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1、1 课题谈函数与方程 (零点问题 )的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看,函数的零点、 方程的根的问题是高考的热点,题型主要以选择题、填空题为主,难度中等及以上主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD),把使 f(x)0 成立的实数x 叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定) 若函数y f(x)在闭区间 a,b上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a) f(b)0,则在区间 (a,b)内,函数 yf(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)0 在区间 (a,b)内至少有一个实数解也可以说:如
2、果函数yf(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0,那么,函数 yf(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得 f(c)0,这个 c 也就是方程f(x)0 的根提醒 此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数 yf(x)有零点?方程 f(x)0 有实数根?函数 yf(x)的图象与函数y0(即 x轴 )有交点推广: 函数 yf(x)g(x)有零点?方程 f(x)g(x)0有实数根?函数 yf(x)g(x)的图象与 y0(即x 轴 )有交点推广的变形:函数yf(x)g(x)有零点?方程 f(x)g(x)有实数根?函数 yf
3、(x)的图象与yg(x)有交点1函数的零点是函数yf(x)与 x 轴的交点吗?是否任意函数都有零点?提示: 函数的零点不是函数y f(x)与 x 轴的交点,而是yf(x)与 x 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(x)0 有根的函数yf(x)才有零点2若函数 yf(x)在区间 (a,b)内有零点,一定有f(a) f(b)03若函数 yf(x)在区间 (a,b)内,有 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点零点个数2
4、10 对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有:1函数零点的求解与所在区间的判断;2判断函数零点个数;3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015 温州十校联考 )设 f(x)ln xx2,则函数f(x)的零点所在的区间为() A(0,1) B(1, 2) C(2,3) D (3,4) 【解析】法一:f(1)ln 112 10,f(2)ln 20, f(1) f(2)0, 函数 f(x)ln xx2的图象是连续的,函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2)法二 :函数 f(x)的零点所在
5、的区间转化为函数g(x)ln x,h(x) x2 图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)【答案】 B 2(2015 西安五校联考 )函数 yln(x1)与 y1x的图象交点的横坐标所在区间为() A(0,1) B(1, 2) C(2,3) D (3,4) 【解析】 函数 y ln(x1)与 y1x的图象交点的横坐标,即为函数f(x)ln(x1)1x的零点, f(x)在(0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页3 ) 上为增函数,且f(1)ln 210,f(2)ln 3120,f
6、(x)的零点所在区间为(1,2)【答案】 B 3函数 f(x)3x7ln x 的零点位于区间(n,n1)(nN)内,则 n_【解析】求函数 f(x) 3x7ln x的零点, 可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如 f(2) 1ln 2,由于 ln 2 ln e1,所以 f(2)0,f(3)2 ln 3,由于 ln 31,所以 f(3)0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n2【答案】 2 4 (2015 长沙模拟 )若 a bc,则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 () A(a,b)和(b,c)内B(, a)和(a, b)内C(
7、b,c)和(c, )内D (, a)和(c, )内【解析】 本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0,f(b) (bc)(ba)0,f(c)(cb)(ca)0,因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a,b)和 (b, c)内【答案】 A 5(2014 高考湖北卷 )已知 f(x)是定义在R 上的奇函数,当x 0 时, f(x) x2 3x,则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为() A1 ,3 B3, 1,1, 3 C2 7,1,3 D 27, 1,3 【解析】 令 x 0,则 x0,所以 f(x) f(x) (x)2 3( x) x23x求函数 g(x)f(x
8、)x3 的零点等价于求方程f(x) 3x 的解 当 x0 时,x23x 3x,解得 x13,x21;当 x0 时,x23x 3x,解得 x3 27【答案】 D 确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)0 易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数yf(x)在区间 a, b上的图象是否连续, 再看是否有f(a) f(b)0若有,则函数yf(x)在区间 (a,b)内必有零点(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断1已知函数f(x)6xlog2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是
9、() A(0,1)B(1,2) C(2,4) D(4, ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页4 【解析】 因为 f(1)6 log2160,f(2)3log22 20,f(4)32log24120,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)【答案】 C 2方程 log3xx3 的根所在的区间为() A(0,1) B(1,2) C(2, 3) D(3,4) 【解析】法一:方程 log3xx 3 的根即是函数f(x)log3xx 3 的零点,由于 f(2)log3223log3210 且函数 f(x)在(0, )上为
10、单调增函数函数 f(x)的零点即方程log3x x3 的根所在区间为(2,3)法二 :方程 log3xx3 的根所在区间即是函数y1log3x 与 y23x 交点横坐标所在区间,两函数图象如图所示由图知方程log3xx3 的根所在区间为(2,3)【答案】 C 3(2015 武汉调研 )设 a1,a2,a3均为正数, 123,则函数f(x)a1x1a2x2a3x3的两个零点分别位于区间() A(, 1)和(1, 2)内B(1,2)和(2,3)内C(2,3)和(3, )内D (, 1)和(3, )内【解析】 本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1,2)时,函数图象连续,且x1,f(x) ,
11、x2, f(x) ,所以函数f(x)在(1,2)上一定存在零点;同理当x(2,3)时,函数图象连续,且x2,f(x),x3,f(x),所以函数f(x)在(2,3)上一定存在零点,故选B【答案】 B 考向二、判断函数零点个数1已知函数f(x)x2,x0,x2bxc,x 0满足 f(0)1,且 f(0)2f(1)0,那么函数g(x) f(x)x 的零点个数为 _【解析】 f(0)1,c1,又f(0)2f(1)0,f(1) 1b112,b12当 x0 时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页5 g(x)2x2 0 有唯一解
12、x1;当 x0 时, g(x) x232x1,令 g(x) 0 得 x12或 x2(舍去 ),综上可知, g(x)f(x)x 有 2 个零点【答案】2 2(2013 高考天津卷 )函数 f(x)2x|log0.5x| 1的零点个数为() A1B2 C3 D 4 【解析】 由 f(x)2x|log0.5x|10,可得 |log0 5x|12x设 g(x) |log0.5x|,h(x)12x,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有 2 个零点【答案】 B 3(2015 高考天津卷 )已知函数f(x)2|x|,x2,x22,x2,函
13、数g(x)3f(2x),则函数yf(x)g(x)的零点个数为() A2B3 C4 D 5 【解析】 分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2 个交点【答案】 A4若定义在R 上的偶函数f(x)满足 f(x2)f(x),且当 x 0,1时, f(x) x,则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【解析】 由题意知, f(x)是周期为2 的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及 ylog3|x|的图象,如下:观察图象可以发现它们有4 个交点,即函数yf(x) log3|x|有 4 个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
14、 页,共 15 页6 【答案】 4 判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间a, b上是连续不断的曲线,且f(a) f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点1(2015 淄博期末 )函数 f(x)xln(x 1)1 的零点个数是 _【解析】 函数 f(x)xln( x1)1 的零点个
15、数,即为函数y ln(x1)与 y x1 图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与 yx1 的图象,如图,由图可知函数f(x)x ln(x1) 1 的零点个数是2【答案】 2 2 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x), 且 x1, 1时, f(x)1x2, 函数 g(x)lg x,x0,0, x0,1x,x0,则方程 f(x)g(x)0 在区间 5, 5上的解的个数为() A5 B7 C8 D 10 【解析】 依题意得,函数f(x)是以 2 为周期的函数,在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数 yg(x)的图象,结合图象得,当x5,5时,它们的图象的公共点共
16、有8 个,即方程f(x)g(x)0 在区间 5,5上的解的个数为8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页7 【答案】 C 考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1(2014 合肥检测 )若函数 f(x)ax2x1 有且仅有一个零点,则实数a 的取值为 () A0 B14C0 或14D 2 【解析】 当 a 0 时,函数 f(x) x1 为一次函数,则1 是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a0 时,函数f(x)ax2x1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2x10 有两个相等实根 14a0,解得 a14
17、综上,当a0 或 a14时,函数仅有一个零点【答案】 C 2 (2014 洛阳模拟 )已知方程 |x2a|x 20(a0)有两个不等的实数根, 则实数 a的取值范围是() A(0,4) B(4, ) C(0,2) D (2, ) 【解析】 依题意,知方程|x2a|x2 有两个不等的实数根,即函数y|x2a|的图象与函数yx2的图象有两个不同交点如图,则a2,即 a4【答案】 B 3已知函数f(x)log2x13x,若实数x0是方程 f(x)0 的解,且0x11,则函数 f(x)的零点为 () A12, 0B 2,0 C12D 0 【解析】 当 x1 时,由 f(x)2x10,解得 x0;当 x
18、1 时,由 f(x)1log2x 0,解得 x12,又因为 x1,所以此时方程无解综上,函数f(x)的零点只有0【解析】 D 2已知函数f(x)2x1,x0,x22x,x0,若函数g(x) f(x)m 有 3 个零点,则实数m 的取值范围是_【解析】 画出 f(x)2x 1,x0,x22x,x 0的图象,如图由函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点,结合图象得:0m1,即 m(0,1)【答案】 (0,1) 3已知函数f(x)2xa, x0,x23axa,x0有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是_【解析】 要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x 0 时,方程2x a0,即 2xa 必有一
19、根,此时0a 1;当 x0 时,方程x23ax a0 有两个不等实根,即方程x23axa0 有 2 个不等正实根,于是 9a24a 0,3a0,a 0, a49,故49a1【答案】49,1必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页10 (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号1(2015 高考安徽卷 )下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(
20、) Ay cos xBysin xCy ln xD yx21 【解析】 ycos x 是偶函数,且存在零点;ysin x 是奇函数; yln x 既不是奇函数又不是偶函数;yx21 是偶函数,但不存在零点【答案】 A 2函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是() A(1,3) B(1, 2) C(0,3) D (0,2) 【解析】 由题意知 f(1) f(2)0,即 a(a3)0,0a3【答案】 C 3(2016 东城期末 )函数 f(x)ex12x2 的零点所在的区间是() A 0,12B12,1C(1,2) D (2,3) 【解析】 f12e7437
21、40,f(1)e320,零点在区间12,1 上【答案】 B 4(2014 昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x)3ax12a 在区间 (1,1)内存在一个零点,则a 的取值范围是 () A15,B(, 1)15,C 1,15D (, 1) 【解析】 当 a 0 时, f(x) 1 与 x 轴无交点,不合题意,所以a0;函数 f(x)3ax12a 在区间 (1,1)内是单调函数,所以f(1) f(1)0,即 (5a 1)(a 1)0,解得 a 1 或 a15【答案】 B 5f(x)是 R 上的偶函数, f(x2)f(x),当 0x1 时,f(x)x2,则函数 y f(x)|log5x|的零点个
22、数为() A4 B5 C8 D10 【解析】 由零点的定义可得f(x)|log5x|,两个函数图象如图,总共有5 个交点,所以共有5 个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页11 【答案】 B 6(2014 开封模拟 )偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1),且当 x0,1时, f(x) x1,则关于x 的方程 f(x)lg(x1)在 x0,9上解的个数是 () A7 B8 C9 D10 【解析】 依题意得 f(x2)f(x),所以函数f(x)是以 2 为周期的函数在平面直角坐标系中画出函数yf(x)的图象与
23、ylg(x1)的图象 (如图所示 ),观察图象可知, 这两个函数的图像在区间0,9上的公共点共有9 个,因此, 当 x0,9时,方程 f(x)lg(x1)的解的个数是9【答案】 C 7(2014 南宁模拟 )已知函数f(x)ln x3x8 的零点 x0a,b,且 ba1,a,bN*,则 a b_【解析】 f(2)ln 268ln 220,且函数f(x)ln x3x8 在(0,)上为增函数, x02,3,即 a2,b3ab5【答案】 5 8已知函数yf(x) (xR)满足 f(x2)f(x),当 x1,1时, f(x)|x|,则 yf(x)与 ylog7x的交点的个数为_【解析】 因为 f(x
24、2) f(x),所以 y f(x)为周期函数,其周期为2在同一直角坐标系中,画出函数 yf(x)和 ylog7x 的图象如图,当 x7 时, f(7)1,log771,故 yf(x)与 ylog7x共有 6 个交点【答案】 6 9若函数yf(x)(xR) 满足 f(x2) f(x)且 x1, 1时, f(x)1x2;函数 g(x)lg|x|,则函数yf(x)与 y g(x)的图象在区间5,5内的交点个数共有_个【解析】 函数 yf(x)以 2 为周期, yg(x)是偶函数,画出图象可知有8 个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11
25、 页,共 15 页12 【答案】 8 10(2015 高考湖南卷 )已知函数f(x)x3, xa,x2, xa.若存在实数b,使函数g(x)f(x)b 有两个零点,则 a 的取值范围是_【解析】 令 (x)x3(xa),h(x)x2(xa),函数 g(x)f(x)b 有两个零点, 即函数 yf(x)的图象与直线 yb有两个交点, 结合图象 (图略 )可得 a0或 (a)h(a), 即 a 0或 a3a2, 解得 a 0或 a1, 故 a( , 0)(1, ) 【答案】 (, 0) (1, ) 1(2014 高考山东卷 )已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx若方程f(x)g(x)有两个不相等
26、的实根,则实数 k 的取值范围是() A 0,12B12,1C(1,2) D(2, ) 【解析】 先作出函数f(x)|x2|1 的图象,如图所示,当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为1,当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12,故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时,k 的范围为12,1 【答案】 B 2若函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点,则实数a 的取值范围是() A(2, ) B 0,12C(1, ) D(0, 1) 【解析】函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点, 就是函数 yax(a0 且 a1)与函数 yxa(a0 且 a1)的图象有两
27、个交点,由图1 知,当 0a1 时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图 2 知,当 a1 时,因为函数yax(a1)的图象与y 轴交于点 (0,1),而直线 yxa 与 y 轴的交点一定在点 (0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a 的取值范围是a 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页13 【答案】 C 3(2015 高考天津卷 )已知函数f(x)2|x|,x2,x22, x2,函数 g(x)bf(2 x),其中bR若函数yf(x) g(x)恰有 4 个零点,则b 的取值范围是() A
28、74,B ,74C 0,74D74,2【解析】 函数 yf(x) g(x)恰有 4 个零点,即方程f(x)g(x)0,即 bf(x)f(2x)有 4 个不同的实数 根 , 即 直线y b 与函 数y f(x) f(2 x)的 图 象 有4 个不 同 的 交点 又 y f(x) f(2 x)x2x2,x0,2,0x2,x25x8, x2,作出该函数的图象如图所示,由图可得,当74b2 时,直线yb 与函数 yf(x)f(2x)有 4 个交点【答案】 D 4已知函数f(x)满足 f(x)11f x1,当 x 0,1时, f(x)x,若在区间 (1,1内,函数g(x)f(x)mxm 有两个零点,则实
29、数m 的取值范围是 () A 0,12B12,C 0,13 D 0,12【解析】 当 x(1,0时, x1(0,1因为函数f(x)11f x1,所以 f(x)1f x111x 11xx1.即 f(x)xx1,x 1,0,x,x 0,1.函数 g(x)f(x)mxm 在区间 (1,1内有两个零点等价于方程f(x)m(x1)在区间 (1,1内有两个根,令ym(x1),在同一坐标系中画出函数y f(x)和 ym(x 1)的部分图象 (图略 ),可知当m 0,12时,函数g(x)f(x)mx m 有两个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
30、3 页,共 15 页14 【答案】 A 5(2014 高考天津卷 )已知函数f(x)|x25x4|,x0,2|x2|,x0.若函数 yf(x) a|x|恰有 4个零点, 则实数a 的取值范围为_【解析】 画出函数 f(x)的图象如图所示函数 yf(x)a|x|有 4 个零点,即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4 个交点 (根据图象知需a0)当 a2 时,函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3 个交点故a2当 y1a|x|(x0)与 y|x25x4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1 a|x|的图象有5 个交点,此时,由y ax,y x25x4得 x2(5 a)x4
31、0由 0 得(5a)2160,解得 a1,或 a9(舍去 ),则当 1a2 时,两个函数图象有4 个交点故实数 a 的取值范围是1a2【答案】 (1, 2) 考向四、二分法(1)定义:对于在区间 a,b上连续不断且f(a) f(b)0 的函数 yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:确定区间 a,b,验证 f(a) f(b)0,给定精确度 ;求区间 (a, b)的中点 c;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
32、 - - - -第 14 页,共 15 页15 计算 f(c);()若 f(c)0,则 c 就是函数的零点;()若 f(a) f(c)0,则令 bc(此时零点x0(a,c);()若 f(c) f(b)0,则令 ac(此时零点x0(c,b)判断是否达到精确度 :即若 |a b| ,则得到零点近似值a(或 b);否则重复1(教材习题改编 )下列函数图象与x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是() ABCD 【解析】 由图象可知,选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的,故不能用二分法求解【解析】 C 2(教材习题改编 )用二分法求函数yf(x)在区间 (2, 4)上的近似解,验
33、证f(2) f(4)0,给定精确度0.01,取区间 (2, 4)的中点 x12423,计算得f(2) f(x1)0,则此时零点x0所在的区间为() A(2,4)B(3, 4) C(2,3) D (25,3) 【解析】 f(2) f(4)0,f(2) f(3)0,f(3) f(4)0,零点 x0所在的区间为 (2,3)【解析】 C 3用二分法求方程x22 的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间1.4,1.5,则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_【解析】 设至少需要计算n 次,由题意知1.51.42n0001,即 2n100,由 2664,27128 知 n7【解析】 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页