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1、1 概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1事件的关系ABABAABBABA2运算规则(1)BAABABBA(2))()()()(BCACABCBACBA(3))()()()()(CBCACABBCACCBA(4)BAABBABA3概率)(AP满足的三条公理及性质:(1)1)(0AP(2)1)(P(3)对互不相容的事件nAAA,21,有nkknkkAPAP11)()((n可以取)(4)0)(P(5))(1)(APAP(6))()()(ABPAPBAP,若BA,则)()()(APBPABP,)()(BPAP(7))()()()(ABPBPAPBAP(8))()()()()()()()(AB
2、CPBCPACPABPCPBPAPCBAP4古典概型:基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率(1)定义:若0)(BP,则)()()|(BPABPBAP(2)乘法公式:)|()()(BAPBPABP若nBBB,21为完备事件组,0)(iBP,则有(3)全概率公式:niiiBAPBPAP1)|()()((4)Bayes 公式:niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性:BA,独立)()()(BPAPABP(注意独立性的应用)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 44 页2 第二章随机变量与
3、概率分布1 离散随机变量:取有限或可列个值,iipxXP)(满足( 1)0ip, (2)iip=1 (3)对任意RD,DxiiipDXP:)(2 连续随机变量:具有概率密度函数)(xf,满足( 1)1)(,0)(-dxxfxf;(2)badxxfbXaP)()(; (3)对任意Ra,0)(aXP3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布), 1 (pBpXP)1(,pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2, 1 ,0,)(,npnpqPoisson分布)(P,2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布)( pG,2, 1,)(1kpqkX
4、Pkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(,2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24 分布函数)()(xXPxF,具有以下性质(1)1)(,0)(FF; (2)单调非降;(3)右连续;(4))()()(aFbFbXaP,特别)(1)(aFaXP;(5)对离散随机变量,xxiiipxF:)(;(6) 对连续随机变量,xdttfxF)()(为连续函数, 且在)(xf连续点上,)()(xfxF5 正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布) 1 , 0(N的分布函数,则有(1)5.0)0(; (2))(1)(xx; (3)
5、若),(2NX,则)()(xxF;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 44 页3 (4)以u记标准正态分布)1 ,0(N的上侧分位数,则)(1)(uuXP6 随机变量的函数)(XgY(1)离散时,求Y的值,将相同的概率相加;( 2 )X连 续 ,)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 则|)(|)()(11ygygfyfXY,若不单调,先求分布函数,再求导。第四章随机变量的数字特征1期望(1) 离散时iiipxXE)(,iiipxgXgE)()(;(2) 连续时dxxxfX
6、E)()(,dxxfxgXgE)()()(;(3) 二维时jiijjipyxgYXgE,),(),(,dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(; (5))()(XCECXE;(6))()()(YEXEYXE;(7)YX ,独立时,)()()(YEXEXYE2方差(1)方差222)()()()(EXXEXEXEXD,标准差)()(XDX;(2))()(,0)(XDCXDCD;(3))()(2XDCCXD;(4)YX ,独立时,)()()(YDXDYXD3协方差(1))()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov;(2)),(),(),(),(YXabCovb
7、YaXCovXYCovYXCov;(3)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov;(4)0),(YXCov时,称YX ,不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5)),(2)()()(YXCovYDXDYXD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 44 页4 4相关系数)()(),(YXYXCovXY;有1|XY,1)(,1|baXYPbaXY5k阶原点矩)(kkXE,k阶中心矩kkXEXE)(第五章大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式2)(|)(|XDXEXP或2)(1|)(|XDXEX
8、P2大数定律3中心极限定理( 1 ) 设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE, 则),(21nnNXnii近似, 或),(121nNXnnii近似或)0,1(1NnnXnii近似,( 2) 设m是n次 独 立 重 复 试 验 中A发 生 的 次 数 ,pAP)(, 则 对 任 意x, 有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX,则),(npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1总体、样本(1)简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2)样本数字特征:样本均值niiXnX11()(XE,nXD2)() ;样本方差niiXXn
9、S122)(11(22)(SE)样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11,样本k阶中心矩nikikXXn1)(12统计量:样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)2分布)(2222212nXXXn,其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1 , 0(N,若)(),(2212nYnX且独立,则)(212nnYX;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 44 页5 (2)t分布)(/ntnYXt,其中)(),1 ,0(2nYNX且独立;(3)F分布),(/
10、2121nnFnYnXF,其中)(),(2212nYnX且独立,有下面的性质),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF4正态总体的抽样分布(1))/,(2nNX;(2))()(11222nXnii;(3))1() 1(222nSn且与X独立;(4))1(/ntnSXt;(5))2()()(21212121nntnnnnSYXt,2) 1()1(212222112nnSnSnS(6))1, 1(/2122222121nnFSSF第七章参数估计1矩估计:(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2极大似然估计:(1)写出极大似然函数; (2)求
11、对数极大似然函数(3)求导数或偏导数; (4)令导数或偏导数为 0, 解出极大似然估计 (如无解回到 (1)直接求最大值, 一般为 minix或 maxix)3估计量的评选原则(1)无偏性:若)?(E,则为无偏;(2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效;4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知nxu/2nux2未知nsxt/)1(2nsntx2未知222)1(sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 44 页6 复习资料一、填空题(15 分)题型一:概
12、率分布的考察【相关公式】 (P379)分布参数分布律或概率密度数学期望( E)方差( D)( 01)分布01p1(1),0,1kkP Xkppkp(1)pp二项分布101np(1),0,1,kn knP Xkppkknnp(1)npp负二项分布101rp1(1)1,1,rkrkP Xkpprkr rrp2(1)rpp几何分布01p1(1)1,2,kPXkppk1p21pp超几何分布,()()N M aMNnN,max0,min ,MNMknkP XkNkknNMkn M为整数nMN11nMMNnNNN泊松分布0!0,1,2,keP Xkkk均匀分布ab1,axbba( )f x0,其他2ab2
13、()12ba【相关例题】1、设( , )XU a b:,()2E X,1()3D Z,则求 a,b 的值。21( , ),()2,(),3()12,21231,3.XU a b E XD XabbaababQ:解:根据性质:解得:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 44 页7 2、已知( ,),()0.5,()0.45Xb n pE XD X:,则求 n,p 的值。0.5,(1)0.450.1.npnppp解:由题意得:解得:题型二:正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】 (P163)2/2,1-/XnXzn为已知 由枢轴
14、量,得到的一个置信水平为的置信区间:【相关例题】1、(样本容量已知)1225( ,0.81),5,0.99XNXXXX已知总体为样本 且则 的置信度的置信区间为:/20.0250.9550.18 1.964.6472,5.35285Xzzn解:代入公式得:2、(样本容量未知)123( ,1),0.9510.88,18.92.nXNXXXX:已知为样本容量 若关于的置信度的置信区间,求样本容量2227.847.843.9224.XzXzznnnnn解:由题意知:样本长度为,则有:代入数据,得:题型三:方差的性质【相关公式】 (P103)21( )0,2()(),()()3,()()( )D CC
15、D CXC D XD XCD XCX YD XYD XD Y为常数。, 为常数。相互独立【相关例题】1、12121212(2,4),(0,9),(2).XXXUXNXXD XX:已知,两变量,且相互独立求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 44 页8 1221212(2,4),(0,9)()1(2)()4()4936123XUXbaD XXD XD XQ:解:题型四:2t分布、分布的定义【相关公式】 (P140、P138)21232222122221(0,1),( ),/.2,(0,1),.nnXYnX YXtYnnttt
16、nXXXXNXXXnn:设且相互独立,则称随机变量服从自由度为的 分布,记为设是来自总体的样本 则称统计量服从自由度为的分布 记为【相关例题】1、2(0,1),(4),/XXYX YYn:若且相互独立?(4)/XtYn:答:2、302123301,0,1 ,?iiXXXXNX:若变量服从则30221(30).iiX:答:题型五:互不相容问题【相关公式】 (P4),ABAB若则称事件与事件是互不相容的。【相关例题】1、()0.6,().P AA BP AB若互不相容求,()( ()()( )0.6A BABP ABP A SBP AABP AQ解:互不相容二、选择题(15 分)题型一:方差的性质
17、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 44 页9 【相关公式】 (见上,略)【相关例题】 (见上,略)题型二:考察统计量定义(不能含有未知量)题型三:考察概率密度函数的性质(见下,略)题型四:和、乘、除以及条件概率密度(见下,略)题型五:对区间估计的理解(P161)题型六:正态分布和的分布【相关公式】 (P105)【相关例题】(0,2),(3,9), ?XNYNXY若则(03,29)(3,11).NN答:题型七:概率密度函数的应用【相关例题】2 ,01xx设( )Xfx0,其他已知,P XaP Xaa则求 。2011212|0
18、2022aP XaP XaP XaaxdxxaaQ解:由题意,得:即有:又三、解答题(70 分)题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】?全概率公式:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 44 页10 n1122SP()=|()|()()(|)( )=()(|) ( )(|).innESAEBAP A BP BP A BP BP A BP BP ABP B AP AP AP A B P BP A B P B12设实验的样本空间为, 为 的事件, B,B,B为 的划分,且0,则有:P? 其中有:。特别地:当
19、n 2时,有:?贝叶斯公式:i100(1,2, ),()(|)()(|)( )(|) ()=()(|) ( )(|)()(|) ( )(|) ()iiiiniijESAEAP BinP B AP A B P BP BAP AP A B P BP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P B12n设实验的样本空间为。 为 的事件 ,B ,B,B 为S的一个划分,且 P,则有:特别地:当n 2时,有:【相关例题】1、P19 例 5 某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额1 0.02 0.15 2
20、0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区分标志。问:(1)在仓库中随机取一只元件,求它的次品率;(2)在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率。(见下)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 44 页11 11223311121=(1,2,3).1()(|)()(|)()(|)()0.020.150.010.800.030.050.0125(2)(|)()0.020.15(|)0.24()0.0125(|ABiiB
21、P AP ABP BP A BP BP A BP BP A BP BP BAP AP BA解:设取到一只次品,在 厂取到产品且、B2、B3是S的一个划分。则由全概率公式有:由贝叶斯公式有:22333(|)()0.010.80)0.64()0.0125(|) ()0.030.05(|)0.12( )0.0125P A BP BP AP A BP BP BAP A答:综上可得,次品出自二厂的可能性较大。2、袋中装有m 枚正品硬币,n 枚次品硬币(次品硬币两面均有国徽),在袋中任意取一枚,将他掷 r 次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?=B=rP|,1=,(),(|),(|)1.2
22、1()(|)()2|.1()(|)()(|)()2rrrAA BmnP AP AP B AP B AmnmnmP ABP B A P AmnP A BmnP BP B A P AP B A P Amnmn解:设所抛掷的硬币是正品,抛掷 次都得到国徽,本题即求得:即有:3、设根据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种:损坏 2%(这一事件记为A1) ,损坏 10% (这一事件记为A2) ,损坏 90% (这一事件记为A3) ,且知 P (A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3 件,发现这三件都是好的(这一事件记为B) ,12
23、3(|),(|),(|)()P AB P AB P AB试求这里物品件数很多,取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。(见下)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 44 页12 333123123112233333111(|)0.98 , (|)0.9 ,(|)0.1()0.8, ()0.15, ()0.05()(|) ()(|) ()(|) ()0.980.80.90.150.10.050.8624(|) ()0.983 0.8(|)0( )0.8624P B AP B AP B AP AP AP AP BP B A P
24、 AP B A P AP B A P AP B A P AP ABP B解:由题意可知:23.8731(|)0.1268(|)0.0001P ABP AB4、将 A、B、C 三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出其他字母的概率都是(1-) /2.今将字母串AAAA 、 BBBB 、CCCC 之一输入信道, 输入 AAAA 、 BBBB 、 CCCC的概率分别为p1、p2、p3(p1+p2+p3=1 ) ,已知输出为ABCA 。问输入AAAA的概率是多少?(设信道传输各字母的工作是相互独立的。)2233331232212231=AAAA=CCCC=ABCA|.()(|) ( )(|)
25、 ( )(|) ( )111()()()2221()()(|)( )2(|)11()()()()22ABBBBBCDP A DP DP D A P AP D B P BP D C P CppppP ADP D A P AP A DP DP Dp解:设输入为, = 输入为,输入为,输出为,依题意求3231111123111()2111(31)1()()(1)222pppppapppppp题型二: 1、求概率密度、分布函数;2、正态分布1、求概率密度【相关公式】 已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x) 求分布函数抓住公式:( )1f x dx, 且对于任意实数, 有:212211
26、()()( )xP xXxF xF xf x dxx。【相关例题】(1)设随机变量X 的分布函数为:0,1xFX(X)= ln,1xxe1,xe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 44 页13 5(2)(03)(2)2P XPXPX求、( ).xfx求概率密度(见下)(1) (2)(2)ln 2(03)(3)(0)101555(2)()(2)ln2241(2)()XXXXXP XP XPXFFPXFFdFXdxx解:1,1xex( )xfx0,其他(2)2( )()1Af xxx,是确定常数A。200+1-1+(arcta
27、narctan11AdxxAxxA解:由相关性质得:解得:(3),036xx设随机变量X 具有概率密度f(x)= 2,342xx,求 X 的分布函数。0,其他解:0,x0 ,030 6xxdxx2,0312xx3 622,3403xxxx232,344xxx1,4x2、正态分布 (高斯分布 ) ( )F x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 44 页14 【相关公式】(1)公式22()21( )()2xf xex其中:,为常数,则称X服从参数为的正态分布。(2)若2=(0,1).xX NZN,则(3)相关概率运算公式:12
28、2112();()();( )1().XxxP XxPxxxxXP xXxPxx【相关例题】1、( P58 27)某地区18 岁女青年的血压(收缩压:以mmHg 计)服从N(110,122) ,在该地任选一名18 岁女青年,测量她的血压X,求:(1)105,100120;P XPX(2)确定最小的,0.05xP Xx使2(1)(110,12 )110105 1105105()1(0.42)10.66280.3372;121212100 110110120 110101010100120()()2()10.5934121212121212110110(2) 111212XNXP XPXPXPXx
29、P XxP XxPQB解:min1101()0.0512110()0.95(1.65)121101.65129.812129.8xxxxxB即有:2、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数10.05,0.06的正态分布,规定长度在范围10.05 0.12内为合格品,求一螺栓为不合格的概率。(见下)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 44 页15 .9.93 10.0510.0510.17 10.0510.05()( 22)2(2)10.95440.060.060.060.06( )1( )10.95440.0456AP
30、AXXP APPP AP A解:设一螺栓合格 ,本题求题型三:二维随机变量的题型【相关公式】+1( , )=( , )1-2( , )( )( )3(1):()( )( )()1(2):( )( )( )(3):( )XYxyXYXYXYXYYXf x y dxdyf x y dx dyf x yfxfyZXYfffzy fy dyfx fzx dxzZXYfzfx fdxxxYZfzX、二维随机变量的求法:、联合概率密度求法 :、随机变量的函数分布:( )()XYx fx fxz dx【注意点】讨论 x,y 取值范围。【相关例题】1、( P84 3)设随机变量(X,Y )的概率密度为:(6)
31、,02,24kxyxy( , )f x y0,其他(1).(2)X1,Y3.(3)X1.5.(4)4.kPPP XY确定常数求求求(见下)y x 0 4 4 2 y=4-x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 44 页16 22042441(6)6|10212022218311326208841.5127(3)6208324412(4)62083xkxy dx dykxxydyky dyxy dx dyxy dx dyyxy dx dy解:解得:k=由题意即求:由题意即求:由题意即求 ( 如图):2、( P86 18)设
32、X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间( 0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为:21,02yey( )Yfy0,其他12XY.XYP求和 的联合概率密度.求X解:由题意的:的概率密度如下:1,0x1 XfX0,其他2222121( , ),01,02( , )0,(2)111112|00022221yyyyxf x yexyf x yyedy dxeddxedxxxe其他由题意 , 即求:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 44 页17 3、( P87 25)设随机变量X,Y 相互独立,且具有相同的分布,它们
33、的概率密度均为1,1xex( )f x0,其他求 Z=X+Y 的概率密度。1122( , )( )()001(2).(2)1xxzXYXYzzfx yfx fzx dxeedxzedxezx解:4、( P87 26)设随机变量X,Y 相互独立,它们的概率密度为,0xex( )f x0,其他求 Z=Y/X 的概率密度。00(1)20000,0.0()()( )()( )()1.10()0.xzxxzxzxXZxYf Zfx fX x fY zx dxx fX x fY zx dxXxeedxxe edxxedxzxf ZZ解:由题意知:当时,当时,综上所述,的概率密度为:21,01zz( )Zf
34、z0,0z题型四:最大似然估计的求解【相关公式】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 44 页18 (1)( )0ln( )0220ln0(1,2,3, )iiddLLddiiLLik当只有一个变量的时候,有:或;当未知变量有 的时候,有:或【相关例题 】1、设概率密度为:,01xex( )f x0,其他求 的最大似然估计.$1111( )expln( )ln( )1( )0=.nnxniiiniiniinLexlLnxdnlxddldx解:令,即有:2、( P174 8)123,nXXXX设,? 是来自概率密度为:1,01
35、xx( ;)f x0,其他的总体的样本,未知,求的最大似然估计。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 44 页19 $1111111( )( )ln( )ln1 lnln ( )lnln ( )=0=lnnnniiiniiniiniiLxxlLnxdnlxddldnx解:令,得:题型五:正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式 】000/202220221201/(2)(1)/(1)/21(1)1:(1)XZnXtt nsnXttnsnHnSnnSn:1、正态总体均值的假设检验标准差已知( Z检验法):标准差
36、未知( t 检验法) :拒绝域为:、正态总体方差的假设检验当为真时,有:拒绝域为【相关例题 】1、( P218 3)某批矿砂的5 个样品中的镍含量,经测定(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在=0.01 下能否接受假设,这批矿砂的镍含量的均值为3.25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 44 页20 0120=0.013.25:3.253.252=0.013-3.2523.250.3442/0.013 /5:(1)0.005(4)4.6061, 4.6061
37、(4.6061,)0.34424.6061=0.01HxHxxSXtSnttnttHBQ00解:在显著性水平下检验问题:检验统计量,=3.25,n=5 。代入数据,得观察值:=拒绝域为即:接受在3.25.的情况下可以接受假设,这批矿砂的镍含量均值为2、 ( P220 12)某种导线,要求电阻的标准差不得超过0.005,尽在一批导线中取样品9根,测得s=0.007,设总体为正态分布,参数值均未知,问在显著水平=0.05 下能否认为这批导线的标准差显著偏大?0122222210.050=0.050.0050.0050.007,9,0.005(1)80.00715.680.005:(1)(8)15.
38、50715.6815.507=0.05HHsnnStnHQ解:在显著水平下检验问题:检验统计量:代入数据,得观察值:拒绝域为拒绝在显著性水平下能认为这批导线的标准差显著性偏大。模拟试题一一、填空题(每空3 分,共 45 分)1、已知 P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A) = 0.85, 则 P(A|B) = P( A B) = 2、设事件A 与 B 独立, A 与 B 都不发生的概率为19, A 发生且 B 不发生的概率与B发生且 A 不发生的概率相等,则A 发生的概率为:;3、一间宿舍内住有6 个同学,求他们之中恰好有4 个人的生日在同一个月份的概率:;没有任何人
39、的生日在同一个月份的概率;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 44 页21 4、 已知随机变量X 的密度函数为:,0( )1/ 4,020,2xAexxxx, 则常数 A= , 分布函数F(x)= , 概率 0.51 PX;5、设随机变量X B(2 ,p)、Y B(1 ,p),若15/ 9P X,则 p = ,若 X 与 Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律:;6、设(200,0.01),(4),XBYP且 X 与 Y 相互独立,则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ;7、设125,XXXL是总体(0
40、,1)XN的简单随机样本,则当k时,12222345() (3)k XXYtXXX;8、设总体(0, )0XU为未知参数,12,nXXXL为其样本,11niiXXn为样本均值,则的矩估计量为:。9、设样本129,XXXL来自正态总体( ,1.44)N a,计算得样本观察值10x,求参数a的置信度为95% 的置信区间:;二、计算题(35 分)1、 (12 分)设连续型随机变量X 的密度函数为:1,02( )20,xxx其它求: 1)| 21|2PX;2)2YX的密度函数( )Yy;3)(21)EX;2、(12 分)设随机变量 (X,Y)的密度函数为1/ 4,|,02,( , )0,yxxx y其
41、他1) 求边缘密度函数( ),( )XYxy;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 44 页22 2) 问 X 与 Y 是否独立?是否相关?3) 计算 Z = X + Y的密度函数( )Zz;3、 (11 分)设总体X 的概率密度函数为:1,0( ),000xexxxX1,X2,Xn是取自总体X 的简单随机样本。1)求参数的极大似然估计量?;2)验证估计量?是否是参数的无偏估计量。三、应用题(20 分)1、 (10 分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是 3/10 ,1/5 ,1/10和
42、2/5 。如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4 ,1/3 ,1/2 。现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?2 (10 分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5 份水样,测定该有害物质含量,得如下数据:0.530 , 0.542 , 0.510 , 0.495 , 0.515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05)?附表:模拟试题二一、填空题 (45 分,每空3 分) 1设( )0.5,(|)0.6,()0.1,P AP BAP AB则( )P B()P AB精选学
43、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 44 页23 2 设,A B C三事件相互独立,且()()()P AP BP C,若37()64P ABC,则()P A。3设一批产品有12 件,其中 2 件次品, 10 件正品,现从这批产品中任取3 件,若用X表示取出的3 件产品中的次品件数,则X的分布律为。4设连续型随机变量X的分布函数为( )arctan( ),F xABxxR则( ,)A B,X的密度函数( )x。5设随机变量 2,2XU,则随机变量112YX的密度函数( )Yy6设,X Y的分布律分别为X-1 0 1 Y0 1 P1
44、/4 1/2 1/4 P1/2 1/2 且00P XY,则(,)X Y的联合分布律为。和1 P XY7 设(,) (0,25;0,36;0.4)X YN, 则cov(,)X Y,1(31)2DXY。8设1234(,)XXXX是总体(0,4)N的样本,则当a,b时,统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从自由度为2 的2分布。9 设12(,)nXXXK是 总 体2( ,)N a的 样 本 , 则 当 常 数k时 ,221?()niikXX是参数2的无偏估计量。10 设由来自总体2( ,0.9 )XN a容量为9 的样本,得样本均值x=5 ,则参数a的置信度为 0.95 的置信区间为。
45、二、计算题 (27 分) 1(15 分)设二维随机变量(,)X Y的联合密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 44 页24 1(),02,02( , )80,xyxyx y其它(1)求XY与的边缘密度函数( ),( )XYxy;(2)判断XY与是否独立?为什么?(3)求ZXY的密度函数( )Zz。2(12 分)设总体X的密度函数为(),( )0,xexxx其中0是未知参数,12(,)nXXXK为总体X的样本,求(1)参数的矩估计量1?;(2)的极大似然估计量2?。三、应用题与证明题(28 分) 1(12 分)已知甲
46、,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有3 件正品和3 件次品,乙箱中仅有 3 件正品,从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后,(1)求从乙箱中任取一件产品为次品的概率;(2)已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的3 件产品中恰有 2 件次品的概率。2(8 分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布,从中随机抽取了36 位考生的成绩,算得平均成绩66.5x分,标准差15s %分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分,并给出检验过程。3(8 分)设0()1P A,证明:AB与相互独立(|)(|)P BAP BA。附表:0.950.9750.950.951
47、.65,1.96,(35)1.6896,(36)1.6883,uutt0.9750.975(35)2.0301,(36)2.0281,tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 44 页25 模拟试题三一、填空题(每题3 分,共 42 分)1设()0.3,()0.8,P AP AB若AB与互斥,则( )P B;AB与独立,则()P B;若AB,则()P AB。2在电路中电压超过额定值的概率为1p,在电压超过额定值的情况下,仪器烧坏的概率为2p,则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为;3设随机变量X的密度为34,01( )0,x
48、xx其它,则使P XaP Xa成立的常数a;0.51.5PX;4如果(,)X Y的联合分布律为Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 则,应 满 足 的 条 件 是01,01,1/ 3, 若XY与独 立 ,(31)E XY。5设( ,)XB n p,且2.4,1.44,EXDX则n,p。6设2( ,)XN a,则32XY服从的分布为。7测量铝的比重16 次,得2.705,0.029xs, 设测量结果服从正态分布2( ,)N a,参数2,a未知,则铝的比重a的置信度为95% 的置信区间为。二、 (12 分)设连续型随机变量X 的密度为:,0( )0,0xcexxx精选学习资
49、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 44 页26 (1)求常数c;(2)求分布函数( )F x;(3)求21YX的密度( )Yy三、 (15 分)设二维连续型随机变量(,)X Y的联合密度为,01,0( , )0,cxyxx y其它( 1)求常数c;(2)求XY与的边缘密度( ),( )XYxy;( 3)问XY与是否独立?为什么?( 4)求ZXY的密度( )Zz;(5)求(23 )DXY。(2) 参数的极大似然估计量2?;五、 (10 分)某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1 ,它们在一定时间内需要修理的概率之比
50、为1:2:3:1 ,当有一台机床需要修理时,求这台机床是车床的概率。六、 (10 分)测定某种溶液中的水份,设水份含量的总体服从正态分布2( ,)N a,得到的10个测定值给出0.452,0.037xs %,试问可否认为水份含量的方差20.04?四、 (11 分)设总体X 的密度为(1),01( )0,xxx其它其中1是未知参数,1(,)nXXK是来自总体X 的一个样本,求(1)参数的矩估计量1?;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 44 页27 (0.05)22220.9750.9750.950.95(10)20.483
51、,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,模拟试题四一、填空题(每题3 分,共 42 分)1、设A、B为随机事件,()0.8P B,()0.2P BA,则A与B中至少有一个不发生的概率为;当AB与独立时,则()P B AB2、椐以往资料表明,一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律:孩子得病P= 0.6 ,孩子得病母亲得病P=0.5 ,孩子得病母亲及父亲得病P=0.4 ,那么一个三口之家患这种传染病的概率为。3 、 设 离 散 型 随 机 变 量X的 分 布 律 为 :,.)2, 1 ,0(!3)(kkakXPk, 则a=_)1(XP。4、若连续型随机变量X的分布函数为3
52、, 133,3arcsin3,0)(xxxBAxxF则常数A,B,密度函数)(x5 、 已 知 连 续 型 随 机 变 量X的 密 度 函 数 为22181( ),8xxf xex, 则)14( XE,2EX。21XP。6 、设X3 , 1U,Y)2(P,且X与Y独立 ,则附表:22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 44 页28 )3(YXD)= 。7 、设随机变量YX ,相互独立,同服从参数为分布)0(的指数分布
53、,令YXVYXU2,2的 相 关 系 数 。 则),(VUCOV, VU ,。(注:6915.0)5.0(,8143.0)1()二、计算题( 34 分)1、 (18 分)设连续型随机变量)(YX,的密度函数为,01,01( , )0,xyxyx y其他(1)求边缘密度函数)(),(yxYX;(2)判断X与Y的独立性;(3)计算cov(,)X Y;(3)求),max(YXZ的密度函数)(zZ2 、 ( 16分 ) 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 , 且 同 分 布 于)10)(, 1(ppB。 令1,0XYZXY若为偶数,若为奇数。(1)求Z的分布律;(2)求)(ZX,的联合分布律;(3
54、)问p取何值时X与Z独立?为什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 44 页29 三、应用题(24 分)1、 (12 分)假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2 。若一周5 个工作日内无故障则可获10 万元;若仅有 1 天故障则仍可获利5 万元;若仅有两天发生故障可获利0 万元;若有3 天或 3 天以上出现故障将亏损2 万元。求一周内的期望利润。2、 (12 分)将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为0.8,而输出为其它一字母的概率都为0.1 。今将字母AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道,输入A
55、AAA,BBBB,CCCC的概率分别为0.5 ,0.4, 0.1。已知输出为ABCA,问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输每个字母的工作是相互独立的)。答案(模拟试题一)四、填空题(每空3 分,共 45 分)1、0.8286 , 0.988 ;2、2/3 ;3、14212661112C C,61266!12C;4、1/2 , F(x)= 1,021, 02241,2xexxxx,0.51 PX0.53142e;5、p = 1/3, Z=max(X,Y)的分布律:Z 0 1 2 P 8/27 16/27 3/27 ;6、D(2X-3Y)= 43.92, COV(2X-3Y, X)= 3.
56、96 ; 7、当k32时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 44 页30 12222345() (3)k XXYtXXX;8、的矩估计量为:2X。 9、9.216 ,10.784;五、计算题(35 分)1、解1)9| 21|20.51.516PXPX2)1()(),02( )0,01,0440,XXYyyyyyyy其它3)45(21)212133EXEX2、解: 1)1,02,02( )( , )420,0,xXxxdyxxxx y dy其它其它2| |11,| 2(2|),|24( )( , )40,0,yYdxyyy
57、yx y dx其它其它2)显然,( , )( )( )XYx yxy,所以 X 与 Y 不独立。又因为 EY=0 ,EXY=0 ,所以, COV(X,Y)=0,因此 X 与 Y 不相关。3)22( )( ,)11,04,044280,0,Zzzx zx dxzdxzz其它其它3、解 1)112111(, )niiixxnnniL x xxeeL12ln(, )lnnnxL xxxnL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 44 页31 令2ln0dLnnxd解出:?X2)?EEXEXQ?是的无偏估计量。六、应用题(20 分)1
58、 解:设事件 A1 ,A2,A3 ,A4 分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”,其概率分别等于 3/10 ,1/5 ,1/10 和 2/5 ,事件 B 表示“迟到” ,已知概率|,1,2,3,4iP B Ai分别等于1/4 ,1/3 ,1/2 ,0 则41)()(|)iiiP BP A P B A23120111() (|)9(|)( )23P A P BAP ABP B,222()(|)8(|)()23P AP BAP ABP B333()(|)6(|)()23P AP BAP ABP B,444() (|)(|)0()P AP BAP ABP B由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解
59、:0:0.5Ha() ,1:0.5Ha拒绝域为:00.950.55(4)xts计算0.5184,0.018xs0.950.552.2857(4)xtts,所以,拒绝0H,说明有害物质含量超过了规定。答案(模拟试题二)一、填空题 (45 分,每空3 分) 1()0.4,()0.4P BP AB21( )4P A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 44 页32 3X0 1 2 P6/11 9/22 1/22 41 1(,)(,)2A B,21( ),(1)xxRx51,0, 2( )20,0, 2Yyyy6YX0 1 -1 0
60、 1 1/4 0 01/2 1/4 0 31 4P XY71cov(, )12,(31)1982X YDXY811,20100ab;911kn;10. (4.412, 5.588)二、计算题 (27 分) 1 (1)11(1),0, 2(1),0, 2( ),( )440,0, 20,0, 2XYxxyyxyxy(2)不独立(3)21,0281( )(4),2480,Zzzzzzz其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 44 页33 2 (1)计算()1xEXxedx根据矩估计思想,1xEX解出:1?1X;(2)似然函数(
61、)11,(, )0,0,inxnxniiinexexL xxK其它其它显然,用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x,所以(1)xee,即11(1)(,)(,)nnL xxL xxxKK所以,当2(1)1?min(,)nXXXK时,使得似然函数达最大。极大似然估计为2?。三、 1解:(1)设iA表示“第一次从甲箱中任取3 件,其中恰有i 件次品”, (i=0,1,2,3 )设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件;3211231113333333123313131166666661()() (|)04niiiCC CC CCCCCP BP A P B
62、ACCCCCCC(2)22()(|)0.6( )P A BP ABP B2 解:0:70Ha(),1:70Ha拒绝域为:00.97570|36(35)xts %根据条件66.5x,15s %,计算并比较0.97570361.4(35)2.0301xts %所以,接受0H,可以认为平均成绩为70 分。3(8 分 )证明:因为(|)(|)P BAP BA()()()()P AB P AP AB P A()1()( )()( )P ABP AP BP AB P A()( ) ()P ABP B P AAB与相互独立答案(模拟试题三)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
63、- - - - - -第 33 页,共 44 页34 一、填空题(每题3 分,共 42 分)10.5 ; 2/7 ; 0.5 。21p2p; 3412;0.51.5PX15/16 ;401,01,1/ 3,2/9 ,1/9 ,17/3 。5n6 ,p0.4 。623(,)24aN。7(2.6895, 2.7205) 。二、解:( 1)0( )11xx dxce dxc(2)00,0( )( )1,0xxtxxF xt dte dtex(3)Y 的分布函数1( )212YyFyPXyP X11220,11,10,10,1yyxe dxyeyyy121,1( )20,1yYeyyy三、解:( 1)
64、1001( , )2xcx y dxdycdydx,2c( 2)022 ,01( )( ,)0,xXdyxxxx y dy其它122(1),01( )( , )0,yYdyyyyx y dx其它(3)XY与不独立;(4)/21/22,01( )( ,)22,120,zzXYzdyzzzx zx dxdyzz其它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 44 页35 (5)1122300212,232EXx dxEXx dx112200112 (1),2(1)36EYyy dyEYyy dx22121111( ),( )23186
65、318DXDY10012,4xEXYxydydx12 11cov(,)43 336X YEXYEXEY7(23 )492cov(2,3)18DXYDXDYXY四、解:(1)101(1),2EXxx dx令EXx,即12x解得121?1XX。(2)11( )(, )(1) () ,01,1,2,.,nnniiiiiLxxxin1ln( )ln(1)lnniiLnx,1ln( )ln01niiLnx解得21?1lnniinX五、解:设1A= 某机床为车床,19()15P A;2A= 某机床为钻床,21()5P A;3A= 某机床为磨床,32()15P A;4A= 某机床为刨床,41()15P A;
66、B = 需要修理 ,11(|)7P BA,22(|)7P B A,33(|)7P B A,41(|)7P BA则4122( )()(|)105iiiP BP A P B A111() (|)9(|)( )22P A P BAP ABP B。六、解:2201:0.04,:0.04HH拒绝域为:22/ 21/22200(1)(1)(1)(1)nSnSnn%或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 44 页36 计算得220(1)(91) 0.0370.27380.04ns %,查表得20.025(9)2.70.2738样本值落入拒
67、绝域内,因此拒绝0H。22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,答 案(模拟试题四)一、填空题(每题3 分,共 42 分)1、 0.4;0.8421 。2、0.12。3、3e,34e。4、1/ 2,1/,其他, 033,91)(2xxx。5、 3,5 ,0.6286 。6、 2.333。7、23/, VU ,3/5。二、 1、解(18 分)(1)其他,010,2/1)()(xxxxYX(2)不独立(3)其他,010,3)(2zzzZ2、解(1)求Z的分布律;pqYXPYXPZP2)0, 1()1,0()0(2
68、2)1,1()0,0()1(qpYXPYXPZP(2))(ZX,的联合分布律:ZX0 1 附表:22220.050.0250.050.05(10)3.94,(10)3.247,(9)3.325,(9)2.7,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 44 页37 0 1 pq2qpq2pqppq222qp(3)当5.0p时, X 与 Z 独立。三、应用题(24 分)1、解:设X表示一周5 个工作日机器发生故障的天数,则X)2.0,5(B,分布律为:5,.,1 ,0,8 .02.0)(55kCkXPkkk设Y(万元)表示一周5 个
69、工作日的利润,根据题意,Y的分布律057.0)3(,3, 2205.0)2(,2,0410.0) 1(,1,5328.0)0(,0,10)(XPXXPXXPXXPXXfY则216. 5EY(万元)。2、 解: 设321,AAA分别表示输入AAAA,BBBB,CCCC的事件,B表示输出为ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得:31111)()()()()(iiiABPAPABPAPBAP1 .0)(,4.0)(, 5.0)(321APAPAP0064.08.01. 01.08.0)(1ABP0008.01.01.08.01. 0)(2ABP0008.01 .08. 01 .01 . 0)(3ABP1
70、0.50.00648()0.50.00640.00080.40.00080.19P A B%07 试题一、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,总计18 分)1. 设,A B为随机事件 ,0.7P AP B,0.3P AB,则P ABP AB210 件产品中有4件次品 ,从中任意取2 件,则第 2 件为次品的概率为3设随机变量X在区间0,2上服从均匀分布,则2YX的概率密度函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页,共 44 页38 4设随机变量X的期望3E X,方差5D X,则期望24EX5. 设 随 机 变 量X服 从 参
71、 数 为2 的 泊 松 分 布 , 则 应 用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得22PX. 6. 设1234,XXXX是来自正态总体X0,4N的样本,则当a时 , 22123422Ya XXa XX22. 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共6个小题,每小题3 分,总计18 分)1设,A B为对立事件 , 01P B, 则下列概率值为1 的是 ( ) (A) |P A B; (B) |P B A; (C) |P A B; (D) P AB2. 设随机变量X1,1N,概率密度为fx,分布函数F x,则下列正确的是( ) (A) 00P XP X;
72、(B) 11 P XP X; (C) fxfx, xR; (D) 1F xFx, xR3. 设fx是随机变量X的概率密度 ,则一定成立的是( ) (A) fx定义域为0,1; (B) fx非负 ; (C) fx的值域为0,1; (D) fx连续4. 设41,1 9P XY,5119P XP Y,则min, 1PX Y( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 135. 设 随 机 变 量,X Y的 方 差4D X,1D Y, 相 关 系 数0.6XY, 则 方 差32DXY( ) (A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6 6. 设12,nXX
73、XL是正态总体X2,N的样本 ,其中已知 ,未知 ,则下列不是统计量的是 ( ) (A) 1maxkknX; (B) 1minkknX; (C) X; (D) 1nkkX三、计算题(本大题共6 小题,每小题10 分,共计 60 分)1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4, (1) 求恰有 2 位同学不及格的概率;(2) 若已知 3 位同学中有2 位不及格 ,求其中 1 位是同学乙的概率.2已知连续型随机变量X的分布函数为220,0( ),0xxF xABex, 求: (1) 常数,A B的值 ; (2) 随机变量X的密度函数fx;(3) 22PX3设随
74、机变量X与Y相互独立 ,概率密度分别为: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页,共 44 页39 ,0( )0,0xXexfxx,1,01( )0,Yyfy其他, 求随机变量ZXY的概率密度4设二维随机变量(,)X Y的密度函数:,02,( , )0,Axyxf x y其他(1)求常数A的值; (2)求边缘概率密度,XYfxfy;(3)X和Y是否独立 ? 5 . 设二维随机变量(,)X Y的概率密度函数:3 ,0,01( , )0,yxyyf x y其他求( 1)数学期望E X与E Y; (2)X与Y的协方差,Cov X Y6
75、. 设总体X概率密度为1,01( )0,xxf x其他,1未知,12,nXXXL为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量. 四、证明题(本大题共1 小题,每小题4 分,共 4 分)1.设,A B C任意三个事件 ,试证明 :P ABP BCP BP AC06 试题一、填空题(本大题共5 小题,每小题4 分,总计20 分)1. 设,A B为随机事件 ,0.5P A,0.6P B,0.7P ABU,则|P A B2设 10 把钥匙中有2 把能打开门 , 现任意取两把 , 能打开门的概率是3设X(10,3),NY(1,2)N, 且X与Y相互独立 , 则(32 )DXY4设随机变量0,
76、6X在区间上服从均匀分布,则关于未知量x的方程2210xXx有实根的概率为 _ 5. 设 随 机 变 量X的 数 学 期 望()7E X,方 差()5D X,用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得212PX. 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4 分,总计20 分)1设事件,A B相互独立 ,且( )0P A,()0P B,,则有(A) |0P B A; (B) |P A BP A; (C) |0P A B; (D) P ABP A2. 设X2(,)N,那么概率2P X(A) 随增加而变大 ; (B) 随增加而减小;(C) 随增加
77、而不变 ; (D) 随增加而减小3. 设10,05P XY,2005P XP Y,则max,0PX Y(A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页,共 44 页40 4 设,X Y相 互 独 立 ,X服 从0,2上 的 均 匀 分 布 ,Y的 概 率 密 度 函 数 为,0( )0,0yYeyfyy,则1P XY(A) 11e;(B) 21e;(C) 212e; (D) 110.5e5. 设总体X,12,nXXX是取自总体X的一个样本 , X为样本均值, 则不是总体期望的无偏估
78、计量的是(A) X; (B) 123XXX; (C) 1230.20.30.5XXX; (D) 1niiX三、计算题(本大题共5 小题,每小题10 分,共计 50 分)1某产品整箱出售,每一箱中20 件产品,若各箱中次品数为0 件, 1 件, 2 件的概率分别为 80, 10, 10,现在从中任取一箱,顾客随意抽查4 件,如果无次品,则买下该箱产品, 如果有次品, 则退货, 求: (1) 顾客买下该箱产品的概率;(2) 在顾客买下的一箱产品中,确实无次品的概率.2已知随机变量X的密度为,01( )0,axbxf x其它,且1/ 25/8P x, 求: (1) 常数,a b的值 ; (2) 随机
79、变量X的分布函数F x3设二维随机变量(,)X Y有密度函数:21, 01,02;( ,)30,xxyxyf x y其他(1)求边缘概率密度,XYfxfy; (2)求条件密度|,|X YY Xfx yfy x;(3)求概率P XY. 4 . 设 随 机 变 量,X Y独 立 同 分 布 , 都 服 从 参 数 为的 泊 松 分 布 , 设2UXY,2VXY, 求随机变量U与V的相关系数UV5 . 设总体X(100,)bp为二项分布,01p未知,12,nXXXL为来自总体的一个样本. 求参数p的矩估计量和极大似然估计量。四、证明题(本大题共2 小题,每小题5 分,共 10 分)1.设事件, ,A
80、 B C相互独立 ,证明事件AB与事件C也相互独立2.设总体为X, 期望E X,方差2D X,12,nXXX是取自总体X的一个样本, 样本均值11niiXXn,样本方差22111niiSXXn,证明 :2S是参数2的无偏估计量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页,共 44 页41 06 答案一、填空题(本大题共5 小题,每小题4 分,总计20 分)1. 2/3 217/45 335 45/6 5. 4/5 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4 分,总计20 分)1. (
81、B) 2(D) 3(C) 4(D) 5. (D) 三、计算题(本大题共5 小题,每小题10 分,共计 50 分)1 解:设A表示 “顾客买下该箱产品”,iB分别表示“箱中次品数为0 件, 1 件, 2 件”0,1,2i则0P B80,1P B102P B10,0|P A B1,4191420|CP A BC,4182420|CP A BC,(3 分) 由全概率公式得:20|iiiP AP A B P B448/475,(7 分) 由贝叶斯公式得:000|()P A BP BP BAP A95/112 (10 分) 2解 : (1) 由1( )/ 2fx dxab, 1/ 25/81/ 2( )
82、3 /8/ 2P Xf x dxab解得1,1/ 2ab(4 分) (2) 0.5,01( )0,xxf x其它,当0x时, 0F xP Xx,当01x时, 200.5/ 2xFxP Xxxdxxx, 当1x时, 1F x,所以20,0/ 2,011,1xF xxxxx(10 分 ) 3解 : (1)( ,)Xfxf x y dy222 /3, 010,xxx其他( ,)Yfyf x y dx1/ 3/ 6, 020,yy其他(4 分) (2) 当02y时 , |( , )|( )X YYf x yfx yfy=262,0120,xxyxy其他精选学习资料 - - - - - - - - -
83、名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页,共 44 页42 当01x时, |( ,)|( )Y XXfx yfy xfx223,02620,xxyyxx其他(8 分) (3) P XY( , )xyf x y dy120017/ 243xdxxxy dy(10 分) 4 .解 : E XE Y,D XD Y,3E U,3E V5D UD V,43Cov U VD XD Y, (8 分) UV,Cov U VD UD V=3/5 (10 分) 5 .解:由()100E XpX,得p的矩估计量?100Xp(4 分) 似然函数为1001001( )(1)iiinxxxiL pCpp,10
84、01ln()lnln100ln 1inxiiiL pCxpxp由ln( )0dL pdp,得极大似然估计量?100Xp(10 分) 四、证明题(本大题共2 小题,每小题5 分,共 10 分)1.证 明 : 由 于 事 件,A B C相 互 独 立 , 所 以P ABCP A P B P C,P ABP A P B,P ACP A P C,P BCP B P C,(2 分)所以PAB CP ACBCP ACP ABCP A P CP A P B P CP AB P C即PAB CP AB P C,所以事件AB与C也相互独立(5 分)2.证明:E X,2D X,12,nXXX是取自总体X的一个样本
85、,所以E X,2/D Xn,所以22111niiE SEXXn22111niiE XnE Xn222211/1ninnn2, 即2S是参数2的无偏估计量(5 分)07 答案一、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,总计18 分)1. 0.1 20.4 3. 14,040,Yyyfy其他4 54 5. 1/2 6. 1/20 二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共6个小题,每小题3 分,总计18 分)1. (C) 2(B) 3(B) 4. (A) 5. (D) 6. (C) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
86、- - -第 42 页,共 44 页43 三、计算题(本大题共6 小题,每小题10 分,共计 60 分)1解 :设,A B C分别表示“甲 ,乙 ,丙同学不及格”, 则0.2P A,0.3P B,0.4P C,由题意,A B C相互独立(2 分) (1) 事件“恰有2 位同学不及格”为 : DABCABCABCUU,所以P DP ABCP ABC P ABCP A P B P CP A P B P CP A P B P C=0.188 (6 分) (2)|()P BDP B DP D()P ABCP ABCP D=33/47 (10 分) 2 解 : (1) 由F x右连续性得00FF, 即0
87、AB, 又由1F得,1A,解得1,1AB(5 分) (2) 22,0( )0,xxexf xFx其它, (8 分) (3) 22PX22FF12ee(10 分) 3解 : 由于随机变量X与Y相互独立 ,所以ZXY的密度函数为ZXYfzfx fzx dx(2 分) 01,01,10,0zxzxze dyze dyzz11,01,10,0zzzezeezz(10 分) 4解 : (1)由( , )1f x y dy,得1/ 4A(2 分) (2)( ,)Xfxfx y dy1/ 4,020,xxdyx其他/ 2, 020,xx其他(5 分 ) ( ,)Yfyf x y dx221/ 4,201/
88、4,020,yydxydxy其他2/4,202/4, 020,yyyy其他(9 分) (3) ( , )XYfx fyf x y,不独立 (10 分) 5 .解 : 3/8E X,(2 分) 3/ 4E Y,(4 分) 3/10E XY(6 分),所以,Cov X YE XYE X E X=3/160, (10 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页,共 44 页44 6 .解: (1)由1()2E XX,得的矩估计量21?1XX(5 分) (2)似然函数为1( )1niiLx,1ln( )ln1lnniiLnx由ln( )0dLd,得极大似然估计量21?1/lnniinX(5 分) 四、证明题(本大题共2 小题,每小题4 分,共 4 分)1.证明:因为P ABP BCP ABBCP ABCU,又由于ABBCBU,ABCAC,所以P ABBCP BU,P ABCP B,所以P ABP BCP BP AC,即P ABP BCP BP AC(4 分 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页,共 44 页