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1、1 课题谈函数与方程 (零点问题 )的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、 方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使 f(x)0 成立的实数x 叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定) 若函数y f(x)在闭区间 a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) f(b)0，则在区间 (a，b)内，函数 yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0 在区间 (a，b)内至少有一个实数解也可以说：如
2、果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的根提醒 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数 yf(x)有零点?方程 f(x)0 有实数根?函数 yf(x)的图象与函数y0(即 x轴 )有交点推广： 函数 yf(x)g(x)有零点?方程 f(x)g(x)0有实数根?函数 yf(x)g(x)的图象与 y0(即x 轴 )有交点推广的变形：函数yf(x)g(x)有零点?方程 f(x)g(x)有实数根?函数 yf
3、(x)的图象与yg(x)有交点1函数的零点是函数yf(x)与 x 轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示： 函数的零点不是函数y f(x)与 x 轴的交点，而是yf(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0 有根的函数yf(x)才有零点2若函数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，一定有f(a) f(b)03若函数 yf(x)在区间 (a，b)内，有 f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数2
4、10 对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1函数零点的求解与所在区间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015 温州十校联考 )设 f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为() A(0，1) B(1， 2) C(2，3) D (3，4) 【解析】法一：f(1)ln 112 10，f(2)ln 20， f(1) f(2)0， 函数 f(x)ln xx2的图象是连续的，函数 f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二 ：函数 f(x)的零点所在
5、的区间转化为函数g(x)ln x，h(x) x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)【答案】 B 2(2015 西安五校联考 )函数 yln(x1)与 y1x的图象交点的横坐标所在区间为() A(0，1) B(1， 2) C(2，3) D (3，4) 【解析】 函数 y ln(x1)与 y1x的图象交点的横坐标，即为函数f(x)ln(x1)1x的零点， f(x)在(0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 ) 上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 3120，f
6、(x)的零点所在区间为(1，2)【答案】 B 3函数 f(x)3x7ln x 的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则 n_【解析】求函数 f(x) 3x7ln x的零点， 可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如 f(2) 1ln 2，由于 ln 2 ln e1，所以 f(2)0，f(3)2 ln 3，由于 ln 31，所以 f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故 n2【答案】 2 4 (2015 长沙模拟 )若 a bc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 () A(a，b)和(b，c)内B(， a)和(a， b)内C(
7、b，c)和(c， )内D (， a)和(c， )内【解析】 本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b) (bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和 (b， c)内【答案】 A 5(2014 高考湖北卷 )已知 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x 0 时， f(x) x2 3x，则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为() A1 ，3 B3， 1，1， 3 C2 7，1，3 D 27， 1，3 【解析】 令 x 0，则 x0，所以 f(x) f(x) (x)2 3( x) x23x求函数 g(x)f(x
8、)x3 的零点等价于求方程f(x) 3x 的解 当 x0 时，x23x 3x，解得 x13，x21；当 x0 时，x23x 3x，解得 x3 27【答案】 D 确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0 易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间 a， b上的图象是否连续， 再看是否有f(a) f(b)0若有，则函数yf(x)在区间 (a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断1已知函数f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是
9、() A(0，1)B(1，2) C(2，4) D(4， ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 【解析】 因为 f(1)6 log2160，f(2)3log22 20，f(4)32log24120，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)【答案】 C 2方程 log3xx3 的根所在的区间为() A(0，1) B(1，2) C(2， 3) D(3，4) 【解析】法一：方程 log3xx 3 的根即是函数f(x)log3xx 3 的零点，由于 f(2)log3223log3210 且函数 f(x)在(0， )上为
10、单调增函数函数 f(x)的零点即方程log3x x3 的根所在区间为(2，3)法二 ：方程 log3xx3 的根所在区间即是函数y1log3x 与 y23x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示由图知方程log3xx3 的根所在区间为(2，3)【答案】 C 3(2015 武汉调研 )设 a1，a2，a3均为正数， 123，则函数f(x)a1x1a2x2a3x3的两个零点分别位于区间() A(， 1)和(1， 2)内B(1，2)和(2，3)内C(2，3)和(3， )内D (， 1)和(3， )内【解析】 本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x1，f(x) ，
11、x2， f(x) ，所以函数f(x)在(1，2)上一定存在零点；同理当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，3)上一定存在零点，故选B【答案】 B 考向二、判断函数零点个数1已知函数f(x)x2，x0，x2bxc，x 0满足 f(0)1，且 f(0)2f(1)0，那么函数g(x) f(x)x 的零点个数为 _【解析】 f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1) 1b112，b12当 x0 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 g(x)2x2 0 有唯一解
12、x1；当 x0 时， g(x) x232x1，令 g(x) 0 得 x12或 x2(舍去 )，综上可知， g(x)f(x)x 有 2 个零点【答案】2 2(2013 高考天津卷 )函数 f(x)2x|log0.5x| 1的零点个数为() A1B2 C3 D 4 【解析】 由 f(x)2x|log0.5x|10，可得 |log0 5x|12x设 g(x) |log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有 2 个零点【答案】 B 3(2015 高考天津卷 )已知函数f(x)2|x|，x2，x22，x2，函
13、数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为() A2B3 C4 D 5 【解析】 分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2 个交点【答案】 A4若定义在R 上的偶函数f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x 0，1时， f(x) x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【解析】 由题意知， f(x)是周期为2 的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及 ylog3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4 个交点，即函数yf(x) log3|x|有 4 个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
14、 页，共 15 页6 【答案】 4 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a， b上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1(2015 淄博期末 )函数 f(x)xln(x 1)1 的零点个数是 _【解析】 函数 f(x)xln( x1)1 的零点个
15、数，即为函数y ln(x1)与 y x1 图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与 yx1 的图象，如图，由图可知函数f(x)x ln(x1) 1 的零点个数是2【答案】 2 2 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)， 且 x1， 1时， f(x)1x2， 函数 g(x)lg x，x0，0， x0，1x，x0，则方程 f(x)g(x)0 在区间 5， 5上的解的个数为() A5 B7 C8 D 10 【解析】 依题意得，函数f(x)是以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数 yg(x)的图象，结合图象得，当x5，5时，它们的图象的公共点共
16、有8 个，即方程f(x)g(x)0 在区间 5，5上的解的个数为8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 【答案】 C 考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1(2014 合肥检测 )若函数 f(x)ax2x1 有且仅有一个零点，则实数a 的取值为 () A0 B14C0 或14D 2 【解析】 当 a 0 时，函数 f(x) x1 为一次函数，则1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a0 时，函数f(x)ax2x1 为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2x10 有两个相等实根 14a0，解得 a14
17、综上，当a0 或 a14时，函数仅有一个零点【答案】 C 2 (2014 洛阳模拟 )已知方程 |x2a|x 20(a0)有两个不等的实数根， 则实数 a的取值范围是() A(0，4) B(4， ) C(0，2) D (2， ) 【解析】 依题意，知方程|x2a|x2 有两个不等的实数根，即函数y|x2a|的图象与函数yx2的图象有两个不同交点如图，则a2，即 a4【答案】 B 3已知函数f(x)log2x13x，若实数x0是方程 f(x)0 的解，且0x11，则函数 f(x)的零点为 () A12， 0B 2，0 C12D 0 【解析】 当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x
18、1 时，由 f(x)1log2x 0，解得 x12，又因为 x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0【解析】 D 2已知函数f(x)2x1，x0，x22x，x0，若函数g(x) f(x)m 有 3 个零点，则实数m 的取值范围是_【解析】 画出 f(x)2x 1，x0，x22x，x 0的图象，如图由函数 g(x)f(x)m 有 3 个零点，结合图象得：0m1，即 m(0，1)【答案】 (0，1) 3已知函数f(x)2xa， x0，x23axa，x0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_【解析】 要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x 0 时，方程2x a0，即 2xa 必有一
19、根，此时0a 1；当 x0 时，方程x23ax a0 有两个不等实根，即方程x23axa0 有 2 个不等正实根，于是 9a24a 0，3a0，a 0， a49，故49a1【答案】49，1必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号1(2015 高考安徽卷 )下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(
20、) Ay cos xBysin xCy ln xD yx21 【解析】 ycos x 是偶函数，且存在零点；ysin x 是奇函数； yln x 既不是奇函数又不是偶函数；yx21 是偶函数，但不存在零点【答案】 A 2函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是() A(1，3) B(1， 2) C(0，3) D (0，2) 【解析】 由题意知 f(1) f(2)0，即 a(a3)0，0a3【答案】 C 3(2016 东城期末 )函数 f(x)ex12x2 的零点所在的区间是() A 0，12B12，1C(1，2) D (2，3) 【解析】 f12e7437
21、40，f(1)e320，零点在区间12，1 上【答案】 B 4(2014 昆明三中、玉溪一中统考)若函数 f(x)3ax12a 在区间 (1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是 () A15，B(， 1)15，C 1，15D (， 1) 【解析】 当 a 0 时， f(x) 1 与 x 轴无交点，不合题意，所以a0；函数 f(x)3ax12a 在区间 (1，1)内是单调函数，所以f(1) f(1)0，即 (5a 1)(a 1)0，解得 a 1 或 a15【答案】 B 5f(x)是 R 上的偶函数， f(x2)f(x)，当 0x1 时，f(x)x2，则函数 y f(x)|log5x|的零点个
22、数为() A4 B5 C8 D10 【解析】 由零点的定义可得f(x)|log5x|，两个函数图象如图，总共有5 个交点，所以共有5 个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 【答案】 B 6(2014 开封模拟 )偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且当 x0，1时， f(x) x1，则关于x 的方程 f(x)lg(x1)在 x0，9上解的个数是 () A7 B8 C9 D10 【解析】 依题意得 f(x2)f(x)，所以函数f(x)是以 2 为周期的函数在平面直角坐标系中画出函数yf(x)的图象与
23、ylg(x1)的图象 (如图所示 )，观察图象可知， 这两个函数的图像在区间0，9上的公共点共有9 个，因此， 当 x0，9时，方程 f(x)lg(x1)的解的个数是9【答案】 C 7(2014 南宁模拟 )已知函数f(x)ln x3x8 的零点 x0a，b，且 ba1，a，bN*，则 a b_【解析】 f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8 在(0，)上为增函数， x02，3，即 a2，b3ab5【答案】 5 8已知函数yf(x) (xR)满足 f(x2)f(x)，当 x1，1时， f(x)|x|，则 yf(x)与 ylog7x的交点的个数为_【解析】 因为 f(x
24、2) f(x)，所以 y f(x)为周期函数，其周期为2在同一直角坐标系中，画出函数 yf(x)和 ylog7x 的图象如图，当 x7 时， f(7)1，log771，故 yf(x)与 ylog7x共有 6 个交点【答案】 6 9若函数yf(x)(xR) 满足 f(x2) f(x)且 x1， 1时， f(x)1x2；函数 g(x)lg|x|，则函数yf(x)与 y g(x)的图象在区间5，5内的交点个数共有_个【解析】 函数 yf(x)以 2 为周期， yg(x)是偶函数，画出图象可知有8 个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11
25、 页，共 15 页12 【答案】 8 10(2015 高考湖南卷 )已知函数f(x)x3， xa，x2， xa.若存在实数b，使函数g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_【解析】 令 (x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数 g(x)f(x)b 有两个零点， 即函数 yf(x)的图象与直线 yb有两个交点， 结合图象 (图略 )可得 a0或 (a)h(a)， 即 a 0或 a3a2， 解得 a 0或 a1， 故 a( ， 0)(1， ) 【答案】 (， 0) (1， ) 1(2014 高考山东卷 )已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx若方程f(x)g(x)有两个不相等
26、的实根，则实数 k 的取值范围是() A 0，12B12，1C(1，2) D(2， ) 【解析】 先作出函数f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为12，1 【答案】 B 2若函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围是() A(2， ) B 0，12C(1， ) D(0， 1) 【解析】函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点， 就是函数 yax(a0 且 a1)与函数 yxa(a0 且 a1)的图象有两
27、个交点，由图1 知，当 0a1 时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图 2 知，当 a1 时，因为函数yax(a1)的图象与y 轴交于点 (0，1)，而直线 yxa 与 y 轴的交点一定在点 (0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 【答案】 C 3(2015 高考天津卷 )已知函数f(x)2|x|，x2，x22， x2，函数 g(x)bf(2 x)，其中bR若函数yf(x) g(x)恰有 4 个零点，则b 的取值范围是() A
28、74，B ，74C 0，74D74，2【解析】 函数 yf(x) g(x)恰有 4 个零点，即方程f(x)g(x)0，即 bf(x)f(2x)有 4 个不同的实数 根 ， 即 直线y b 与函 数y f(x) f(2 x)的 图 象 有4 个不 同 的 交点 又 y f(x) f(2 x)x2x2，x0，2，0x2，x25x8， x2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74b2 时，直线yb 与函数 yf(x)f(2x)有 4 个交点【答案】 D 4已知函数f(x)满足 f(x)11f x1，当 x 0，1时， f(x)x，若在区间 (1，1内，函数g(x)f(x)mxm 有两个零点，则实
29、数m 的取值范围是 () A 0，12B12，C 0，13 D 0，12【解析】 当 x(1，0时， x1(0，1因为函数f(x)11f x1，所以 f(x)1f x111x 11xx1.即 f(x)xx1，x 1，0，x，x 0，1.函数 g(x)f(x)mxm 在区间 (1，1内有两个零点等价于方程f(x)m(x1)在区间 (1，1内有两个根，令ym(x1)，在同一坐标系中画出函数y f(x)和 ym(x 1)的部分图象 (图略 )，可知当m 0，12时，函数g(x)f(x)mx m 有两个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
30、3 页，共 15 页14 【答案】 A 5(2014 高考天津卷 )已知函数f(x)|x25x4|，x0，2|x2|，x0.若函数 yf(x) a|x|恰有 4个零点， 则实数a 的取值范围为_【解析】 画出函数 f(x)的图象如图所示函数 yf(x)a|x|有 4 个零点，即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4 个交点 (根据图象知需a0)当 a2 时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3 个交点故a2当 y1a|x|(x0)与 y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1 a|x|的图象有5 个交点，此时，由y ax，y x25x4得 x2(5 a)x4
31、0由 0 得(5a)2160，解得 a1，或 a9(舍去 )，则当 1a2 时，两个函数图象有4 个交点故实数 a 的取值范围是1a2【答案】 (1， 2) 考向四、二分法(1)定义：对于在区间 a，b上连续不断且f(a) f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b，验证 f(a) f(b)0，给定精确度 ；求区间 (a， b)的中点 c；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
32、 - - - -第 14 页，共 15 页15 计算 f(c)；()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a) f(c)0，则令 bc(此时零点x0(a，c)；()若 f(c) f(b)0，则令 ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度 ：即若 |a b| ，则得到零点近似值a(或 b)；否则重复1(教材习题改编 )下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是() ABCD 【解析】 由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解【解析】 C 2(教材习题改编 )用二分法求函数yf(x)在区间 (2， 4)上的近似解，验
33、证f(2) f(4)0，给定精确度0.01，取区间 (2， 4)的中点 x12423，计算得f(2) f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为() A(2，4)B(3， 4) C(2，3) D (25，3) 【解析】 f(2) f(4)0，f(2) f(3)0，f(3) f(4)0，零点 x0所在的区间为 (2，3)【解析】 C 3用二分法求方程x22 的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间1.4，1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是_【解析】 设至少需要计算n 次，由题意知1.51.42n0001，即 2n100，由 2664，27128 知 n7【解析】 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
