《2022年2022年含参的函数单调区讨论典例》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年2022年含参的函数单调区讨论典例(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1 导数应用:含参函数的单调性讨论(二) 对函数 (可求导函数 )的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论,若有多个讨论点时,要注意讨论层次与顺序,一般先根据参数对导函数类型进行分类,从简单到复杂。一、典型例题例 1、已知函数32( )331,f xaxxxaR, 讨论函数)(xf的单调性 . 分析:讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增,在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)( xf的解区间; 确定函数的减区间就是确定0)( xf的解区间;讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解:因为32( )331,f xaxxxaR,所以/2( )3(21)fxaxx (1) 当0
2、a时,/( )3(21)fxx,当1,2x时,/( )0fx;当1,2x时,/( )0fx;所以函数( )f x在1(,2上单调递增,在1,)2上单调递减;(2) 当0a时,/2( )3(21)fxaxx的图像开口向上,36(1)aI) 当136(1)0,aa时,时,/( )0fx,所以函数( )f x在 R上递增;II) 当0136(1)0,aa时,时,方程/( )0fx的两个根分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )f x在11(,)aa,11(,)aa上单调递增,在1111(,)aaaa上单调递减;(3) 当0a时,/2( )3(21)fxaxx的图像开口向下,且36(
3、1)0a方程/( )0fx的两个根分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )fx在11(,)aa,11(,)aa上单调递减,在1111(,)aaaa上单调递增。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 2 综上所述,当0a时,所以函数( )f x在1111(,)aaaa上单调递增,在11(,)aa,11(,)aa上单调递减;当0a时,( )f x在1(,2上单调递增,在1,)2上单调递减;当01a时,所以函
4、数( )f x在11(,)aa,11(,)aa上单调递增,在1111(,)aaaa上单调递减;当1a时,函数( )f x在 R上递增;小结:导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论(先讨论其为0 情形),然后讨论判别式(先讨论判别式为负或为0 的情形, 对应导函数只有一种符号,原函数在定义域上为单调的),判别式为正的情况下还要确定两根的大小(若不能确定的要进行一步讨论),最后根据导函数正负确定原函数相应单调性,记得写出综述结论。例 2 (2010 山东理数改编)已知函数1( )ln1afxxaxx()aR. 讨论( )f x的单调性;解: 因为1( )ln1af xxaxx的定义域为
5、),0(所以222111( )(0,)aaxxafxaxxxx,令2( )1,(0,)h xaxxa x,则)()( xgxf与同号法一:根据熟知二次函数性质可知g(x) 的正负符号与开口有关,因此可先分类型讨论:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 3 当0a时,由于110a1,)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0,1)x,( )0h x , 此时( )0fx ,函数( )f x单调递减;(1,)x时,( )0h
6、 x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递增 . 当0a时,)(xh开口向上 , 但2x是否在定义域需要讨论:因10011aaa或所以i) 当1a时,由于110a1,)(xh开口向上 , 结合其图象易知(0,1)x,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递增 . (1,)x时,( )0h x , 此时( )0fx ,函数( )f x单调递减; ii)当10a时, g(x) 开口向上且),0(,21xx,但两根大小需要讨论: a) 当12a时,12,()0xxhx 恒成立,此时( )0fx ,函数( )fx在(0,+ )上单调递减; b) 当1101 102aa 时,
7、 ,g(x) 开口向上且在(0,)有两根(0,1)x时,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递减;1(1,1)xa时( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )fx单调递增;1(1,)xa时,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递减; c) 当121a时,1110a,g(x) 开口向上且在(0,)有两根)11,0(ax时,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递减;) 1 , 11(ax时( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )fx单调递增;), 1 (x时,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递
8、减;小结:此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论,而确定导函数符号的分子是常见二次型的,一般要先讨论二次项系数,确定类型及开口;然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内,再讨论两根大小注,结合g(x) 的图象确定其在相应区间的符号,得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 4 法二:10011aaa或i) 当0a时,由于110a1,)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0
9、,1)x,( )0h x , 此时( )0fx ,函数( )f x单调递减;(1,)x时,( )0h x ,此时( )0fx ,函数( )f x单调递增 . ii)当1a时,由于11 0a0)令2( )2 (1)2(1)1g xaa xa x,则)( xf与)(xg同号(1)当1a时,xxfxxfxgln)(,01)( , 1)(在定义域),0(上为增函数(2) 当1a时, 224(1)8 (1)121644(31)(1)aaaaaaa当0113a时, g(x)开口向上,图象在x 轴上方,所以0)(xg所以( )0fx,则( )f x在(0,)上单调递增当0131aa或,此时令( )0fx,解
10、得)1(21,)1(2121aaaxaaax由于210)(100)1(2xxxgaaa开口向上且,因此可进一步分类讨论如下:i)当1a时,120)(0)1 (2x,xxgaa开口向下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - 6 0x,( )0fx10xx; ( )0fx1xx则( )f x在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa上单调递增,在1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递减ii) 当103a时,(
11、 )0fx10xx或2xx; ( )0fx21xxx则( )fx在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa,1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递增,在1(31)(1) 1(31)(1)(,)2 (1)2 (1)aaaaaaaaaa上单调递减综上所述, f(x) 的单调区间根据参数a讨论情况如下表:103a113a1a1(0,)x12(,)x x2(,)x(0,)1(0,)x1(,)x增减增增增增(其中12(1)(31)(1)(31)11,22 (1)22 (1)aaaaxxaaaaaa) 小结:求单调区间要确定定义域,确定导函数符号的关键是看分子相应函数,因此讨论点有:第一是
12、类型(一次与二次的根个数显然不同);第二 有没有 根(二次的看判别式),第三是有根是否为增根(在不在 定义根内;第四有根的确定谁大 ;第五看区间内导函数的正负号 (二次函数要看开口)。确记 要数形结合 ,多数考题不会全部讨论点都要讨论的,题中往往有特别条件 ,不少讨论点会同时确定(即知一个就同时确定另一个)。判别式与开口的讨论点先谁都可以,但从简单优先原则下可先根据判别式讨论,因为当导函数无根时它只有一种符号,相应原函数在定义域内(每个连续的区间)为单调函数较简单。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
13、 - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - 7 二、巩固作业:1. 已知函数( )ln.af xxx,求( )f x的单调区间 . 解:221+,axafxxxx函数的定义域为(0,),0fxxa令得:000 ,( 0 ,)000,0(,)aaffxaafffxa若即,则x在上单调递增;若即,则由x得 x-a由x得 x0, 故( )f x在(0,)单调递增 . 若 00得,无解. (3)当21xx即1k时,2( )01xfxx故( )fx的单调递增区间是( 1,). (4)当21xx即01k(0k)时,由( )0fx得,10kxk;由( )0fx得,1
14、10kxxk或故( )f x的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk,单调递减区间是1(0,)kk. (5)当21xx即1k(0k)时,由( )0fx得,10kxk;由( )0fx得,110kxxk或故( )f x的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,),单调递减区间是1(,0)kk.综上知 : 当0k时,( )f x得单调递增区间是( 1,0),单调递减区间是(0,);当1k时,( )fx的单调递增区间是( 1,);当01k时,( )f x的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk,单调递减区间是1(0,)kk当1k时,( )fx的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,),单调递减区间是1(,0)kk.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -