《2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案第十章双线性函数与辛空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案第十章双线性函数与辛空间（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编优秀教案第十章双线性函数与辛空间1 线性函数定义 1 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足1）)()()(fff; 2）)()(kfkf, 式中,是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数 . 从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f是V上的线性函数，则)()(,0)0(fff. 2. 如果是s,21的线性组合：sskkk2211那么)()()()(2211ssfkfkfkf例 1 设naaa,21是P中任意数，),(21nxxxX是nP中的向量 .函数nnnxaxaxaxxxfXf221121),()(1) 就是P上的一个线性函数 .当
2、021naaa时，得0)(Xf,称为零函数，仍用 0 表示零函数 . 实际上，nP上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令nii,2,1, )0,0,1 ,0,0(. 第i个nP中任一向量),(21nxxxX可表成nnxxxX2211. 设f是nP上一个线性函数，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页名师精编优秀教案niiiniiifxxfXf11)()()(令,21, )(nifaii，则nnxaxaxaXf2211)(就是上述形式 . 例 2A是数域P上一个 n级矩阵，设nnnnnnaaaaaaaaaA212
3、222111211, 则A的迹nnaaaATr2211)(是P上全体 n级矩阵构成的线性空间nnP上的一个线性函数 . 例 3 设txPV,是P中一个取定的数 .定义xP上的函数tL 为)(,)()(xPxptpxPLt, 即)(xpLt为)(xp在 t 点的值，)(xpLt是 xP上的线性函数 . 如果V是数域P上一个 n维线性空间 .取定V的一组基n,21.对V上任意线性函数f及V中任意向量：nnxxx2211都有niiiniiifxxff11)()()(. (2) 因 此，)(f由)(,),(),(21nfff的 值 唯 一 确 定 .反 之， 任 给P中 n 个 数naaa,21，用下
4、式定义V上一个函数f：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页名师精编优秀教案niiiniiixaxf11)(. 这是一个线性函数，并且niafii,2,1,)(因此有定理1 设V是P上一 个 n 维线 性空 间，n,21是V的 一组 基 ，naaa,21是P中任意 n个数，存在唯一的V上线性函数f使niafii,2,1,)(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页名师精编优秀教案2 对偶空间设V是数域P上一个 n 维线性空间 . V上全体线性
5、函数组成的集合记作),(PVL.可以用自然的方法在),(PVL上定义加法和数量乘法 . 设gf ,是V的两个线性函数 .定义函数gf如下：Vgfgf,)()()(. gf也是线性函数：, )()()()()()()()()(gfgfggffgfgf)()()()()()(gfkkgkfkgkfkgf. gf称为f与g的和. 还可以定义数量乘法 .设f是V上线性函数，对于P中任意数k， 定义函数kf如下：Vfkkf,)()(, kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数 . 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(PVL成为数域P上的线性空间. 取定V的一组基n,21，作V上 n个线性
6、函数nfff,21，使得.,2,1,0;,1)(njiijijfji(1) 因为if 在基n,21上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V中向量niiix1，有iixf)(, (2) 即)(if是的第i个坐标的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名师精编优秀教案引理 对V中任意向量，有niiif1)(, (3) 而对),(PVL中任意向量f，有niiifff1)(. (4) 定理 2 ),(PVL的维数等于V的维数，而且nfff,21是),(PVL的一组基 . 定义2),(VPL称为V的对偶空间.由（
7、 1）决定),(PVL的的基，称为n,21的对偶基 . 以后简单地把V的对偶空间记作V. 例 考虑实数域R上的 n维线性空间nxPV，对任意取定的 n个不同实数naaa,21，根据拉格朗日插值公式，得到n个多项式.,2,1,)()()()()()()(111111niaaaaaaaaaxaxaxaxxpniiiiiiniii它们满足.,2, 1,0;,1)(njiijijapji)(, )(),(21xpxpxpn是线性无关的，因为由0)()()(2211xpcxpcxpcnn用ia 代入，即得nicapcapciipinkikk,2,1,0)()(1. 又因V是 n维的，所以)(, )(),
8、(21xpxpxpn是V的一组基 . 设),2,1(niVLi是在点ia 的取值函数：.,2,1.)(,)()(niVxpapxpLii精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师精编优秀教案则线性函数iL 满足.,2,1,0;,1)()(njijijiapxpLijji因此，nLLL,21是)(, )(),(21xpxpxpn的对偶基 . 下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系. 设V是数域P上一个 n维线性空间 .n,21及n,21是V的两组基 .它们的对偶基分别是nfff,21及nggg,21.再设Ann),(),(
9、2121Bfffgggnn),(),(2121其中nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211, nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211由假设niaaanniiii,2,1,2211, njfbfbfbgnnjjji,2, 1,2211. 因此njijijiabababaaafbgninjijijnniiinkkkjij,2,1,0;,1)()(221122111由矩阵乘法定义，即得EAB即1AB定理 3 设n,21及n,21是线性空间V的两组基，它们的对偶基精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
10、19 页名师精编优秀教案分别为nfff,21及nggg,21.如果由n,21到n,21的过渡矩阵为A，那么由nfff,21到nggg,21的过渡矩阵为1)(A. 设V是P上一个线性空间，V是其对偶空间， 取定V中一个向量 x， 定义V的一个函数x如下：Vfxffx,)()(. 根据线性函数的定义， 容易检验x是V上的一个线性函数， 因此是V的对偶空间VV )(中的一个元素 . 定理 4 V是一个线性空间，V是V的对偶空间的对偶空间 . V到V的映射xx是一个同构映射 . 这个定理说明，线性空间V也可看成V的线性函数空间，V与V实际上是互为线性函数空间的 .这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任
11、一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师精编优秀教案3 双线性函数定义 3 V是数域P上一个线性空间，),(f是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量,，根据f都唯一地对应于P中一个数),(f.如果),(f有下列性质：1）),(),(),(22112211fkfkkkf; 2）),(),(),(22112211fkfkkkf, 其中2121,是V中任意向量，21,kk是P中任意数，则称),(f为V上的一个双线性函数 . 这个定义实
12、际上是说对于V上双线性函数),(f，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间V的内积是V上双线性函数 . 例 2 设)(),(21ff都是线性空间V上的线性函数，则Vfff, )()(),(21是V上的一个双线性函数 . 例 3 设nP是数域P上 n 维列向量构成的线性空间.nPYX,再设A是P上n级方阵 .令AYXYXf),(, (1) 则),(YXf是nP上的一个双线性函数 . 如果设),(, ),(2121nnyyyYxxxX，并设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211则ninjjiijyxaYXf11),(. (2) 精选学习资料 - - - -
13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师精编优秀教案（1）或（ 2）实际上是数域P上任意 n 维线性空间V上的双线性函数),(f的一般形式 .可以如下地说明这一事实 .取V的一组基n,21.设Xxxxnnn),(),(212121, Yyyynnn),(),(212121, 则ninjjijininjjjiiyxfyxff1111),(),(),(. (3) 令njifajiij,2,1, ),(, nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211则（3）就成为（ 1）或（ 2）. 定义4 设),(f是 数 域P上 n 维线 性空 间V
14、上 的 一 个 双线 性函 数. n,21是V的一组基，则矩阵),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnfffffffffA(4) 叫做),(f在n,21下的度量矩阵 . 上面的讨论说明， 取定V的一组基n,21后，每个双线性函数都对应于一个 n级矩阵，就是这个双线性函数在基n,21下的度量矩阵 .度量矩阵被双精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师精编优秀教案线性函数及基唯一确定 .而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的. 反之，任给数域P上一个 n级矩阵n
15、nnnnnaaaaaaaaaA212222111211对V中 任 意 向 量Xn),(21及Yn),(21， 其 中),(21nxxxX，),(21nyyyY用ninjjiijyxaAYXf11),(定义的函数是V上一个双线性函数.容易计算出),(f在n,21下的度量矩阵就是A. 因此，在给定的基下，V上全体双线性函数与P上全体 n级矩阵之间的一个双射. 在不同的基下， 同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n,21及n,21是线性空间V的两组基：Cnn),(),(2121,是V中两个向量12121),(),(XXnn, 12121),(),(YYnn那么11,CYY
16、CXX如果双线性函数),(f在n,21及n,21下的度量矩阵分别为BA,，则有1111)()()(),(YACCXCYACXAYXf. 又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页名师精编优秀教案11),(BYXf. 因此ACCB这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 定义 5 设),(f是线性空间V上一个双线性函数，如果0),(f对任意V，可推出0，f就叫做非退化的 . 可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(f在基n,21下的度量矩阵为A，则对Xn),(21,Yn),(21，
17、有AYXf),(如果向量满足Vf,0),(, 那么对任意Y都有0AYX因此0AX而有非零向量X使上式成立的充要条件为A是退化的，因此易证双线性函数),(f是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵 . 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的 .对于对称矩阵已有较完整的理论. 定义 6 ),(f是线性空间V上的一个双线性函数， 如果对V上任意两个向量,都有),(),(ff, 则称),(f为对称双线性函数 .如果对V中任意两个向量,都有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页名师精编
18、优秀教案),(),(ff则称),(f为反对称双线性函数 . 设),(f是线 性空 间V上的一 个对称双线性函数，对V的任一组基n,21，由于),(),(ijjiff故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(f在n,21下的度 量 矩 阵 是 对 称 的 ， 那 么 对V中 任 意 两 个 向 量Xn),(21及Yn),(21都有),(),(fAXYXAYAYXf. 因此),(f是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的. 同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵 . 我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数
19、，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵 . 定理 5 设V是数域P上 n维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,21，使),(f在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 如 果),(f在n,21下 的 度 量 矩 阵 为 对 角 矩 阵 ， 那 么 对niiiniiiyx11, ),(f有表示式nnnyxdyxdyxdf222111),(. 这个表示式也是),(f在n,21下的度量矩阵为对角形的充分条件. 推论 1 设V是复数上 n维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，
20、共 19 页名师精编优秀教案在V的一组基n,21，对V中任意向量niiiniiiyx11,，有)0(),(2211nryxyxyxfrr. 推论 2 设V是实数 n上维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,21，对V中任意向量niiiniiiyx11,，有)0(),(1111nrpyxyxyxyxfrrpppp. 对称双线性函数与二次齐次函数是11 对应的 . 定义 7 设V是数域P上线性空间，),(f是V上双线性函数 .当时，V上函数),(f称为与),(f对应的二次齐次函数 . 给定V上一组基n,21，设),(f的度量矩阵为nnijaA.对V中任意向量niiix1有ni
21、njjiijxxaf11),(. (5) 式中jixx的系数为jiijaa.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为nnijaA及nnijbB只要njibbaajiijjiij,2,1, 那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是 11 对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数. 定理 6 设),(f是 n维线性空间V上的反对称双线性函数， 则存在V的一组基s
22、rr,111使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师精编优秀教案.,1,0),(;0,0),(;,1,1),(skVfjifrifkjiii(6) 从定理 5 可知，V上的对称双线性函数),(f如果是非退化的则有V的一组基n,21满足.,0),(;,2,1,0),(ijfnifjiii前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V的对于),(f的正交基 . 而从定理 6 可知，V上的反对称双线性函数),(f如果是非退化的，则有V的一组基rr,11使.0,0),(;,2,1,1),(jifrifjiii由于非退化的
23、条件， 定理 6 中的s,1不可能出现 .因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的. 对于具有非退化对称、 反对称双线性函数的线性空间V，也可以将这些双线性函数看成V上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、 “正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等 . 定义 8 设V是数域P上的线性空间， 在V上定义一个非退化线性函数， 则V称为一个双线性度量空间.当f是非退化对称双线性函数时，V称为P上的正交空间；当V是 n维实线性空间，f是非退化对称双线性函数时，V称为准欧氏空间；当f是非退化反对称双线性函数时， 称V为辛空间
24、 .有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记为),(fV. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师精编优秀教案4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(fV中一定能找到一组基nn,2121满足,1,1),(nifii0,0),(jinjinfji. 这样的基称为),(fV的辛正交基 .还可看出辛空间一定是偶数维的. 2任一n2级非退化反对称矩阵K可把一个数域P上n2维空间V化成一个辛空间，且使K为V的某基nn,2121下度量矩阵 .又此辛空间在某辛正交基nn,2121下的度量矩阵为nn
25、OEEOJ22, (1) 故K合同于J.即任一n2级非退化反对称矩阵皆合同于J. 两个辛空间),(11fV及),(22fV，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构? ，它满足),(),(21KvKufvuf, 则称 ? 是),(11fV到),(22fV的辛同构 . ),(11fV到),(22fV的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11fV的一组辛正交基变成),(22fV的辛正交基 . 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 辛空间),(fV到自身的，辛同构称为),(fV上的辛变换 .取定),(fV的一组辛正交基nn,2121，V上的一个线性变换? ，在该基下的矩阵为K，DCB
26、AK, 其中DCBA,皆为nn方阵.则 ?是辛变换当且仅当JJKK，亦即当且仅当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师精编优秀教案下列条件成立：EBCDABDDBACCA,且易证0| K，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换. 设),(fV是辛空间，Vvu,满足0),(vuf，则称vu,为辛正交的 . W是V的子空间，令WwwufVuW,0),(|. (2) W显然是V的子空间，称为W的辛正交补空间 . 定理 7 ),(fV是辛空间，W是V的子空间，则WVWdimdimdim. 定义 9),(fV为辛空间，W
27、为V的子空间 .若WW，则称W为),(fV的迷向子空间；若WW，即W是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若0WW，则W称W为),(fV的辛了空间 . 例如，设nn,2121是),(fV的辛正交基，则),(21kL是迷 向 子 空 间 . ),(21nL是 极 大 迷 向 子 空 间 ， 即 拉 格 朗 日 子 空 间),(2121kkL是辛子空间 . 对辛空间),(fV的子空间WU ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) WW )(, (2) UWWU, (3) 若U是辛子空间，则UUV(4) 若U是迷向子空间 ,则VUdim21dim(5) 若U是拉格朗日子
28、空间，则VUdim21dim定理 8 设L是辛空间),(fV的拉格朗日子空间，n,21是L的基，则它可扩充为),(fV的辛正交基 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师精编优秀教案推论 设W是),(fV的迷向子空间，k,21是L的基，则它可扩充成),(fV的辛正交基 . 对于辛子空间U，Uf |也是非退化的 .同样Uf |也非退化 .由定理7 还有UUV. 定理 9 辛空间),(fV的辛子空间)|,(UfU的一组辛正交基可扩充成),(fV的辛正交基 . 定理 10 令),(fV为辛空间，U和W是两个拉格朗日子
29、空间或两个同维数的辛子空间，则有),(fV的辛变换把U变成W. 辛空间),(fV的两个子空间V及W之间的（线性）同构? 若满足VvWuKvKufvuf,),(),(则称 ? 为V与W间的等距 . Witt 定理 辛空间),(fV的两个子空间V,W之间若有等距， 则此等距可扩充成),(fV的一个辛变换 . 下面是辛变换的特征值的一些性质. ? 是辛空间),(fV上的辛变换，则 ? 的行列式为 1. 取定),(fV的辛正交基nn,2121.设 ? 在基下矩阵为K，这时有JJKK. 定理 11 设 ? 是n2维辛空间中的辛变换，K是 ? 在某辛正交基下的矩阵 .则它的特征多项式|)(KEf满足)1(
30、)(2ffn.若设nnnnaaaaf21212120)(, 则niaaini,1,0,2. 由定理 11 可知，辛变换 ?的特征多项式)(f的（复）根与1是同时出现的，且具有相同的重数 .它在P中的特征值也如此 .又| K等于)(f的所有（复）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页名师精编优秀教案根的积，而1| K.故特征值1的重数为偶数 .又不等于1的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1的重数也为偶数 . 定理 12 设ji,是数域P上辛空间),(fV上辛变换 ?在P中的特征值，且1ji. 设iV,j
31、V分 别 是V中 对 应 于 特 征 值i及j的 特 征 子 空 间 .则jiVvVu,，有0),(vuf，即iV 与jV是辛正交的 .特别地，当1i时iV 是迷向子空间 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师精编优秀教案第十章 双线性函数与辛空间 ( 小结) 一、基本概念线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.二、主要结论1. 设V是P上一个 n维线性空间，n,21是V的一组基，naaa,21是P中任意 n个数，存在唯
32、一的V上线性函数f使niafii,2,1,)(. 2. 设n,21及n,21是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为nfff,21及nggg,21.如果由n,21到n,21的过渡矩阵为A，那么由nfff,21到nggg,21的过渡矩阵为1)(A. 3. ),(PVL的维数等于V的维数，而且nfff,21是),(PVL的一组基 . 4. V是一个线性空间，V是V的对偶空间的对偶空间 . V到V的映射xx是一个同构映射 . 5. 在给定的基下，V上全体双线性函数与P上全体 n级矩阵之间的一个双射. 6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的. 7. 设V是数域P上 n维线性空间，),(f是V上对称双线性函数，则存在V的一组基n,21，使),(f在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 9. ),(fV是辛空间，W是V的子空间，则WVWdimdimdim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页
