《2022年平行四边形经典证明题例题讲解》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年平行四边形经典证明题例题讲解(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载经纬教育平行四边形证明题经典例题(附带详细答案)1 如图,EF、是平行四边形ABCD对角线AC上两点,BEDF, 求证:AFCE【答案】 证明:平行四边形ABCD中,ADBC,ADBC,ACBCAD又BEDF,BECDFA,BECDFA,CEAF2如图 6,四边形 ABCD 中, ABCD, B=D,求四边形 ABCD 的周长【答案】 20、解法一 : 又即得是平行四边形四边形的周长解法二 : 连接3,6ABBCABCD180CBBD180DCADBCABCD36ABCDBCAD,ABCD183262ACABCDDCABACA D C B A D C B D C A B E F
2、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页学习必备欢迎下载又四边形的周长解法三 : 连接又即是平行四边形四边形的周长3.(在四边形ABCD 中, D=60, B 比A 大 20, C 是 A 的 2 倍,求 A,B,C的大小【关键词】多边形的内角和【答案】设xA(度),则20xB,xC2根据四边形内角和定理得,360602)20(xxx解得,70x70A,90B,140C4 (如图,EF,是四边形ABCD的对角线AC上两点,A FC ED FB ED,求证: (1)AFDCEB(2)四边形ABCD是平行四边形【关键词】平
3、行四边形的性质,判定【答案】证明: (1)DFBE,DFEBEF180AFDDFE,180CEBBEF,AFDCEB 又A FC ED FB,AFDCEB(SAS)BDACCA,ABCCDA36ABCDBCAD,ABCD183262BDABCDCDBABDABCCDAADBCBDADBCABCD36ABCDBCAD,ABCD183262A B D E F C A D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页学习必备欢迎下载(2) 由 (1) 知A F DC E B,DACBCAADBC,ADBC四边形ABCD是平
4、行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)5 )25如图 13-1,在边长为 5 的正方形ABCD中,点E、F分别是BC、DC边上的点,且AEEF,2BE. (1)求ECCF的值;(2)延长EF交正方形外角平分线CPP于点(如图 13-2) ,试判断AEEP与的大小关系,并说明理由;(3)在图 13-2 的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由【关键词】平行四边形的判定【答案】解:(1)AEEF2390四边形 ABCD 为正方形90BC13901290DAMABEDAAB ,DAMABEDMAEAEEPDMPE四边形DMEP是平
5、行四边形解法:在AB边上存在一点M,使四边形DMEP是平行四边形证明:在AB边上取一点M,使AMBE,连接ME、MD、DP90ADBADAMABE,RtRtDAMABE14DMAE,15904590A D C B E B C E D A F P F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页学习必备欢迎下载AEDMAEEPDMEP四边形DMEP为平行四边形6 (2009 年广州市)如图9,在 ABC 中, D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点。证明:四边形DECF 是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】
6、 D.E、F 分别为 AB.BC.CA的中点,DFBC ,DE AC ,四边形 DECF是平行四边形 . 7(2009 年包头)已知二次函数2yaxbxc(0a) 的图象经过点(10)A ,(2 0)B,(02)C,直线xm(2m)与x轴交于点D(1)求二次函数的解析式;(2)在直线xm(2m)上有一点E(点E在第四象限),使得EDB、 、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示) ;(3)在( 2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由【关键词】二次函数、相似三
7、角形、运动变化、抛物线解: (1)根据题意,得04202.abcabcc,y x O B C E D A F P 5 4 1 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页学习必备欢迎下载解得132abc,232yxx(2)当EDBAOC时,得AOCOEDBD或AOCOBDED,122AOCOBDm,当AOCOEDBD时,得122EDm,22mED,点E在第四象限,122mEm,当AOCOBDED时,得122mED,24EDm,点E在第四象限,2(42)Emm,(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,
8、则1EFAB,点F的横坐标为1m,当点1E的坐标为22mm,时,点1F的坐标为212mm,点1F在抛物线的图象上,22(1)3(1)22mmm,2211140mm,(27)(2)0mm,722mm,(舍去),15324F,33144ABEFS当点2E的坐标为(42 )mm,时,点2F的坐标为(1 42 )mm,点2F在抛物线的图象上,y x O B A D C (x=m) (F2)F1E1 (E2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页学习必备欢迎下载242(1)3(1)2mmm,27100mm,(2)(5)0mm,
9、2m(舍去),5m,2(46)F,1 66ABEFS注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分8 (2009 年莆田)已知:如图在ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、 AB 、DC、BC 的延长线于点E、M 、N、F。(1)观察图形并找出一对全等三角形:_ _,请加以证明;(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到?【关键词】四边形、全等三角形、变换(1)DOEBOF;证明:四边形ABCD是平行四边形ADBCEDOFBOEF,又ODOBDOEBOF AASBOMDON证明:四边形ABCD是平行四边形ABCDMBONDO
10、BMODNO,又BODOBOMDON AASABDCDB;证明:四边形ABCD是平行四边形ADCBABCD,又BDDBE B M O D N F C A E B M O D N F C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页学习必备欢迎下载ABDCDB SSS(2)绕点O旋转180后得到或以点O为中心作对称变换得到8 分9(2009 年温州 )在所给的 99 方格中,每个小正方形的边长都是1按要求画平行四边形,使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上(1) 在图甲中画一个平行四边形,使它的周长是整数;(2) 在
11、图乙中画一个平行四边形,使它的周长不是整数( 注:图甲、图乙在答题纸上) 【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】解:(1)(2)10 (2009 年中山)在ABCD中,10AB, AD m= ,60D,以AB为直径作O,(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示) ;(2)当m取何值时,CD与O相切【关键词】利用平行四边形证明线段相等【答案】(1)分别过AO,两点作AECDOFCD,垂足分别为点E,点F,AEOFOF,就是圆心O到CD的距离四边形ABCD是平行四边形,ABCDAEOF,A D B C O E F A D B C O E F A D B C O 精选学习资料 - - -
12、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页学习必备欢迎下载在RtADE中,60sinsin 60AEAEDDADAD ,333222AEAEmOFAEmm,圆心到 CD 的距离 PF 为32m(2)32OFm,AB为O的直径,且10AB,当5OF时,CD与O相切于F点,即3103523mm,当10 33m时,CD与O相切11(2009 年宁德市 )(本题满分8 分)如图:点 A.D.B.E 在同一直线上, AD=BE,AC=DF,ACDF,请从图中找出一个与E 相等的角,并加以证明 (不再添加其他的字母与线段)【关键词】平行四边形的判定【答案】解法
13、1:图中 CBA E 证明: ADBE ADDBBEDB 即 ABDE ACDF A FDE 又 ACDF ABC DEF CBA E 解法 2:图中 FCB E 证明: ACDF,ACDF 四边形ADFC 是平行四边形A F E D C B A F E D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页学习必备欢迎下载CFAD,CFAD ADBE CF BE,CFBE 四边形 BEFC 是平行四边形 FCB E 12 (2009 年山东青岛市) 如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,6cmAD,4cmCD,10cmB
14、CBD,点P由 B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于 Q,连接PE若设运动时间为t(s)(05t) 解答下列问题:(1)当t为何值时,PEAB?(2)设PEQ的面积为y(cm2) ,求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使225PEQBCDSS?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE的面积是否发生变化?说明理由【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】解: (1)PEABDEDPDADB而10DE
15、tDPt,10610tt,154t当15(s)4tPEAB,(2)EF平行且等于CD,四边形CDEF是平行四边形DEQCDQEBDC,10BCBD,DEQCDQEBDCA E D Q P B F C N M A E D Q P B F C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页学习必备欢迎下载DEQBCDDEEQBCCD104tEQ25EQt过 B 作BMCD,交CD于M,过P作PNEF,交EF于N221021004964 6BMEDDQBPt,102PQt又PNQBMD,PQPNBDBM,102104 6tPN,4
16、6 15tPN21124 64 64 6 12255255PEQtSEQ PNttt(3)1144 68 622BCDSCD BM若225PEQBCDSS,则有24 64 628 625525tt,解得1214tt,(4)在PDE和FBP中,10DEBPtPDBFtPDEFBPPDEFBP,PDEPFCDEPFCDSSS五边形四边形FBPPFCDSS四边形8 6BCDS在运动过程中,五边形PFCDE的面积不变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页学习必备欢迎下载13 (2009 年达州 )如图 10,O 的弦 AD
17、BC,过点 D 的切线交BC 的延长线于点E,ACDE 交 BD 于点 H,DO 及延长线分别交AC.BC 于点 G、F. (1)求证: DF 垂直平分 AC;(2)求证: FCCE;(3)若弦 AD5 , AC8 ,求 O 的半径 . 【关键词】圆 ,平行四边形 ,勾股定理【答案】(1) DE 是 O 的切线,且DF 过圆心 O DFDE 又 ACDE DFAC DF 垂直平分 AC (2)由( 1)知: AG=GC 又 ADBC DAG= FCG 又 AGD= CGF AGD CGF(ASA )AD=FC AD BC 且 ACDE 四边形 ACED 是平行四边形AD=CE FC=CE5 分
18、(3)连结 AO; AG=GC ,AC=8cm , AG=4cm 在 RtAGD 中,由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为r,则 AO=r ,OG=r-3 在 RtAOG 中,由勾股定理得AO2=OG2+AG2 有: r2=(r-3)2+42 解得 r=256 O 的半径为 256cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页学习必备欢迎下载经典例题(附带答案 2)例 1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3 倍,那么这个平行四边形的四个内角各是多少度?分析根据平行四边形的对角相等,邻角
19、互补可以求出四个内角的度数解设平行四边形的一个内角的度数为x,则它的邻角的度数为3x,根据题意,得,解得,这个平行四边形的四个内角的度数分别为45, 135, 45, 135例 2 已知:如图,的周长为60cm,对角线AC 、BD相交于点O,的周长比的周长多8cm ,求这个平行四边形各边的长分析由平行四边形对边相等,可知平行四边形周长的一半30cm,又由的周长比的周长多8cm ,可知cm,由此两式,可求得各边的长解四边形为平行四边形,答:这个平行四边形各边长分别为19cm,11cm ,19cm,11cm 说明:学习本题可以得出两个结论:(1)平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半(2)平
20、行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知:如图,在中,交于点O, 过O点作EF交AB 、CD于E、F,那么OE 、OF是否相等,说明理由分析观察图形,从而可说明证明在中,交于O,例 4 已知:如图,点E在矩形ABCD的边BC上,且,垂足为F。求证:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页学习必备欢迎下载分析观察图形,与都是直角三角形,且锐角, 斜边, 因此这两个直角三角形全等。在这个图形中,若连结AE,则与全等,因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明四边形ABCD 是矩形, ,
21、又,。例 5 O是ABCD对角线的交点,的周长为59,则_,若与的周长之差为15,则_,ABCD的周长 =_. 解答:ABCD中,. 的周长. 在ABCD中,. 的周长的周长ABCD的周长说明:本题考查平行四边形的性质,解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差. 例 6 已知:如图,ABCD的周长是,由钝角顶点D向AB,BC引两条高DE,DF,且,. 求这个平行四边形的面积. 解答:设. 四边形ABCD为平行四边形,. 又四边形ABCD的周长为 36,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页学习必备欢迎下载,解由,组
22、成的方程组,得. . 说明:本题考查平行四边形的性质及面积公式,解题关键是把几何问题转化为方程组的问题. 经典例题(附带详细答案3)例 1 (2006 年河北)如图1,平行四边形ABCD 中, AD=5 ,AB=3,AE 平分 BAD 交BC 边于点 E,则线段 BE、EC 的长度分别是() 。A、2 和 3 B、3 和 2 C、4 和 1 D、1 和 4 解析:因四边形ABCD 是平行四边形,故AD/BC ,AD=BC 。所以 DAE= BEA 。又 AE平分 BAD ,故 BAE= DAE= BEA 。所以 AB=BE=3 ,CE=53=2。故选 B。例 2(2006 年枣庄市)如图2,平
23、行四边形ABCD 中,对角线AC 和 BD 相交于点 O,如果 AC=12 ,BD=10 ,AB=m ,那么 m 的取值范围是()A、10m12 B、2m22 C、1m11 D、5m6 解析:因四边形 ABCD 是平行四边形, 故 AO=CO ,DO=BO ,又 AC=12 ,BD=10,则 AO=6,BO=5。故 65m6+5,即 1m11。故选 C。例 3(2006 年北京市海淀区)如图3,平行四边形ABCD 中, E、F 分别是 BC 和 AD 上的点,并且BE=DF 。求证:CDFABE。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14
24、 页,共 16 页学习必备欢迎下载证明:因四边形ABCD 是平行四边形,故AB=CD , B=D。又 BE=DF ,所以 ABE CDF(SAS) 。点评:平行四边形具有以下性质:两组对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等;对角线互相平分。二、考查平行四边形的判定例 4 (2006 年攀枝花市)如图4,AD=BC ,要使四边形ABCD 是平行四边形,还需补充的一个条件是 _。解析:可选择AD/BC ,AB=CD ,A+ B=80, C+D=180等条件中的一个。此题是答案不唯一的开放题,所添的条件灵活多样,主要考查平行四边形的判定方法。例 5 如图 5,四边形 ABCD 中, AB/
25、DC 、E是 BC 的中点, AE 、DC 的延长线相交于点F,连接 AC、BF。四边形ABFC 是什么四边形?说明你的理由。解析:因 AB/DC ,故 CFA=BAF 。又 E 是 BC 的中点,故CE=BE。又 CEF=BEA,则 CEF BEA 。则 EF=EA。故四边形ABFC 是平行四边形。点评:平行四边形的判定方法有很多:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。证明四边形是平行四边形,要根据题目所给的条件及图形的特点,选择适当的判定方
26、法。三、考查性质与判定的综合应用例 6 如图 6,在平行四边形ABCD 中,点 E、F 在 BD 上,且 BF=DE 。(1)写出图中所有你认为全等的三角形;(2)延长 AE 交 BC 的延长线于点G,延长 CF 交 DA 的延长线于点H(请补全图形) ,并证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页学习必备欢迎下载明四边形 AGCH 是平行四边形。解析: (1)图中全等的三角形有ABE CDF, AED CFB, ABD CDB。(2)补全后的图形如图7 所示。因四边形ABCD是平行四边形,故AB/CD ,AB=CD , ABD= CDB。又BF=DE ,故BF+FE=DE+FE ,即 BE=DF 。所以 ABE CDF,故 AEB= DFD,HC/AG 。又 HA/CG ,故四边形 AGCH 是平行四边形。点评:平行四边形是一种重要的四边形,中考中与之相关的试题较多。此题综合考查了平行四边形的性质、平行四边形的判定及全等三角形等知识。(1)要先找出图中所有的三角形,然后根据三角形全等的条件及平行四边形的特征进行分析判断。(2)是补图证明题, 熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页