《2022年高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习(19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲:三角函数单元部分易错题解析1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示:( 1)终边与终边相同 (的终边在终边所在射线上)2()kkZ, 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 如
2、与角1825的终边相同,且绝对值最小的角的度数是,合弧度。(答:25;536)( 2)终边与终边共线 (的终边在终边所在直线上) ()kkZ. ( 3)终边与终边关于x轴对称2()kkZ. ( 4)终边与终边关于y轴对称2()kkZ. ( 5)终边与终边关于原点对称2()kkZ. ( 6)终边在x轴上的角可表示为:,kkZ;终边在y轴上的角可表示为:,2kkZ;终边在坐标轴上的角可表示为:,2kkZ. 如的终边与6的终边关于直线xy对称,则_。 (答:Zkk,32)4、与2的终边关系 :由“两等分各象限、一二三四”确定. 如若是第二象限角,则2是第 _象限角(答:一、三)5. 弧长公式 :|l
3、R,扇形面积公式:211|22SlRR,1 弧度 (1rad)57.3.如已知扇形 AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1 弧度,求该扇形的面积。 (答: 22cm)6、 任意角的三角函数的定义: 设是任意一个角, P( ,)x y是的终边上的任意一点 (异于 原 点 ), 它 与 原 点 的 距 离 是220rxy, 那 么sin,cosyxrr,tan,0yxx,cotxy(0)y,secrx0x,csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 如(1)已知角的终边经过点P(5, 12),则cossin的 值 为 。 ( 答 :713) ; ( 2) 设是 第
4、三 、 四象 限角 ,mm432sin, 则m的取值范围是 _ (答: ( 1,)23) ;( 3) 若0|cos|cossin|sin|,试判断)tan(cos)cot(sin的符号(答:负)7. 三角函数线的特征是:正弦线 MP “站在x轴上 ( 起点在x轴上 ) ” 、余弦线 OM “躺在x轴上 ( 起点是原点 ) ” 、正切线 AT “站在点(1,0)A处( 起点是A) ” . 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如( 1) 若08,则y T A x B S O M P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
5、1 页,共 19 页sin,cos,tan的大小关系为_( 答:tansincos) ; ( 2)若为锐角,则,sin,tan的 大 小 关 系 为 _ ( 答 :s i nt a n);( 3 ) 函 数)3s i n2l g (c o s21xxy的定义域是 _ (答:2(2,2()33kkkZ)8. 特殊角的三角函数值:3045600901802701575sin2122230 1 0 1 624624cos2322211 0 1 0 624624tan331 30 0 2-32+3cot31 330 0 2+32-39.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:222222sincos
6、1,1tansec,1cotcsc(2)倒数关系: sincsc=1,cossec=1,tancot=1, (3)商数关系:sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围, 以便进行定号; 在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 如(1)函数sintancoscoty的值的符号为_(答:大于0) ; (2)若220x,则使xx2cos2
7、sin12成立的x的取值范围是 _(答:0,4,43) ; (3)已知53sinmm,)2(524cosmm,则tan_(答:125) ; (4)已知11tantan,则cossincos3sin_;2cossinsin2_(答:35;513) ; (5)已知a200sin,则160tan等于A、21aaB、21aaC、aa21D、aa21(答: B) ; (6)已知xxf3cos)(cos,则)30(sinf的值为 _(答: 1) 。10. 三角函数诱导公式(2k)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角). 诱导公式的应用是求任意角的三
8、角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k+,02; (2)转化为锐角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页三角函数。 如( 1)97costan()sin 2146的值为 _(答:2323) ; (2)已 知54)540sin(, 则)2 7 0c o s(_ , 若为 第 二 象 限 角 , 则)180tan()360cos()180sin(2_。 (答:54;1003)11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscoss
9、insincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令如(1)下列各式中, 值为12的是A、1515sincosB、221212cossinC、222 5122 5tan.tan.D、1302cos(答: C) ; (2)命题 P:0tan( AB ),命题Q:0tan Atan B,则 P 是 Q 的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不 充 分 条 件D 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ( 答 : C );( 3 ) 已 知35s i n () c o sc o s () s i n,
10、那么2cos的值为 _(答:725) ; ( 4)131080sinsin的值是 _(答: 4) ;(5) 已知0tan110a,求0tan50的值(用a 表示)甲求得的结果是313aa,乙求得的结果是212aa,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 _(答:甲、乙都对)12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : (1)巧变角 (已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差
11、角的变换. 如()(),2()(),2()(),22,222等) ,如( 1)已知2tan()5,1tan()44,那么tan()4的值是 _(答:322) ; (2)已知02, 且129cos(),223sin(), 求c o s ()的值 (答:490729) ; (3)已知,为锐角,sin,cosxy,3cos()5,则y与x的函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页数关系为 _(答:23431(1)555yxxx)(2) 三角函数名互化( 切割化弦 ) ,如( 1)求值sin50 (13tan10 )(答: 1
12、) ; (2)已知sincos21,tan()1cos23,求tan(2 )的值(答:18)(3) 公式变形使用(tantantan1tantan。如( 1)已知 A、B为锐角,且满足tantantantan1ABAB,则cos()AB_(答:22) ;(2)设ABC中,33tan AtanBtan Atan B,34sin Acos A,则此三角形是 _三角形(答:等边)(4) 三角函数次数的降升( 降幂公式:21cos2cos2,21cos2sin2与升幂公式:21cos22cos,21cos22sin) 。如(1) 若32(,),化简111122222cos为_(答:sin2) ; (2
13、)函数255 3f ( x)sinxcosxcos x532( xR )的单调递增区间为_(答:51212 k,k( kZ ))(5) 式子结构的转化( 对角、函数名、式子结构化同) 。 如( 1)tan(cossin)sintancotcsc(答:sin) ; (2)求证:21tan1sin21 2sin1 tan22; (3)化简:42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx(答:1cos22x)(6) 常值变换主要指“1”的变换 (221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等) ,如已知tan2,求22sinsincos3cos(答:35
14、).(7) 正余弦“ 三兄妹 sincossin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”,如( 1)若sincosxxt,则s in c o sxx_ (答:212t) ,特别提醒 : 这里2,2t;(2)若1(0,),sincos2,求tan的值。 (答:473) ; (3)已知2sin22sin1tank ()42,试用k表示sincos的值(答:1 k) 。13、辅助角公式中辅助角的确定:22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a, b 的符号确定,角的值由tanba确定 )在求最值、化简时起着重要作用。如 (1) 若方程sin3cosxxc有实数解, 则c的取值范围是
15、_. (答: 2,2 ) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 19 页(2)当函数23ycosxsin x取得最大值时,tanx的值是 _(答:32); ( 3)如果sin2cos()fxxx是奇函数,则tan= ( 答 : 2) ;( 4 ) 求 值 :20sin6420cos120sin3222_(答: 32)14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,3,222的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15
16、、正弦函数sin ()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 :(1)定义域 :都是 R。(2)值域 :都是1,1,对sinyx,当22xkkZ时,y取最大值1;当322xkkZ时,y取最小值 1;对cosyx,当2xkkZ时,y取最大值 1,当2xkkZ时,y取最小值 1。如( 1)若函数sin(3)6yabx的最大值为23,最小值为21,则a_,b(答:1,12ab或1b) ; (2)函数xxxfcos3sin)((2,2x)的值域是 _ (答:1, 2) ;(3)若2,则6ycossin的最大值和最小值分别是_ 、_(答: 7; 5) ; ( 4)函数2( )2 cossin(
17、)3 sin3f xxxxsincosxx的最小值是 _,此时x_(答: 2;()12kkZ) ; (5)己知21cossin,求coss int的变化范围 (答:10,2) ; (6)若cos2sin2sin22,求22sinsiny的最大、最小值(答:1maxy,222miny) 。 特别提醒 :在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?( 3) 周期性 : sinyx、cosyx的最小正周期都是2; ( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的 最 小 正 周 期 都 是2|T。 如 (1) 若3sin)(xxf, 则(1)(2 )( 3)( 2 0 0f
18、fff_(答: 0) ;(2)函数4( )cosf xx2sincosxx4sin x的最小正周期为_ ( 答:) ; (3) 设函数)52sin(2)(xxf, 若对任意Rx都有)()()(21xfxfxf成立,则|21xx的最小值为 _(答: 2)( 4 ) 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数sin()yx xR是 奇 函 数 , 对 称 中 心 是,0kkZ,对称轴是直线2xkkZ;余弦函数cos ()yx xR是偶函数,对称中心是,02kkZ,对称轴是直线xkkZ(正 (余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线,对称中心为图象与x轴的交点)。如( 1)函数精
19、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 19 页522ysinx的 奇 偶 性 是 _ ( 答 : 偶 函 数 ); ( 2 ) 已 知 函 数31f( x)axbsin x( a,b为常数),且57f (),则5f ()_(答: 5) ; (3)函 数)c o s( si nc o s2xxxy的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 _ 、_ ( 答 :128k(, )( kZ )、28kx(kZ ));( 4 ) 已 知3f ( x )s i n ( x)c o s ( x)为偶函数,求的值。 (答:6k(
20、 kZ ))( 5 ) 单 调 性 :sin2,222yxkkkZ在上 单 调 递 增 , 在32,222kkkZ单调递减;cosyx在2,2kkkZ上单调递减,在2,22kkkZ上单调递增。 特别提醒 ,别忘了kZ!16、形如sin()yAx的函数:(1)几个物理量:A振幅;1fT频率(周期的倒数) ;x相位;初相;(2) 函数sin()yAx表达式的确定: A 由最值确定;由 周期 确 定 ;由图 象 上的 特殊 点 确定 ,如( )sin()(0,0f xAxA,|)2的图象如图所示,则( )f x_(答:15( )2sin()23f xx) ;(3)函数sin()yAx图象的画法 :“
21、五点法”设Xx,令X0,3,222求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;图象变换法:这是作函数简图常用方法。(4)函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系:函数sinyx的图象纵坐标不变,横坐标向左(0)或向右(0,函数 f(x)=2sin x 在4,3上为增函数,那么的取值范围是 _ 答案: 00, 0,-2 2) ,其图象如图所示。(1) 求函数 y=f(x)在-,32 的表达式;(2) 求方程 f(x)=22的解。解: (1) 由图象知A=1, T=4(632)=2,=12T在 x-6,32 时将(6,1) 代入 f(x)得 f (6)=sin(6+ )=1 -
22、2 2 =3在 -6,32 时 f(x)=sin(x+3) y=f(x)关于直线x=-6对称在 -,-6 时 f(x)=-sinx 综上 f(x)=xxsin)3sin(6,32,6xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 19 页(2)f(x)=22在区间 -6,32 内可得 x1=125x x2= -12y=f(x)关于 x= - 6对称=-4 x4= -43f(x)=22的解为 x-43,-4,-12,125 24、将函数xxfysin)(的图像向右移4个单位后, 再作关于x轴的对称变换得到的函数xy2sin21的图像,则)(xf可以是() 。A 、xcos2 B、xcos2 C、xsin2 D、xsin2正解: B xxy2cossin212,作关于 x 轴的对称变换得xy2cos,然后向左平移4个单位得函数)4(2cosxyxxfxsin)(2sin可得xxfcos2)(误解: 未想到逆推,或在某一步骤时未逆推,最终导致错解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 19 页