4 若 O与 y 轴有两个公共点,则其中一个公共点必为原点,故r5。所求 r 的值为 r4 或 r5 (4) O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交,且不过原点 r4 且 r5 例 3. 如图所示,已知:AB 是 O 的直径, BC 是 O 的切线,切点为B。OC 平行于弦AD ,试说明: DC 是 O 的切线。解: 连结 OD 因为 OA OD,所以 1 2 又因为 AD OC,所以 1 3, 2 4 因此
7、 3 4 而 OB OD,OC 公共,于是将OBC 沿 OC 翻折可与 ODC 重合所以 ODC OBC 又 BC 是 O 的切线,所以OBC 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页名师精编优秀教案从而 ODC90, OD DC,故 DC 是 O 的切线例 4. 如图所示,已知AB、AC 分别是 O 的直径和弦, D 为劣弧AC上一点, DEAB于点 H,交 O 于 E,交 AC 于点 F,P 为 ED 延长线上一点。(1)当 PCF 满足什么条件时,PC 与 O 相切,请说明理由;(2)当点 D 在劣弧AC上的什
8、么位置时,才能使ADDEDF2。精析与解答: (1)如图所示,当PCF 为等腰三角形,PC PF时, PC 与 O 相切连结 OC,当 PCPF 时, PCF PFC DEAB , 1 AFH 90 1 PFC90,即 1 PCF90又 OAOC, 1 2 2 PCF 90,即 PC 与 O 相切于点C (2)当 D 为劣弧AC中点时,ADDEDF2连结 AE, D 为AC中点, 3 4 又 ADF EDA , ADF EDA ADEDDFDA,即ADDEDF2例 5. 如下图, AB 是半圆 O 的直径, C 为半圆上一点,CD 切 O 于点 C,AD CD 于点 D, C 以 CD 为半径
9、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页名师精编优秀教案求证: AB 是 C 的切线。分析: 要证 AB 是 C 的切线,就是要证点C 到 AB 的距离 CECD。即要证 ACD 和ACE 全等。证明: 过点 C 作 CE AB 于点 E,连结 AC 、BC 、OC CD 是 O 的切线, AB 是 O 的直径CDOC,AC BC , ,ACDACOACOOCBACDOCBOCBBBBACACEBACACDBACE90909090在 ACD 和 ACE 中,CDACEAACDACEACAC90 ACD ACE CECD
10、 AB 是 C 的切线例 6. 如下图,设 I 与 ABC 的三边 AB、BC、AC 分别相切于点F、D、E,连结 BI、CI、ED、FD。若 A60,则 BIC_, EDF_。分析: 本题所求的两个角分别是I 的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足,所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。解: 连结 IE、IF I 是 ABC 的内切圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页名师精编优秀教案,IBCABCICBACBBICIBCICB1212180180121218012180121801
11、8012120120()()()ABCACBABCACBA I 分别切 AB、AC 于 F、E IF AB,IEAC AFI AEI 180 A EIF 180EIFAEDFEIF180180601201260例 7. 如图所示, O 半径为 R,CD 为 O 直径,以D 为圆心。 r 为半径的圆与O 相交于 A、B,BD 的延长线交D 于 E 点。求证:rRAE2证明: 本题中的 O 经过 D 的圆心,是一种特殊相交,则连接AD 。可知 AD 即为 O的弦,又为 D 的半径,两圆相交可作公共弦,连接AB,对 R、 r 进行选择,然后用三点定形找到共边型的相似三角形。连结 AD 、AB、OA
12、、AC ,AODCADEB22又 C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页名师精编优秀教案 AOD ADE AOD 与 ADE 都是等腰三角形且顶角相等它们的底角也相等,即ADO DAE AOD ADE ADAEAOAD(相似三角形对应边成比例)ADAOAE2即rRAE2例 8. 已知:如图所示,在直角梯形ABCD 中, AD BC, B90, AB8cm,AD 24cm,BC26cm,AB 为 O 的直径,动点P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动,动点Q 从点 C 开始沿 CB 边
13、向点 B 以 3cm/s 速度运动。 P、Q 分别从点A、C 同时出发,当其中一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t 秒,求:(1)t 分别为何值时,四边形PQCD 为平行四边形?等腰梯形?(2)当 t 分别为何值时,直线PQ 与 O 相切?相交?相离?精析与解答: (1)四边形PQCD 为平行四边形时,只要PDCQ 即可;四边形PQCD为等腰梯形时,则要PQCD,PD QC 当 QC PD 时,有324tt,解得 t6 当 t6s 时,四边形PQCD 为平行四边形过 P、D 分别作 BC 的垂线交BC 于 E、F(如图甲所示) ,则由等腰梯形的性质可知EFPD,QE FC2,QC
14、 PD4 3244tt,解得 t7 当 t7 时得四边形PQCD 为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页名师精编优秀教案甲(2)讨论动直线PQ 与 O 的位置关系,关键是要抓住直线PQ 与 O 相切时的情况计算出 t 的值,加以分析推理可以得出PQ 与 O 相交、相离时t 的值。设运动 t s 时,直线PQ 与 O 相切于点G,过 P 作 PHBC,垂足为H(如图乙所示)乙PHAB ,BHAP 即 PH8,HQ264t 由切线长定理,得:PQAPBQttt263262由勾股定理,得:PQPHHQ222即262
15、8264222tt得3261602tt,解得tt12238, t0 时,PQ 与 O 相交,当ts823时, Q 点运动到 B 点, P 点尚未运动到点D,但也停止运动,此时PQ 直线与 O 相交t23或 8s 时,直线PQ 与 O 相切;当023t或8823t时,直线PQ 与 O 相交;当238t时,直线PQ 与 O 相离。例 9. 如图甲所示,施工工地的水平面上,有三根外径都是1 米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是多少?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页名师精编优秀教案甲精析与解答:如图乙所示
16、,连结O OO O1312,乙设O1与O2外切于点A,则O AO O312在Rt O AO13中,O OO A131112,O AO OO A31321232最高点 C 到水平面的距离CBO AAB32321例 10. 如图所示,两等圆O1和O2相交于 A、B 两点,且两圆互过圆心,过B 作任一直线,分别交O1、O2于 C、D 两点,连结AC 、AD 。(1)试猜想 ACD 的形状,并给出说明。( 2)若已知条件中两圆不一定互相过圆心,试猜想三角形的形状是怎样的?说明你的结论成立的理由。(3)若O1,O2是两个不相等的圆,半径分别为R 和 r。那么( 2)中的猜想还成精选学习资料 - - -
17、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页名师精编优秀教案立吗?若成立,说明理由;若不成立,那么AC 和 AD 的长与两圆半径有什么关系?说明理由。精析与解答: (1) ACD 为等边三角形理由:因为两圆是等圆,且互相过圆心,连结AOAOBOBOO O121212、则AOAOBOBOO O121212所以AO BAO B12120所以 ADB ACB 60所以 ACD 为等边三角形(2) ACD 为等腰三角形理由:因为两圆是等圆,连结AOAOBOBO1212、则AOAOBOBO1212所以AO BAO B12所以 ADB ACB 所以 ACD 为
18、等腰三角形(3)不成立,此时ACADRr如图所示, 分别作O1、O2的直径 AE 和 AF 分别交两圆于E、F 点,连结 CE、DF、AB ,则 ACE ADF 90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页名师精编优秀教案,ABDABCABCAECABDAECABDAFDAECAFD180180 ACE ADF ACADAEAFRrRr22【模拟试题】(答题时间: 80 分钟)一. 选择题(每小题4 分,共 24 分)1. 下列语句不正确的是()A. 过一点可以作无数个圆B. 过两点可以作一个圆C. 过任意三点都可以作
19、一个圆D. 过任意四个点不一定能作圆2. O 的直径是8cm, 直径l和 O 相交,圆心 O 到直线l的距离是d, 则 d 应满足()A. dcm8B. 48cmdcmC. 04cmdcmD. dcm03. 如图所示, P 是 O 外一点,自P 点向 O 引切线 PA,PB,切点为A,B,CD 切 O于 E,交 PA,PB 于 C,D,若 PA20,则 PCD 的周长为()A. 20 B. 30 C. 3012D. 40 4. 设 ABC 的内切圆的半径为2, ABC 的周长为 4,则 ABC 的面积为()A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 两圆半径分别为5 和 3,d 为圆心距,当
20、28d时,两圆的位置关系是()A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交6. 如图所示, AB ,AC 与 O 相切于点B,C, A50,点 P 是圆上异于B,C 的一动点,则 BPC 的度数是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页名师精编优秀教案A. 65B. 115C. 65或 115D. 130和 50二. 填空题(每小题2 分,共 12 分)7. 如图所示, AB是 O 的直径, AB AC ,AC 是 O 的切线, A 是切点,则B_。8. 如图所示, PA,PB 是 O 的切线, A,B 为切点, AC
21、 是 O 的直径, P30,则CAB _。9. ABC 的内切圆 O 与 AC ,AB, BC 分别相切于点D,E,F,且 AB 4,BC8,AC 6,则 AE _,BF_,CD _。10. 如图所示,已知O 是 ABC 的内切圆,与AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F,B50, C40,则 DOF_, DEF _。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页名师精编优秀教案11. O 的半径为3cm,若 O与 O 外切时,圆心距为10cm,则 O与 O 内切时,圆心距为 _cm。12. 如图所示,已知Rt ABC 中
22、, C 90,ACBC21,若以 C 为圆心, CB为半径的圆交AB 于 P,则 AP_。三. 综合题(每小题6 分,共 24 分)13. 如图所示, AB 是 O 的直径, 点 D 在 AB 的延长线上, 且 DB BO,过点 A 作弦 AC,使 CAB 30,连结DC, DC 是 O 的切线吗?为什么?14. 如图所示, AC 为 O 的直径, PA,PB 是 O 的切线, OP 交 AB 于点 E,交AB于点F, CAB 30, AC 8cm。求:(1) APB 的度数;(2)OP 的长;(3)PE 的长;(4) ABP 的面积。15. 如图所示,O 为 ABC 的内切圆,连结OB,OC
23、。(1)当 B80, C30时,求 BOC;(2)当 A70时,求 BOC ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页名师精编优秀教案(3)当 A时,求 BOC 。16. 如图所示, AB 是 O 的直径, BE 是 O 的切线,切点为B,点 C 为射线 BE 上一动点(点 C 与点 B 不重合),且弦 AD 平行于 OC。(1)求证 CD 是 O 的切线;(2) 设 O 的半径为r, 试问:当动点 C 在射线 BE 上运动到什么位置时, 有ADr2?证明你的结论。四. 开放与交流(共10 分)17. 如图所示,在直角
24、坐标系内,以点M(2, 0)为圆心, 3 为半径作 M。(1)分别画出当kb41,;当kb22,;当kb315,.时的图形,并判断直线ykxb与 M 的位置关系;(2)试判断直线与M 相交和 k,b 的取值是否有关,请说明理由,得出结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页名师精编优秀教案五. 思考与探究(每小题6 分,共 12 分)18. 如图所示, AB 是半圆 O 的直径, 点 M 是半径 OA 的中点,点 P 在线段 AM 上运动(不与点 M 重合),点 Q 在半圆O 上运动,且总保持PQPO,过点 Q 作
25、半圆O 的切线交BA的延长线于点C。(1) QPA60时,请你对QCP 的形状作出猜想,并给予证明;(2)当 QPAB 时, QCP 的形状是 _三角形;(3)由( 1) , (2)得出的结论,请进一步猜想当点P 在线段 AM 上运动到任何位置时,QCP 一定是 _三角形。19. 如下图( 1)所示,以点O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线,点P为切点。(1)判断 AP 与 BP 的关系,并说明理由;(2)当弦 AB 向上平移分别与小圆交于点C,D 时,如下图( 2)所示,判断AC 与 BD的关系,并说明理由。六. 回顾与预测(第2023 小题各 3 分,第 24 小题 6 分
26、,共 18 分)20. (2003南京)阅读下面材料,然后回答问题。对于平面图形A,如果存在一个圆,使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A 被这个圆所覆盖。对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆,使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径,则称图形A 被这些圆所覆盖。例如:如下图所示,图(1)中的三角形被一个圆所覆盖,图(2)中的四边形被两个圆所覆盖。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页名师精编优秀教案(1)边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖
27、,r 的最小值是 _cm;(2) 边长为 1 cm 的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖, r 的最小值是 _ cm;(3)长为 2cm,宽为 1cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖, r 的最小值是 _ cm,这两个圆的圆心距是_ cm。21. (2004重庆)某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上,向内放入两个半径为5 cm 的钢球,测得上面的一个钢球顶部高DC16 cm(钢管轴截面如下图所示),则钢管的内直径AD 长为 _ cm。22. (2004兰州)如下图所示,圆A 的半径为 r,圆 O 的半径为 4r,圆 A 从圆上所示位置出发绕圆O 作无滑动的滚动,要使圆A
28、 的圆心返回到原来的位置,圆A 滚动的圈数是_。23. (2004海口)如下图所示,已知AOB 30, M 为 OB 边上一点,以M 为圆心,2 cm 为半径作 M,若点 M 在 OB 边上运动, 则当 OM_ cm 时,M 与 A 相切。24. (2004南京)如下图(1)所示,在矩形ABCD 中, AB 20 cm,BC4 cm,点 P从 A 开始沿折线A BCD 以 4 cm/s 的速度移动,点Q 从 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动,如果P,Q 分别从 A,C 同时出发,当其中一点到达D 时,另一点也随之停止运动。设运动时间为t(s) 。(1)t 为何值时,四边形APQ
29、D 为矩形?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页名师精编优秀教案(2)如下图( 2)所示,如果 P 和 Q 的半径都是2 cm,那么 t 为何值时, P 和 O外切?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页名师精编优秀教案【试题答案】1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. 458. 159. 1;3;5 10. 90; 4511. 4 12. 3313. 解: DC 是 O 的切线。理由是:如下图所示,连结CO C
30、AB 30, COAO ACO30, COD60COBO, BCOB DB BO, DB OB BC COD 为直角三角形,OCD 90DC 是 O 的切线14. (1) APB 60(2)OP8 cm (3)PE6 cm (4)ScmABP123215. (1)125; (2)125; (3)BOC901216. (1)提示: 如下图所示,欲证CD 是 O 的切线。由于CD 与 O 的公共点是D,故只要连结OD,再证 ODDC 即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页名师精编优秀教案(2)解: 如上图所示,当B
31、Cr时,有ADr2这是因为: BC 是 O 的切线,OBC90又,BCrOB345AD OC, A 345又 OAOD, 1 A45 AOD 90ADOAODrrr2222217. 提示:(1)图略。相交;相交;相交。(2)略18. (1)解: QCP 是等边三角形。证明过程如下:连结 OQ,则 CQOQ PQPO, QPC60 POQ PQO30CCQPCQPC90306060 QPC 是等边三角形(2)等腰直角(3)等腰19. 解: (1)APBP 理由是:连结OP AB 切小 O 于点 P,OPAB 又 AB 是大圆的弦,APBP (2)AC BD 理由是:过点O 作 OGAB 于点 G
32、 可知AGBGCGDG,AGCGBGDGACBD20. (1)22; (2)33; (3)22121. 18 22. 4 23. 4 24. 解: (1)由题意知,当AP DQ,APDQ, A90时,四边形APQD 为矩形此时,420tt, t4(s)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页名师精编优秀教案 t 为 4 s 时,四边形APQD 为矩形(2)当 PQ4 时, P与 Q 外切如果点 P 在 AB 上运动,只有当四边形APQD 为矩形时, PQ4,由( 1)得 t4 s。如果点P在 BC 上运动,此时t5,则
33、 CQ5,PQ CQ54, P 与 Q 外离。如果点 P 在 CD 上运动,且点P 在点 Q 的右侧,可得CQt,CPt424当CQCP4时, P与 Q 外切,此时ttts4244203,如果点 P 在 CD 上运动, 且点 P 在点 Q 的左侧, 当CPCQ4时,P 与 Q 外切。此时4244283ttts,点 P 从 A 开始沿折线ABCD 移动到 D 需要 11 s,点 Q 从 C 开始沿 CD 边移动到 D 需要 20 s,而28311当 t 为 4 s,203283ss,时, P与 Q 外切。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页