统计与概率课件

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1、让孩子让孩子“亲近亲近”数据数据数据分析观念的培养数据分析观念的培养 王晓阳王晓阳 统统 计计统计学是关于收集和分析数据的科学和统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。艺术。大美百科全书大美百科全书 数据是蕴含信息的，信息是可以提取的，数据是蕴含信息的，信息是可以提取的，信息是为人们服务的信息是为人们服务的统计统计n n在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都是有实际背景的当然这些数都是有实际背景的当然这些数都是有实际背景的当然这些数都是有实际背景

2、的。脱离实际问题的。脱离实际问题的。脱离实际问题的。脱离实际问题的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数

3、据。仅仅是数，图是数据、语句也是数据。仅仅是数，图是数据、语句也是数据。仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含只要蕴含只要蕴含只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。（史宁中）（史宁中）（史宁中）（史宁中） 数据分析观念数据分析观念了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，了解在现

4、实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。数据分析是统计的核心。 商店经理要合理地安排售货员的人数。商店经理

5、要合理地安排售货员的人数。售货员过多显然对商店是浪费，售货员售货员过多显然对商店是浪费，售货员太少将使一些顾客离去而减少商店收入。太少将使一些顾客离去而减少商店收入。安排多少售货员依赖于顾客的人数，安排多少售货员依赖于顾客的人数，而而顾客的人数是随机的顾客的人数是随机的，事先无法确定。，事先无法确定。商店经理有办法吗？商店经理有办法吗？ 案例案例 售货员的人数售货员的人数 假定商店经理知道任一时刻来到假定商店经理知道任一时刻来到k k个顾客的概率个顾客的概率p p如下：如下： k 0 1 2 3 4 5 6 7 7 p 0.03 0.10 0.14 0.19 0.21 0.19 0.09 0.

6、04 0.01 尽管经理无法预料任一时刻顾客的确切人数。也不排除尽管经理无法预料任一时刻顾客的确切人数。也不排除某一天一个顾客也没有，而另一天有上百名顾客涌入商店的某一天一个顾客也没有，而另一天有上百名顾客涌入商店的极端情形。但是知道了上面的表，经理就可以知道，安排极端情形。但是知道了上面的表，经理就可以知道，安排7 7个售货员能以个售货员能以99%99%的概率使顾客不用等待。安排的概率使顾客不用等待。安排6 6个售货员能个售货员能以以95%95%的概率使顾客不用等待。安排的概率使顾客不用等待。安排3 3个售货员顾客要等待的个售货员顾客要等待的概率大于概率大于50% 50% 等等。等等。这些信

7、息无疑对经理安排售货员的决策这些信息无疑对经理安排售货员的决策起着根本的作用。起着根本的作用。案例案例 售货员的人数售货员的人数 标标准准在在三三个个阶阶段段都都提提出出了了相相应应的的要要求求，这这也也成成为为了了统统计计内内容容的的首首要要主主线线。在在第第一一学学段段中中，提提出出“经经历历简简单单的的数数据据收收集集和和整整理理过过程程”；在在第第二二学学段段中中，提提出出“经经历历简简单单的的收收集集、整整理理、描描述述和和分分析析数数据据的的过程（可使用计算器）过程（可使用计算器）”。一、数据分析过程一、数据分析过程一个案例一个案例 新年联欢会准备买水果，调查班级同新年联欢会准备买

8、水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。学最喜欢吃的水果，设计购买方案。 说明说明 借助学生身边的例子，借助学生身边的例子，体会数体会数据调查、数据分析对于决策的作用据调查、数据分析对于决策的作用。此例。此例可以可以举一反三举一反三。教学中可作如下设计：。教学中可作如下设计： （1 1）全班同学讨论决定购买方案的原全班同学讨论决定购买方案的原则，则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。吃的一种或几种水果，或者其他的原则。一个案例一个案例 （2 2）鼓励学生讨论收集数据的方法鼓励学生讨论收集数据的方法。例如，。例如，可以采取

9、填写调查表的方法；可以全部提案后，可以采取填写调查表的方法；可以全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。必须事先约定，每位同学最多可以同意几项。 （3 3）收集并表示数据，参照事先的约定决定购收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。买水果的方案。 要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢大家喜欢吃的都不一样，到底买哪种水果呢？

10、请你帮我想想办法？请你帮我想想办法？调研结果分析调研结果分析史宁中史宁中 小学生知道两件事情是重要的：第一，制定小学生知道两件事情是重要的：第一，制定标准；第二，按照标准做事。中国培养的人，缺标准；第二，按照标准做事。中国培养的人，缺乏制定标准的经验，我希望未来的学生开始会制乏制定标准的经验，我希望未来的学生开始会制定标准。这个世界最后赢的都是制定标准的。定标准。这个世界最后赢的都是制定标准的。 这里可以有一个反复的过程，对开始制定的标这里可以有一个反复的过程，对开始制定的标准进行调整。一学期哪怕有一、两次，我估计经准进行调整。一学期哪怕有一、两次，我估计经过三年，就能积累经验。过三年，就能积

11、累经验。 我设想的就是这两个结果。我设想的就是这两个结果。数据中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息 第一学段：对全班同学的身高进行调查分析。第一学段：对全班同学的身高进行调查分析。说明说明 学校一般每年都要测量学生的身高，这为学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题学习统计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的可以贯穿第一学段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每年学生特点，要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习测量身高的数据都保留下来，养成保存资料的习惯。在第一

12、学段，主要让学生感悟可以从数据中惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。得到一些信息。（1 1）指导学生将全班同学的身高进行汇总。）指导学生将全班同学的身高进行汇总。 （2 2）从汇总后的数据中发现信息。比如最高）从汇总后的数据中发现信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等。差），大部分同学的身高是多少（众数）等。在讨论过程中，括号中的有些名词并不需要出在讨论过程中，括号中的有些名词并不需要出现，但是希望学生体会数据所代表的意义。现，但是希望学生体会数据所代表的意义。数据中蕴涵着信息数据

13、中蕴涵着信息数据中蕴涵着信息（第二学段）数据中蕴涵着信息（第二学段） 在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的在上面的例子中，已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前数据进行初步分析。在这个学段中，要求学生结合以前积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。积累的身高数据，进行进一步的整理，然后进行分析。积累的身高

14、数据，进行进一步的整理，然后进行分析。整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于整理的目的是为了便于分析，例如，条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有直观了解不同高度段的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其利于直观了解不同高度段的学生占全班

15、学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什的情况，预测未来身高变化趋势。学生还可以讨论用什么数据来代表全班同么数据来代表全班同么数据来代表全班同么数据来代表全班同学的身高，自己的身高在全班学的身高，自己的身高在全班的什么位置。的什么位置。 掌掌握握必必要要的的收收集集数数据据、整整理理数数据

16、据、描描述述数数据据和和分分析析数数据据的的方方法法，无无疑疑是是统统计计课课程程内容的第二条主线。内容的第二条主线。二、数据分析方法二、数据分析方法1.1.收集数据的方法收集数据的方法在在收收集集数数据据方方面面，所所涉涉及及的的数数据据可可能能是是全全体体的的数数据据（总总体体数数据据），也也可可能能是是通通过过抽抽样样获获得得的的数数据据（抽抽样样数数据据）。在在第第一一、第第二二学学段段中中，学学生生收收集集的基本都是总体数据的基本都是总体数据现现成成的的数数据据；需需要要自自己己调调查查的的数数据据（换换乳乳牙牙、看看电视的时间）。电视的时间）。 常用的收集数据的方法包括：常用的收集

17、数据的方法包括： 调查、试验、测量、查阅资料。调查、试验、测量、查阅资料。1.1.收集数据的方法收集数据的方法学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验。学生应该对收集数据的方法都有比较丰富的体验。标标准准在在第第一一学学段段提提出出“了了解解调调查查、测测量量等等收收集数据的简单方法集数据的简单方法”；在在第第二二学学段段提提出出“会会根根据据实实际际问问题题设设计计简简单单的的调调查查表表，能能选选择择适适当当的的方方法法（如如调调查查、试试验验、测测量量）收收集集数数据据”“”“能能从从报报纸纸杂杂志志、电电视视等等媒媒体体中中，有有意识地获得一些数据信息意识地获得一些数据信息”。注意收

18、集数据的讨论注意收集数据的讨论 研研究究表表明明在在计计划划如如何何收收集集数数据据上上花花时时间间是是值得的。值得的。 美美国国数数学学教教师师杂杂志志向向全全美美的的中中小小学学数数学学教教师师推推荐荐的的一一节节数数学课学课 为什么有的人跑得快？有的人跑得慢？为什么有的人跑得快？有的人跑得慢？ 师师：今今天天我我们们一一起起讨讨论论一一个个问问题题，大大家家有有没没有有想想过过这这样样的的事事情情，我我们们都都有有跑跑步步的的体体验验，为为什什么么有有的的人人跑跑得得快快，有有的的人人跑得慢？跑得慢？ 有的学生说：有的学生说：“谁个高谁就跑得快，谁个矮谁跑得慢谁个高谁就跑得快，谁个矮谁跑

19、得慢.” 马马上上就就有有学学生生提提出出问问题题：“老老师师，不不对对，我我们们班班个个子子不高，但他跑得很快不高，但他跑得很快.” 随后学生又提出问题：随后学生又提出问题：“我们班有两个学生，他们的个我们班有两个学生，他们的个子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢子一般高，结果一个人跑得快，一个人跑得慢.” 案例案例 过过程程二二：用用100米米跑跑的的步步数数m1，m6与与时时间间t1，t6的比可以算出每个人的步频的比可以算出每个人的步频. 步步频频，每每个个人人1秒秒钟钟跨跨了了多多少少步步.如如果果跨跨了了150步步，总总共共用用9秒秒8，两两数数一一除除，我我就就知知道道1秒秒钟

20、钟跨跨了了多多少少步步.有了步数，有了时间就可以算出步频有了步数，有了时间就可以算出步频. 于于是是有有的的学学生生猜猜测测步步频频越越大大，跑跑得得越越快快，结结果果发发现现，总总体体的的状状况况是是这这样样，步步频频比比较较高高的的人人，他他跑跑的的成绩是比较好的成绩是比较好的. 一个人跑得快，都受哪些因素影响呢？是由一个人跑得快，都受哪些因素影响呢？是由2个个因素影响的，步距与步频因素影响的，步距与步频. 这就是美国小学六年级讨这就是美国小学六年级讨论的问题论的问题. 实际问题中收集数据的有趣案例实际问题中收集数据的有趣案例 对种群的估计对种群的估计 对敏感性问题的调查对敏感性问题的调查

21、2.整理、描述、分析数据的方法整理、描述、分析数据的方法在第一学段，学生将学习分类的方法，分类在第一学段，学生将学习分类的方法，分类是整理数据和描述数据的开始。在此基础上，是整理数据和描述数据的开始。在此基础上，能用自己的方式（文字、图画、表格等）呈能用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，而不学习正式的统计图现整理数据的结果，而不学习正式的统计图表或统计量。表或统计量。有研究表明，早期经验的多样化，有助于儿有研究表明，早期经验的多样化，有助于儿童建立进一步学习的经验和兴趣。童建立进一步学习的经验和兴趣。分组分组全班同学的身高情况全班同学的身高情况 单单位：厘米位：厘米第第1 1

22、小小组组116116128128124124135135128128141141第第2小组小组129129130130134134127127134134138138第第3 3小小组组138138142142119119123123127127146146第第4 4小小组组119119137137136136138138150150152152第第5 5小小组组125125120120131131143143135135148148第第6 6小小组组138138132132147147139139148148139139“点线点线”图图 2.整理、描述、分析数据的方法整理、描述、分析数据的方法

23、在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形在第二学段，学生将学习条形统计图、扇形统计图、折线统计图等常见的统计图，并且统计图、折线统计图等常见的统计图，并且能用它们直观、有效地表示数据。能用它们直观、有效地表示数据。第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中第二学段还将学习一个重要的刻画数据集中趋势的统计量趋势的统计量平均数。平均数。案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五案例：从下图中，你能获取哪些信息？一、五年级学生的情况有什么不同？能尝试解释原因年级学生的情况有什么不同？能尝试解释原因吗？吗？ 一年级、五年级学生睡眠情况统计图一年级、五年级学生睡眠情况统计图 张思明、史宁中的看法张思明、史宁中的

24、看法张：最大的差别；差别的原因和合理性；指标有问题，能否合并；人均睡眠时间也许更好史：目标；变化趋势；注意到人数不同；经验的积累三个水平三个水平 Curcio (1987 ) Curcio (1987 )把学生对数据的读取分为三个水平：把学生对数据的读取分为三个水平：把学生对数据的读取分为三个水平：把学生对数据的读取分为三个水平：（1 1）数据本身的读取（）数据本身的读取（）数据本身的读取（）数据本身的读取（reading the datareading the data），包括用），包括用），包括用），包括用能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有能够得到的信息来回答具体的问题，这些

25、问题图表中有能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有能够得到的信息来回答具体的问题，这些问题图表中有明显的答案。明显的答案。明显的答案。明显的答案。(2)(2)数据之间的读取（数据之间的读取（数据之间的读取（数据之间的读取（reading between reading between the datathe data）。这包括做比较）。这包括做比较）。这包括做比较）。这包括做比较( (例如比较好、最好，最高、例如比较好、最好，最高、例如比较好、最好，最高、例如比较好、最好，最高、最小等最小等最小等最小等) )和对数据进行操作和对数据进行操作和对数据进行操作和对数据进行操作( (例如加

26、减乘除例如加减乘除例如加减乘除例如加减乘除) )。(3)(3)超越数超越数超越数超越数据本身的读取（据本身的读取（据本身的读取（据本身的读取（reading beyond the datareading beyond the data），包括），包括），包括），包括通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。通过数据来进行推断预测推理，并回答具体的问题。读图的建议读图的建议 要读统计图中能看见到或推理能得要读统计图中能看见到或推理能得到的信息。包括：统计图的名字和图标，到的信息。包括：统计图的名字和图

27、标，单个数据，数据的比较（多少、倍数、单个数据，数据的比较（多少、倍数、百分比等），数据的整体变化（最大、百分比等），数据的整体变化（最大、最小、平均情况、变化情况、偏差、极最小、平均情况、变化情况、偏差、极端数据）。端数据）。读图的建议读图的建议 统计数据能否回答开始提出的问题，统计数据能否回答开始提出的问题，能否解决其他问题，能否进行预测，思能否解决其他问题，能否进行预测，思考为什么数据会呈现这种情况等。考为什么数据会呈现这种情况等。小婷身高统计图小婷身高统计图小婷身高统计图小婷身高统计图北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生

28、长情况统计北京城市女生身高生长情况统计北京城市女生身高生长情况统计读图的建议读图的建议 更进一步的层次，就是评价的意识。更进一步的层次，就是评价的意识。不仅要去阅读图，还要对统计图中的指不仅要去阅读图，还要对统计图中的指标、收集数据的方法、统计图使用的是标、收集数据的方法、统计图使用的是否合理、得出的结论是否有道理等进行否合理、得出的结论是否有道理等进行一些评价。一些评价。 某工厂有某工厂有5个股东，个股东，100个工人。工人的工资总额与工厂个工人。工人的工资总额与工厂的股东总利润见下：的股东总利润见下： 年度年度 工人工资总额工人工资总额 股东总利润股东总利润 1990 1990年年 101

29、0万元万元 5 5万元万元 1991 1991年年 12.512.5万元万元 7.57.5万元万元 1992 1992年年 1515万元万元 1010万元万元 该工厂老板根据表中数据，作出了右图，该工厂老板根据表中数据，作出了右图，并声称股东和工人并声称股东和工人“有福共享、有难同当有福共享、有难同当”，你如何看待他的说法？你如何看待他的说法？ 案例案例 “有福同享有福同享, ,有难同当有难同当”吗吗? ?案例案例 “有福同享有福同享, ,有难同当有难同当”吗吗? ?统计量统计量 最多、最少最多、最少平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数极差、方差、标准差极差、方差、标准差 平均数的三个角度

30、：算法理解、概念平均数的三个角度：算法理解、概念理解、统计理解。理解、统计理解。注重平均数的理解注重平均数的理解概念理解概念理解n n平均數介於最小值和最大值之間。n n資料與平均數之間的差，其和為零。n n平均數易受平均以外的資料的影響。n n平均數未必是資料中的一個值。n n平均數可能是非整數且無實物可以對照。n n計算平均數時不可刪去零值的資料。n n平均數代表被平均的所有資料。平均数意义及价值的学习平均数意义及价值的学习 案例：北京大学附属实验小学案例：北京大学附属实验小学 王杰王杰平均数案例平均数案例1 1利用节约用水信息深入理解平均数的意义。利用节约用水信息深入理解平均数的意义。师

31、：我这也有条信息，我们一起看看。师：我这也有条信息，我们一起看看。（1 1）出示：节约用水图。）出示：节约用水图。师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节师：为什么要节约用水？（根据学生回答评价学生的节能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。能意识）那我们来看看我们国家的淡水情况。（2 2）出示：我国淡水资源总量为）出示：我国淡水资源总量为2800028000亿立方米，仅次亿立方米，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位。师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？师：找一名同学读一读。看到这条信息你有什么感觉？n n（学生可能产生疑问：水并

32、不少，世界（学生可能产生疑问：水并不少，世界100100多个国家，多个国家，我们排第四名。）我们排第四名。）平均数案例平均数案例（3 3）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资）我们再来看看下面这条信息。出示：我国人均水资源只有源只有23002300立方米，在世界上名列第立方米，在世界上名列第121121位，是全球人位，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。均水资源最贫乏的国家之一。师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？师：请大家静静的读一读这条信息，你发现了什么？（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的（这里想让学生通过名次下降或贫乏再次提起对平均数的理解。理解。“ “贫

33、乏贫乏” ”这个词是什么意思？有那么多水，怎么这个词是什么意思？有那么多水，怎么用贫乏来形容我们国家了呢？）用贫乏来形容我们国家了呢？）总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻总结：言之有理，看来同学们对平均数的理解越来越深刻了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，了，光比总量是不行的，还要看我们的人均水资源。好，那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。那对于我们国家来说，就更应该去节约用水了。平均数案例平均数案例2.2.出示：儿童乘车免票线出示：儿童乘车免票线“ “长个长个” ”了的标题。了的标题。师：你知道什么叫师：你知道什么叫“ “儿童乘车免票线儿童乘车免票线” ”

34、吗？没错，就是这吗？没错，就是这条线，我们来看看（图略）。条线，我们来看看（图略）。经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿经过市发改委与相关部门研究决定，将北京市六岁以下儿童童1.11.1米乘车免票线提高到了米乘车免票线提高到了1.21.2米。米。师：为什么要提高？师：为什么要提高？（学生自然会想到：孩子们都长高了。）（学生自然会想到：孩子们都长高了。）师：我们怎么去确定这个标准的呢？师：我们怎么去确定这个标准的呢？ （学生可能会回答：我们可以调查一下。）（学生可能会回答：我们可以调查一下。）平均数案例平均数案例2 2师：调查谁？如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？师：调查谁？

35、如果数据来了，有高的、有矮的，如何处理？（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结（这里要明确调查六岁儿童的身高，渗透抽样调查的想法。学生结合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。）合平均数的理解，回答调查完了可以计算平均数。）师：总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能师：总结：我们同学真了不起，既能准确理解平均数的意义，又能想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。想到可操作的办法。那我们一起看看实际是怎样做的。据统计，目前我市据统计，目前我市6 6岁男童身高的平均值为岁男童身高的平均值为119.3119.3厘米，女童身高平厘米，女童身高平均值为均值

36、为118.7118.7厘米。厘米。和你们想的一样，市发改委就是参照了我市和你们想的一样，市发改委就是参照了我市6 6岁儿童的平均身高，岁儿童的平均身高，才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确才确定了免票线的高度。看来，这平均数的作用真是不小，连确定免票线的高度都可以参照它。定免票线的高度都可以参照它。平均数案例平均数案例3.3.那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？那你们能利用平均数帮我解决判断一件事情吗？出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过出示据统计，周一至周五晚高峰时，平均每小时需要通过1 1号桥的车辆为号桥的车辆为17561756辆，需要通过辆，需要通

37、过2 2号桥的车辆号桥的车辆965965辆辆（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路（两个桥的宽度等条件差不多）。王老师回家这两条路都可以，并且驾车路程差不多你们觉得我走哪好？那我都可以，并且驾车路程差不多你们觉得我走哪好？那我走那一定快吗？为什么？走那一定快吗？为什么？（学生建议教师走（学生建议教师走2 2号桥，但偶尔也不一定快）号桥，但偶尔也不一定快）总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是总结：同学们理解得很好，平均数可以用来作参考，但是它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。它反映的只是一般情况，并不能反映出某种特殊情况。平均数与中位数、众数的关系平均数与中位

38、数、众数的关系 我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。值（平均数）、中位数和众数是一样的。 小学阶段不要求中位数、众数小学阶段不要求中位数、众数 平均数与中位数、众数的关系平均数与中位数、众数的关系 只有在数据分布偏态（不对称）的情只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严个统计量

39、都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。重的话，可以用中位数。一个例子一个例子n n1111名男同学名男同学名男同学名男同学100100米跑的成绩如下：米跑的成绩如下：米跑的成绩如下：米跑的成绩如下： 1313秒秒秒秒2 172 17秒秒秒秒 13 13秒秒秒秒5 155 15秒秒秒秒8 128 12秒秒秒秒 17 17秒秒秒秒1 161 16秒秒秒秒7 157 15秒秒秒秒6 176 17秒秒秒秒 16 16秒秒秒秒6 166 16秒秒秒秒7 7。n n学生能计算出这组数据的平均数是：学生能计算出这组数据的平均数是：学生能计算出这组数据的平均数是：学生能计算出这组数据的平均数是：15

40、15秒秒秒秒6 6；这组数据；这组数据；这组数据；这组数据的中位数是：的中位数是：的中位数是：的中位数是：1616秒秒秒秒6 6。在此基础上让学生利用数据分析。在此基础上让学生利用数据分析。在此基础上让学生利用数据分析。在此基础上让学生利用数据分析如下问题：如下问题：如下问题：如下问题： （1 1）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可）如果选择参加一项比赛，希望有一半的男同学可以参加，选择哪个成绩作为标准？以参加，选择哪个成绩作为标准？以参加，选择哪个成绩作为标准？以参加，选择哪个成绩作为标准？ （2

41、 2）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作）如果希望确定一个较高的标准，选择哪个成绩作为标准？为标准？为标准？为标准？ （3 3）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？）如果需要确定一个标准，你如何确定？为什么？2.整理、描述、分析数据的方法整理、描述、分析数据的方法教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地教学中应鼓励学生运用所学习的方法，尽可能多地从数据中提取有用的数据，并且能够根据问题的背从数据中提取有

42、用的数据，并且能够根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法景选择合适的方法，而不是单纯地名词、计算方法等的掌握。等的掌握。需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。总之，“统计学对结果的判断标准是统计学对结果的判断标准是好坏好坏”，而不是，而不是“对错对错”。三、数据的随机性三、数据的随机性 数据的随机主要有两层涵义：一方面对于数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。发现规律。

43、两个案例：摸球、上学时间两个案例：摸球、上学时间三、数据的随机性三、数据的随机性概率也是研究随机现象的，那么为什么又提出数据的随机性呢？实际上，统计与概率都是研究随机现象的学科。统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象，统计侧重于从数据来刻画随机，概率侧重于建立理论模型来刻画随机。鼓励学生运用数据来体会随机，更能体会随机的特点。史校长的采访史校长的采访我并不是反对前一种教法本身，而是说如果这么教，蕴含的随机思想并不强，学生也不感兴趣，都知道了概率为什么还要做实验。而后来的这种教法，学生体会到每一次摸的结果事先都不知道，但是摸多了能够帮助我们做一些判断。这样一来，学生既体会了随机，又感受到

44、了数据中蕴含着信息，我想这种类似于“猜谜”的活动学生也会很有兴趣”。三、数据的随机性三、数据的随机性实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”，在标准案例40的说明中给出了这种推断背后的科学依据，也就是虽然不能保证估计得完全一致，但能保证在一定实验次数下，估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。实际上，如果袋中装有4个红球和1个白球，可以知道摸到红球的概率为4/5（也就是8/10）。通过计算可以得到：保证有80%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸27次以上；保证有95%以上的可能使得“摸到红球的频率在7/10到9/10之间”，需要摸60次以上。习惯于从统计规律看问题的人在

45、思习惯于从统计规律看问题的人在思想上不拘执一端：他既认识到一种事物想上不拘执一端：他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律，也承认例从总的方面看有一定的规律，也承认例外。外。 陈希孺陈希孺“摸球摸球”活动的总结活动的总结n n第一类：验证类（淡化）第一类：验证类（淡化）n n第二类：体会随机类第二类：体会随机类n n第三类：体会推断类第三类：体会推断类n n第四类：运用频率估计概率类第四类：运用频率估计概率类n n第五类：体会频率与概率的关系类第五类：体会频率与概率的关系类验证类验证类(淡化淡化) 老师拿出一个盒子，盒子里有老师拿出一个盒子，盒子里有老师拿出一个盒子，盒子里有老师拿出一个盒子

46、，盒子里有9 9个白球、个白球、个白球、个白球、1 1个黄球。如个黄球。如个黄球。如个黄球。如果从中任意摸出果从中任意摸出果从中任意摸出果从中任意摸出1 1个球，可能是什么颜色的球个球，可能是什么颜色的球个球，可能是什么颜色的球个球，可能是什么颜色的球? ?摸到白球摸到白球摸到白球摸到白球的可能性有多大，黄球呢？的可能性有多大，黄球呢？的可能性有多大，黄球呢？的可能性有多大，黄球呢？ ( (学生略做思考后交流。学生略做思考后交流。学生略做思考后交流。学生略做思考后交流。) ) 生生生生1 1：可能摸到白球，也可能是黄球。：可能摸到白球，也可能是黄球。：可能摸到白球，也可能是黄球。：可能摸到白球

47、，也可能是黄球。 生生生生2 2：摸到白球的可能性是：摸到白球的可能性是：摸到白球的可能性是：摸到白球的可能性是9/109/10，因为有，因为有，因为有，因为有1010个球，其中个球，其中个球，其中个球，其中9 9个是白球。个是白球。个是白球。个是白球。 （大家都表示同意）（大家都表示同意）（大家都表示同意）（大家都表示同意）师师师师: :好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验好，下面就请你们分小组摸球，记录摸球的结果，验证一下大家的想法。证一下大家的想法。证一下大家的想法。证一下大家的想法。体

48、会随机类体会随机类 组织小组活动：盒子里有组织小组活动：盒子里有组织小组活动：盒子里有组织小组活动：盒子里有3 3个黄球、个黄球、个黄球、个黄球、3 3个白球。个白球。个白球。个白球。每次摸出每次摸出每次摸出每次摸出1 1个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的个，摸之前先猜猜你会摸到什么颜色的球球球球? ?每次你都猜对了么每次你都猜对了么每次你都猜对了么每次你都猜对了么? ? 活动结束时，老师询问活动结束时，老师询问活动结束时，老师询问活动结束时，老师询问: :有没有每次都猜对的同有没有每次都猜对的同有没有每次都猜对的同有没有每次

49、都猜对的同学学学学?(?(全班只有全班只有全班只有全班只有2 2人举手。人举手。人举手。人举手。) ) 师师师师: :为什么我们那么多的同学都没有猜对呢为什么我们那么多的同学都没有猜对呢为什么我们那么多的同学都没有猜对呢为什么我们那么多的同学都没有猜对呢? ? ( (此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。此时，两个猜对的同学急于向大家介绍方法。) )n n 体会随机类体会随机类生生生生1:1:黄球和白球摸在手里的感觉不一样黄球和白球摸在手里的感觉不一样黄球和白球摸在手里的感觉不一样黄球和白球摸在手里的感觉不一样!

50、 ! 师师师师:(:(饶有兴趣地饶有兴趣地饶有兴趣地饶有兴趣地) )真的吗真的吗真的吗真的吗? ?让我们见识一下让我们见识一下让我们见识一下让我们见识一下! ! 生生生生1:(1:(摸出一球，没看前猜测摸出一球，没看前猜测摸出一球，没看前猜测摸出一球，没看前猜测) )黄色黄色黄色黄色! (! (拿出后拿出后拿出后拿出后是白色，生是白色，生是白色，生是白色，生1 1低头坐了下去。低头坐了下去。低头坐了下去。低头坐了下去。) ) 师师师师: :怎么不试了怎么不试了怎么不试了怎么不试了? ? 生生生生1 1：没有信心了。：没有信心了。：没有信心了。：没有信心了。 师师师师: :怎么就没有信心了怎么就

51、没有信心了怎么就没有信心了怎么就没有信心了? ? 生生生生1:1:摸在手里分辨不出来摸在手里分辨不出来摸在手里分辨不出来摸在手里分辨不出来. .体会随机类体会随机类生生生生2:2:我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，我发现了，如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球，是交错出现的。第二次就猜是白球，是交错出现的。第二次就猜是白球，是交错出现的。第二次就猜是白球，是交错出现的。 师师师师: :你刚才就是这样猜的，结果都对了吗你刚才就是这样猜的，结果都对了吗你刚才就是这样猜的，结果都对了吗你刚才就是这样猜的，结果都对了吗?

52、? 生生生生2 2连连点头。连连点头。连连点头。连连点头。 师师师师( (半信半疑地半信半疑地半信半疑地半信半疑地) )：还有这个规律：还有这个规律：还有这个规律：还有这个规律? ?摸摸摸摸1 1个个个个! ! ( (生生生生2 2摸出摸出摸出摸出1 1个白球，放回。个白球，放回。个白球，放回。个白球，放回。) ) 生生生生2:2:第二次一定是黄球。第二次一定是黄球。第二次一定是黄球。第二次一定是黄球。( (第二次生第二次生第二次生第二次生2 2果真摸出一个黄球。果真摸出一个黄球。果真摸出一个黄球。果真摸出一个黄球。) )体会随机类体会随机类师：看来，下次师：看来，下次师：看来，下次师：看来，

53、下次生生生生2:2:第三次该是白球了第三次该是白球了第三次该是白球了第三次该是白球了! !( (第三次生第三次生第三次生第三次生2 2摸出个黄球。摸出个黄球。摸出个黄球。摸出个黄球。) )师师师师: :这个规律还成立么这个规律还成立么这个规律还成立么这个规律还成立么? ?学生们直摇头。学生们直摇头。学生们直摇头。学生们直摇头。师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么? ?生生生生: :盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可盒子里又有黄球又有白球，摸出一个

54、球，可盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球能是黄球，也可能是白球能是黄球，也可能是白球能是黄球，也可能是白球. .n n问题问题试验试验数据数据推断。推断。n n两种骰子，一个均匀，一个不均匀，两种骰子，一个均匀，一个不均匀，怎么办？怎么办？体会推断体会推断n n袋子里有除颜色外完全相同的黄色球和袋子里有除颜色外完全相同的黄色球和蓝色球，共蓝色球，共1010个。不打开，能否有办法个。不打开，能否有办法知道袋子里哪种颜色的球多，各有多少知道袋子里哪种颜色的球多，各有多少个。个。n n师：摸几次？师：摸几次？n n生：生：1010次？次？n n师：能不能多些？师：能不能多些

55、？n n生：生：2020次。次。体会推断体会推断运用频率估计概率类运用频率估计概率类n n 父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。币，而是啤酒瓶盖。币，而是啤酒瓶盖。币，而是啤酒瓶盖。n n爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去，爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去

56、，爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去，爸爸，我们抛啤酒瓶盖吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。如果反面朝上就您去。如果反面朝上就您去。如果反面朝上就您去。n n（学生纷纷举手表示认可。）（学生纷纷举手表示认可。）（学生纷纷举手表示认可。）（学生纷纷举手表示认可。）生：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，生：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，生：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，生：我认为是公平的，因为儿子的机遇是二分之一，爸爸的机遇也是二分之一。爸爸的机遇也是二分之一。爸爸的机遇也是二分之一。爸爸的机遇也是二分之一。n n做实验估计概率做实验估计概率做实验

57、估计概率做实验估计概率 案例案例:蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法频率与概率的关系频率与概率的关系 模拟试验模拟试验n n学生在第一学段中将不再学习概率，主学生在第一学段中将不再学习概率，主要理由是在基础教育阶段统计的重要性要理由是在基础教育阶段统计的重要性是大于概率的，发展学生的数据分析观是大于概率的，发展学生的数据分析观念是这部分内容的核心。即使对于随机念是这部分内容的核心。即使对于随机的学习，如前所述，的学习，如前所述，标准标准中也提出中也提出运用数据分析来体会随机性。运用数据分析来体会随机性。四、随机现象及简单随机事件四、随机现象及简单随机事件发生的概率发生的概率n n从第二学段开始，从第二学

58、段开始，标准标准安排了概率安排了概率的学习，并且根据学生年龄特点，第二的学习，并且根据学生年龄特点，第二学段称为学段称为“随机现象发生的可能性随机现象发生的可能性”，第三学段称为第三学段称为“事件的概率事件的概率”。四、随机现象及简单随机事件四、随机现象及简单随机事件发生的概率发生的概率n n在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在在概率学习中，帮助学生了解随机现象是重要的。在义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事义务教育阶段，所涉及的随机现象

59、都基于简单随机事义务教育阶段，所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。可能性是相同的。可能性是相同的。可能性是相同的。n n在第二学段，要求学生在第二学段，要求学生在第二学段，要求学生在第二学段，要求学生“在具体情境中，通过实例如在具体情境中，通过实例如在具体情境中，通过实例如在具体情境中，通过实例如感受简单的随机现象，能列出简单的随机现象中所有感受简单的随机现象，能列出简单的随机现象中所有感受简单的随机

60、现象，能列出简单的随机现象中所有感受简单的随机现象，能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果可能发生的结果可能发生的结果可能发生的结果”，并，并，并，并“能对一些简单的随机现象发能对一些简单的随机现象发能对一些简单的随机现象发能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述生的可能性大小作出定性描述生的可能性大小作出定性描述生的可能性大小作出定性描述”。四、随机现象及简单随机事件四、随机现象及简单随机事件发生的概率发生的概率案例案例 公共汽车门的高度公共汽车门的高度 汽车设计手册中指出：人的身高服从正态分汽车设计手册中指出：人的身高服从正态分布布N N（, ,2 2）。）。根据各国统计资料，

61、可以得到各根据各国统计资料，可以得到各国男子身高的国男子身高的和和2 2。对于中国人，对于中国人，=1.75=1.75，=0.05=0.05。现要求上下车要低头的男子的概率不现要求上下车要低头的男子的概率不超过超过0.5%0.5%，车门需要有多高。，车门需要有多高。 统计与概率的应用实例统计与概率的应用实例（1 1）工程系统设计）工程系统设计（2 2）博彩业的监督）博彩业的监督（3 3）劳动保护）劳动保护（4 4）社情分析：读图时代、民意测验）社情分析：读图时代、民意测验（5 5）工业质量控制）工业质量控制（6 6）犯罪学：检查足迹）犯罪学：检查足迹（7 7）数理语言学）数理语言学（8 8）金

62、融学）金融学（9 9）文学著作权）文学著作权（1010）天王星光环的发现）天王星光环的发现 （11111111）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效）医学：荷尔蒙血样的分析、新药疗效（12121212）耶稣的裹尸布之谜）耶稣的裹尸布之谜）耶稣的裹尸布之谜）耶稣的裹尸布之谜（13131313）挑战者号的爆炸）挑战者号的爆炸）挑战者号的爆炸）挑战者号的爆炸（14141414）生物资源的测定）生物资源的测定）生物资源的测定）生物资源的测定（15151515）体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比）体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比）

63、体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比）体育：新的方法确实比旧方法好吗、足球比赛开始的抛币游戏赛开始的抛币游戏赛开始的抛币游戏赛开始的抛币游戏（16161616）天气预报降水概率。）天气预报降水概率。）天气预报降水概率。）天气预报降水概率。（17171717）求职策略）求职策略）求职策略）求职策略（18181818）敏感性问题的调查）敏感性问题的调查）敏感性问题的调查）敏感性问题的调查 统计与概率的应用实例统计与概率的应用实例n n机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，机会的数学，陈希孺，清华大学出版社，2000200020

64、002000n n统计与真理统计与真理统计与真理统计与真理怎样运用偶然性，怎样运用偶然性，怎样运用偶然性，怎样运用偶然性，C.R.RaoC.R.RaoC.R.RaoC.R.Rao著，石坚著，石坚著，石坚著，石坚等译，九章出版社，等译，九章出版社，等译，九章出版社，等译，九章出版社，1998199819981998n n百家讲坛系列丛书，相识数学，中国人民大学出百家讲坛系列丛书，相识数学，中国人民大学出百家讲坛系列丛书，相识数学，中国人民大学出百家讲坛系列丛书，相识数学，中国人民大学出版社，一门应用广泛的学科版社，一门应用广泛的学科版社，一门应用广泛的学科版社，一门应用广泛的学科应用统计，应用统计，应用统计，应用统计，2006200620062006n n数学之旅，概率论和统计学，约翰数学之旅，概率论和统计学，约翰数学之旅，概率论和统计学，约翰数学之旅，概率论和统计学，约翰塔巴克著。塔巴克著。塔巴克著。塔巴克著。上午印书馆，上午印书馆，上午印书馆，上午印书馆，2007200720072007 书籍书籍在终级的分析中，在终级的分析中， 一切知识都是历史；一切知识都是历史；在抽象的意义下，在抽象的意义下，一切科学都是数学；一切科学都是数学；在理性的世界里，在理性的世界里，所有的判断都是统计学。所有的判断都是统计学。 著名统计学家著名统计学家C. R. Rao 结结 语语谢 谢！