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1、1 反比例函数(一)反比例函数的概念1()可以写成()的形式,注意自变量x 的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2()也可以写成xy=k 的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;3反比例函数的自变量,故函数图象与x 轴、 y 轴无交点(二)反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x 的取值不能为 0,且 x 应对称取点(关于原点对称) (三)反比例函数及其图象的性质1函数解析式:()2自变量的取值范围:3图象:(1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直越小,图象的弯曲度越大(2)图象的位置和性
2、质:与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y 随 x 的增大而减小;当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y 随 x 的增大而增大(3)对称性:图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)在双曲线的另一支上图象关于直线对称,即若( a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图 1,设点 P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA x 轴于 A 点, PBy 轴于 B 点,则矩形PBOA的面积是(三角形 PAO 和三角形PBO 的面积都是) 如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于
3、原点的对称点Q 也在双曲线上,作QCPA 的延长线于C,则有三角形 PQC 的面积为图1 图2 5说明:( 1 ) 双 曲 线 的 两 个 分 支 是 断 开 的 , 研 究 反 比 例 函 数 的 增 减 性 时 , 要 将 两 个分支分别讨论,不能一概而论(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称(3)反比例函数与一次函数的联系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页2 (四)实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法:(1)待定系数法; (2)根据实际意义列
4、函数解析式2注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上(五)充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析考点 1反比例函数的概念(1)下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是() Ay=3x BC 3xy=1 D(2)下列函数中,y 是 x 的反比例函数的是() ABCD考点 2图象和性质(1)已知函数是反比例函数, 若它的图象在第二、四象限内,那么k=_ 若 y 随 x 的增大而减小,那么k=_(2)已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第_ 象限(3)若反比例函数经过点(,2) ,则一次函数的图象一定不经过第_ 象限(4)已知 a b0,点 P(a,b
5、)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是() A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(5)若 P(2,2)和 Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m 的图象经过() A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限(6)已知函数和(k 0) ,它们在同一坐标系内的图象大致是() ABCD考点 3函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,且,则的值为() A正数B负数C非正数D非负数(2)在函数(a 为常数)的图象上有三个点,则函数值、的大小关系是() ABCD(3)下列四个函数中:; ; y 随 x 的增大而减小的函数有() A0个B1个C
6、2个D3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点,则当x0时,这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而(填 “ 增大 ” 或 “ 减小 ” ) 注意, (3)中只有 是符合题意的,而 是在 “ 每一个象限内 ” y 随 x 的增大而减小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页3 考点 4解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y 是 z 的() A正比例函数B反比例函数C一次函数D不能确定(2)若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为(2,m) ,则 m=_ ,k=_
7、,它们的另一个交点为_ (3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值(4)已知一次函数y=x+m 与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3) 求 x 0的值; 求一次函数和反比例函数的解析式(5)为了预防 “ 非典 ” ,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与 x 成反比例(如图所示) ,现测得药物 8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克请根据题中所提供的信息解答下列问题: 药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为_,自变量 x 的取值范围
8、是 _;药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_ 研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过_ 分钟后,学生才能回到教室;研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?考点 5面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、,则() ABCD第( 1)题图第( 2)题图(2)如图, A、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点,AC/y 轴,
9、 BC/x 轴, ABC 的面积S,则() AS=1 B1S2CS=2 DS2 (3)如图, Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上,且 SAOB=3 ,求 m 的值第( 3)题图第( 4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x ,y=2x 在第一象限内分别相交于P1和 P2两点,过 P1分别作 x轴、 y 轴的垂线P1Q1 ,P1R1 ,垂足分别为Q1,R1 ,过 P2分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2 ,P2 R 2 ,垂足分别为 Q 2,R 2 ,求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长,并比较它们的大小精选学习资料 - - - - - - - - -
10、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页4 (5)如图,正比例函数y=kx( k0)和反比例函数的图象相交于A、C 两点,过A 作 x 轴垂线交x轴于 B,连接 BC ,若 ABC 面积为 S,则 S=_第( 5)题图考点 6.一次函数与反比例函数综合1. 如图,一次函数yxb与反比例函数kyx在第一象限的图象交于点B,且点B的横坐标为1,过点B作y轴的垂线,C为垂足,若32BCOS,求一次函数和反比例函数的解析式. 2. 如图,一次函数2ykx的图象与反比例函数myx的图象交于点P,点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A,PBy 轴于点 B一次函数的图象分别交x轴、y
11、轴于点 C、 D,且 SPBD=4,12OCOA(1)求点 D 的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式;(3)根据图象写出当0x时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 . 3. 已知正比例函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象有一个交点的纵坐标是2. (1)求反比例函数的解析式;(2)当31x时,求反比例函数y的取值范围 . 4. 已知:12yyy,1y与2x成正比例,2y与x成反比例, 且1x时,3y;1x时,1y求12x时,y的值5. 如图,1P是反比例函数(0)kykx在第一象限图像上的一点,点1A的坐标为( 2,0) (1)当点1P的横坐标逐渐增大时,11POA的面积
12、将如何变化?(2)若11POA与212P A A均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及2A点的坐标6. 如图,一次函数yxb与反比例函数kyx在第一象限的图象交于点B,且点B的横坐标为1,过点B作y轴的垂线,C为垂足,若32BCOS,求一次函数和反比例函数的解析式. y x P B D A O C y x O P1 P2 A2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页5 7. 如图,一次函数2ykx的图象与反比例函数myx的图象交于点P,点 P 在第一象限 PA x 轴于点 A,PBy 轴于点 B一次函数的图象分别
13、交x轴、y轴于点 C、 D,且 SPBD=4,12OCOA(1)求点 D 的坐标;(2)求一次函数与反比例函数的解析式;(3)根据图象写出当0x时,一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 . 8. 已知正比例函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象有一个交点的纵坐标是2. (1)求反比例函数的解析式;(2)当31x时,求反比例函数y的取值范围 . 9. 已知:12yyy,1y与2x成正比例,2y与x成反比例, 且1x时,3y;1x时,1y求12x时,y的值10. 如图,1P是反比例函数(0)kykx在第一象限图像上的一点,点1A的坐标为( 2,0) (1)当点1P的横坐标逐渐增大时,11POA的面积将如何变化?(2)若11POA与212P A A均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及2A点的坐标y x P B D A O C y x O P1 P2 A2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页