《2022年2022年含参的函数单调区讨论典例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年含参的函数单调区讨论典例（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数 (可求导函数 )的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题例 1、已知函数32( )331,f xaxxxaR, 讨论函数)(xf的单调性 . 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)( xf的解区间； 确定函数的减区间就是确定0)( xf的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解：因为32( )331,f xaxxxaR，所以/2( )3(21)fxaxx (1) 当0
2、a时，/( )3(21)fxx，当1,2x时，/( )0fx；当1,2x时，/( )0fx；所以函数( )f x在1(,2上单调递增，在1,)2上单调递减；(2) 当0a时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向上，36(1)aI) 当136(1)0,aa时，时，/( )0fx，所以函数( )f x在 R上递增；II) 当0136(1)0,aa时，时，方程/( )0fx的两个根分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )f x在11(,)aa，11(,)aa上单调递增，在1111(,)aaaa上单调递减；(3) 当0a时，/2( )3(21)fxaxx的图像开口向下，且36(
3、1)0a方程/( )0fx的两个根分别为121111,aaxxaa且12,xx所以函数( )fx在11(,)aa，11(,)aa上单调递减，在1111(,)aaaa上单调递增。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 综上所述，当0a时，所以函数( )f x在1111(,)aaaa上单调递增，在11(,)aa，11(,)aa上单调递减；当0a时，( )f x在1(,2上单调递增，在1,)2上单调递减；当01a时，所以函
4、数( )f x在11(,)aa，11(,)aa上单调递增，在1111(,)aaaa上单调递减；当1a时，函数( )f x在 R上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0 情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0 的情形， 对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。例 2 （2010 山东理数改编）已知函数1( )ln1afxxaxx()aR. 讨论( )f x的单调性；解： 因为1( )ln1af xxaxx的定义域为
5、),0(所以222111( )(0,)aaxxafxaxxxx，令2( )1,(0,)h xaxxa x，则)()( xgxf与同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x) 的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 当0a时，由于110a1，)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0,1)x，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；(1,)x时，( )0h
6、 x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增 . 当0a时，)(xh开口向上 , 但2x是否在定义域需要讨论：因10011aaa或所以i) 当1a时，由于110a1，)(xh开口向上 , 结合其图象易知(0,1)x，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增 . (1,)x时，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减； ii)当10a时， g(x) 开口向上且),0(,21xx，但两根大小需要讨论： a) 当12a时，12,()0xxhx 恒成立，此时( )0fx ，函数( )fx在（0，+ ）上单调递减； b) 当1101 102aa 时，
7、 ，g(x) 开口向上且在（0，）有两根(0,1)x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；1(1,1)xa时( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )fx单调递增；1(1,)xa时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减； c) 当121a时，1110a，g(x) 开口向上且在（0，）有两根)11,0(ax时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；) 1 , 11(ax时( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )fx单调递增；), 1 (x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递
8、减；小结：此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论，而确定导函数符号的分子是常见二次型的，一般要先讨论二次项系数，确定类型及开口；然后由于定义域限制讨论其根是否在定义域内，再讨论两根大小注，结合g(x) 的图象确定其在相应区间的符号，得出导函数符号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 法二：10011aaa或i) 当0a时，由于110a1，)(xh开口向下 , 结合其图象易知(0
9、,1)x，( )0h x , 此时( )0fx ，函数( )f x单调递减；(1,)x时，( )0h x ，此时( )0fx ，函数( )f x单调递增 . ii)当1a时，由于11 0a0)令2( )2 (1)2(1)1g xaa xa x,则)( xf与)(xg同号（1）当1a时，xxfxxfxgln)(,01)( , 1)(在定义域),0(上为增函数(2) 当1a时, 224(1)8 (1)121644(31)(1)aaaaaaa当0113a时， g(x)开口向上，图象在x 轴上方，所以0)(xg所以( )0fx，则( )f x在(0,)上单调递增当0131aa或,此时令( )0fx，解
10、得)1(21,)1(2121aaaxaaax由于210)(100)1(2xxxgaaa开口向上且，因此可进一步分类讨论如下：i)当1a时，120)(0)1 (2x，xxgaa开口向下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 0x，( )0fx10xx; ( )0fx1xx则( )f x在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递减ii) 当103a时，(
11、 )0fx10xx或2xx; ( )0fx21xxx则( )fx在1(31)(1)(0,)2 (1)aaaaa，1(31)(1)(,)2 (1)aaaaa上单调递增，在1(31)(1) 1(31)(1)(,)2 (1)2 (1)aaaaaaaaaa上单调递减综上所述， f(x) 的单调区间根据参数a讨论情况如下表：103a113a1a1(0,)x12(,)x x2(,)x(0,)1(0,)x1(,)x增减增增增增（其中12(1)(31)(1)(31)11,22 (1)22 (1)aaaaxxaaaaaa) 小结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是
12、类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二 有没有 根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在 定义根内；第四有根的确定谁大 ；第五看区间内导函数的正负号 （二次函数要看开口）。确记 要数形结合 ，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件 ，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）。判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
13、 - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 二、巩固作业：1. 已知函数( )ln.af xxx，求( )f x的单调区间 . 解：221+,axafxxxx函数的定义域为（0，），0fxxa令得：000 ,( 0 ,)000,0(,)aaffxaafffxa若即，则x在上单调递增；若即，则由x得 x-a由x得 x0, 故( )f x在(0,)单调递增 . 若 00得，无解. （3）当21xx即1k时，2( )01xfxx故( )fx的单调递增区间是( 1,). （4）当21xx即01k（0k）时，由( )0fx得，10kxk；由( )0fx得，1
14、10kxxk或故( )f x的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk. （5）当21xx即1k（0k）时，由( )0fx得，10kxk；由( )0fx得，110kxxk或故( )f x的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.综上知 : 当0k时，( )f x得单调递增区间是( 1,0)，单调递减区间是(0,)；当1k时，( )fx的单调递增区间是( 1,)；当01k时，( )f x的单调递增区间是( 1,0)和1(,)kk，单调递减区间是1(0,)kk当1k时，( )fx的单调递增区间是1( 1,)kk和(0,)，单调递减区间是1(,0)kk.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
