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1、四川省宜宾市一中2015-2016 学年度下期高二数学第五周教学设计(导数知识点题型归纳小结)一:知识点小结1、函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注 1:其中x是自变量的改变量,可正,可负,可零。注 2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、 导函数的概念 : 函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000,则称函数)(xfy在点0x处可导,并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数,记作)(0xf或0|xxy,即)(0xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000. 3、函数的平均变化率的几
2、何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的斜率。4、导数的背景( 1)切线的斜率;( 2)瞬时速度;( 3)边际成本。5、常见的函数导数和积分公式函数导函数ycy0 nyx*nN1nynx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页xya0,1aalnxyaaxyexyelogayx0,1,0aax1lnyxalnyx1yxsinyxcosyxcosyxsinyx6、常见的导数和定积分运算公式: 若fx,g x均可导 ,则有:和差的导数运算( )( )( )( )f xg xfxgx积的导数运算( )( )( ) (
3、)( )( )f xg xfx g xf x g x特别地:CfxCfx商的导数运算2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x gxg xg xg x特别地:21( )gxg xgx复合函数的导数xuxyyu6、用导数求函数单调区间的步骤: 求函数 f(x) 的导数( )fx令( )fx0,解不等式,得 x 的范围就是递增区间 . 令( )fx0,=0,0 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页2、变更主元 -已知谁的范围就把谁作为主元3、根分布4、判别式法 -结合图像分析5、
4、二次函数区间最值求法-(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)端点处和顶点是最值所在一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令0)(xf得到两个根;第二步:画两图或列表;第三步:由图表可知;第三种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知谁的范围就把谁作为主元)。例 1: 设函数( )yf x在区间 D上的导数为( )fx,( )fx在区间 D上的导数为( )g x,若在区间 D上,( )0g x恒成立,则称函数( )yf x在区间 D上为“凸函数”,已知实数 m是常数,4323( )1262xmxxf x(1)若( )yfx
5、在区间0,3上为“凸函数”,求m的取值范围;(2) 若对满足2m的任何一个实数m, 函数( )f x在区间, a b上都为 “凸函数”,求ba的最大值 . 解: 由函数4323( )1262xmxxf x得32( )332xmxfxx2( )3g xxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页(1)( )yf x在区间0,3上为“凸函数”,则2( )30g xxmx在区间0,3 上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max( )0gx(0)0302(3)09330gmgm解法二:分离变量法: 当0x时, 2(
6、 )330g xxmx恒成立 , 当03x时, 2( )30g xxmx恒成立等价于233xmxxx的最大值(03x)恒成立,而3( )h xxx(03x)是增函数,则max( )(3)2hxh2m(2) 当2m时( )f x在区间,a b上都为“凸函数”则等价于当2m时2( )30g xxmx恒成立变更主元法再等价于2()30F mmxx在2m恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)22( 2)023011(2)0230FxxxFxx2ba例 2:设函数), 10(3231)(223Rbabxaaxxxf-2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、- - -第 5 页,共 21 页()求函数 f (x)的单调区间和极值;()若对任意的,2,1aax不等式( )fxa恒成立,求 a 的取值范围 . 解:()22( )433fxxaxaxaxa01a令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为( a,3a)令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为(,a)和( 3a,+)当 x=a 时,)(xf极小值=;433ba当 x=3a时,)(xf极大值=b. ()由 |)(xf| a,得:对任意的,2, 1aax2243axaxaa恒成立则等价于( )g x这个二次函数maxmin( )( )gxagxa22( )43g xxaxa的对称轴2xa01,a
8、12aaaa(放缩法)即定义域在对称轴的右边,( )g x这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。22( )431,2g xxaxaaa在上是增函数 . maxmin( )(2)21.( )(1)44.g xg aag xg aa于是,对任意2, 1aax,不等式恒成立,等价于(2)44,41.(1)215g aaaag aaa解得3a a ( )f xa 3a 2xa1,2aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页又, 10a.154a点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系例 3:
9、已知函数32( )f xxax图象上一点(1, )Pb处的切线斜率为3,326( )(1)3(0)2tg xxxtxt()求,a b的值;()当 1,4x时,求( )f x的值域;()当1,4x时,不等式( )( )f xg x恒成立,求实数 t 的取值范围。解:()/2( )32fxxax/(1)31fba,解得32ab()由()知,( )f x在 1,0上单调递增,在0, 2上单调递减,在2, 4上单调递减又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff( )f x的值域是 4,16()令2( )( )( )(1)31,42th xfxg xxtxx思路 1:要使( )( )f xg
10、x恒成立,只需( )0h x,即2(2 )26t xxx分离变量思路 2:二次函数区间最值二、参数问题1、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1:转化为0)(0)(xfxf或在给定区间上恒成立,回归基础题型解法 2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;做题时一定要看清楚“在(m , n )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a , b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页例 4:已知Ra,函数xaxa
11、xxf) 14(21121)(23()如果函数)()(xfxg是偶函数,求)(xf的极大值和极小值;()如果函数)(xf是),(上的单调函数,求a的取值范围解:)14()1(41)(2axaxxf. ()( )fx是偶函数,1a. 此时xxxf3121)(3,341)(2xxf,令0)(xf,解得:32x. 列表如下:x( , 23) 23( 23,23) 23(23,+)(xf+ 0 0 + )(xf递增极大值递减极小值递增可知:( )f x的极大值为34)32(f,( )fx的极小值为34)32(f. ()函数)(xf是),(上的单调函数,21( )(1)(41)04fxxaxa,在给定区
12、间 R上恒成立判别式法则221(1)4(41)204aaaa,解得:02a. 综上,a的取值范围是20aa. 例 5、已知函数3211( )(2)(1) (0).32f xxa xa x a(I )求( )fx的单调区间;(II )若( )f x在0 ,1 上单调递增,求 a 的取值范围。子集思想精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页解:(I )2( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa 1、20,( )(1)0,afxx当时恒成立当且仅当1x时取“ =”号,( )(,)f x 在单调递增。 2、12120,(
13、 )0,1,1,afxxxaxx当时 由得且单调增区间:(, 1),(1,)a单调增区间:( 1,1)a(II )当( )0,1,f x 在上单调递增则0,1是上述增区间的子集:1、0a时,( )(,)f x 在单调递增符合题意2、0,11,a,10a1a综上,a 的取值范围是 0 ,1 。2、题型二:根的个数问题题 1 函数 f(x) 与 g(x) (或与 x 轴)的交点,即方程根的个数问题解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值
14、与 0 的关系;第三步:解不等式(组)即可。例 6、已知函数232) 1(31)(xkxxf,kxxg31)(,且)(xf在区间),2(上为增函数(1)求实数k的取值范围;a-1 -1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页(2)若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围解:( 1)由题意xkxxf)1()(2)(xf在区间),2(上为增函数,0) 1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立(分离变量法)即xk1恒成立,又2x,21k,故1kk的取值范围为1k(2)设312)1(3)
15、()()(23kxxkxxgxfxh,) 1)()1()(2xkxkxkxxh令0)(xh得kx或1x由(1)知1k,当1k时,0)1()(2xxh,)(xh在 R上递增,显然不合题意当1k时,)(xh,)(xh随x的变化情况如下表:x),(kk) 1 ,(k1), 1()(xh00)(xh极大值312623kk极小值21k由于021k,欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点,即方程0)(xh有三个不同的实根,故需0312623kk,即0)22)(1(2kkk02212kkk,解得31k综上,所求k的取值范围为31k根的个数知道,部分根可求或已知。例 7、已知函数321( )22f xa
16、xxxc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页(1)若1x是( )fx的极值点且( )f x的图像过原点,求( )f x的极值;(2)若21( )2g xbxxd,在( 1)的条件下,是否存在实数b,使得函数( )g x的图像与函数( )fx的图像恒有含1x的三个不同交点?若存在, 求出实数b的取值范围;否则说明理由。解:( 1)( )f x的图像过原点,则(0)00fc2( )32fxaxx,又1x是( )f x的极值点,则( 1)31201faa2( )32(32)(1)0fxxxxx3( )( 1)2fxf极大
17、值222( )( )37fxf极小值(2)设函数( )g x的图像与函数( )fx的图像恒存在含1x的三个不同交点,等价于( )( )f xg x有含1x的三个根,即:1( 1)( 1)(1)2fgdb3221112(1)222xxxbxxb整理得:即:3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根3211( )(1)(1)022h xxbxxb有含1x的根,则( )h x必可分解为(1)()0x二次式,故用添项配凑法因式分解,3x22xx211(1)(1)022bxxb2211(1)(1)(1)022xxbxxb221(1)(1)2(1)02xxbxxb十字相乘法分解:21(1
18、)(1)(1)102xxbxbx23-1 ( )f x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页211(1)(1)(1)022xxbxb3211(1)(1)022xbxxb恒有含1x的三个不等实根等价于211(1)(1)022xbxb有两个不等于 -1 的不等实根。2211(1)4(1)04211( 1)(1)(1)022bbbb(,1)( 1,3)(3,)b题 2 切线的条数问题,即以切点0x为未知数的方程的根的个数例 8、 已知函数32( )f xaxbxcx在点0x处取得极小值 4, 使其导数( )0fx的x的取值
19、范围为(1,3), 求: (1)( )fx的解析式; (2) 若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线,求实数m的取值范围(1)由题意得:2( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa在(,1)上( )0fx;在(1,3)上( )0fx;在(3,)上( )0fx因此( )f x在01x处取得极小值44abc,(1)320fabc,(3)2760fabc由联立得:169abc,32( )69f xxxx(2)设切点 Q( ,( )t f t,,( )( )()yf tftxt232( 3129)()(69 )yttxtttt222( 3129)(3129)(69)ttx
20、tttt tt22( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m232( 3129)( 1)26mtttt32( )221290g ttttm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页令22( )66126(2)0g ttttt,求得:1,2tt,方程( )0g t有三个根。需:( 1)0(2)0gg23129016122490mm1611mm故:1116m;因此所求实数m的范围为:( 11,16)题 3 已知( )f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法:根分布或判别式法例 8、解:函数的定义域为
21、R()当 m 4 时,f (x)13x372x210x,( )fxx27x10,令( )0fx, 解得5,x或2x. 令( )0fx, 解得25x可知函数 f(x) 的单调递增区间为(,2)和(5,),单调递减区间为2,5()( )fxx2(m3)x m 6, 要使函数 yf (x) 在 (1, )有两个极值点 ,( )fxx2(m3)x m 6=0的根在( 1,)1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页根分布问题:则2(3)4(6)0;(1)1 (3)60;31.2mmfmmm, 解得 m 3 例 9、已知函数2
22、3213)(xxaxf,)0,(aRa(1)求)(xf的单调区间;(2)令( )g x14x4f (x)(xR)有且仅有 3 个极值点,求 a 的取值范围解:( 1))1()(2axxxaxxf当0a时,令0)(xf解得01xax或,令0)(xf解得01xa,所以)(xf的递增区间为),0()1,(a,递减区间为)0,1(a. 当0a时,同理可得)(xf的递增区间为)10(a,递减区间为),1()0,(a. (2)432113)42(gaxxxx有且仅有 3 个极值点223(1( )axxxxxxagx=0有 3 个根,则0x或210xax,2a方程210xax有两个非零实根,所以240,a2
23、a或2a而当2a或2a时可证函数( )yg x有且仅有 3 个极值点其它例题:1、(最值问题与主元变更法的例子). 已知定义在R上的函数32( )2f xaxaxb)(0a在区间2,1上的最大值是 5,最小值是 11. ()求函数( )fx的解析式;()若1 , 1t时,0(txxf)恒成立,求实数x的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 21 页解:()322( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx令( )fx=0,得1240,2,13xx因为0a,所以可得下表:x2,00 0,1( )
24、fx+ 0 - ( )fx极大因此)0(f必为最大值 , 50 )(f因此5b,( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff,即11516)2(af,1a,.52(23xxxf)()xxxf43)(2,0(txxf)等价于0432txxx,令xxxttg43)(2,则问题就是0)(g t在 1 , 1t上恒成立时,求实数x的取值范围,为此只需0)10) 1((gg,即005322xxxx,解得10x,所以所求实数x的取值范围是 0 ,1. 2、(根分布与线性规划例子)已知函数322( )3f xxaxbxc() 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直
25、线30xy平行, 求)(xf的解析式;( ) 当( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时 , 设点(2,1)M ba所在平面区域为S, 经过原点的直线 L 将 S分为面积比为 1:3 的两部分, 求直线 L 的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 21 页解: ( ). 由2( )22fxxaxb, 函数( )f x在1x时有极值 , 220ab(0)1f1c又( )fx在(0,1)处的切线与直线30xy平行, (0)3fb故12a3221( )3132f xxxx . 7 分 ( ) 解法
26、一 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即0220480babab令( ,)M xy, 则21xbya12aybx20220460xyxyx故点M所在平面区域 S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS同时 DE为ABC的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx, 它与 AC,BC分别
27、交于 F、G, 则由220ykxyx得点 F的横坐标为 : 221Fxk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 21 页由460ykxyx得点 G的横坐标为 : 641GxkOGEOFDSSS四边形 DEGF61311222214121kk即216250kk解得: 12k或58k ( 舍去) 故这时直线方程为 : 12yx综上, 所求直线方程为 : 0x或12yx . . .12 分() 解法二 : 由2( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0(1)0(2)0fff即
28、0220480babab令( ,)Mxy, 则21xbya12aybx20220460xyxyx故点M所在平面区域 S为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3(0,)2E, 2ABCS同时 DE为ABC的中位线 , 13DECABEDSS四边形所求一条直线 L 的方程为 : 0x另一种情况由于直线BO方程为: 12yx, 设直线 BO与 AC交于 H , 由12220yxyx得直线 L 与 AC交点为 : 1( 1,)2H2ABCS, 1112222DECS, 11222211122HABOAOHSSSAB 所求直线方程为 : 0x或12yx
29、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 21 页3、(根的个数问题)已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。()求cd、的值;()若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110,求函数 f ( x )的解析式;()若0x5,方程f(x)8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。解:由题知:2f (x)3ax2bx+c-3a-2b()由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 ),且1f= 0 得332c320dabab03cd()依题意2f= 3 且 f ( 2 )
30、= 5 124323846435abababab解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 ()依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 ) xf= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由5f= 0b = 9a 若方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当满足 f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 3 8a7a + 3111a3 所以 当111a3 时,方程 f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分4、(根的个数问题)已知函数321( )1()3fxxaxxaR精选
31、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 21 页(1)若函数( )f x在12,xx xx处取得极值,且122xx,求a的值及( )f x的单调区间;(2)若12a,讨论曲线( )fx与215( )(21)( 21)26g xxaxx的交点个数解:( 1)2( )21f xxax12122 ,1xxa xx22121212()4442xxxxx xa0a2 分22( )211fxxaxx令( )0fx得1,1xx或令( )0fx得11x( )fx的单调递增区间为(, 1),(1,),单调递减区间为( 1,1) 5 分(2)由题(
32、)( )f xg x得3221151(21)326xaxxxax即32111()20326xaxax令32111( )()2( 21)326xxaxaxx 6 分2( )(21)2(2 )(1)xxaxaxa x令( )0x得2xa或1x7 分12a当22a即1a时x2( 2,1)1( )x( )x982aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 21 页此时,9802a,0a,有一个交点;9 分当22a即112a时,x2( 2,2 )a2a(2 ,1)a1( )x0( )x982a221(32 )36aaa221(32 )0
33、36aa, 当9802a即9116a时, 有一个交点;当98002aa,且即9016a时,有两个交点;当102a时,9802a,有一个交点13 分综上可知,当916a或102a时,有一个交点;当9016a时,有两个交点14 分5、(简单切线问题)已知函数23)(axxf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为5102,函数23( )( )3bxg xf xa() 若函数)(xg在1x处有极值,求)(xg的解析式;() 若函数)(xg在区间 1 ,1上为增函数,且)(42xgmbb在区间 1 , 1上都成立,求实数m的取值范围(1)f (x)= 3/a2 ?x2,由 3/a2 ?x2=3得 x=a
34、,即切点坐标为( a,a),( -a,-a)切线方程为 y-a=3(x-a ),或 y+a=3(x+a)(2 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 21 页整理得 3x-y-2a=0 或 3x-y+2a=0 解得 a=1,f (x)=x3g(x)=x3-3bx+3(4 分)g(x)=3x2-3b,g(x)在 x=1 处有极值,g(1)=0,即 312-3b=0,解得 b=1 g(x)=x3-3x+3(6 分)(2)函数 g(x)在区间 -1 ,1 上为增函数,g(x)=3x2-3b0 在区间 -1 ,1 上恒成立,b0,又b2-mb+4 g(x)在区间 -1 ,1 上恒成立,b2-mb+4 g(1)(8 分)即 b2-mb+4 4-3b,若 b=0,则不等式显然成立,若b0,则 m b+3在 b(-,0)上恒成立m 3故 m的取值范围是 3 ,+)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页