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1、学习必备欢迎下载经纬教育平行四边形证明题经典例题（附带详细答案）1 如图，EF、是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BEDF， 求证：AFCE【答案】 证明：平行四边形ABCD中，ADBC，ADBC，ACBCAD又BEDF，BECDFA，BECDFA，CEAF2如图 6，四边形 ABCD 中， ABCD， B=D，求四边形 ABCD 的周长【答案】 20、解法一 : 又即得是平行四边形四边形的周长解法二 : 连接3,6ABBCABCD180CBBD180DCADBCABCD36ABCDBCAD，ABCD183262ACABCDDCABACA D C B A D C B D C A B E F
2、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载又四边形的周长解法三 : 连接又即是平行四边形四边形的周长3.（在四边形ABCD 中， D=60， B 比A 大 20， C 是 A 的 2 倍，求 A，B，C的大小【关键词】多边形的内角和【答案】设xA（度），则20xB，xC2根据四边形内角和定理得，360602)20(xxx解得，70x70A，90B，140C4 （如图，EF，是四边形ABCD的对角线AC上两点，A FC ED FB ED，求证： （1）AFDCEB（2）四边形ABCD是平行四边形【关键词】平
3、行四边形的性质,判定【答案】证明： （1）DFBE，DFEBEF180AFDDFE，180CEBBEF，AFDCEB 又A FC ED FB，AFDCEB(SAS)BDACCA，ABCCDA36ABCDBCAD，ABCD183262BDABCDCDBABDABCCDAADBCBDADBCABCD36ABCDBCAD，ABCD183262A B D E F C A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载（2） 由 （1） 知A F DC E B，DACBCAADBC，ADBC四边形ABCD是平
4、行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5 ）25如图 13-1，在边长为 5 的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，2BE. （1）求ECCF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CPP于点（如图 13-2） ，试判断AEEP与的大小关系，并说明理由；（3）在图 13-2 的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AEEF2390四边形 ABCD 为正方形90BC13901290DAMABEDAAB ，DAMABEDMAEAEEPDMPE四边形DMEP是平
5、行四边形解法：在AB边上存在一点M，使四边形DMEP是平行四边形证明：在AB边上取一点M，使AMBE，连接ME、MD、DP90ADBADAMABE，RtRtDAMABE14DMAE，15904590A D C B E B C E D A F P F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载AEDMAEEPDMEP四边形DMEP为平行四边形6 （2009 年广州市）如图9，在 ABC 中， D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点。证明：四边形DECF 是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】
6、 D.E、F 分别为 AB.BC.CA的中点，DFBC ，DE AC ，四边形 DECF是平行四边形 . 7（2009 年包头）已知二次函数2yaxbxc（0a） 的图象经过点(10)A ，(2 0)B，(02)C，直线xm（2m）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、 、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由【关键词】二次函数、相似三
7、角形、运动变化、抛物线解： （1）根据题意，得04202.abcabcc，y x O B C E D A F P 5 4 1 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习必备欢迎下载解得132abc，232yxx（2）当EDBAOC时，得AOCOEDBD或AOCOBDED，122AOCOBDm，当AOCOEDBD时，得122EDm，22mED，点E在第四象限，122mEm，当AOCOBDED时，得122mED，24EDm，点E在第四象限，2(42)Emm，（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，
8、则1EFAB，点F的横坐标为1m，当点1E的坐标为22mm，时，点1F的坐标为212mm，点1F在抛物线的图象上，22(1)3(1)22mmm，2211140mm，(27)(2)0mm，722mm，（舍去），15324F，33144ABEFS当点2E的坐标为(42 )mm，时，点2F的坐标为(1 42 )mm，点2F在抛物线的图象上，y x O B A D C (x=m) (F2)F1E1 (E2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习必备欢迎下载242(1)3(1)2mmm，27100mm，(2)(5)0mm，
9、2m（舍去），5m，2(46)F，1 66ABEFS注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分8 （2009 年莆田）已知：如图在ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、 AB 、DC、BC 的延长线于点E、M 、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形：_ _，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【关键词】四边形、全等三角形、变换（1）DOEBOF；证明：四边形ABCD是平行四边形ADBCEDOFBOEF，又ODOBDOEBOF AASBOMDON证明：四边形ABCD是平行四边形ABCDMBONDO
10、BMODNO，又BODOBOMDON AASABDCDB；证明：四边形ABCD是平行四边形ADCBABCD，又BDDBE B M O D N F C A E B M O D N F C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习必备欢迎下载ABDCDB SSS（2）绕点O旋转180后得到或以点O为中心作对称变换得到8 分9(2009 年温州 )在所给的 99 方格中，每个小正方形的边长都是1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2) 在
11、图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数( 注：图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质，判定【答案】解：（1）（2）10 （2009 年中山）在ABCD中，10AB， AD m= ，60D，以AB为直径作O，（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示） ；（2）当m取何值时，CD与O相切【关键词】利用平行四边形证明线段相等【答案】（1）分别过AO，两点作AECDOFCD，垂足分别为点E，点F，AEOFOF，就是圆心O到CD的距离四边形ABCD是平行四边形，ABCDAEOF，A D B C O E F A D B C O E F A D B C O 精选学习资料 - - -
12、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习必备欢迎下载在RtADE中，60sinsin 60AEAEDDADAD ，333222AEAEmOFAEmm，圆心到 CD 的距离 PF 为32m（2）32OFm，AB为O的直径，且10AB，当5OF时，CD与O相切于F点，即3103523mm，当10 33m时，CD与O相切11(2009 年宁德市 )（本题满分8 分）如图：点 A.D.B.E 在同一直线上， AD=BE，AC=DF，ACDF，请从图中找出一个与E 相等的角，并加以证明 （不再添加其他的字母与线段）【关键词】平行四边形的判定【答案】解法
13、1：图中 CBA E 证明： ADBE ADDBBEDB 即 ABDE ACDF A FDE 又 ACDF ABC DEF CBA E 解法 2：图中 FCB E 证明： ACDF，ACDF 四边形ADFC 是平行四边形A F E D C B A F E D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载CFAD，CFAD ADBE CF BE，CFBE 四边形 BEFC 是平行四边形 FCB E 12 （2009 年山东青岛市） 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，6cmAD，4cmCD，10cmB
14、CBD，点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于 Q，连接PE若设运动时间为t（s）（05t） 解答下列问题：（1）当t为何值时，PEAB？（2）设PEQ的面积为y（cm2） ，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使225PEQBCDSS？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解： （1）PEABDEDPDADB而10DE
15、tDPt，10610tt，154t当15(s)4tPEAB，（2）EF平行且等于CD，四边形CDEF是平行四边形DEQCDQEBDC，10BCBD，DEQCDQEBDCA E D Q P B F C N M A E D Q P B F C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载DEQBCDDEEQBCCD104tEQ25EQt过 B 作BMCD，交CD于M，过P作PNEF，交EF于N221021004964 6BMEDDQBPt，102PQt又PNQBMD，PQPNBDBM，102104 6tPN，4
16、6 15tPN21124 64 64 6 12255255PEQtSEQ PNttt（3）1144 68 622BCDSCD BM若225PEQBCDSS，则有24 64 628 625525tt，解得1214tt，（4）在PDE和FBP中，10DEBPtPDBFtPDEFBPPDEFBP，PDEPFCDEPFCDSSS五边形四边形FBPPFCDSS四边形8 6BCDS在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载13 (2009 年达州 )如图 10，O 的弦 AD
17、BC,过点 D 的切线交BC 的延长线于点E，ACDE 交 BD 于点 H，DO 及延长线分别交AC.BC 于点 G、F. (1)求证： DF 垂直平分 AC；（2）求证： FCCE；（3）若弦 AD5 ， AC8 ，求 O 的半径 . 【关键词】圆 ,平行四边形 ,勾股定理【答案】（1） DE 是 O 的切线，且DF 过圆心 O DFDE 又 ACDE DFAC DF 垂直平分 AC （2）由（ 1）知： AG=GC 又 ADBC DAG= FCG 又 AGD= CGF AGD CGF（ASA ）AD=FC AD BC 且 ACDE 四边形 ACED 是平行四边形AD=CE FC=CE5 分
18、（3）连结 AO； AG=GC ，AC=8cm ， AG=4cm 在 RtAGD 中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为r，则 AO=r ，OG=r-3 在 RtAOG 中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2 有： r2=(r-3)2+42 解得 r=256 O 的半径为 256cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载经典例题（附带答案 2）例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角
19、互补可以求出四个内角的度数解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，这个平行四边形的四个内角的度数分别为45， 135， 45， 135例 2 已知：如图，的周长为60cm，对角线AC 、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多8cm ，可知cm，由此两式，可求得各边的长解四边形为平行四边形，答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm ，19cm，11cm 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平
20、行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在中，交于点O， 过O点作EF交AB 、CD于E、F，那么OE 、OF是否相等，说明理由分析观察图形，从而可说明证明在中，交于O，例 4 已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载分析观察图形，与都是直角三角形，且锐角， 斜边， 因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD 是矩形， ，
21、又，。例 5 O是ABCD对角线的交点，的周长为59，则_，若与的周长之差为15，则_，ABCD的周长 =_. 解答：ABCD中，. 的周长. 在ABCD中，. 的周长的周长ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. 例 6 已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，. 求这个平行四边形的面积. 解答：设. 四边形ABCD为平行四边形，. 又四边形ABCD的周长为 36，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载，解由，组
22、成的方程组，得. . 说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 经典例题（附带详细答案3）例 1 （2006 年河北）如图1，平行四边形ABCD 中， AD=5 ，AB=3，AE 平分 BAD 交BC 边于点 E，则线段 BE、EC 的长度分别是（） 。A、2 和 3 B、3 和 2 C、4 和 1 D、1 和 4 解析：因四边形ABCD 是平行四边形，故AD/BC ，AD=BC 。所以 DAE= BEA 。又 AE平分 BAD ，故 BAE= DAE= BEA 。所以 AB=BE=3 ，CE=53=2。故选 B。例 2（2006 年枣庄市）如图2，平
23、行四边形ABCD 中，对角线AC 和 BD 相交于点 O，如果 AC=12 ，BD=10 ，AB=m ，那么 m 的取值范围是（）A、10m12 B、2m22 C、1m11 D、5m6 解析：因四边形 ABCD 是平行四边形， 故 AO=CO ，DO=BO ，又 AC=12 ，BD=10，则 AO=6，BO=5。故 65m6+5，即 1m11。故选 C。例 3（2006 年北京市海淀区）如图3，平行四边形ABCD 中， E、F 分别是 BC 和 AD 上的点，并且BE=DF 。求证：CDFABE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14
24、 页，共 16 页学习必备欢迎下载证明：因四边形ABCD 是平行四边形，故AB=CD ， B=D。又 BE=DF ，所以 ABE CDF（SAS） 。点评：平行四边形具有以下性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。二、考查平行四边形的判定例 4 （2006 年攀枝花市）如图4，AD=BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需补充的一个条件是 _。解析：可选择AD/BC ，AB=CD ，A+ B=80， C+D=180等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题，所添的条件灵活多样，主要考查平行四边形的判定方法。例 5 如图 5，四边形 ABCD 中， AB/
25、DC 、E是 BC 的中点， AE 、DC 的延长线相交于点F，连接 AC、BF。四边形ABFC 是什么四边形？说明你的理由。解析：因 AB/DC ，故 CFA=BAF 。又 E 是 BC 的中点，故CE=BE。又 CEF=BEA，则 CEF BEA 。则 EF=EA。故四边形ABFC 是平行四边形。点评：平行四边形的判定方法有很多：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形，要根据题目所给的条件及图形的特点，选择适当的判定方
26、法。三、考查性质与判定的综合应用例 6 如图 6，在平行四边形ABCD 中，点 E、F 在 BD 上，且 BF=DE 。（1）写出图中所有你认为全等的三角形；（2）延长 AE 交 BC 的延长线于点G，延长 CF 交 DA 的延长线于点H（请补全图形） ，并证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习必备欢迎下载明四边形 AGCH 是平行四边形。解析： （1）图中全等的三角形有ABE CDF， AED CFB， ABD CDB。（2）补全后的图形如图7 所示。因四边形ABCD是平行四边形，故AB/CD ，AB=CD ， ABD= CDB。又BF=DE ，故BF+FE=DE+FE ，即 BE=DF 。所以 ABE CDF，故 AEB= DFD，HC/AG 。又 HA/CG ，故四边形 AGCH 是平行四边形。点评：平行四边形是一种重要的四边形，中考中与之相关的试题较多。此题综合考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定及全等三角形等知识。（1）要先找出图中所有的三角形，然后根据三角形全等的条件及平行四边形的特征进行分析判断。（2）是补图证明题， 熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
