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1、四川省宜宾市一中2015-2016 学年度下期高二数学第五周教学设计（导数知识点题型归纳小结）一：知识点小结1、函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注 1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、 导函数的概念 : 函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0xf或0|xxy，即)(0xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000. 3、函数的平均变化率的几
2、何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4、导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；（ 3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数ycy0 nyx*nN1nynx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页xya0,1aalnxyaaxyexyelogayx0,1,0aax1lnyxalnyx1yxsinyxcosyxcosyxsinyx6、常见的导数和定积分运算公式: 若fx，g x均可导 ，则有：和差的导数运算( )( )( )( )f xg xfxgx积的导数运算( )( )( ) (
3、)( )( )f xg xfx g xf x g x特别地：CfxCfx商的导数运算2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x gxg xg xg x特别地：21( )gxg xgx复合函数的导数xuxyyu6、用导数求函数单调区间的步骤: 求函数 f(x) 的导数( )fx令( )fx0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . 令( )fx0,=0,0 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页2、变更主元 -已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法 -结合图像分析5、
4、二次函数区间最值求法-（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元）。例 1： 设函数( )yf x在区间 D上的导数为( )fx，( )fx在区间 D上的导数为( )g x，若在区间 D上，( )0g x恒成立，则称函数( )yf x在区间 D上为“凸函数”，已知实数 m是常数，4323( )1262xmxxf x（1）若( )yfx
5、在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；（2） 若对满足2m的任何一个实数m， 函数( )f x在区间, a b上都为 “凸函数”，求ba的最大值 . 解: 由函数4323( )1262xmxxf x得32( )332xmxfxx2( )3g xxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页（1）( )yf x在区间0,3上为“凸函数”，则2( )30g xxmx在区间0,3 上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max( )0gx(0)0302(3)09330gmgm解法二：分离变量法： 当0x时, 2(
6、 )330g xxmx恒成立 , 当03x时, 2( )30g xxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值（03x）恒成立，而3( )h xxx（03x）是增函数，则max( )(3)2hxh2m(2) 当2m时( )f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m时2( )30g xxmx恒成立变更主元法再等价于2()30F mmxx在2m恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）22( 2)023011(2)0230FxxxFxx2ba例 2：设函数), 10(3231)(223Rbabxaaxxxf-2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、- - -第 5 页，共 21 页（）求函数 f （x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2,1aax不等式( )fxa恒成立，求 a 的取值范围 . 解：（）22( )433fxxaxaxaxa01a令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（ a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（ 3a，+）当 x=a 时，)(xf极小值=;433ba当 x=3a时，)(xf极大值=b. （）由 |)(xf| a，得：对任意的,2, 1aax2243axaxaa恒成立则等价于( )g x这个二次函数maxmin( )( )gxagxa22( )43g xxaxa的对称轴2xa01,a
8、12aaaa（放缩法）即定义域在对称轴的右边，( )g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。22( )431,2g xxaxaaa在上是增函数 . maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa解得3a a ( )f xa 3a 2xa1,2aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页又, 10a.154a点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例 3：
9、已知函数32( )f xxax图象上一点(1, )Pb处的切线斜率为3，326( )(1)3(0)2tg xxxtxt（）求,a b的值；（）当 1,4x时，求( )f x的值域；（）当1,4x时，不等式( )( )f xg x恒成立，求实数 t 的取值范围。解：（）/2( )32fxxax/(1)31fba，解得32ab（）由（）知，( )f x在 1,0上单调递增，在0, 2上单调递减，在2, 4上单调递减又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff( )f x的值域是 4,16（）令2( )( )( )(1)31,42th xfxg xxtxx思路 1：要使( )( )f xg
10、x恒成立，只需( )0h x，即2(2 )26t xxx分离变量思路 2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m , n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页例 4：已知Ra，函数xaxa
11、xxf) 14(21121)(23（）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围解：)14()1(41)(2axaxxf. （）( )fx是偶函数，1a. 此时xxxf3121)(3，341)(2xxf，令0)(xf，解得：32x. 列表如下：x( , 23) 23( 23,23) 23(23,+)(xf+ 0 0 + )(xf递增极大值递减极小值递增可知：( )f x的极大值为34)32(f，( )fx的极小值为34)32(f. （）函数)(xf是),(上的单调函数，21( )(1)(41)04fxxaxa，在给定区
12、间 R上恒成立判别式法则221(1)4(41)204aaaa，解得：02a. 综上，a的取值范围是20aa. 例 5、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a（I ）求( )fx的单调区间；（II ）若( )f x在0 ，1 上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页解：（I ）2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa 1、20,( )(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“ =”号，( )(,)f x 在单调递增。 2、12120,(
13、 )0,1,1,afxxxaxx当时 由得且单调增区间：(, 1),(1,)a单调增区间：( 1,1)a（II ）当( )0,1,f x 在上单调递增则0,1是上述增区间的子集：1、0a时，( )(,)f x 在单调递增符合题意2、0,11,a，10a1a综上，a 的取值范围是 0 ，1 。2、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x) 与 g(x) （或与 x 轴）的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值
14、与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可。例 6、已知函数232) 1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数（1）求实数k的取值范围；a-1 -1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解：（ 1）由题意xkxxf)1()(2)(xf在区间),2(上为增函数，0) 1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立（分离变量法）即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k（2）设312)1(3)
15、()()(23kxxkxxgxfxh，) 1)()1()(2xkxkxkxxh令0)(xh得kx或1x由（1）知1k，当1k时，0)1()(2xxh，)(xh在 R上递增，显然不合题意当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：x),(kk) 1 ,(k1), 1()(xh00)(xh极大值312623kk极小值21k由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数321( )22f xa
16、xxxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页（1）若1x是( )fx的极值点且( )f x的图像过原点，求( )f x的极值；（2）若21( )2g xbxxd，在（ 1）的条件下，是否存在实数b，使得函数( )g x的图像与函数( )fx的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在， 求出实数b的取值范围；否则说明理由。解：（ 1）( )f x的图像过原点，则(0)00fc2( )32fxaxx，又1x是( )f x的极值点，则( 1)31201faa2( )32(32)(1)0fxxxxx3( )( 1)2fxf极大
17、值222( )( )37fxf极小值（2）设函数( )g x的图像与函数( )fx的图像恒存在含1x的三个不同交点，等价于( )( )f xg x有含1x的三个根，即：1( 1)( 1)(1)2fgdb3221112(1)222xxxbxxb整理得：即：3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根3211( )(1)(1)022h xxbxxb有含1x的根，则( )h x必可分解为(1)()0x二次式，故用添项配凑法因式分解，3x22xx211(1)(1)022bxxb2211(1)(1)(1)022xxbxxb221(1)(1)2(1)02xxbxxb十字相乘法分解：21(1
18、)(1)(1)102xxbxbx23-1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页211(1)(1)(1)022xxbxb3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于 -1 的不等实根。2211(1)4(1)04211( 1)(1)(1)022bbbb(,1)( 1,3)(3,)b题 2 切线的条数问题，即以切点0x为未知数的方程的根的个数例 8、 已知函数32( )f xaxbxcx在点0x处取得极小值 4， 使其导数( )0fx的x的取值
19、范围为(1,3)， 求： （1）( )fx的解析式； （2） 若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取值范围（1）由题意得：2( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa在(,1)上( )0fx；在(1,3)上( )0fx；在(3,)上( )0fx因此( )f x在01x处取得极小值44abc，(1)320fabc，(3)2760fabc由联立得：169abc，32( )69f xxxx（2）设切点 Q( ,( )t f t，,( )( )()yf tftxt232( 3129)()(69 )yttxtttt222( 3129)(3129)(69)ttx
20、tttt tt22( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m232( 3129)( 1)26mtttt32( )221290g ttttm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页令22( )66126(2)0g ttttt，求得：1,2tt，方程( )0g t有三个根。需：( 1)0(2)0gg23129016122490mm1611mm故：1116m；因此所求实数m的范围为：( 11,16)题 3 已知( )f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例 8、解：函数的定义域为
21、R（）当 m 4 时，f (x)13x372x210x，( )fxx27x10，令( )0fx， 解得5,x或2x. 令( )0fx， 解得25x可知函数 f(x) 的单调递增区间为(,2)和（5，），单调递减区间为2,5（）( )fxx2(m3)x m 6, 要使函数 yf (x) 在 （1， ）有两个极值点 ,( )fxx2(m3)x m 6=0的根在（ 1，）1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页根分布问题：则2(3)4(6)0;(1)1 (3)60;31.2mmfmmm， 解得 m 3 例 9、已知函数2
22、3213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令( )g x14x4f （x）（xR）有且仅有 3 个极值点，求 a 的取值范围解：（ 1）)1()(2axxxaxxf当0a时，令0)(xf解得01xax或，令0)(xf解得01xa，所以)(xf的递增区间为),0()1,(a，递减区间为)0,1(a. 当0a时，同理可得)(xf的递增区间为)10(a，递减区间为),1()0,(a. （2）432113)42(gaxxxx有且仅有 3 个极值点223(1( )axxxxxxagx=0有 3 个根，则0x或210xax，2a方程210xax有两个非零实根，所以240,a2
23、a或2a而当2a或2a时可证函数( )yg x有且仅有 3 个极值点其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）. 已知定义在R上的函数32( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是 5，最小值是 11. （）求函数( )fx的解析式；（）若1 , 1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页解：（）322( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx令( )fx=0,得1240,2,13xx因为0a，所以可得下表：x2,00 0,1( )
24、fx+ 0 - ( )fx极大因此)0(f必为最大值 , 50 ）（f因此5b，( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff，即11516)2(af，1a，.52(23xxxf）（）xxxf43)(2，0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(g t在 1 , 1t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10) 1(（gg，即005322xxxx，解得10x，所以所求实数x的取值范围是 0 ，1. 2、（根分布与线性规划例子）已知函数322( )3f xxaxbxc() 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直
25、线30xy平行, 求)(xf的解析式；( ) 当( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时 , 设点(2,1)M ba所在平面区域为S, 经过原点的直线 L 将 S分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页解： ( ). 由2( )22fxxaxb, 函数( )f x在1x时有极值 , 220ab(0)1f1c又( )fx在(0,1)处的切线与直线30xy平行, (0)3fb故12a3221( )3132f xxxx . 7 分 ( ) 解法
26、一 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令( ,)M xy, 则21xbya12aybx20220460xyxyx故点M所在平面区域 S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS同时 DE为ABC的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx, 它与 AC,BC分别
27、交于 F、G, 则由220ykxyx得点 F的横坐标为 : 221Fxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页由460ykxyx得点 G的横坐标为 : 641GxkOGEOFDSSS四边形 DEGF61311222214121kk即216250kk解得: 12k或58k ( 舍去) 故这时直线方程为 : 12yx综上, 所求直线方程为 : 0x或12yx . . .12 分() 解法二 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即
28、0220480babab令( ,)Mxy, 则21xbya12aybx20220460xyxyx故点M所在平面区域 S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS同时 DE为ABC的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况由于直线BO方程为: 12yx, 设直线 BO与 AC交于 H , 由12220yxyx得直线 L 与 AC交点为 : 1( 1,)2H2ABCS, 1112222DECS, 11222211122HABOAOHSSSAB 所求直线方程为 : 0x或12yx
29、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。（）求cd、的值；（）若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110，求函数 f ( x )的解析式；（）若0x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。解：由题知：2f (x)3ax2bx+c-3a-2b（）由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且1f= 0 得332c320dabab03cd（）依题意2f= 3 且 f ( 2 )
30、= 5 124323846435abababab解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 （）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 ) xf= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由5f= 0b = 9a 若方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 3 8a7a + 3111a3 所以 当111a3 时，方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分4、（根的个数问题）已知函数321( )1()3fxxaxxaR精选
31、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页（1）若函数( )f x在12,xx xx处取得极值，且122xx，求a的值及( )f x的单调区间；（2）若12a，讨论曲线( )fx与215( )(21)( 21)26g xxaxx的交点个数解：（ 1）2( )21f xxax12122 ,1xxa xx22121212()4442xxxxx xa0a2 分22( )211fxxaxx令( )0fx得1,1xx或令( )0fx得11x( )fx的单调递增区间为(, 1)，(1,)，单调递减区间为( 1,1) 5 分（2）由题(
32、)( )f xg x得3221151(21)326xaxxxax即32111()20326xaxax令32111( )()2( 21)326xxaxaxx 6 分2( )(21)2(2 )(1)xxaxaxa x令( )0x得2xa或1x7 分12a当22a即1a时x2( 2,1)1( )x( )x982aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页此时，9802a，0a，有一个交点；9 分当22a即112a时，x2( 2,2 )a2a(2 ,1)a1( )x0( )x982a221(32 )36aaa221(32 )0
33、36aa, 当9802a即9116a时, 有一个交点；当98002aa，且即9016a时，有两个交点；当102a时，9802a，有一个交点13 分综上可知，当916a或102a时，有一个交点；当9016a时，有两个交点14 分5、（简单切线问题）已知函数23)(axxf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为5102，函数23( )( )3bxg xf xa（） 若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（） 若函数)(xg在区间 1 ,1上为增函数，且)(42xgmbb在区间 1 , 1上都成立，求实数m的取值范围（1）f (x)= 3/a2 ?x2，由 3/a2 ?x2=3得 x=a
34、，即切点坐标为（ a，a），（ -a，-a）切线方程为 y-a=3（x-a ），或 y+a=3（x+a）（2 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页整理得 3x-y-2a=0 或 3x-y+2a=0 解得 a=1，f （x）=x3g（x）=x3-3bx+3（4 分）g（x）=3x2-3b，g（x）在 x=1 处有极值，g（1）=0，即 312-3b=0，解得 b=1 g（x）=x3-3x+3（6 分）（2）函数 g（x）在区间 -1 ，1 上为增函数，g（x）=3x2-3b0 在区间 -1 ，1 上恒成立，b0，又b2-mb+4 g（x）在区间 -1 ，1 上恒成立，b2-mb+4 g（1）（8 分）即 b2-mb+4 4-3b，若 b=0，则不等式显然成立，若b0，则 m b+3在 b（-，0）上恒成立m 3故 m的取值范围是 3 ，+）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
